CHƯƠNG I Bài 1: Tính tích phân các phương trình sau và giải bài toán Côsi tương ứng: a. y2 + x2 dx = xy dx d. cos )dx + x cos dy = 0 x x e. y, = 2 x+y−1 * Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: Bài 2: dy cos x − y sin x = cos2 x dx Bài 3: x 1 y' + 2y= 1+x x(1 + x2 ) Bài 4: xy' + y = xy2 ln(x) Bài 5: xy x y' − 2 = 2(x − 1) 2y Bài 6: (x2 y3 + xy).
y' = 1 * Giải các phương trình sau: Bài 7: 2x y2 − 3x2 dx + dy = 0 y3 y4 Bài 8: 13 1 x y y 1 y x x 1 sin − 2 cos + 1 dx + cos − 2 sin + 2 dy = 0 y y x x x x y y y Bài 9: (x2 y2 − 1)dx + 2xy3 dy = 0 Bài 10: (2xy2 − y)dx + (y2 + x + y)dy = 0 14 CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT: Phương trình vi phân chưa giải ra đạo hàm ta xét dạng phương trình vi phân cấp một tổng quát: F(x, y, y' ) = 0 1. Phương trình dạng F(x,�' )=0: Xét phương trình �(�, �' ) = � (�) a. Nếu từ phương trình �(�, �' ) = 0 ta tìm được ra �' = �(�) thì khi đó nghiệm của phương trình (1) được xác định: y= f(x)dx + C b.
Nếu từ phương trình (1) ta giải ra được x = φ(y' ) thì khi đó ta đặt y' = p và p là tham số hóa của y' ta có dy = p' φ(p)dp Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) biểu diễn dưới dạng sau: x = φ(p) y= p. φ' (p)dp * Ví dụ: Xét phương trình ' ey + y' − x = 0 (b. 1) Ta có: ' x = ey + y' Đặt y' = p ta có x = ep + p dy = p. (ep + 1)dp x = ep + p => p2 y = pep − ep + + C 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (b.1) biểu diễn dạng tham số: x = ep + p p2 y = pep − ep + + C 2 c.
Từ phương trình (1) ta biểu diễn được x và �' qua tham số t như sau x = φ(t) y' = ω(t) 15 Khi đó y= dy = y' dx = ω(t) φ' (t)dt Nghiệm tổng quát của phương trình (1) biểu diễn dưới dạng tham số x = φ(t) y= ω(t)φ' (t)dt 2. Phương trình dạng �(�, �' ) = � : Xét phương trình �(�, �' ) = � (�) a. Từ phương trình (2) ta giải được y' = f(y) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) có dạng dy =x+C f(y) b. Từ phương trình (2) ta giải đươc y = φ(y' ).
Ta đặt y' = p và coi như p là tham số ta được y = φ(p). Ta xác định được nghiệm tổng quát của phương trình (2) dưới dạng sau: φ' (p) x= dp + C p y = φ(p) * Ví dụ: Xét phương trình sau y' + ln y' − y = 0 (b. Khi đó ta đặt y' = p ta có: y = p + ln p dy ' p' => p = + dx p 1 1 => dx = + dp p p2 1 1 1 => x = + 2 dp = ln p − + C p p p Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (b.2) là: 1 x = ln p − +C p y = ln p + p c. Từ phương trình (2) ta biểu diễn: y = φ(t) y' = ω(t) 16 Khi đó φ' (t) φ' (t) dx = dt => x = dt + C ω(t) ω(t) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) là: φ' (t) x= dt + C ω(t) y = φ(t) 3.
Phương trình Lagrang Xét phương trình có dạng � = �(�' )� + �(�' ) (3) Để giải phương trình Lagrang ta đặt y' = p => dy = pdx (ở đây p là tham số) và ta suy ra y = xφ(p) + ω(p) => dy = φ(p)dx + xφ' (p)dp + ω' (p)dp => pdx = φ(p)dx + xφ' (p)dp + ω' (p)dp => �(�) − � �� + ��' (�) + �' (�) �� = 0 (*) Xét �(�) − � ≠ 0 khi đó ta chia cả hai vế của phương trình (*) cho �(�) − � ta được dx φ' (p) ω' (p) +x = ( ∗∗ ) dp φ(p) − p φ(p) − p Khi đó phương trình (**) trở thành phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với hàm x, ta giải và tìm được nghiệm x = G(p, C) Nghiệm tổng quát của phương trình (3) là: x = G(p, C) y = G(p, C). φ(p) + ω(p) * Ví dụ: Xét phương trình: y = xy'2 + y'2 (3.1) Đặt y' = p => dy = pdx. Khi đó phương trình (3.1) có dạng sau: y = xp2 + p2 => pdx = p2 dx + 2xpdp + 2pdp => (p − p2 )dx = 2p(1 + x)dp dx 2 => = dp 1+x 1−p => ln (1 + x) = ln (1 − p)−2 + C => 1 + x = C(1 − p)−2 C => x = −1 (1 − p)2 17 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3. BÀI TẬP CHƯƠNG II: Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát các phương trình sau: a.
y'3 − 3xy' + x3 = 0 Bài 2: Giải các phương trình lagrang sau: a. xy' (y' + 2) = y 19 CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT Ở chương này mình tổng hợp các công thức tổng quát ở dạng đặc biệt của phương trình tuyến tính cấp n, tức là hệ số của phương trình là hằng số. Và các bài tập thường gặp sẽ là phương trình tuyến tính cấp 2 hoặc cấp 3. Ngoài ra mình cũng sẽ đưa một số lý thuyết và bài toán phần hệ số có chứa biến vào phần này.
Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng: Xét phương trình có dạng: �(�) + �� �(�−�) + .,n) là các hằng số thực. Phương pháp giải đối với bài toán này là ta xét phương trình vi phân đặc trưng: �� + �� ��−� +. Phương trình đặc trưng (2) có n nghiệm thực phân biệt: Ta giải phương trình (2) và tìm được n nghiệm λ1 , λ2 ,. , λn phân biệt khi đó ta xây dựng được n nghiệm riêng của phương trình (1) như sau: y1 = eλ1x ,y2 = eλ2x ,y3 = eλ3x ,.
, yn = eλnx Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) là y = C1 eλ1x + C2 eλ2x + C3 eλ3x +. + Cn eλnx * Ví dụ: Xét phương trình �''' − �'' − 4�' + 4� = 0 (1.1) Xét phương trình vi phân đặc trưng: λ3 − λ2 − 4λ1 + 4 = 0 λ=1 => λ=2 λ =− 2 Phương trình vi phân (1.1) có hệ nghiệm cơ bản là y1 = e1. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1. Phương trình đặc trưng (1.6) có n nghiệm khác nhau nhưng các nghiệm là nghiệm phức: Ta giải phương trình (2) và tìm được n nghiệm λ1 , λ2 ,.
, λn phân biệt nhưng các nghiệm này là nghiệm phức. Tuy nhiên ở bài toán này với mỗi một cặp nhiệm phức liên hợp α + iβ và α − iβ của phương trình (2) ta xây dựng 20 được hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phương trình (1) là ��� cos �� và ��� sin ��. Do đó kết hợp với những nghiệm thực khác ta xây dựng được hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1). * Ví dụ: Xét phương trình �''' − 3�'' + 9�' + 13� = 0 (2.1) Xét phương trình đặc trưng có dạng λ3 − 3λ2 + 9λ1 + 13 = 0 λ =− 1 => λ = 2 + 3i λ = 2 − 3i Ta thấy hai nghiệm 2 + 3i và 2 − 3i là hai số phức liên hợp do đó ta tìm được hai nghiệm thực của phương trình (2.1) là �2� cos 3� và �2� sin 3�.
Cho nên hệ nghiệm cơ bản của phương trình (2.1) là y1 = e−x ,y2 = e2x cos3x,y3 = e2x sin3x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) là y = C1 e−x + C2e2x cos3x + C3 e2x sin3x 3. Phương trình đặc trưng (2) có nghiệm bội: a. Nếu phương trình đặc trưng (2) có �1 là nghiệm bội k thì khi đó hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1) thì hệ nghiệm cơ bản của phương trình y1 = eλ1x ,y2 = xeλ1x ,y3 = x2 eλ1x ,. , yk = xk−1 eλ1x Khi đó thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) là y = C1 eλ1x + C2 xeλ1x + C3 x2 eλ1x ,.
Nếu phương trình đặc trưng (2) có λ1 = α + iβ là nghiệm phức bội k thì ta có �� = � − �� cũng là nghiệm phức bội k của phương trình (2). Áp dụng quá trình tiến hành ở phần 2 ta suy ra rằng, cặp nghiệm phức liên hợp bôi k (α + iβ ; α − iβ ) tương ứng với hệ 2k nghiệm thức độc lập tuyến tính của phương trình (1.1) như sau ��� cos ��,���� cos ��,x2 ��� cos ��, ., xk−1 ��� cos �� ��� sin ��,���� sin ��,x2 ��� cos ��, ., xk−1 ��� sin �� 21 ∗Ví dụ 1. Xét phương trình �′′′ − ��′′ + ��′ − � = � (3.1) Phương trinh đặc trưng có dạng �3 − 3�2 + 3� − 1 = 0 => (� − 1)3 = 0 Suy ra nghiệm � = 1 (bội 3). Do đó hệ nghiệm cơ bản của phương trình (3.1) là �� , ��� , �2 �� Vậy nghiệm tổng quát của phương trình có dạng � = �1 �� + �2 ��� + �3�2 �� * Ví dụ 2.
Xét phương trình �′′′ − ��′′ + ���′ − ��� = � (3.2) Trong trường hợp này phương trình đặc trưng là �3 − 7�2 + 16� − 12 = 0 Giải PTĐT ta có một nghiệm đơn �1 = 3 và một nghiệm kép �2 = �3 = 2. Tương ứng ta tìm được hệ nghiệm cơ bản của phương trình (3. Vậy nghiệm tổng quát có dạng � = �1 �3� + �2 �2� + �3 ��2� * Ví dụ 3. Xét phương trình �(�) − ��′′′ + ��′′ − ��′ + �� = � (3.3) Phương trình đặc trưng �4 − 4�3 + 5�2 − 4� + 4 = 0 22 Giải phương trình đặc trưng ta tìm được một nghiệm kép �1 = �2 = 2 và hai nghiệm phức liên hợp là: �3 = �, �4 =− �.
Do đó ta tìm được hệ nghiệm cơ bản của phương trình (3.3) dưới dạng �2� , ��2� , cos �, sin � Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) là � = �1 e2x + C2 xe2x + C3 cos x + C4 sin x *Ví dụ 4.