I. Khám phá luận án tiến sĩ về biến đổi Fourier phân thứ
Luận án tiến sĩ với chủ đề “Chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ và ứng dụng” của nghiên cứu sinh Phạm Thị Thảo tại Đại học Khoa học Tự nhiên là một công trình nghiên cứu chuyên sâu trong lĩnh vực toán ứng dụng. Công trình này tập trung giải quyết một trong những vấn đề cốt lõi của xử lý tín hiệu số: xây dựng một lý thuyết phép chập (convolution) chặt chẽ và hiệu quả cho biến đổi Fourier phân thứ (Fractional Fourier Transform - FrFT). FrFT là một phép tổng quát hóa của biến đổi Fourier cổ điển, được giới thiệu lần đầu bởi N. Wiener vào năm 1929 và được nghiên cứu hệ thống bởi V. Namias vào năm 1980. Không giống như biến đổi Fourier thông thường chỉ phân tích tín hiệu trong miền thời gian hoặc tần số, FrFT cho phép phân tích tín hiệu trong các miền trung gian, được biểu diễn như một phép quay trên mặt phẳng thời gian-tần số. Chính khả năng linh hoạt này đã giúp FrFT trở thành một công cụ mạnh mẽ trong phân tích thời gian-tần số, đặc biệt hữu ích cho các tín hiệu có tần số thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, để khai thác hết tiềm năng của FrFT, việc phát triển các công cụ toán học tương ứng, đặc biệt là định lý chập (convolution theorem), là cực kỳ quan trọng. Luận án này đã đưa ra những đóng góp mới, xây dựng các phép chập hiệu quả và chứng minh các tính chất toán học quan trọng, mở ra nhiều hướng ứng dụng thực tiễn trong lọc tín hiệu và khôi phục tín hiệu.
1.1. Giới thiệu tổng quan về Fractional Fourier Transform FrFT
Biến đổi Fourier phân thứ, hay Fractional Fourier Transform (FrFT), là một phép biến đổi tích phân tuyến tính. Nó là sự tổng quát hóa của biến đổi Fourier cổ điển. Nếu biến đổi Fourier có thể được hình dung như một phép quay một góc π/2 ngược chiều kim đồng hồ trên mặt phẳng pha thời gian-tần số, thì FrFT tương ứng với một phép quay một góc α bất kỳ. Tham số α này được gọi là cấp của phép biến đổi. Khi α = π/2, FrFT trở thành biến đổi Fourier thông thường. Khi α = 0, nó là phép biến đổi đồng nhất. Công cụ này cung cấp một biểu diễn tín hiệu trong các miền xoay, nằm giữa miền thời gian và miền tần số. Sự linh hoạt này làm cho FrFT trở thành một công cụ cực kỳ hữu ích trong xử lý tín hiệu số và quang học Fourier, đặc biệt là khi xử lý các tín hiệu chirp (tín hiệu có tần số thay đổi tuyến tính theo thời gian). Theo luận án của Phạm Thị Thảo (2019), định nghĩa tích phân của FrFT cấp α cho một hàm f(x) được cho bởi công thức phức tạp liên quan đến hạt nhân Kα(x, p), trong đó hạt nhân này chứa các hàm lượng giác của góc α. Việc hiểu rõ bản chất phép quay này là chìa khóa để ứng dụng FrFT trong việc phân tích và lọc tín hiệu một cách hiệu quả.
1.2. Lý do chọn đề tài chập liên kết và ứng dụng trong luận án
Động lực chính đằng sau luận án toán học này xuất phát từ một khoảng trống quan trọng trong lý thuyết xử lý tín hiệu số. Trong khi định lý chập cho biến đổi Fourier cổ điển là một công cụ nền tảng, cho phép chuyển đổi phép chập trong miền thời gian thành phép nhân đơn giản trong miền tần số, một định lý tương tự đơn giản và tổng quát cho FrFT vẫn còn nhiều hạn chế. Các nghiên cứu trước đây đã đề xuất một số định nghĩa về phép chập cho FrFT, nhưng chúng thường phức tạp, đi kèm với các hàm trọng (weight functions) rườm rà, hoặc chỉ được xác định trong các không gian hàm hẹp như đại số Wiener. Những hạn chế này cản trở việc ứng dụng rộng rãi của FrFT trong các bài toán thực tế như thiết kế bộ lọc. Luận án đặt mục tiêu xây dựng các định nghĩa phép chập mới, đơn giản hơn nhưng vẫn giữ được tính chất nhân tử hóa trong miền FrFT. Mục đích là tạo ra một nền tảng lý thuyết vững chắc, dựa trên các công cụ của giải tích hàm, để từ đó phát triển các ứng dụng mới và hiệu quả hơn trong việc lấy mẫu, khôi phục và lọc tín hiệu, đặc biệt là các tín hiệu phi dừng.
