Chương 1 trình bày về một số kiến thức cơ sở, bao gồm: Các không gian hàm cần sử dụng trong luận án, một số toán tử cơ bản trong hệ phương trình Navier-Stokes, một số bất đẳng thức trong các không gian hàm, giới thiệu về hệ phương trình Navier-Stokes và các loại nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes và một số bổ đề bổ trợ. Chương 2 trình bày hai kết quả về tính chất của nghiệm cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát. Kết quả đầu tiên về tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát. Kết 6 quả thứ hai trình bày về dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát.
Chương 3 trình bày về dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh cho hệ phương trinh Navier-Stokes trong khong gian ba chiều. Các kết quả của chính của luận án đã được công bố trên ba bài báo và được báo cáo tại: e Seminar cua BO mon Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên. e Seminar của phòng Giải tích, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. e Hội nghị Quốc tế về Giải tích phức, Phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng, 02-09/06/2019 tại Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Tông quan luận án Các kết quả về tính chất của nghiệm như sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes đã được đề cập khá nhiều trong các công trình toán học trong và ngoài nước những năm gần đây, xem [3, 4, 5, 22, 24, 25, 28, 46, 47, 48, 49, 50]. Tuy nhiên việc phát triển các kết quả trên cho trường hợp miền không bị chặn vẫn còn là một hướng nghiên cứu mới đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ kỹ thuật mới trong chứng minh. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu hai tính chất của nghiệm là tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes trong một miền tổng quát ©Q C R3. Giả sử rằng chuyển động của dòng chảy được mô tả bởi hệ phương trình như sau: Pe ve epse (0.1) div u=0, voit € [0,T],0<T <ow,2€, 0 CR la miền tổng quát.
Hệ phương trình trên được gọi là hệ phương trình Navier- Stokes. Phương trình đầu tiên mô tả sự cân bằng của các lực theo định luật II Newton. Điều kiện div = 0 thể hiện dòng chảy là đồng nhất và không nén được. Số hạng tu; = a = a là đạo hàm theo hướng thời gian.
8 8 Z Ø ¬ Sô hạng ứ¿ + - Vu = tự + | 0 — + uw2a—— + u3—— | u mo ta gia toc cla Ox Ox 0x3 các hạt nhỏ trong dòng chảy. Số hạng —Au = — (Di + D3 + D3) u mô tả lực ma sát giữa các hạt nhỏ của dòng chảy. Vp = (D1, Dạ, Dạ) p là gradient của áp suất p. 8 Để nghiên cứu hệ phương trình ta thêm điều kiện biên Ulag = 0 (0.
Diều này có nghĩa là w(£,#) = 0 với £ € [0,7) và z € 09. Ta có điều kiện ban đầu u(0) = uo (0.3) là vận tốc ban đầu tại thời điểm £ = 0. Điều này nghĩa là (0,#) = wo(z) với x € Q. Trong luan 4n, ta cing ding ky hiéu u(t,-) = u(t), t € [0, T).
Hệ phương trình (0.1) cùng với điều kiện (0.3) được gọi là bài toán biên ban đầu cho hệ phương trình Navier- Stokes trong đó các đại lượng chưa biét 1A van téc u(t, x) ctia chất lỏng tại thời điểm ứ, vị trí z và đại lượng ấp suat p(t, x). Bài toán về tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trinh Navier- Stokes đã thu được các kết quả đầu tiên từ năm 1982 bởi nhóm các tác giả L. Nirenberg và được mở rộng trong rất nhiều công trình của các nhà toán học trên thế giới trong những năm gần đây như các tac gia H. Tuy nhiên hầu hết các kết quả mới chỉ thu được cho các miền bị chặn trong không gian Rở.
Năm 2008 và 2009, nhóm các tác giả R. Sohr [22, 24| đã thu được kết quả về tính chính quy của nghiệm yếu nhưng với © là miền bị chặn trong R? va bién OO thudc lớp C?!. Xét nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier-Stokes: tạ — Âu +u- Vụ + Vp=0, div u = 0, (0. 9 Các tác giả đã chứng minh được nghiệm yếu œ là chính quy trong khoảng (a, b) néu động năng liên tục Hölder trái với số mũ œ € (5 1), nghĩa là 1 2 1 2 5 llu(to — 5) Ilo — 5 Ile(to) Ilo.
Sohr [25] đã tiếp tục phát triển kết quả của họ, trong đó điều kiện (0.6) trên được thay bởi điều kiện yếu hơn 1 1 lta ~ 8 — 5 lol lim LÝ ———————^~—_——' 630+ ỗ <C Nie với số mũ Hölder œ = 5 và miền © bị chặn. Riechwald [28] đã tiếp tục mở rộng kết quả của các tác giả trước từ miền bị chặn sang miền tổng quát. Họ đã chứng minh được tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes với © là miền tổng quát trong không gian ba chiều nhưng cần thêm điều kiện trên biên Ø0 thuộc lớp C”. Giả sử u là nghiệm yếu (theo nghĩa Leray) của hệ phương trình Navier- Stokes trong miền tổng quát, ØQ thuộc lớp Œ? và ¡ thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh (0.
Cho up € L2(Q) va 0 < T < co. Khi đó, tồn tại hằng số dương ? = ?(Q, 7) sao cho: Nếu tại thời điểm £ € (0,7) và với / > 0, động năng liên tục Hölder trái với số mũ 5 theo nghĩa ft sIlwf)llỗ — sllwứ — 3)lö 5IB— sup <7 0<d<p ỗ Nie thì £ là điểm chính quy của nghiệm yếu u hay u € L4 (: —06,t+; iQ). Từ kết quả trên, ta luôn chứng minh được rằng động năng liên tục Hölder. 1 trái với sô mũ œ € (5 1 theo nghia 1 1 plu = Slate = sup 0<d<p 6° < 0c 10 với ? > 0 đủ nhỏ, trong đó T“(0):= LQ) + L2(O) néul<q<2 “| £19) L2(Q) néu2 <q < oo.
