Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu Tính Chính Quy và Dáng Điệu Tiệm Cận của Nghiệm Hệ Phương Trình Navier-Stokes

• Tác giả: Vũ Thị Thùy Dương
• Người hướng dẫn: Gs. Nguyễn Minh Trí
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
• MỞ ĐẦU
• 1. TỔNG QUAN LUẬN ÁN
• 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số không gian hàm
• 1.1.1. Không gian các hàm trơn
• 1.1.2. Không gian các hàm khả tích
• 1.1.3. Không gian các hàm suy rộng
• 1.1.4. Không gian Besov, không gian Triebel
• 1.1.5. Không gian Sobolev
• 1.1.6. Không gian Lorentz
• 1.2. Một số toán tử cơ bản trong hệ phương trình Navier-Stokes
• 1.2.1. Toán tử Helmholtz-Leray
• 1.2.2. Toán tử Stokes
• 1.2.3. Nửa nhóm Stokes e−tA
• 1.3. Nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes
• 2. TÍNH CHÍNH QUY VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRONG MIỀN TỔNG QUÁT
• 2.1. Tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát
• 2.1.1. Đặt bài toán
• 2.1.2. Các tính chất của toán tử song tuyến tính B(u, v) và nửa nhóm Stokes e−tA
• 2.1.3. Tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát
• 2.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát
• 2.2.1. Các tính chất của toán tử Stokes trong miền tổng quát
• 2.2.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát
• 2.3. Kết luận chương 2
• 3. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU
• 3.1. Một số tính chất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều
• 3.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều
• 3.3. Kết luận chương 3
• KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ NGHỊ
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Luận án tiến sĩ

Luận án tiến sĩ của Vũ Thị Thùy Dương tập trung vào việc nghiên cứu tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes. Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Minh Trí. Nghiên cứu khoa học này đóng góp vào lĩnh vực toán học ứng dụng, cụ thể là phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết chất lỏng. Luận án đã đưa ra các kết quả mới về tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes, đặc biệt trong không gian ba chiều và miền tổng quát.

1.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án tiến sĩ là nghiên cứu tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes. Cụ thể, luận án tập trung vào hai bài toán chính: bài toán biên ban đầu trong miền tổng quát và bài toán Cauchy trong không gian ba chiều. Nghiên cứu khoa học này nhằm giải quyết các vấn đề về sự tồn tại, tính duy nhất, và độ trơn của nghiệm, cũng như dự đoán xu hướng phát triển của hệ khi thời gian tiến tới vô cùng.

1.2. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án tiến sĩ là hệ phương trình Navier-Stokes, một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mô tả chuyển động của chất lỏng. Luận án tập trung vào hai dạng bài toán: bài toán biên ban đầu trong miền tổng quát và bài toán Cauchy trong không gian ba chiều. Phương trình Navier-Stokes được nghiên cứu dưới góc độ toán học ứng dụng, với mục tiêu tìm hiểu tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm.

II. Tính chính quy

Tính chính quy của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes là một trong những vấn đề trọng tâm của luận án tiến sĩ. Luận án đã chứng minh rằng nghiệm yếu của hệ phương trình này là chính quy tại thời điểm t ∈ (0, T) nếu thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh và động năng liên tục Hölder trái với số mũ và nửa chuẩn Hölder đủ nhỏ. Phân tích toán học được sử dụng để đánh giá tính chính quy của nghiệm trong miền tổng quát và không gian ba chiều.

2.1. Tính chính quy trong miền tổng quát

Trong miền tổng quát, luận án tiến sĩ đã chứng minh rằng nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes là chính quy nếu thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh và động năng liên tục Hölder trái. Kết quả này được phát triển dựa trên lý thuyết về sự tồn tại của nghiệm mạnh địa phương và tính duy nhất của nghiệm trong miền tổng quát. Phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết chất lỏng được áp dụng để đánh giá tính chính quy của nghiệm.

2.2. Tính chính quy trong không gian ba chiều

Trong không gian ba chiều, luận án tiến sĩ đã nghiên cứu tính chính quy của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes. Kết quả cho thấy nghiệm mạnh là chính quy nếu giá trị ban đầu đủ nhỏ và thỏa mãn các điều kiện về tốc độ hội tụ. Phân tích toán học và các công cụ giải tích điều hòa được sử dụng để chứng minh tính chính quy của nghiệm trong không gian ba chiều.

III. Dáng điệu tiệm cận

Dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes là một vấn đề quan trọng được nghiên cứu trong luận án tiến sĩ. Luận án đã chứng minh rằng nghiệm yếu của hệ phương trình này có cùng tốc độ hội tụ theo thời gian với nghiệm của hệ Stokes thuần nhất. Nghiên cứu khoa học này cũng chỉ ra rằng, khi thêm một số điều kiện của giá trị ban đầu, nghiệm yếu sẽ trùng với nghiệm của hệ Stokes khi thời gian tiến tới vô cùng.

3.1. Dáng điệu tiệm cận trong miền tổng quát

Trong miền tổng quát, luận án tiến sĩ đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes. Kết quả cho thấy nghiệm yếu có cùng tốc độ hội tụ với nghiệm của hệ Stokes thuần nhất. Phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết chất lỏng được áp dụng để đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong miền tổng quát.

3.2. Dáng điệu tiệm cận trong không gian ba chiều

Trong không gian ba chiều, luận án tiến sĩ đã chứng minh rằng nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier-Stokes có cùng tốc độ hội tụ với nghiệm của phương trình truyền nhiệt. Phân tích toán học và các công cụ giải tích điều hòa được sử dụng để đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong không gian ba chiều.