II. Thách thức trong định lý chập cho xử lý tín hiệu số
Một trong những trụ cột của xử lý tín hiệu số hiện đại là định lý chập. Định lý này phát biểu rằng biến đổi Fourier của phép chập hai tín hiệu trong miền thời gian bằng tích của các biến đổi Fourier tương ứng của chúng trong miền tần số. Tính chất này đã đơn giản hóa đáng kể việc phân tích và thiết kế các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, đặc biệt là trong lĩnh vực lọc tín hiệu. Tuy nhiên, khi chuyển sang miền biến đổi Fourier phân thứ, việc xây dựng một định lý tương tự gặp rất nhiều thách thức. Vấn đề cốt lõi nằm ở chỗ FrFT không có tính chất bất biến với phép dịch chuyển thời gian giống như biến đổi Fourier cổ điển. Do đó, định nghĩa phép chập thông thường không thể áp dụng trực tiếp để có được một định lý nhân đơn giản. Các nỗ lực trước đây để định nghĩa một phép chập cho FrFT thường phải đưa vào các hạt nhân phức tạp hoặc các hàm trọng phụ thuộc vào góc biến đổi, làm cho lý thuyết trở nên cồng kềnh và khó ứng dụng. Luận án toán học của Phạm Thị Thảo (2019) đã chỉ ra rằng các định nghĩa hiện có chưa thực sự sâu sắc và đa dạng, và đại số Wiener của chúng cũng chưa được đề cập. Việc thiếu một lý thuyết chập mạnh mẽ đã hạn chế tiềm năng của FrFT trong việc giải quyết các bài toán phức tạp của toán ứng dụng.
2.1. Phân tích hạn chế của các phép chập FrFT đã có
Trước khi công trình nghiên cứu này ra đời, một số định nghĩa về phép chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ đã được đề xuất bởi các tác giả như Almeida, Zayed, và Saxena. Luận án đã tiến hành một phân tích chi tiết về các công trình này và chỉ ra những hạn chế cố hữu. Chẳng hạn, một số định nghĩa yêu cầu nhân tín hiệu với các hàm chirp phức tạp trước và sau khi thực hiện convolution, làm tăng chi phí tính toán. Các định nghĩa khác lại cho ra một định lý nhân tử hóa không hoàn toàn đơn giản, khi vế phải không chỉ là tích của hai biến đổi FrFT mà còn kèm theo một thừa số pha phụ thuộc vào biến tần số. Hơn nữa, nhiều định lý chỉ được chứng minh trong các không gian hàm hạn chế, chẳng hạn như không gian L1(R), mà chưa được mở rộng một cách tổng quát cho các không gian Lp(R) khác, vốn rất quan trọng trong giải tích hàm. Những hạn chế này làm cho việc thiết kế các bộ lọc tuyến tính trong miền FrFT trở nên khó khăn và không trực quan, cản trở việc áp dụng vào các lĩnh vực như xử lý ảnh hay truyền thông.
2.2. Nhu cầu cấp thiết về một lý thuyết chập tổng quát hơn
Nhu cầu về một lý thuyết phép chập tổng quát và hiệu quả cho FrFT là rất cấp thiết, đặc biệt trong bối cảnh các tín hiệu phi dừng ngày càng phổ biến. Các tín hiệu này, chẳng hạn như tín hiệu radar hoặc âm thanh, có phổ tần số thay đổi theo thời gian, và phân tích thời gian-tần số bằng FrFT là phương pháp tối ưu để xử lý chúng. Một định lý chập mạnh mẽ sẽ cho phép thiết kế các bộ lọc tín hiệu tối ưu trực tiếp trong miền FrFT nơi tín hiệu và nhiễu có thể được tách biệt tốt nhất. Điều này sẽ hiệu quả hơn nhiều so với việc lọc trong miền thời gian hoặc tần số truyền thống. Hơn nữa, một lý thuyết chập chặt chẽ là nền tảng để phát triển các định lý lấy mẫu tổng quát hơn, cho phép khôi phục tín hiệu từ một số lượng mẫu ít hơn. Việc giải quyết bài toán này không chỉ là một thách thức của toán ứng dụng mà còn mở ra những khả năng mới cho các hệ thống xử lý tín hiệu trong thực tế.
