Luận án tiến sĩ: Khám phá hàm đa điều hòa dưới và các ứng dụng thực tế

Luận án tiến sĩ nghiên cứu thác triển các hàm đa điều hòa dưới, ứng dụng trong lý thuyết hàm và giải tích phức, mở rộng hiểu biết toán học hiện đại.

• Tác giả: Triệu Văn Dũng
• Người hướng dẫn: GS. Lê Mậu Hải
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới và ứng dụng
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• KÍ HIỆU
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: DƯỚI THÁC TRIỂN CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI VỚI GIÁ TRỊ BIÊN TRONG LỚP NĂNG LƯỢNG PHỨC CÓ TRỌNG
• 1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
• 1.2. Dưới thác triển của hàm đa điều hòa trong lớp Eχ (Ω, f )
• 2. CHƯƠNG 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRONG MIỀN SIÊU LỒI KHÔNG BỊ CHẶN VÀ ỨNG DỤNG
• 2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
• 2.2. Dưới thác triển trên miền siêu lồi không bị chặn
• 3. CHƯƠNG 3: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM M-ĐIỀU HOÀ DƯỚI
• 3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
• 3.2. Dưới thác triển trong lớp Fm (Ω)
• 4. CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE–AMPÈRE CHO MỘT ĐỘ ĐO BẤT KỲ
• 4.2. Phương trình kiểu Monge–Ampère cho một độ đo bất kỳ
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu

Luận án tiến sĩ 'Nghiên cứu hàm đa điều hòa dưới và ứng dụng thực tiễn' tập trung vào việc khám phá và mở rộng lý thuyết về hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt là trong bối cảnh toán tử Monge-Ampère. Nghiên cứu này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. Lê Mậu Hải. Luận án đặt mục tiêu giải quyết các vấn đề liên quan đến dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp khác nhau, bao gồm lớp năng lượng phức có trọng và miền siêu lồi không bị chặn. Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại các ứng dụng thực tiễn trong lĩnh vực giải tích phức và lý thuyết đa thế vị.

1.1. Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới là một vấn đề quan trọng trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị. Các hàm đa điều hòa dưới, được xác định thông qua bất đẳng thức tích phân, đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết này. Tuy nhiên, việc thác triển các hàm này gặp nhiều thách thức do tính chất phức tạp của toán tử Monge-Ampère. Luận án tập trung vào việc mở rộng các kết quả hiện có, đặc biệt là trong các lớp hàm không bị chặn và miền siêu lồi không bị chặn, nhằm đưa ra các giải pháp mới cho bài toán này.

1.2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp Eχ (Ω, f), F(Ω, f), và Fm (Ω). Ngoài ra, luận án cũng tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge-Ampère cho các độ đo bất kỳ, đặc biệt là các độ đo mang bởi tập đa cực. Các kết quả này không chỉ mở rộng các nghiên cứu trước đây mà còn đưa ra các đánh giá chính xác hơn về độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển.

II. Tổng quan về lý thuyết và các nghiên cứu liên quan

Luận án bắt đầu với việc tổng quan về lý thuyết đa thế vị và vai trò của toán tử Monge-Ampère trong việc xác định các lớp hàm đa điều hòa dưới. Các nghiên cứu của Cegrell và Zeriahi đã đặt nền móng cho việc mở rộng các lớp hàm này, đặc biệt là trong các miền siêu lồi bị chặn. Luận án cũng đề cập đến các kết quả gần đây của Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng, những người đã chứng minh được sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f) với điều kiện độ đo Monge-Ampère không thay đổi.

2.1. Các lớp hàm đa điều hòa dưới

Các lớp hàm đa điều hòa dưới như E(Ω), F(Ω), và Ep (Ω) được định nghĩa và nghiên cứu bởi Cegrell trong các năm 1998, 2004, và 2008. Các lớp này cho phép xác định toán tử Monge-Ampère như một độ đo Radon, đồng thời duy trì tính liên tục trên các dãy giảm của hàm đa điều hòa dưới. Điều này tạo cơ sở cho việc nghiên cứu dưới thác triển trong các lớp hàm không bị chặn.

