Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ "Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm" của nghiên cứu sinh Hà Thanh Hùng được thực hiện tại Viện Vật lý – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn của GS. Hoàng Ngọc Long. Luận án thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán (Mã ngành: 62 44 01 01), bảo vệ năm 2014.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong vật lý hạt cơ bản, sự kiện máy gia tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Collider) tại CERN phát hiện hạt vô hướng tương tự Higgs với khối lượng khoảng 125–126 GeV đã hoàn tất việc kiểm chứng các dự đoán cơ bản của Mô hình Chuẩn (SM). Tuy nhiên, các kết quả tính toán ở mức cây (tree-level) thường có sai lệch đáng kể so với thực nghiệm. Đồng thời, nhiều quá trình vật lý quan trọng chỉ xuất hiện ở các bậc khai triển nhiễu loạn cao hơn, chẳng hạn như moment từ của neutrino hay quá trình phân rã của hạt Higgs thành hai photon. Do đó, việc tính toán các bổ đính bậc cao (loop corrections) là yêu cầu bắt buộc để nâng cao độ chính xác và kiểm chứng lý thuyết.

Để tính toán chính xác các yếu tố của ma trận tán xạ (S-matrix) và hàm Green ở các bậc nhiễu loạn cao, việc xác định hệ số đối xứng (HSĐX) của các giản đồ Feynman là một bước bắt buộc. Các công cụ và công trình nghiên cứu trước đây (như phần mềm FeynArts, QGRAF hoặc các nghiên cứu giải tích của Kastening, T. Li, Schroeder, C. Palmer) còn bộc lộ những khoảng trống: chủ yếu chỉ tập trung vào các trường thực và các giản đồ liên kết, chưa đưa ra công thức tổng quát cho trường phức, chưa giải quyết trọn vẹn các giản đồ chân không (vacuum diagrams) và chưa chỉ ra phương pháp xác định hệ số hoán vị $g$ giữa các đỉnh tương tác mà không làm thay đổi topo giản đồ.

Song song với đó, Mô hình Chuẩn còn tồn tại các hạn chế nội tại như chưa giải thích được khối lượng và sự dao động của neutrino, chưa lý giải tự nhiên nguồn gốc khối lượng, sự phân bậc thang năng lượng giữa thang điện yếu và thang Planck, cũng như sự bất đối xứng vật chất – phản vật chất. Để giải quyết các vấn đề này, mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) đã được đề xuất với số lượng trường vô hướng tối thiểu (hai tam tuyến Higgs). Tuy nhiên, một hạn chế của mô hình E331 là khối lượng của quark up ($u$) và quark down ($d$) đều triệt tiêu ở mức cây. Một số quan điểm học thuật (tiêu biểu như nhận định của nhóm J. T. Liu) cho rằng trong mô hình E331 tồn tại một đối xứng kiểu Peccei-Quinn (PQ) giữ cho khối lượng quark $u$ và $d$ bằng không ở mọi bậc của lý thuyết nhiễu loạn. Điều này đặt ra yêu cầu cấp thiết phải xem xét lại bản chất của đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331 và tính toán các bổ đính một vòng để kiểm tra khả năng sinh khối lượng cho các quark nhẹ này.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định hai mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman bất kỳ, áp dụng được cho cả trường thực, trường phức, giản đồ liên kết và giản đồ chân không.
  2. Ứng dụng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát của các giản đồ Feynman để tính khối lượng các quark trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) ở bậc một vòng.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu:
    • Các phương pháp khai triển bậc cao trong lý thuyết trường lượng tử;
    • Các giản đồ Feynman chứa nhiều loại trường khác nhau (vô hướng thực, vô hướng phức, spinor Dirac, vector gauge, ghost);
    • Cấu trúc đối xứng và cơ chế sinh khối lượng của các fermion trong mô hình E331.
  • Phạm vi nghiên cứu:
    • Về không gian lý thuyết: Khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết nhiễu loạn bậc cao, các lý thuyết chuẩn phi Abel và mô hình chuẩn mở rộng $SU(3)_C \otimes SU(3)_L \otimes U(1)_X$ phiên bản tiết kiệm.
    • Về mức độ tính toán: Khai triển ma trận S và hàm Green đến các bậc nhiễu loạn cao (bao gồm các giản đồ chân không và giản đồ một vòng đến bốn vòng trong các lý thuyết mẫu), tính toán tường minh bổ đính khối lượng quark ở bậc một vòng.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã tổng hợp và phân tích các hướng tiếp cận chính trong việc xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và các nghiên cứu về mô hình 3-3-1:

Các nghiên cứu về hệ số đối xứng của giản đồ Feynman

  1. Hướng tiếp cận hình học/topo: Kastening và cộng sự đã công bố phương pháp tính hệ số đối xứng dựa trên các yếu tố hình dạng topo của giản đồ. Các phần mềm tự động hóa như FeynArts (Hahn, 2001) và QGRAF (Nogueira, 1993) được xây dựng để tạo và tính giản đồ, nhưng hầu như chỉ giới hạn ở các trường thực và giản đồ liên kết, bỏ qua các giản đồ chân không.
  2. Hướng tiếp cận giải tích và khai triển hàm Green: T. Li (1998) đưa ra cách tính hệ số đối xứng cho một số giản đồ trường vô hướng thực nhưng chưa thiết lập được công thức tổng quát. Schroeder (1995) khảo sát sự thừa số hóa chân không của các giản đồ nhưng chưa đưa ra biểu thức giải tích tổng quát. C. Palmer và cộng sự khảo sát hệ số đối xứng cho nhiều trường hợp (vô hướng, spinor QED, scalar QED, QCD) nhưng chỉ áp dụng cho giản đồ liên kết, chưa giải quyết giản đồ chân không và chưa có công thức tính hệ số hoán vị $g$ giữa các đỉnh.
  3. Hướng tiếp cận đạo hàm phiếm hàm và quan hệ quy nạp: Một số tác giả sử dụng phương pháp đạo hàm phiếm hàm (functional derivative method) hoặc xác định hệ số đối xứng ở bậc cao dựa trên hệ số đối xứng ở các bậc thấp hơn. Các nghiên cứu khai triển T-tích của hàm Green cho thấy tính trực quan nhưng chưa được khái quát hóa cho hệ có nhiều trường hỗn hợp.

Các nghiên cứu về mô hình 3-3-1 và bài toán khối lượng quark

Mô hình 3-3-1 dựa trên nhóm đối xứng $SU(3)_C \otimes SU(3)_L \otimes U(1)_X$ được phát triển theo hai phiên bản chính:

  • Phiên bản 3-3-1 tối thiểu được Pisano, Pleitez và Frampton đề xuất năm 1992, đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy tam tuyến $SU(3)_L$, đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến Higgs để phá vỡ đối xứng tự phát.
  • Phiên bản 3-3-1 với neutrino phân cực phải (331RH) được Foot, Long và Tuan đề xuất năm 1994, trong đó thành phần thứ ba của tam tuyến lepton là neutrino phân cực phải.
  • Mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) do Phùng Văn Đồng, Hoàng Ngọc Long và cộng sự phát triển, sử dụng tối thiểu hai tam tuyến Higgs ($\chi$ và $\phi$). Mô hình này giải thích được số thế hệ fermion bằng 3 thông qua điều kiện triệt tiêu dị thường chuẩn, giải thích sự lượng tử hóa điện tích và khối lượng neutrino. Tuy nhiên, vấn đề quark $u$ và $d$ không có khối lượng ở mức cây và nghi vấn về đối xứng Peccei-Quinn khóa khối lượng ở mọi bậc nhiễu loạn là vấn đề còn bỏ ngỏ.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án giải quyết hai khoảng trống học thuật:

  • Thiết lập một công thức giải tích tổng quát duy nhất để tính hệ số đối xứng cho mọi loại giản đồ Feynman (bao gồm cả giản đồ liên kết và giản đồ chân không) chứa các trường vô hướng, spinor, vector và ghost.
  • Làm rõ bản chất đối xứng còn dư sau khi phá vỡ đối xứng tự phát trong mô hình E331, chứng minh đối xứng này không phải là đối xứng Peccei-Quinn, từ đó tính toán tường minh các bổ đính bậc một vòng để tạo khối lượng cho quark $u$ và $d$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án vận dụng hệ thống lý thuyết trường lượng tử và vật lý hạt cơ bản:

  • Lý thuyết ma trận tán xạ và toán tử tiến triển thời gian: Ma trận tán xạ $S$ được biểu diễn qua toán tử tiến triển thời gian $U(t, t_0)$ trong biểu diễn tương tác: $$S = \lim_{\substack{t \to \infty \ t_0 \to -\infty}} U(t, t_0) = T \exp\left(-i \int dx H_{\text{int}}(x)\right) = T \exp\left(i \int dx \mathcal{L}{\text{int}}(x)\right)$$ Toán tử $U(t, t_0)$ thỏa mãn phương trình chuyển động $i \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = H{\text{int}}(t) U(t, t_0)$ và được khai triển thành chuỗi tích phân theo thời gian qua $T$-tích (Time-ordered product).
  • Hệ thống định lý Wick:
    • Định lý Wick 1: $T$-tích của các toán tử trường bằng tổng các $N$-tích (Normal-ordered product) của chúng với mọi cấu hình kết cặp (pairings/contractions) khả dĩ: $T[\varphi(x)\varphi(y)] = N[\varphi(x)\varphi(y)] + \wick{\c{\varphi}(x)\c{\varphi}(y)}$.
    • Định lý Wick 2: Khai triển $T$-tích chứa các thừa số đã ở dạng $N$-tích bằng tổng các $N$-tích của chúng với mọi cặp đôi khả dĩ, ngoại trừ các kết cặp giữa các toán tử trong cùng một $N$-tích.
  • Lý thuyết hàm Green: Sử dụng phương trình Klein-Gordon có nguồn $(\square + m^2)\phi(x) = J(x)$, từ đó định nghĩa hàm Green $(\square + m^2)G(x-y) = \delta(x-y)$. Xác định quy tắc qua cực trên mặt phẳng phức của biến $k_0$ để phân lập hàm Green sớm ($D^{\text{adv}}$), hàm Green trễ ($D^{\text{ret}}$), hàm Green nhân quả ($D^c$) và hàm Green toàn phần $n$-điểm ở các bậc nhiễu loạn cao $G^{(p)}(x_1, \dots, x_n)$.
  • Lý thuyết chuẩn $SU(3)_C \otimes SU(3)_L \otimes U(1)_X$ và cơ chế Peccei-Quinn: Sử dụng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát (SSB) qua hai thang năng lượng $w$ và $v, u$; phân tích đối xứng chiral $U(1)$ và góc vi phạm $\theta$ trong bài toán Strong-CP của QCD.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích lý thuyết trường: Khai triển $T$-tích của các Lagrangian tương tác cho các lý thuyết trường khác nhau ($\phi^4$ thực, $\phi^4$ phức, spinor QED, scalar QED, QCD), phân tích đại số tổ hợp của các đỉnh tương tác, đường truyền và các hoán vị topo không làm thay đổi giản đồ.
  • Phương pháp phân loại trường tương đương topo: Phân chia các trường vật lý thành hai nhóm đại diện: nhóm tương tự vô hướng thực (real scalar-like) ứng với các đường không có hướng và nhóm tương tự vô hướng phức (complex scalar-like) ứng với các đường có hướng.
  • Phương pháp tính toán đại số và tích phân vòng bằng máy tính: Sử dụng phần mềm Wolfram Mathematica 7.0 để tính toán các tích phân Feynman ở bậc một vòng, đại số ma trận Dirac/Gell-Mann và giải hệ phương trình bổ đính khối lượng.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman

Chương 1 tập trung xây dựng cơ sở toán học của khai triển nhiễu loạn bậc cao và thiết lập công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman.

1. Khai triển bậc cao và hàm Green

Luận án trình bày chi tiết mối liên hệ giữa ma trận tán xạ $S$, toán tử tiến triển thời gian $U(t, t_0)$, các định lý Wick và hàm Green. Hàm Green nhân quả được xác lập thông qua tích phân trong không gian xung lượng với quy tắc dịch cực $+i\varepsilon$: $$D^c(x) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int \frac{e^{-ikx}}{m^2 - k^2 - i\varepsilon} d^4k$$ Biên độ chuyển dời $S_{fi}$ của ma trận tán xạ liên hệ trực tiếp với hàm Green toàn phần $(n+m)$-điểm thông qua phép thu gọn các hàm truyền của các hạt ngoài theo công thức LSZ.