III. Phương pháp xây dựng phép chập mới cho FrFT hiệu quả
Để vượt qua những thách thức hiện có, luận án tiến sĩ của Phạm Thị Thảo đã đề xuất các phương pháp xây dựng phép chập mới liên kết với biến đổi Fourier phân thứ. Trọng tâm của các phương pháp này là định nghĩa các toán tử chập sao cho chúng tuân theo một định lý chập có dạng nhân tử hóa đơn giản trong miền FrFT. Cách tiếp cận của luận án không chỉ dừng lại ở một định nghĩa duy nhất mà khám phá nhiều cấu trúc khác nhau, bao gồm phép chập không có hàm trọng và phép chập có hàm trọng dạng chirp hoặc Gauss-Hermite. Mỗi cấu trúc chập được thiết kế để phù hợp với các lớp bài toán cụ thể trong xử lý tín hiệu số. Cụ thể, luận án đã giới thiệu một toán tử chập, ký hiệu là ⋆, được định nghĩa thông qua một biểu thức tích phân phức tạp. Điểm đột phá là, mặc dù định nghĩa trong miền thời gian có vẻ phức tạp, biến đổi FrFT của nó lại có một dạng rất gọn gàng: Fαf ⋆ g = FαfFαg. Công thức này cho thấy một mối quan hệ nhân trực tiếp, tương tự như định lý chập cổ điển, chỉ khác biệt bởi một hệ số co giãn √2 trên biến. Phương pháp chứng minh dựa trên các kỹ thuật của giải tích hàm, bao gồm các phép đổi biến và tính toán tích phân trong không gian nhiều chiều. Cách tiếp cận này đã tạo ra một công cụ toán học mạnh mẽ, đặt nền móng cho các ứng dụng trong toán ứng dụng.
3.1. Định nghĩa và chứng minh phép chập không có hàm trọng
Một trong những đóng góp trung tâm của luận án là việc xây dựng một phép chập không sử dụng hàm trọng (weight function). Theo công trình (Phạm Thị Thảo, 2019), phép chập này được định nghĩa bởi biểu thức tích phân: (f ⋆ g)(s/√2) = (c/√π) ∫ f(u)g(s-u)exp[i(au² + a(s-u)² - as²/2)]du. Mặc dù biểu thức này chứa một thừa số pha phức tạp, nó vẫn được coi là "không trọng" vì thừa số này là một phần của cấu trúc nội tại của hạt nhân FrFT chứ không phải là một hàm bên ngoài áp đặt vào. Luận án đã trình bày một chứng minh chi tiết cho thấy định nghĩa này dẫn đến tính chất nhân tử hóa mong muốn. Quá trình chứng minh bao gồm việc áp dụng biến đổi FrFT vào hai vế của định nghĩa, sau đó sử dụng các phép đổi biến và tính toán cẩn thận để chỉ ra rằng kết quả cuối cùng chính là tích của hai biến đổi FrFT riêng lẻ. Sự ra đời của phép chập này đã đơn giản hóa đáng kể lý thuyết, tạo điều kiện thuận lợi cho việc phân tích và thiết kế hệ thống trong miền FrFT.
3.2. Khám phá các phép chập với hàm trọng dạng đặc biệt
Bên cạnh phép chập không trọng, luận án còn khám phá các loại phép chập có hàm trọng, đặc biệt là các hàm trọng liên quan đến hàm chirp, hàm Gauss và hàm Hermite. Các hàm này được chọn vì chúng là các hàm riêng của toán tử biến đổi Fourier phân thứ, do đó có những tính chất đặc biệt khi tương tác với FrFT. Ví dụ, một phép chập với hàm trọng dạng chirp có thể được định nghĩa để loại bỏ các thừa số pha không mong muốn trong định lý chập. Việc sử dụng các hàm trọng đặc biệt này cho phép "tùy chỉnh" toán tử chập để tối ưu hóa cho các ứng dụng cụ thể. Chẳng hạn, trong quang học Fourier, các hệ thống thường có đáp ứng xung dạng Gauss, do đó một phép chập dựa trên hạt nhân Gauss sẽ mô tả hệ thống một cách tự nhiên hơn. Việc nghiên cứu các cấu trúc chập đa dạng này cho thấy sự sâu sắc và linh hoạt của phương pháp được đề xuất, mở rộng bộ công cụ cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số.
