I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu
Luận án tiến sĩ 'Nghiên cứu hàm đa điều hòa dưới và ứng dụng thực tiễn' tập trung vào việc khám phá và mở rộng lý thuyết về hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt là trong bối cảnh toán tử Monge-Ampère. Nghiên cứu này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. Lê Mậu Hải. Luận án đặt mục tiêu giải quyết các vấn đề liên quan đến dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp khác nhau, bao gồm lớp năng lượng phức có trọng và miền siêu lồi không bị chặn. Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại các ứng dụng thực tiễn trong lĩnh vực giải tích phức và lý thuyết đa thế vị.
1.1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới là một vấn đề quan trọng trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị. Các hàm đa điều hòa dưới, được xác định thông qua bất đẳng thức tích phân, đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết này. Tuy nhiên, việc thác triển các hàm này gặp nhiều thách thức do tính chất phức tạp của toán tử Monge-Ampère. Luận án tập trung vào việc mở rộng các kết quả hiện có, đặc biệt là trong các lớp hàm không bị chặn và miền siêu lồi không bị chặn, nhằm đưa ra các giải pháp mới cho bài toán này.
1.2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp Eχ (Ω, f), F(Ω, f), và Fm (Ω). Ngoài ra, luận án cũng tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge-Ampère cho các độ đo bất kỳ, đặc biệt là các độ đo mang bởi tập đa cực. Các kết quả này không chỉ mở rộng các nghiên cứu trước đây mà còn đưa ra các đánh giá chính xác hơn về độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển.
II. Tổng quan về lý thuyết và các nghiên cứu liên quan
Luận án bắt đầu với việc tổng quan về lý thuyết đa thế vị và vai trò của toán tử Monge-Ampère trong việc xác định các lớp hàm đa điều hòa dưới. Các nghiên cứu của Cegrell và Zeriahi đã đặt nền móng cho việc mở rộng các lớp hàm này, đặc biệt là trong các miền siêu lồi bị chặn. Luận án cũng đề cập đến các kết quả gần đây của Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng, những người đã chứng minh được sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f) với điều kiện độ đo Monge-Ampère không thay đổi.
2.1. Các lớp hàm đa điều hòa dưới
Các lớp hàm đa điều hòa dưới như E(Ω), F(Ω), và Ep (Ω) được định nghĩa và nghiên cứu bởi Cegrell trong các năm 1998, 2004, và 2008. Các lớp này cho phép xác định toán tử Monge-Ampère như một độ đo Radon, đồng thời duy trì tính liên tục trên các dãy giảm của hàm đa điều hòa dưới. Điều này tạo cơ sở cho việc nghiên cứu dưới thác triển trong các lớp hàm không bị chặn.
2.2. Các nghiên cứu về dưới thác triển
Các nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới bắt đầu từ những năm 1980, với các kết quả của Bedford và Taylor. Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây của Cegrell, Zeriahi, và Lê Mậu Hải đã mở rộng phạm vi nghiên cứu sang các lớp hàm không bị chặn và miền siêu lồi không bị chặn. Đặc biệt, nghiên cứu của Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng đã chứng minh được sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f) với điều kiện độ đo Monge-Ampère không thay đổi.
III. Phương pháp nghiên cứu và kết quả chính
Luận án sử dụng các phương pháp giải tích phức và lý thuyết đa thế vị để nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới. Các kết quả chính bao gồm việc chứng minh sự tồn tại của dưới thác triển trong các lớp Eχ (Ω, f), F(Ω, f), và Fm (Ω), cũng như thiết lập các đẳng thức về độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Ngoài ra, luận án cũng đưa ra các ứng dụng thực tiễn trong việc giải phương trình kiểu Monge-Ampère cho các độ đo bất kỳ.
3.1. Dưới thác triển trong lớp Eχ Ω f
Luận án chứng minh rằng bài toán dưới thác triển trong lớp Eχ (Ω, f) là có thể giải được, đồng thời thiết lập được đẳng thức giữa độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây của Cegrell và Zeriahi, đồng thời cung cấp một công cụ mạnh mẽ cho việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp năng lượng phức có trọng.
3.2. Dưới thác triển trong miền siêu lồi không bị chặn
Luận án cũng nghiên cứu bài toán dưới thác triển trong các miền siêu lồi không bị chặn, một vấn đề phức tạp do tính chất không bị chặn của miền. Kết quả chính là sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f) với điều kiện độ đo Monge-Ampère không thay đổi. Điều này không chỉ mở rộng phạm vi nghiên cứu mà còn cung cấp các ứng dụng thực tiễn trong việc giải các bài toán liên quan đến phương trình Monge-Ampère.
IV. Kết luận và kiến nghị
Luận án đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt là trong các lớp Eχ (Ω, f), F(Ω, f), và Fm (Ω). Các kết quả này không chỉ mở rộng các nghiên cứu trước đây mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho việc giải các bài toán liên quan đến phương trình Monge-Ampère. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc mở rộng các kết quả sang các lớp hàm khác và nghiên cứu sâu hơn về độ đo Hessian phức.
4.1. Đóng góp của luận án
Luận án đã đóng góp đáng kể vào việc phát triển lý thuyết về hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère. Các kết quả nghiên cứu không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại các ứng dụng thực tiễn trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị. Đặc biệt, việc chứng minh sự tồn tại của dưới thác triển trong các lớp hàm không bị chặn và miền siêu lồi không bị chặn đã mở ra các hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.
4.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc mở rộng các kết quả sang các lớp hàm khác như SHm (Ω) và nghiên cứu sâu hơn về độ đo Hessian phức. Ngoài ra, việc áp dụng các kết quả nghiên cứu vào các bài toán thực tiễn trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị cũng là một hướng nghiên cứu đầy tiềm năng.