2.2. Các nghiên cứu về dưới thác triển

Các nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới bắt đầu từ những năm 1980, với các kết quả của Bedford và Taylor. Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây của Cegrell, Zeriahi, và Lê Mậu Hải đã mở rộng phạm vi nghiên cứu sang các lớp hàm không bị chặn và miền siêu lồi không bị chặn. Đặc biệt, nghiên cứu của Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng đã chứng minh được sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f) với điều kiện độ đo Monge-Ampère không thay đổi.

III. Phương pháp nghiên cứu và kết quả chính

Luận án sử dụng các phương pháp giải tích phức và lý thuyết đa thế vị để nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới. Các kết quả chính bao gồm việc chứng minh sự tồn tại của dưới thác triển trong các lớp Eχ (Ω, f), F(Ω, f), và Fm (Ω), cũng như thiết lập các đẳng thức về độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Ngoài ra, luận án cũng đưa ra các ứng dụng thực tiễn trong việc giải phương trình kiểu Monge-Ampère cho các độ đo bất kỳ.

3.1. Dưới thác triển trong lớp Eχ Ω f

Luận án chứng minh rằng bài toán dưới thác triển trong lớp Eχ (Ω, f) là có thể giải được, đồng thời thiết lập được đẳng thức giữa độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây của Cegrell và Zeriahi, đồng thời cung cấp một công cụ mạnh mẽ cho việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp năng lượng phức có trọng.

3.2. Dưới thác triển trong miền siêu lồi không bị chặn

Luận án cũng nghiên cứu bài toán dưới thác triển trong các miền siêu lồi không bị chặn, một vấn đề phức tạp do tính chất không bị chặn của miền. Kết quả chính là sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f) với điều kiện độ đo Monge-Ampère không thay đổi. Điều này không chỉ mở rộng phạm vi nghiên cứu mà còn cung cấp các ứng dụng thực tiễn trong việc giải các bài toán liên quan đến phương trình Monge-Ampère.

IV. Kết luận và kiến nghị

Luận án đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt là trong các lớp Eχ (Ω, f), F(Ω, f), và Fm (Ω). Các kết quả này không chỉ mở rộng các nghiên cứu trước đây mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho việc giải các bài toán liên quan đến phương trình Monge-Ampère. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc mở rộng các kết quả sang các lớp hàm khác và nghiên cứu sâu hơn về độ đo Hessian phức.

4.1. Đóng góp của luận án

Luận án đã đóng góp đáng kể vào việc phát triển lý thuyết về hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère. Các kết quả nghiên cứu không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại các ứng dụng thực tiễn trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị. Đặc biệt, việc chứng minh sự tồn tại của dưới thác triển trong các lớp hàm không bị chặn và miền siêu lồi không bị chặn đã mở ra các hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.

4.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo

Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc mở rộng các kết quả sang các lớp hàm khác như SHm (Ω) và nghiên cứu sâu hơn về độ đo Hessian phức. Ngoài ra, việc áp dụng các kết quả nghiên cứu vào các bài toán thực tiễn trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị cũng là một hướng nghiên cứu đầy tiềm năng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 của Luận án). Trước khi nói về vấn đề dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới trên các lớp của Cegrell, ta hãy đề cập tới một vài lớp con của lớp PS (9) trên một miền siêu lồi bị chặn Q C C*” mà trên đó toán tử Monge-Ampère (dd°. Các lớp này được Cegrell đưa ra và nghiên cứu trong [21], các khái niệm cần thiết được đề cập đến ở đây sẽ được dùng cho phần này và các chương sau: Định nghĩa 1. Giả sử © là miền siêu lồi bị chặn trong C*.