IV. Cách chứng minh Bất đẳng thức Young cho phép chập FrFT
Một đóng góp lý thuyết quan trọng của luận án toán học này là việc chứng minh thành công Bất đẳng thức Young cho các phép chập mới được định nghĩa. Trong giải tích hàm, Bất đẳng thức Young là một kết quả nền tảng, cung cấp một giới hạn trên cho chuẩn của hàm kết quả sau phép chập. Cụ thể, nó chỉ ra rằng nếu hai hàm thuộc các không gian Lp và Lq, thì phép chập của chúng sẽ thuộc không gian Lr, với các chỉ số p, q, r liên hệ với nhau. Việc chứng minh được bất đẳng thức này cho phép chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ không chỉ là một thành tựu toán học mà còn có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc. Nó đảm bảo rằng toán tử chập là một phép toán ổn định và được định nghĩa tốt. Điều này là tiên quyết để xây dựng một cấu trúc đại số chặt chẽ trên các không gian hàm, tương tự như vai trò của phép chập cổ điển trong việc biến không gian L1(R) thành một đại số Banach giao hoán. Luận án đã trình bày một quy trình chứng minh rõ ràng, sử dụng các kỹ thuật ước lượng tích phân và các tính chất của không gian Lp. Kết quả này củng cố vững chắc nền tảng lý thuyết cho các ứng dụng của FrFT trong xử lý tín hiệu số và các ngành toán ứng dụng khác.
4.1. Phân tích vai trò và ý nghĩa của Bất đẳng thức Young
Bất đẳng thức Young đóng vai trò là một công cụ kiểm tra tính "tốt" của một toán tử convolution. Cụ thể, bất đẳng thức kf ⋆ gkr ≤ Ckf kp kgkq đảm bảo rằng phép chập không làm "nổ" năng lượng của tín hiệu một cách không kiểm soát. Nó cung cấp một sự ràng buộc định lượng, cho thấy đầu ra của phép chập vẫn nằm trong một không gian hàm có cấu trúc tốt nếu các đầu vào cũng vậy. Ý nghĩa của nó trong thực tế là rất lớn. Ví dụ, khi thiết kế một bộ lọc tín hiệu, bất đẳng thức này đảm bảo rằng nếu tín hiệu đầu vào và đáp ứng xung của bộ lọc có năng lượng hữu hạn, thì tín hiệu đầu ra cũng sẽ có năng lượng hữu hạn. Điều này đảm bảo tính ổn định của hệ thống. Trong luận án tiến sĩ này, việc chứng minh Bất đẳng thức Young cho phép chập FrFT khẳng định rằng các định nghĩa mới được đề xuất là hợp lý và có thể dùng để xây dựng một lý thuyết toán học vững chắc.
4.2. Xây dựng thành công cấu trúc đại số Banach giao hoán
Dựa trên Bất đẳng thức Young, một trong những kết quả đỉnh cao của luận án là đã xây dựng thành công cấu trúc đại số Banach giao hoán cho không gian L1(R) được trang bị phép chập FrFT mới. Một đại số Banach là một không gian vừa có cấu trúc của một không gian vector định chuẩn đầy đủ, vừa có một phép nhân (ở đây là phép chập) tương thích với chuẩn. Việc chứng minh L1(R) cùng với phép chập ⋆ tạo thành một đại số Banach giao hoán có nghĩa là: phép chập này có tính kết hợp, giao hoán, phân phối và quan trọng nhất là nó "đóng" trong L1(R) (chập hai hàm L1 cho ra một hàm L1). Cấu trúc đại số này là cực kỳ quan trọng vì nó cho phép áp dụng các công cụ mạnh mẽ của giải tích hàm và lý thuyết đại số để phân tích các hệ thống. Nó tạo ra một sự tương đồng sâu sắc với lý thuyết của biến đổi Fourier cổ điển, làm cho lý thuyết biến đổi Fourier phân thứ trở nên hoàn chỉnh và mạnh mẽ hơn.
