Chương 1 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp trung bình tựa số học và áp dụng Trong chương này, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm lỗi theo cặp tựa trung bình số học, cụ thể là đưa ra các bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér mà chúng đặc trưng cho bản chất tự nhiên của các hàm (Mf¿, .M{„)-lồi liên tục. Hơn nữa, kiểu hàm lồi này phủ một lớp rộng các lớp hàm lỗi khác và do đó bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm này phủ một lớp rộng các bất dang thức đã biết kiểu Hermite-Hadamard và Fejér của các kiểu hàm lồi khác. Nghiên cứu này cung cấp một phương pháp hiệu quả trong việc thiết lập các bất đẳng thức cho tích phân bậc không nguyên và một số áp dụng vào hàm Gamma. Các khái niệm và kỹ thuật được xây dựng trong chương này có thể thúc đẩy những nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực đáng quan tâm này.
Nội dung của chương này được viết chủ yếu dựa vào [28].1 Đặt vấn đề Nam 1881, Hermite đã gửi một bức thư đến tạp chí Mathesis để công bố bất đẳng thức (1.1) và sau đó nó chính thức được xuất bản vào năm 1883 trên tạp chí này. Bất đẳng thức (1.1) được Hadamard [37] phát hiện lại vào năm 1893. Ngày nay, chúng ta thường gọi '()*iên [ieee F020 oe J0) (1.1) là bất đẳng thức Hermite-Hadamard. Chú ý rằng các hạng tử đầu và cuối trong (1.1) có thể được viết là £(SF*) = stem a FOL = AV),r0), trong dé A 1a ky hiéu trung binh s6 hoc.1) 1A mot bat dang thitc noi suy có dạng f(A(a,b)) < A(F(a), /()).
mà nó được dùng để định nghĩa hàm lồi trung điểm hay ham loi Jensen (JC). Do đó, để tổng quát hóa khái niệm tính lồi, một vấn đề tự nhiên là thay thế các trung bình số học 4, trong bất đẳng thức trên bởi các cặp trung bình tổng quát hơn như đã giới thiệu ở phần đầu cho lớp hàm (. Trong chương này, ta ký hiệu 7 và /J là các khoảng mở trong đường thẳng thực R, ó: ƒ —> R và ý : J — R là các hàm đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục. Với các tựa trung bình số học {¿ và Mf„, Aumamn [11] đã tổng quát khái niệm tính lồi được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.
Một hàm ƒ : 7 — 7 được gọi là (M¿,.{„)-lỗi nêu nó thỏa mãn dạng sau đây của bất đẳng thức Jensen: f(Mo(a,0:a)) < Mu(f(@),; F(b); @) (1.2) với mọi ø,b € Ï và œ € [0,1]. Đặc biệt, ta nói rằng hàm ƒ là ⁄„-lði nếu ƒ thỏa mãn (1.2) tương ứng với ham (+) = z. Nếu bất đẳng thức (1.2) đổi chiều thì ƒ được gọi là (1,,. Lớp hàm (/MI„,.M1„)-lồi phủ khá nhiều lớp hàm lồi khác mà chúng đóng một vai trò quan trọng trong toán học như là: 10 Ham loi thông thường ƒ@z + (1~ À)ø) <AƒŒ@) +(1—A)ƒ0) (CF) néu ta lay d(x) =a va U(x) = 2.
Ham log-loi f(de +(1—A)y) < Fa FW)E% (log-C) néu ta lay d(x) = 2 va v(x) = Inz. Ham r-loi I[AefŒ) + (1— A)eƒf0]⁄” nếu rv £0, ƒ@z + (1= À)u) < (1-C) Poof W) nếu =O, nếu ta lấy d(x) = x va ham w xac dinh trén (0,00) cho béi e™ néu r 40, san| “0 Ing nếu r=0. Ham loi điều hòa fäzra=ay) S=Zữ) +0): (h-C) nếu ta chon ó(#) = 1/+ và W(x) =x. Ham log-loi diéu hoa (say) < f(x)" Fy.