Khi đó ta xác 14 định các lớp sau. j Nhan xét: Ti dinh nghia trén ta c6 €)(Q) C F(Q) C E(Q). Năm 2003, Cegrell và Zeriahi ([27]) đã nghiên cứu bài toán dưới thác triển cho lớp Z(O). Các tác giả đã chứng minh được rằng: nếu Q9 € Ø là những miền siêu lồi bị chặn trong C” va u € F(Q), thi tén tai «@ € F(Q) sao cho / (ddữ)" < / (dd’u)”.

Q Q u<u trén 2 vA Sau đó năm 2008, đối với lớp £„(O), p > 0, bài toán dưới thác triển được nghiên cứu bởi Phạm Hoàng Hiệp. Q Q 15 Ỏ đây tác giả đã bỏ được điều kiện © compact tương đối trong Q. Tiếp đến năm 2009, ba tác giả Benelkourchi, Guedj va Zeriahi đã đưa ra và nghiên cứu lớp năng lượng phức có trọng €v(O) (xem [13]). Trong [10] Benelkourchi đã chứng minh được rằng: nếu © C là những miền siêu lồi trong C” va y : RT —> Rt 1a ham giam véi y(—oo) = +00 thi với mọi uw € E,(Q), ton tai 7 € E,(Q) sao cho ñ < u trên Q va (dd°ữ)" < (dd°u)" trên Q va | xc@uarin < | xy(aeray.

õ Q Trong trường hợp đặc biệt nếu ta chọn x(t) = (—t)?, p > 0 thi ldp €,(Q) la lép E,(Q). Néu x(¢) bi chan va x(0) > 0 thi €,(Q) 1a lép F(Q) và lúc đó kết quả dưới thác triển quay về các kết quả đã nói ở trên. Bây giờ ta nói về dưới thác triển trong lớp có giá trị biên. Kết quả đầu tiên theo hướng này đưa ra và nghiên cứu bởi Czyz và Hed.

Trong [34], đối với lớp F(Q, f), Czyz va Hed đã chứng minh được rằng: nếu © C Ô là những miền siêu lồi bị chặn trong C”, n > 1. Giả sử ƒ e £(O) và g € E(2) A MPSH(Q) với ƒ > ø trên Q. Khi đó với mọi hàm + € Z(9, ƒ), tồn tại dưới thác triển ve F(Q, 9) va Jare" < are", õ Q 6 day MPSH(Q) la tap cdc ham da diéu hda dudi cuc dai trén Q. Ta thay rằng trong các nghiên cứu trên của các tác giả mới dừng lại ở việc đánh giá mass của độ đo Monge-Ampère toàn thể của hàm dưới thác triển và hàm đã cho.

Năm 2014, trong |41] hai tác giả Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng đã nghiên cứu về bài toán dưới thác triển với giá trị biên lớp Z(9, ƒ), các tác giả đã phát hiện ra một kết luận mạnh hơn các kết quả đã có trước đó là độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho là không thay đổi. Kết quả của họ đạt được như sau. Giả sử Q C Q 1a những miền siêu lồi bị 16 chan trong C” (n > 1), f € €(Q) vag € E(Q) N MPSA(Q) véi f > g trên Q. Khi d6 véi moi ham u € Z(O, ƒ) với ƒ(dd°u)” < +oo, tén tai tw € Z(Ö, g) 2 với < u trên © và (dd°ð)" = 1o(dd°u)” trên Ò.

Từ kết quả này ta có thể thu được các kết quả của Cegrell, Zeriahi trong [27] và của Czyz, Hed trong [34]. Hướng nghiên cứu của luận án là mở rộng kết quả của hai tác giả Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng cho lớp năng lượng phức có trọng với giá trị biên lớp £„(O, ƒ). Chúng tôi đã chỉ ra bài toán dưới thác triển trong lớp năng lượng phức có trọng £v(Ó, ƒ) giải được và cho đẳng thức độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Cụ thể là, Định lý 1.