V. Top ứng dụng của phép chập FrFT trong toán ứng dụng
Giá trị của một công trình lý thuyết được thể hiện rõ nhất qua các ứng dụng thực tiễn. Luận án tiến sĩ này không chỉ dừng lại ở việc xây dựng lý thuyết mà còn trình bày nhiều ứng dụng quan trọng của phép chập và biến đổi Fourier phân thứ trong lĩnh vực toán ứng dụng và xử lý tín hiệu số. Nhờ vào định lý chập mới, việc giải quyết các bài toán phức tạp trở nên đơn giản và hiệu quả hơn. Luận án đã tập trung vào ba ứng dụng chính: thiết kế bộ lọc tín hiệu trong miền FrFT, phát triển định lý lấy mẫu và khôi phục tín hiệu băng hạn trong miền FrFT, và giải các phương trình tích phân dạng chập. Các ứng dụng này không chỉ minh họa cho sức mạnh của lý thuyết mới mà còn cung cấp các giải pháp cụ thể cho những vấn đề đang tồn tại. Ví dụ, khả năng thiết kế bộ lọc tối ưu trong một miền xoay bất kỳ của mặt phẳng thời gian-tần số là một lợi thế vượt trội so với các phương pháp truyền thống, đặc biệt khi xử lý các tín hiệu phi dừng. Những kết quả này cho thấy tiềm năng to lớn của việc kết hợp FrFT và lý thuyết chập trong các lĩnh vực đa dạng như viễn thông, radar, y sinh và xử lý ảnh.
5.1. Giải pháp thiết kế bộ lọc tín hiệu trong miền Fourier phân thứ
Một trong những ứng dụng trực tiếp và mạnh mẽ nhất của định lý chập mới là trong việc thiết kế bộ lọc tín hiệu. Đối với các tín hiệu có thành phần tần số thay đổi theo thời gian, nhiễu và tín hiệu có thể chồng lấn lên nhau trong cả miền thời gian và miền tần số, khiến việc lọc bằng các phương pháp cổ điển trở nên kém hiệu quả. Tuy nhiên, có thể tồn tại một miền FrFT (một góc quay α tối ưu) mà trong đó tín hiệu và nhiễu được tách biệt rõ ràng. Định lý chập mới cho phép thực hiện việc lọc một cách đơn giản bằng cách nhân biến đổi FrFT của tín hiệu với đáp ứng tần số của bộ lọc trong miền đó, sau đó lấy biến đổi FrFT ngược. Luận án đã trình bày các ví dụ mô phỏng, cho thấy phương pháp lọc tín hiệu này có thể loại bỏ nhiễu hiệu quả trong khi vẫn bảo toàn được tín hiệu gốc, một nhiệm vụ khó khăn đối với các bộ lọc thông thường. Đây là một bước tiến quan trọng trong lĩnh vực digital signal processing.
5.2. Cải tiến việc lấy mẫu và khôi phục tín hiệu băng hạn FrFT
Định lý lấy mẫu Shannon-Nyquist là nền tảng của xử lý tín hiệu số, cho phép tái tạo một tín hiệu liên tục từ các mẫu rời rạc của nó. Luận án đã sử dụng lý thuyết chập mới để cung cấp một chứng minh và một góc nhìn mới cho định lý lấy mẫu đối với các tín hiệu băng hạn trong miền FrFT. Tín hiệu băng hạn FrFT là một lớp tín hiệu rộng hơn so với tín hiệu băng hạn thông thường. Bằng cách áp dụng định lý chập, luận án đã chỉ ra cách khôi phục hoàn toàn một tín hiệu từ các mẫu của nó, với điều kiện tần số lấy mẫu phải đủ lớn. Công thức khôi phục được xây dựng một cách chặt chẽ, dựa trên mối liên hệ giữa phép chập trong miền thời gian và phép nhân trong miền FrFT. Điều này không chỉ củng cố nền tảng lý thuyết mà còn mở ra khả năng lấy mẫu và xử lý hiệu quả hơn cho một lớp tín hiệu rộng lớn, vốn không thể xử lý bằng các phương pháp cổ điển.
