I. Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ của Vũ Thị Thùy Dương tập trung vào việc nghiên cứu tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes. Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Minh Trí. Nghiên cứu khoa học này đóng góp vào lĩnh vực toán học ứng dụng, cụ thể là phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết chất lỏng. Luận án đã đưa ra các kết quả mới về tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes, đặc biệt trong không gian ba chiều và miền tổng quát.
1.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án tiến sĩ là nghiên cứu tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes. Cụ thể, luận án tập trung vào hai bài toán chính: bài toán biên ban đầu trong miền tổng quát và bài toán Cauchy trong không gian ba chiều. Nghiên cứu khoa học này nhằm giải quyết các vấn đề về sự tồn tại, tính duy nhất, và độ trơn của nghiệm, cũng như dự đoán xu hướng phát triển của hệ khi thời gian tiến tới vô cùng.
1.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án tiến sĩ là hệ phương trình Navier-Stokes, một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mô tả chuyển động của chất lỏng. Luận án tập trung vào hai dạng bài toán: bài toán biên ban đầu trong miền tổng quát và bài toán Cauchy trong không gian ba chiều. Phương trình Navier-Stokes được nghiên cứu dưới góc độ toán học ứng dụng, với mục tiêu tìm hiểu tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
II. Tính chính quy
Tính chính quy của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes là một trong những vấn đề trọng tâm của luận án tiến sĩ. Luận án đã chứng minh rằng nghiệm yếu của hệ phương trình này là chính quy tại thời điểm t ∈ (0, T) nếu thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh và động năng liên tục Hölder trái với số mũ và nửa chuẩn Hölder đủ nhỏ. Phân tích toán học được sử dụng để đánh giá tính chính quy của nghiệm trong miền tổng quát và không gian ba chiều.
2.1. Tính chính quy trong miền tổng quát
Trong miền tổng quát, luận án tiến sĩ đã chứng minh rằng nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes là chính quy nếu thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh và động năng liên tục Hölder trái. Kết quả này được phát triển dựa trên lý thuyết về sự tồn tại của nghiệm mạnh địa phương và tính duy nhất của nghiệm trong miền tổng quát. Phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết chất lỏng được áp dụng để đánh giá tính chính quy của nghiệm.
2.2. Tính chính quy trong không gian ba chiều
Trong không gian ba chiều, luận án tiến sĩ đã nghiên cứu tính chính quy của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes. Kết quả cho thấy nghiệm mạnh là chính quy nếu giá trị ban đầu đủ nhỏ và thỏa mãn các điều kiện về tốc độ hội tụ. Phân tích toán học và các công cụ giải tích điều hòa được sử dụng để chứng minh tính chính quy của nghiệm trong không gian ba chiều.
III. Dáng điệu tiệm cận
Dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong hệ phương trình Navier-Stokes là một vấn đề quan trọng được nghiên cứu trong luận án tiến sĩ. Luận án đã chứng minh rằng nghiệm yếu của hệ phương trình này có cùng tốc độ hội tụ theo thời gian với nghiệm của hệ Stokes thuần nhất. Nghiên cứu khoa học này cũng chỉ ra rằng, khi thêm một số điều kiện của giá trị ban đầu, nghiệm yếu sẽ trùng với nghiệm của hệ Stokes khi thời gian tiến tới vô cùng.
3.1. Dáng điệu tiệm cận trong miền tổng quát
Trong miền tổng quát, luận án tiến sĩ đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes. Kết quả cho thấy nghiệm yếu có cùng tốc độ hội tụ với nghiệm của hệ Stokes thuần nhất. Phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết chất lỏng được áp dụng để đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong miền tổng quát.
3.2. Dáng điệu tiệm cận trong không gian ba chiều
Trong không gian ba chiều, luận án tiến sĩ đã chứng minh rằng nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier-Stokes có cùng tốc độ hội tụ với nghiệm của phương trình truyền nhiệt. Phân tích toán học và các công cụ giải tích điều hòa được sử dụng để đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong không gian ba chiều.