Cho © € Q là những miền siêu lồi bị chặn trong C" và ƒc£(0)n MPSH(), ạ e £(0)n MPSH(Ô) tới Ƒ > g trên Q. Giả sử x:R- —>Rr là hàm liên tục giảm sao cho x(t) > 0 uới mọi t < 0. Khi đó uới mợi u € E,(Q, f) sao cho [lx = elidatuy” < +00, Q ưới p nào đó thuộc £o(Q), tồn tại t € Ex(Q, 9) sao chou <u trénQ va x(\(dđã)" = 1ex(u)(dd°u)" trên Q. Để chứng minh được kết quả trên chúng tôi phải sử dụng một phương pháp chứng minh khác so với cách chứng minh truyền thống đã được sử dụng để chứng minh vấn đề trên cho các lớp Z(9, ƒ) hoặc £„(9), bởi vì lớp £v(9, ƒ) không có được những tích chất tốt như là lớp Z(O, ƒ) và việc so sánh giữa độ đo 1ox(u)(dd°u)”, u € £v(9, ƒ) với độ đo của hàm dưới thác triển là việc làm không hề đơn giản vì có sự tham gia của hàm x.

Do đó, trong quá trình nghiên cứu vấn đề dưới thác triển trong lớp ể„(9, ƒ) chúng tôi đã tìm ra một hướng tiếp cận mới để giải quyết vấn đề này. Dưới thác triển các hàm đa điều hoà dưới trong miền siêu lồi không bị chặn và ứng dụng 17 Bài toán dưới thác triển trong các lớp Cegrell trên các miền siêu lồi bị chặn © trong C” đã đạt được những kết quả cơ bản như đã giới thiệu trong mục 1 Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là nếu 2 1A miền siêu lồi không bị chặn trong C” thi van đề dưới thác triển có giải được không? Khi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi này chúng tôi nhận thấy đối với miền siêu lồi bị chặn thì một trong các kỹ thuật được sử dụng là giải phương trình Monge-Ampère. Do đó đến nay dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới chỉ thực hiện được trên các miền siêu lồi bị chặn bởi vì trên miền đó đã đạt được nhiều kết quả đối với việc giải phương trình Monge-Ampère. Tuy nhiên đối với miền siêu lồi không bị chặn trong C”, kết quả nhận được về giải phương trình Monge=Ampère trên các miền này còn khá hạn chế.

Năm 2014 trong [44], ba tác giả Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Trào, Nguyễn Xuân Hồng đã nghiên cứu lời giải của phương trình Monge-Ampère trên miền siêu lồi không bị chặn trong C*; đồng thời giới thiệu lớp Cegrell các hàm đa điều hòa dưới trên một miền siêu lồi không bị chặn trong C”. Cac két quả đó được céng bé trong bai bao “The complex Monge-Ampeére equation in unbounded hyperconvex domains in C"” dang trén tap chi Complex Var and Elliptic Equar. Giả sử © là miền siêu lồi không bi chan trong C” sao cho PSH*(0)nL®(9) # Ø. Ta xác định, £u(9) = {u e PSH-(9)n1®(9):Y e>0, {u< =e} €9, Tae < oo}, Q F(Q) = {we PSH (Q): 4 &(Q) 3d uj \u, sup f(ad'w)" < oo}, ọ và E(Q) = {ue PSH (Q):V UEQA vE FQ) voi v=u trong U}.