5.3. Phương pháp giải phương trình tích phân có nhân Hermite
Ứng dụng trong việc giải phương trình tích phân thể hiện tính trừu tượng và sức mạnh của toán ứng dụng. Luận án đã cho thấy rằng các phép chập mới, đặc biệt là các phép chập liên quan đến hàm Hermite, có thể được sử dụng để giải một lớp các phương trình tích phân có nhân là hàm Hermite. Các hàm Hermite là hàm riêng của toán tử FrFT. Bằng cách biến đổi phương trình tích phân sang miền FrFT sử dụng định lý chập, phương trình tích phân phức tạp được chuyển thành một phương trình đại số đơn giản, từ đó có thể tìm ra nghiệm một cách dễ dàng. Sau đó, nghiệm trong miền FrFT được biến đổi ngược trở lại để thu được nghiệm của phương trình ban đầu. Phương pháp này minh họa cho một nguyên tắc quan trọng trong giải tích hàm: chuyển bài toán sang một không gian phù hợp để việc giải quyết trở nên đơn giản hơn.
VI. Tương lai nghiên cứu về chập và biến đổi Fourier phân thứ
Công trình luận án tiến sĩ “Chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ và ứng dụng” đã đặt một nền móng lý thuyết vững chắc và mở ra nhiều hướng đi mới cho tương lai. Bằng việc xây dựng thành công các phép chập hiệu quả và chứng minh các tính chất toán học quan trọng của chúng, luận án đã làm phong phú thêm bộ công cụ cho phân tích thời gian-tần số. Những đóng góp này không chỉ có giá trị trong lĩnh vực toán ứng dụng mà còn hứa hẹn tạo ra những đột phá trong các ứng dụng thực tiễn. Tương lai của hướng nghiên cứu này rất rộng mở, bao gồm việc mở rộng lý thuyết sang không gian nhiều chiều, phát triển các thuật toán tính toán nhanh, và áp dụng vào các lĩnh vực mới. Các kết quả của luận án khuyến khích các nhà khoa học tiếp tục khám phá các mối liên hệ sâu sắc giữa các phép biến đổi tích phân và các cấu trúc đại số, từ đó tạo ra những công cụ ngày càng mạnh mẽ hơn để phân tích thế giới dữ liệu phức tạp xung quanh chúng ta. Hướng nghiên cứu về FrFT và convolution chắc chắn sẽ tiếp tục là một chủ đề sôi nổi trong cộng đồng xử lý tín hiệu số và các ngành liên quan trong nhiều năm tới.
6.1. Tóm tắt các đóng góp khoa học chính của luận án
Luận án của nghiên cứu sinh Phạm Thị Thảo đã có những đóng góp khoa học mới và quan trọng. Thứ nhất, luận án đã xây dựng được các định nghĩa phép chập mới cho biến đổi Fourier phân thứ, tạo ra một định lý chập có dạng nhân tử hóa đơn giản. Thứ hai, công trình đã chứng minh một cách chặt chẽ Bất đẳng thức Young cho các phép chập này, một kết quả nền tảng trong giải tích hàm. Dựa trên đó, luận án đã xây dựng thành công cấu trúc đại số Banach giao hoán cho không gian L1(R), củng cố vững chắc cơ sở lý thuyết. Thứ ba, luận án đã minh họa thành công tính ứng dụng của lý thuyết mới thông qua việc giải quyết các bài toán cụ thể trong lọc tín hiệu, lấy mẫu và giải phương trình tích phân. Những đóng góp này đã giải quyết được một số hạn chế của các lý thuyết trước đó và làm sâu sắc thêm sự hiểu biết về FrFT.
6.2. Hướng phát triển tiềm năng trong xử lý ảnh và quang học
Hướng phát triển trong tương lai của lý thuyết này là rất hứa hẹn. Một hướng đi tự nhiên là mở rộng các định nghĩa phép chập và định lý chập sang không gian hai chiều (2D) hoặc nhiều chiều hơn. Điều này sẽ cực kỳ hữu ích trong lĩnh vực xử lý ảnh, nơi biến đổi FrFT 2D có thể được sử dụng để phân tích và lọc các kết cấu có hướng trong ảnh. Một lý thuyết chập 2D sẽ cho phép thiết kế các bộ lọc không gian-tần số hiệu quả để tăng cường hoặc loại bỏ các đặc trưng này. Trong lĩnh vực quang học Fourier, lý thuyết chập có thể được áp dụng để mô hình hóa sự lan truyền của sóng ánh sáng qua các hệ thống quang học phức tạp, giúp đơn giản hóa việc phân tích và thiết kế các thiết bị quang học. Hơn nữa, việc phát triển các thuật toán tính toán nhanh cho các phép chập mới (tương tự như FFT cho chập cổ điển) cũng là một hướng nghiên cứu quan trọng để đưa các công cụ này vào ứng dụng rộng rãi trong thực tế.