2. Hệ số đối xứng cho trường vô hướng thực và vô hướng phức

  • Trường vô hướng thực ($\phi^4$ thực): Với Lagrangian tương tác $\mathcal{L}_{\text{int}} = \frac{\lambda}{4!} \phi^4$, khi khai triển $T$-tích của Lagrangian tương tác đồng thời gian: $$T[\phi^4(y)] = N[\phi^4(y)] + 6 N[\phi^2(y)] \Delta(0) + 3 \Delta(0)\Delta(0) \equiv a + b + c$$ trong đó $a$ là đỉnh tương tác 4 tia, $b$ là đỉnh gắn 1 bóng đơn (single-bubble), $c$ là cấu hình bóng đôi (double-bubble). Bằng việc phân tích khai triển đa thức $(a+b+c)^p$, luận án xác định được các yếu tố đóng góp vào hệ số đối xứng ở bậc $p$.
  • Trường vô hướng phức ($\phi^4$ phức): Với Lagrangian $\mathcal{L}_{\text{int}} = \frac{\rho}{4} (\phi^* \phi)^2$, do toán tử trường chứa cả toán tử sinh và hủy của hạt và phản hạt mang hướng, số lượng kết cặp khả dĩ giảm đi so với trường thực: $$T[(\phi^* \phi)^2] = N[(\phi^* \phi)^2] + 4 N[\phi^* \phi] \Delta(0) + 2 \Delta(0)\Delta(0)$$ Hệ số đối xứng của các giản đồ trường phức luôn nhỏ hơn hoặc bằng hệ số đối xứng của giản đồ tương ứng trong trường thực do tính có hướng của các đường truyền.

3. Hệ số đối xứng trong QED, sQED và QCD

  • Spinor QED: Lagrangian tương tác $\mathcal{L}{\text{int}} = e q \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A\mu$. Do tương tác chỉ gồm 3 trường khác nhau và đường fermion có hướng, số hoán vị giữa các đỉnh luôn bù trừ chính xác với các hệ số khai triển, dẫn đến hệ quả: Tất cả các giản đồ Feynman liên kết trong spinor QED đều có hệ số đối xứng bằng 1 ($S = 1$).
  • Scalar QED (sQED): Lagrangian chứa số hạng tương tác 3 hạt có đạo hàm $i e q A^\mu (\phi^* \partial_\mu \phi - \partial_\mu \phi^* \phi)$ và số hạng tiếp xúc 4 hạt $e^2 q^2 A_\mu A^\mu \phi^* \phi$. Hệ số đối xứng xuất hiện khi có sự kết cặp giữa các đường photon giống nhau tại cùng một đỉnh hoặc các vòng vô hướng kín.
  • QCD: Lagrangian chứa đỉnh tương tác quark-gluon, đỉnh 3-gluon có đạo hàm và đỉnh 4-gluon. Tương tác quark-gluon có tính chất đối xứng tương tự spinor QED; tương tác giữa các gluon có cấu trúc tương tự lý thuyết $\phi^3$ và $\phi^4$ thực.

4. Công thức tổng quát và bảng phân loại trường

Từ việc tổng quát hóa các kết quả trên, luận án đưa ra công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng cho một giản đồ Feynman bất kỳ: $$S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$$ Trong đó:

  • $g$: số hoán vị giữa các đỉnh tương tác mà không làm thay đổi cấu trúc hình học (topo) của giản đồ;
  • $\beta$: tổng số các đường liên kết từ một đỉnh về chính nó (bóng đơn không có hướng; đối với bóng đơn có hướng thì $\beta = 0$);
  • $d$: số đỉnh có bóng đôi (hai bóng đơn gắn tại cùng một đỉnh);
  • $\alpha_n$: số các cặp đỉnh được liên kết với nhau bởi $n$ đường truyền giống nhau;
  • $n!$: số hoán vị của $n$ đường truyền giống nhau nối giữa cùng một cặp đỉnh.

Luận án phân loại các trường trong lý thuyết trường lượng tử thành hai nhóm đối xứng topo:

Nhóm trường tương tự vô hướng thực (Real scalar-like) Nhóm trường tương tự vô hướng phức (Complex scalar-like)
Trường vô hướng thực (Real scalar) Trường vô hướng phức (Complex scalar)
Photon ($A_\mu$) Trường spinor Dirac ($\psi$)
Boson $Z$ Boson $W^\pm$
Gluon ($A^a_\mu$) Trường ma lượng tử (Ghost fields)
Trường Majorana

Chương 2: Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong mô hình E331

Chương 2 áp dụng các kết quả về giản đồ Feynman để giải quyết cấu trúc đối xứng và bài toán sinh khối lượng cho các quark nhẹ trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm.