Nếu ƒ € MPSHT(0)nứ(9) và K € {€, F, E} ta ki hiệu, K(Q, f) ={ue PSH (Q):4 ủceK(©), + ƒ <Su< ƒ trong ©}. 18 Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta có quan hé bao ham &(Q, f) C F(Q, f) C E(Q, f). Dựa vào kết quả lời giải của phương trình Monge-Ampère trên miền siêu lồi không bị chặn trong C" của ba tác giả nói trên cùng với kết quả nghiên cứu của hai tác giả Lê Mậu Hải, Nguyễn Xuân Hồng trong [41] đặt ra hướng nghiên cứu tiếp theo cho luận án đó là nghiên cứu bài toán dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới cho lớp Z#(O, ƒ) với © là miền siêu lồi không bị chặn trong C”. Cu thé chúng tôi nhận được kết quả sau, Định lý 2.G¡đ sử © C Ô là các miền siêu lỗi không bi chan trong C” sao cho PSH*(Q)n L*(Ô) # Ø.

Khi dé voi moi f € MPSH~(Q)NC(Q) va moi u € F(Q, f) sao cho (dd°u)” < co, 9 ton tại tù € F(Q, f) sao chou <u trénQ va (dd°ữ)" = 1o(dd°u)" trên Ô. Trên cơ sở kết quả thu được, chúng tôi áp dụng vào nghiên cứu bài toán xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới bằng dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới trên các miền rộng hơn. Lược sử vấn đề này là như sau. là những miền siêu lồi bị chặn trong C”.

Nam 2006, dưới giả thiết Q là miền siêu lồi mạnh và lim Cap(K,Q;) = Cap(K,Q), moi tap kK € Q, Benelkourchi trong [9] da chứng minh với mọi u € F*(Q) tồn tại dãy tăng các hàm u; € Z#“(Q;) sao cho u; —> u hầu khắp nơi trên ©. Tiếp đó năm 2008, bỏ qua giả thiết lim Cap(K,Q;) = Cap(K,Q), Cegrell và Hed đã chứng minh được rằng: nêu cov € N(Q), v < 0 va vj € N(Q,;) sao cho vj —> v hau kh&p noi trén 2 thi véi moi u € F(Q) ton tai day cc ham tang u; € F(Q,;) sao cho u; —> u hau kh&p noi trén 2 (xem 5). Đối với trường hợp có giá trị biên, năm 2010, Hed trong [38] đã chứng minh kết quả trên cho lớp. Cụ thể, Hed đã chứng minh được rằng nếu có 19 v EN(Q), v <0 va v; € N(Q;) sao cho 0; —> ø hầu khắp nơi trên © thì với mọi ƒ€ MPSH(0¡)n€(9¡) và u e 7(9, ƒ) sao cho lan" < 00, 9 thì tồn tại dãy các hàm tăng u; € F(Q;, f) sao cho u; —> u hau kh&p noi trên ©.

Dùng kết quả về dưới thác triển cho miền siêu lồi không bị chặn, chúng tôi thiết lập kết quả của Hed cho các miền siêu lồi không bị chặn trong C*. Cụ thể chúng tôi chứng minh được kết quả sau: Định lý 2. Giá sử © là miễn siêu lồi không chặn trong " tà {9/}7¡ là dãu các miền siêu lồi không bị chăn sao cho QC Ôj2¡ CO; uà PSH°(0)ñ L1®(®I) # Ø. Giả sử tồn tại € ZƑ(Ò) va vj; € F(Q;) sao chow < 0 trên Q tà Ủ; " Ù hầu khắp nơi trên Q khi j co.

Khi đó với mọi Ƒ € MPSH-(Q1)NC(Q1) va vdi moi u € F(Q, f) sao cho lan" < 00, 9 ton tai day céc ham uj; € F(Q;, f) sao cho uj 7 u hau khắp nơi trên © khá JX. Dưới thác triển của ham m-diéu hda dưới Trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới cũng như nghiên cứu các toán tử vi phân trên các lớp hàm mở rộng này đã được một số tác giả nghiên cứu, chẳng hạn nhu Z. Cụ thể họ đã đưa ra và nghiên cứu lớp hàm m-điều hòa dưới và nghiên cứu toán tử mm-Hessian phức trên lớp hàm này. Các kết quả đạt được của Z.