Ham r-loi diéu hoa yy.- ‘logic có ƒ()0F)ƒ(w)^ nếu =0, 11 nếu ta lấy @() = 1/z và ule) = x nếu r 40, Inz nếu r=0. e Hàm lồi nhân Fey") < ƒ(z)/0)13. Dạng có trọng của (1.1) được đưa ra bởi Fejér [32] (gọi là bát đẳng thức Fejér). Cụ thể hơn, Fejér đã chứng minh rằng nếu ƒ : [ø,b] —> IR là hàm lôi, g: [a, 6] > [0,o©o) là hàm khả tích với Jÿ ø(+)dz > 0 và đối xứng qua ath tức là g(x) = g(œ+b— #) với moi x € [a,b], thì a+b\ — fe f(w)g(w)dx _ f(a) + f(b) r( 2 )< S? gla)dx < 2 Trong (1.3), néu chon g(a) = [(b-— 2)’"! + (@ — a)’ ]/T'(v) véi v > 0 thi ta nhận được các bát đẳng thức kiểu Hermitc-Hadamard đối uới tích phân bậc không (13) nguyên Riemann-Liouville F(“T) < ED ae tn) +55 17 < OO.
Điều đáng nói là kết quả này đã được Sarikaya và cộng sự chứng minh khá phức tap trong [82]. Do dé, theo cách này, ta có thể thiết lập các bất đẳng thức khác nhau cho các tích phân bậc không nguyên một cách dễ dàng.2 Cac bất đẳng thức kiểu Fejér cho các hàm (.t,, M1 jl ồi Trong chương này, ta luôn giả thiết ƒ : J > J 1A ham (My, M,)-16i; a,b € I véi a < b; a € (0,1) va cdc ham wy, we : [0, 1] —> [0, ) khả tích thỏa mãn điều kiện fj wi(t)dt > 0 và fi wo(t)dt > 0 véi moi s € (0,1). Để đơn giản về mặt ký hiéu, ta viét L(t) = Mo(a, Mo(a, 6; a); t) va Rit) = Mo(b, Mo(a, b; a); t) véi t € [0,1]. (2) Với s € (0,1], ta dat — ai jU9Z0@6 (04 ` ".6) Hơn nrữa, nếu tị = tuạ thì 7¡(1) = 7a(0).
Để chứng minh định lý này, ta cần một số kết quả sau. Đầu tiên là nguyên lý tương ứng Aczél [28], nó cho phép chúng ta quy tính (MI,.M4,)-lồi về tính lồi thông thường của một hàm thông qua một phép đổi biến số và biến đổi của hàm. Nếu w tang thi f la (Mg, My)-ldi khả 0à chỉ khí joö ƒ o ó—} lôi trên ó(1). Ngược lại, trếu Ù giảm thì Ƒ là (Mạ,.M,)-lồi khi va chi khi bo fog! lim trên ó(]).
Tiếp theo là một bất đẳng thức hữu ích có liên quan đến hàm lồi, nó tổng quát hóa két qua cia Hwang, Tseng va Yang [48]. Khi đó, vdi moi C, D € [A, B] thoa man BA+ (1— 8)B = BC + (1— 8)D, ta có BH(C) + (1— 8)H(D) < BH(A) + (1— B)H(B). Néu A = B thi bat dang thức (1.7) là hiển nhiên. Trường hợp còn lai, ta viét B-C C-A ` _B-D D-A C= a 44t Bra? va D==_-T4†p-P: 14 Vì vậy, tính lồi của ï và điều kiện BA + (1— Ø)B = 8Œ + (1— Ø)D kéo theo suc) +d) < ø |—SHð)+y—3H00) +ũ=8)[З 19+ p—210) = BH(A) + (1— 8)H(B).
L] Cuối cùng ta cần kết quả sau đây, nó cho phép ta thiết lập bất đẳng thức có trọng khác nhau cho hàm đơn điệu và liên tục. Cho P: [0,1] > R la ham tang, lién tuc. sol Chiing minh. Ta chi can chttng minh khang định thứ nhất của Bổ dé.
Dé chitng minh P, tang trén (0, 1], ta gid stt 0 < 51 < sy) < 1. Vi P tang va w; khong 4m trên [0, 1] nên [ Pwjun (udu < Ps) [ wi(u)du (1.10) 15 Nhân hai về của (1.9) với Je +0(0)do > 0 va stt dung (1.10), ta được [ Pluun(udu Ƒ” wi(v)du < [ P(0})u(0)do [ wi(u)du.11) %1 #1 0 [ t0¡(0)du = [ +0(£)dt — [ w(u)du / P(v)wi(v)dv = I P(t)wi(t)dt — [ P(u)wi(u)du 31 0 0 và nên từ (1.11) ta suy ra [ P)n(u)e [Ý wi(t)dt < [ P(t)wi(t)dt [ wi(u)du.12) Chia hai về (1. Do dé P, tang trên (0, 1]. Bây giờ, ta chứng minh (1.