1. Sắp xếp hạt và Lagrangian tương tác trong mô hình E331

Trong mô hình E331, nhóm đối xứng chuẩn là $SU(3)_C \otimes SU(3)_L \otimes U(1)_X$. Các trường vật chất được phân bố vào các đa tuyến của nhóm $SU(3)_L$:

  • Lepton: Ba thế hệ lepton phân cực trái được xếp vào các tam tuyến, lepton mang điện phân cực phải là các đơn tuyến: $$\psi_{La} = \begin{pmatrix} \nu_{La} \ e_{La} \ (\nu_{La}^c) \end{pmatrix} \sim (1, 3, -1/3), \quad e_{aR} \sim (1, 1, -1) \quad (a = 1, 2, 3)$$

  • Quark: Thế hệ thứ nhất là tam tuyến, hai thế hệ sau là phản tam tuyến để đảm bảo triệt tiêu dị thường chuẩn: $$Q_{1L} = \begin{pmatrix} u_{1L} \ d_{1L} \ U_L \end{pmatrix} \sim (3, 3, 1/3), \quad Q_{\alpha L} = \begin{pmatrix} d_{\alpha L} \ -u_{\alpha L} \ D_{\alpha L} \end{pmatrix} \sim (3, 3^*, 0) \quad (\alpha = 2, 3)$$ Các quark phân cực phải: $u_{aR}, U_R \sim (3, 1, 2/3)$; $d_{aR}, D_{\alpha R} \sim (3, 1, -1/3)$.

  • Khu vực vô hướng (Higgs sector): Gồm hai tam tuyến Higgs: $$\chi = \begin{pmatrix} \chi_1^0 \ \chi_2^- \ \chi_3^0 \end{pmatrix} \sim (1, 3, -1/3), \quad \phi = \begin{pmatrix} \phi_1^+ \ \phi_2^0 \ \phi_3^+ \end{pmatrix} \sim (1, 3, 2/3)$$ Quá trình phá vỡ đối xứng tự phát diễn ra theo hai giai đoạn: $$SU(3)_L \otimes U(1)_X \xrightarrow{\langle \chi \rangle} SU(2)_L \otimes U(1)_Y \xrightarrow{\langle \phi \rangle} U(1)_Q$$ với các giá trị trung bình chân không (VEV): $$\langle \chi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} u \ 0 \ \omega \end{pmatrix}, \quad \langle \phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \ v \ 0 \end{pmatrix}$$ trong đó $\omega$ là thang phá vỡ đối xứng $3-3-1$ ($\omega \sim \text{vài TeV}$), $v$ và $u$ là thang điện yếu ($v, u \approx 246\text{ GeV}$).

  • Tương tác Yukawa: Lagrangian Yukawa tổng quát gồm phần bảo toàn số lepton ($\mathcal{L}{\text{LNC}}$) và phần vi phạm số lepton ($\mathcal{L}{\text{LNV}}$): $$\mathcal{L}Y = \mathcal{L}{\text{LNC}} + \mathcal{L}{\text{LNV}}$$ $$\mathcal{L}{\text{LNC}} = h^U \bar{Q}{1L} \chi U_R + h^D{\alpha\beta} \bar{Q}{\alpha L} \chi^* D{\beta R} + h^d_a \bar{Q}{1L} \phi d{aR} + h^u_{\alpha a} \bar{Q}{\alpha L} \phi^* u{aR} + h^l_{ab} \bar{\psi}{aL} \phi l{bR} + \dots$$ $$\mathcal{L}{\text{LNV}} = s^u_a \bar{Q}{1L} \chi u_{aR} + s^d_{\alpha a} \bar{Q}{\alpha L} \chi^* d{aR} + s^D_\alpha \bar{Q}{1L} \phi D{\alpha R} + s^U_\alpha \bar{Q}_{\alpha L} \phi^* U_R + \text{H.c.}$$

2. Phân tích đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331

Trong bài toán Strong-CP của QCD, số hạng vi phạm CP có dạng $\theta \frac{g_s^2}{32\pi^2} G_{\mu\nu}^a \tilde{G}^{\mu\nu, a}$. Cơ chế Peccei-Quinn đưa vào một đối xứng toàn cục $U(1)_{\text{PQ}}$ để khử góc $\theta$.

Đối với mô hình E331, luận án khảo sát ba phép biến đổi chiral độc lập trong tương tác Yukawa:

  • Phép biến đổi $U(1)$ bảo toàn số lepton;
  • Phép biến đổi liên quan đến số lepton của các đa tuyến;
  • Phép biến đổi chiral của các trường quark và Higgs.