Do toan tit Stokes thong thudng A, khong xác định trên tất cả các miền không bị chặn nên R. Riechwald phải thay thế không gian L1(Q),q > 2 bằng khong gian L4(Q) = L4(Q) N L?(Q) dé dam bao cho céc đánh giá của toán tử Stokes trong miền tổng quát, xem [20, 21, 24, 26]. Chuẩn tương ứng trong không gian Ï*# được xác định bởi llullz := max {||al¿, [lull2} nếu ạ > 2 và |Ì¿|Ìzs := inf {|eil, + ||ua||; : w = uị + uo} nếu 1 <q< 2 trong đó ứị € L#(©),uạ € L2(O). Varnhorn [27] đã thu được kết quả về tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes bằng cách phát triển thêm điều kiện mới dựa trên những tính chất của nửa nhóm Stokes.
Giả sử u € Ly (|0. oo), D(A®)) là nghiệm yếu của hệ phương trinh Navier-Stokes (0.4) trong miền |0, 7) x © với uạ € L(O) và u thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh (0. Khi đó: a) Nghiệm yếu œ là duy nhất, nghĩa là nếu tồn tại một nghiệm yếu khác ve Le. b) Nghiệm yếu œ thỏa mãn điều kiện Serrin địa phương phải L* (L‘) trong khoảng |0,T') với s = 8 và g = 4 nghĩa là u € HỆ „ (to, to +6; 110) véi moi (to, to + 5) C [0,T) va 6 = d(to) > 0.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi xin giới thiệu một số kết quả đã đạt được với các bài toán về dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier- Stokes. Xét bài toán biên ban đầu cho hệ phương trình Navier-Stokes (0.4) trong miền Q véi up € L2() 1a gid tri ban đầu tại thời điểm # = 0. Bài toán về dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong /2*(O) cho hệ phương trình Navier-Stokes được đưa ra lần đầu tiên năm 1934 bởi J. Leray [57] trong không gian ïR3.
Khẳng định đầu tiên về tốc độ hội tụ nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes được chứng minh bởi T. Kato [44] năm 1984 trong trường 11 hợp O = IR“, d = 3,4. Từ nghiên cứu của ông đã phát triển các nghiên cứu cho nghiệm mạnh trong không gian L” tổng quát, xem [41, 64, 73]. Kết quả của M.
Schonbek [64] đã áp dụng trong [3, 4| cho trường hợp © là nửa không gian trong IR“, đ> 2 hoặc một miền của IR, đ > 3. Miyakawa [41] đã tiếp tục phát triển kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier- Stokes trong R“, d = 3,4. Với giá trị ban đầu uọ € L2(IR%), các tác giả đã chứng minh rằng tồn tại nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier-Stokes thỏa mãn các tính chất sau: () llu¿(£)||s — 0 khi £ — œ. (1ñ) Nếu ¡ạ € 12(R®)ñ 17(R) với 1 Sr < 2 thì d NIQ 3 llu(t)l2< Ct 2 với mọi£>0, trong đó Ở là hằng số dương chỉ phụ thuộc vao d,r va uo.
Xét hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quét Q C R*: Ø Sr 7 Mutu Vu+ Vp =0 (x € Q,t > 0) div u =0 (x € Q,t 2 0) Ulan = 0 0l,—ạ — tụ, trong đó = (ui,ua,u¿) và áp suất p là các đại lượng chưa biết. Ta có kết quả chính của W. Miyakawa như sau. Giả sử Q C IRỶ là một miền không bị chặn bất kỳ và ug € L2(Q).
Khi do, tồn tại một nghiệm yếu + của hệ phương trình Navier-Stokes sao cho (i) |lu(t)|l2 20 khi — ©. (¡) Nếu ||e'2uo||, = O (t-°) với œ > 0 thì nêu œ O (t-*) u(t) ll2 = S1 2 o(t 2 A e- IV Nl toI nêu œ 12 trong đó Ũ < e< > Bài toán thứ hai nghiên cứu trong luận án là bài toán Cauchy cho hệ phương trình Navier- Stokes trong không gian ba chiều. Trước hết, ta biến đổi hệ (0.1) thành phương trình toán tử [§, 42, 43] với Q = JRỶ như sau đu ——u +PV - (u®u) =0, nu (u@ u) (07) u(0) =u, z€R£>0, trong đó A là toán tử Stokes được định nghĩa một cách hình thức A = —PA và P 1a phép chiếu Helmholtz-Leray được xác định như sau: Dat D;= “5 j=1,2,3 voi ® =-1 và định nghĩa biến đổi Riesz bởi Rị=Dj( CA), j=1,3,3 †Khi đó, toán tử IP được định nghĩa bởi 3 (Pu);(œ) = ` (ðj— R/R¿) uy, j= 1,9,3. Một cách tương đương khác, sử dụng tính chất của biến đổi Fourier ta có thể định nghĩa toán tử P như sau: 3 (E06) =3” (5x - 9Ÿ) ñd6, 7= Lan k=1 Như vậy, P là một toán tử giả vi phân bậc không và là phép chiếu lên hạch của toán tử div.
Mặt khác, áp suất p trong (0.