Vi P tang trén [0, 1] nén P(0) < Pi(s) < P(s), s € (0,1). Từ tính liên tục của P nén dim P,(s) = P(0). Phần còn lại của định lý nay được chứng minh tương tự. Như vậy, bổ đề được chứng minh xong.
L] Bây giờ ta chứng minh Dinh ly 1. Chứng mình Định lý 1. Vì don điệu nghiêm ngặt nên ta cần xét hai trường hợp của. Trước hết giả sử rằng ÿ tăng nghiêm ngặt trên J.
Vì ÿ liên tục trên J nén ~! liên tục và tăng nghiêm ngặt trên (7). Theo nguyên lý tương ứng Aczél (Bồ đề 1.2), jo ƒ o ó~† lồi trên j(7). Để chứng minh Z là hàm .M4„-lồi trên [0, 1], ta chỉ cần chứng minh + o.14) Vivo fod di trên ø([a,b|), AŒ) và BŒ) tuyến tính trên [0, 1] nên o.1„-lồi của Ở trên [0, 1] được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của đ. Tiếp theo, dễ thấy rằng #(0) = đ(0) = f(Mo(a, ba), F(1) = G1) = My(F(a), f(b); 2).
Thật vậy, tính toán trực tiếp ta chỉ ra được £(0) = A4¿(a,. khi đó, thay vào công thức xác dinh F va G ta nhan dude F(0) = Mu s £(0). Cuối cùng ta được G(0) = Mu(F(1), F(0);0) = bt o W(F(0)) = F(0). Nhu vay ta đã kiểm tra xong đẳng thức thứ nhất, đẳng thức thứ hai được kiểm tra hoàn toàn tương tự.
17 Bay gid, do tính lồi của j o ƒ o ó~! nên Yo fod (Alt)) < tho f(a) + (1—t)Wo f(Mo(a, b;a)) bo fod (Bt) < two f(b) + (L— tho f(Mo(a,b;0)). Vi vt tang trên ý(7), F(t) <G(t), te [0,1], nên (1. Tiếp theo, ta chứng minh F tang.4 với P = o Z ta có jo7¡ tăng trên (0, 1] với lim ý oZ1(s) =sZ(0) =úo ƒ(MI¿(a, b; a)). Vì ý~! tăng nghiêm ngặt và liên tục trên (7) nên 7¡ tăng trên (0, 1] và lim Z¡(s) = ƒ(M1¿(a, b; a)).
s—0t Lại theo Bổ đề 1.4, ta có đị tăng trên (0, 1] với lim đ¡(s) =0 < đi(s) <s, se€ (0,11. s0T Vì vậy, phần thứ nhất của định lý khẳng định rằng Z7 o đị và đ o đị xác định, tăng trên (0, 1] và lim Fo đi(s) = Jim ở ° B1(s) = f(Me(a, b; a)). s—0t Tiếp theo, chúng ta chứng minh các bất đẳng thức trong (1. Áp dụng bất đẳng thức Jensen [75] cho hàm lồi o.Ƒ trên khoảng |0, s| tương ứng với độ đo wi(t)dt, ta dugc J twi(t)dt Jp bo F(t)wr(t)dt vor (4 wil wr) : Je wilBat và do đó Fo fi(s) < Ti(s).
Từ các khẳng định ở trên, ta có Sov oF(Qui(tdt — fo bo G(tur(t)at Jo wilt)dt ~ Jo wilt)dt Vì hàm ~! tăng nên =uođoi(s). Ta còn phải chứng mình đe fils) < F(s). 19 Sử dụng Bổ đề 1.3 với H=UeƒƑoó”, A =min{A(s), B(s)}, B = max{A(s), B(s)}, C = min{ A(;(s)), B(4(s))}. D = max{ A(1(s)), B(G1(s))} va 3 a nếu A(s) < B(s), l—a néu A(s) > B(s), trong đó A(-) và B(-) lần lượt được xác định như trong (1.
Để làm điều này, ta cần đảm bảo rằng Œ, D € [A, BỊ, với 8A+(I1—8)B= 0C +(1-— 8)D. Diều này được suy ra từ 8A+(1~8)B = 0C +(1~ 8)D = aó(aä) + (1~ œ)ó(0) và B— A=slø(b) — (a)| = Ø4(s)|ó(b) — (a)| = D= Ơ. Tính toán trực tiếp ta được ođo8I(s) = BH(C) + (1 — B)H(D) oF (s) = BH(A) + (1-8) H(B), Do (1. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ap dụng Bổ đề 1.4 với P = jo Z ta có o7; tăng trên [0, 1) với Jim oZ7a(s) = po F(1) = My (f(a), ƒ(b); a). 20 Vì ý~!