Luận án chứng minh rằng: Trước khi phá vỡ đối xứng tự phát, Lagrangian có đối xứng chiral toàn cục. Tuy nhiên, sau khi các trường vô hướng $\chi$ và $\phi$ nhận giá trị trung bình chân không $\langle \chi \rangle$ và $\langle \phi \rangle$, đối xứng chiral toàn cục này bị phá vỡ hoàn toàn. Đối xứng còn dư lại của hệ thống không phải là một đối xứng kiểu Peccei-Quinn bảo tồn độc lập. Do đó, không có định lý cấm nào ngăn cản quark $u$ và quark $d$ nhận khối lượng thông qua các hiệu ứng lượng tử ở các bậc nhiễu loạn cao.

3. Bổ đính khối lượng quark ở bậc một vòng

Luận án tiến hành tính toán tường minh các giản đồ tự năng (self-energy diagrams) ở bậc một vòng cho các phần tử của ma trận khối lượng quark up $(M_u){ab}$ và quark down $(M_d){ab}$.

      u_L ------------ (W, V, Higgs) ------------ u_R
                 \                     /
                  \                   /
                   --- Quark ngoại lai ---

Các giản đồ một vòng đóng góp vào khối lượng quark bao gồm sự trao đổi của các hạt:

  • Các boson chuẩn mang điện và mang số lepton: $W^\pm, V^\pm, Y^0, X^0$;
  • Các hạt vô hướng mang điện và trung hòa sinh ra từ hai tam tuyến $\chi$ và $\phi$;
  • Các quark ngoại lai nặng ($U, D_2, D_3$) chạy trong vòng kín.

Bằng việc sử dụng công thức hệ số đối xứng $S = 1$ cho các giản đồ liên kết có 3 trường tại đỉnh và tính toán các tích phân Feynman một vòng (sử dụng phương pháp điều chỉnh chiều - dimensional regularization), luận án thu được biểu thức giải tích của ma trận khối lượng:

  • Khối lượng quark $u$ được sinh ra từ sự trộn ở bậc một vòng giữa quark $u$ chuẩn và quark ngoại lai $U$ thông qua các đỉnh tương tác vi phạm số lepton $s^u_a$ và $s^U_\alpha$: $$m_u \approx \sum_{i} \frac{C_i}{16\pi^2} \frac{m_U m_{\text{boson}}^2}{m_U^2 - m_{\text{boson}}^2} \ln\left(\frac{m_U^2}{m_{\text{boson}}^2}\right)$$
  • Khối lượng quark $d$ được sinh ra tương tự từ các vòng kín chứa quark ngoại lai $D_\alpha$.

Kết quả này khẳng định các quark $u$ và $d$ hoàn toàn nhận được khối lượng phù hợp với thực nghiệm khi tính đến bổ đính bậc một vòng, giải tỏa hạn chế khối lượng bằng không ở mức cây của mô hình E331.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả khoa học chính sau:

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Thiết lập công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynman: Xây dựng thành công công thức giải tích $S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$ dựa trên khai triển $T$-tích của Lagrangian tương tác. Công thức này bao hàm đầy đủ các trường hợp trường thực, trường phức, các đỉnh tương tác có đạo hàm, giản đồ liên kết và giản đồ chân không.
  2. Chứng minh định lý hệ số đối xứng trong các lý thuyết chuẩn: Chứng minh định lý: Nếu Lagrangian tương tác của một lý thuyết bất kỳ chỉ chứa ba loại trường khác nhau tại mỗi đỉnh tương tác, thì hệ số đối xứng của tất cả các giản đồ Feynman liên kết luôn bằng 1 ($S=1$). Định lý này đơn giản hóa việc tính toán trong QED, electroweak và các mô hình chuẩn mở rộng.
  3. Phân loại topo của các trường vật lý: Đề xuất bảng phân loại toàn bộ các trường cơ bản thành hai nhóm (tương tự vô hướng thực và tương tự vô hướng phức), cung cấp quy tắc chuẩn hóa để xác định hệ số đối xứng cho các mô hình lý thuyết trường phức tạp.

Đóng góp về mặt thực tiễn và ứng dụng mô hình

  1. Làm rõ cấu trúc đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331: Chứng minh một cách chặt chẽ rằng sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, mô hình 3-3-1 tiết kiệm không tồn tại đối xứng kiểu Peccei-Quinn còn dư để cấm khối lượng của quark nhẹ. Kết quả này bác bỏ nhận định trước đó cho rằng mô hình E331 làm khối lượng quark $u, d$ triệt tiêu ở mọi bậc nhiễu loạn.
  2. Tính toán thành công khối lượng quark $u$ và $d$ ở bậc một vòng: Xác định giải tích và số trị bổ đính một vòng cho ma trận khối lượng quark, chứng minh cơ chế sinh khối lượng bức xạ (radiative mass generation) cho các quark thế hệ thứ nhất trong mô hình E331. Kết quả này củng cố tính tự quán và độ tin cậy của mô hình 3-3-1 tiết kiệm trong vật lý năng lượng cao.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu

  • Các tính toán bổ đính ma trận khối lượng quark trong mô hình E331 mới dừng lại ở bậc một vòng (one-loop level), chưa mở rộng tính toán cho các bậc hai vòng hoặc cao hơn.
  • Phân tích hiện tượng học của mô hình E331 trong luận án tập trung vào bài toán khối lượng quark và đối xứng Peccei-Quinn, chưa khảo sát toàn diện các quá trình vi phạm số vị lepton hiếm (như $\mu \to e\gamma$, $\mu \to 3e$) ở cùng cấp độ chính xác.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Ứng dụng công thức hệ số đối xứng tổng quát để xây dựng các thuật toán tự động hóa tính toán bổ đính bậc cao cho các quá trình rã lepton, ví dụ như quá trình rã $\mu^- \to \nu_\mu + e^- + \bar{\nu}_e$ tính đến bậc 10 của lý thuyết nhiễu loạn (đã nêu trong Phụ lục C).
  • Tính toán bổ đính bậc hai vòng cho khối lượng các hạt và khảo sát chi tiết hơn các thông số trộn CKM, góc vi phạm CP trong mô hình E331 khi máy gia tốc LHC nâng cấp năng lượng vận hành lên 14 TeV.

Giá trị tham khảo

Luận án mang lại giá trị tham khảo cụ thể cho các nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán: Có thể sử dụng Chương 1 và các Phụ lục (A, B, C, D, E) như một tài liệu tham khảo chi tiết về kỹ thuật khai triển $T$-tích, định lý Wick, hàm Green và phương pháp giải tích xác định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman phức tạp.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Vật lý hạt cơ bản: Có thể tham khảo phương pháp phân tích đối xứng chiral/Peccei-Quinn và quy trình tính toán bổ đính bức xạ một vòng cho ma trận khối lượng fermion trong các mô hình chuẩn mở rộng phi Abel (Chương 2).
  • Các nhóm phát triển phần mềm tính toán tự động trong vật lý năng lượng cao: Công thức tổng quát $S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$ và tiêu chuẩn phân loại trường cung cấp cơ sở thuật toán để tối ưu hóa việc tính toán hệ số đối xứng cho các giản đồ chân không và giản đồ trường phức trong các gói phần mềm đại số máy tính.

Câu hỏi thường gặp

1. Công thức tổng quát tính hệ số đối xứng của giản đồ Feynman trong luận án được biểu diễn như thế nào và ý nghĩa của các đại lượng là gì?

Công thức tổng quát được xác lập là: $$S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$$ Trong đó:

  • $g$: Số hoán vị giữa các đỉnh tương tác mà giữ nguyên cấu trúc topo của giản đồ.
  • $\beta$: Tổng số các đường liên kết từ một đỉnh về chính nó (bóng đơn không có hướng; đối với bóng đơn có hướng thì $\beta = 0$).
  • $d$: Số đỉnh có bóng đôi (chứa hai bóng đơn gắn vào cùng một đỉnh).
  • $\alpha_n$: Số các cặp đỉnh được liên kết với nhau bằng $n$ đường truyền giống nhau.
  • $n!$: Số hoán vị của $n$ đường truyền giống nhau nối giữa cùng một cặp đỉnh.

2. Vì sao tất cả các giản đồ Feynman liên kết trong điện động lực học lượng tử spinor (spinor QED) đều có hệ số đối xứng bằng 1?

Trong spinor QED, Lagrangian tương tác $\mathcal{L}{\text{int}} = e q \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A\mu$ chỉ chứa ba trường khác nhau tại mỗi đỉnh tương tác: một trường vào $\psi$, một trường ra $\bar{\psi}$ và một photon $A_\mu$. Khi khai triển $T$-tích và thực hiện các kết cặp, số cách hoán vị các đỉnh ($p!$) và số hoán vị giữa các trường tại đỉnh luôn triệt tiêu chính xác với hệ số $1/p!$ của chuỗi khai triển ma trận S. Hơn nữa, do đường fermion có hướng và photon không tự tương tác trực tiếp tại đỉnh 3 tia, số hoán vị topo không đổi $g$ luôn bằng 1, dẫn đến $S = 1/g = 1$.

3. Nguyên nhân nào dẫn đến việc quark up và quark down không có khối lượng ở mức cây trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331)?

Mô hình E331 sử dụng số lượng trường vô hướng tối thiểu để phá vỡ đối xứng tự phát, chỉ gồm hai tam tuyến Higgs là $\chi$ và $\phi$. Do cấu trúc đa tuyến của các quark thế hệ thứ nhất $Q_{1L} \sim (3, 3, 1/3)$ và hai thế hệ sau $Q_{\alpha L} \sim (3, 3^*, 0)$, số lượng liên kết Yukawa khả dĩ ở mức cây không đủ để cung cấp các số hạng khối lượng trực tiếp cho cả quark $u$ và quark $d$ sau khi $\chi$ và $\phi$ nhận giá trị trung bình chân không.

4. Luận án đã giải quyết vấn đề khối lượng bằng không của quark $u$ và $d$ trong mô hình E331 như thế nào?

Luận án đã:

  1. Chứng minh rằng đối xứng chiral toàn cục bị phá vỡ hoàn toàn sau quá trình phá vỡ đối xứng tự phát, và đối xứng còn lại không phải là đối xứng kiểu Peccei-Quinn. Do đó không tồn tại định lý cấm sinh khối lượng ở các bậc nhiễu loạn cao.
  2. Tính toán các giản đồ tự năng ở bậc một vòng chứa các boson chuẩn ($W^\pm, V^\pm, Y^0, X^0$), các hạt Higgs và các quark ngoại lai nặng ($U, D_\alpha$). Sự trộn lượng tử ở bậc một vòng thông qua các tương tác vi phạm số lepton đã sinh ra khối lượng khác không cho quark $u$ và quark $d$, phù hợp với cấu trúc khối lượng quan sát được.

5. Việc phân loại các trường thành "Real scalar-like" và "Complex scalar-like" có vai trò gì trong việc tính toán hệ số đối xứng?

Phân loại này chuẩn hóa việc áp dụng công thức tính hệ số đối xứng dựa trên đặc tính topo của đường truyền trên giản đồ Feynman:

  • Nhóm Real scalar-like gồm các trường biểu diễn bằng đường không có hướng (trường vô hướng thực, photon $A_\mu$, boson $Z$, gluon, trường Majorana). Khi các trường này nối từ một đỉnh về chính nó, chúng tạo ra bóng đơn không hướng và đóng góp thừa số $2^\beta$ vào hệ số đối xứng.
  • Nhóm Complex scalar-like gồm các trường biểu diễn bằng đường có hướng (trường vô hướng phức, spinor Dirac, boson $W^\pm$, ghost). Do tính có hướng, các bóng đơn của chúng không làm tăng bậc đối xứng tự do ($\beta = 0$), giúp việc xác định hệ số $S$ được thực hiện nhất quán mà không bị nhầm lẫn giữa các loại hạt khác nhau.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Hà Thanh Hùng đã giải quyết trọn vẹn hai bài toán quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử và vật lý hạt cơ bản: thiết lập công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman bất kỳ và giải quyết bài toán sinh khối lượng cho các quark nhẹ trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm. Bằng phương pháp khai triển $T$-tích và phân loại đối xứng topo của các trường, tác giả đã cung cấp một công cụ giải tích chuẩn xác để tính toán các bổ đính bậc cao, đồng thời chứng minh định lý $S=1$ cho các giản đồ liên kết trong QED. Ứng dụng công thức này vào mô hình E331, luận án đã làm rõ cấu trúc đối xứng sau phá vỡ đối xứng tự phát, bác bỏ giả thuyết về đối xứng Peccei-Quinn khóa khối lượng, và tính toán thành công khối lượng của quark $u$ và $d$ ở bậc một vòng. Các kết quả này đóng góp trực tiếp vào việc hoàn thiện kỹ thuật tính toán nhiễu loạn trong lý thuyết trường lượng tử và củng cố cơ sở lý thuyết của các mô hình chuẩn mở rộng 3-3-1.