Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Ngân với tiêu đề "Finite-Dimensional Asymptotic Behavior of Navier-Stokes-Voigt Equations" (Hành vi tiệm cận hữu hạn chiều của phương trình Navier-Stokes-Voigt), chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân (Mã số: 9.03), được thực hiện tại Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Cung Thế Anh.

Trong cơ học chất lưu, phương trình Navier-Stokes mô tả dòng chảy của chất lưu nhớt không nén được đóng vai trò nền tảng nhưng việc nghiên cứu tính đặt chỉnh toàn cục trong không gian ba chiều (3D) vẫn là một bài toán mở. Để hỗ trợ mô phỏng số trực tiếp và làm rõ cơ chế động lực học của các dòng chảy rối, nhiều mô hình điều chuẩn $\alpha$ ($\alpha$-models) đã được đề xuất. Trong số đó, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt (NSV) — ban đầu do Oskolkov giới thiệu năm 1973 để mô tả chất lưu nhớt đàn hồi tuyến tính — bổ sung số hạng điều chuẩn $-\alpha^2 \Delta u_t$ ($\alpha > 0$ là tham số quy mô độ dài đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lưu, $\nu > 0$ là hệ số nhớt động học). Số hạng này làm thay đổi bản chất parabolic của phương trình Navier-Stokes kinh điển sang dạng hyperbolic có tắt dần (damped hyperbolic system), đem lại tính đặt chỉnh toàn cục theo cả hai chiều thời gian nhưng đồng thời khiến nghiệm không trơn hơn dữ kiện ban đầu.

Mặc dù đã có các công trình khảo sát tập hút và tính tiêu tán của phương trình NSV với điều kiện biên thuần nhất hoặc biên tuần hoàn, lý thuyết về các tham số xác định hữu hạn chiều (như số nút xác định, phần tử thể tích), cơ chế ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi hữu hạn chiều, cũng như hành vi tiệm cận trong trường hợp biên Dirichlet không thuần nhất trong không gian 3 chiều vẫn còn nhiều khoảng trống.

Mục tiêu của luận án là giải quyết ba bài toán nghiên cứu cốt lõi:

  1. Bài toán (P1): Thiết lập cận trên tường minh cho số lượng nút xác định (determining nodes) đối với các lớp nghiệm không dừng (instationary), nghiệm dừng (stationary) và nghiệm tuần hoàn theo thời gian (periodic) của phương trình Navier-Stokes-Voigt 3 chiều với điều kiện biên tuần hoàn.
  2. Bài toán (P2): Xây dựng và chứng minh sơ đồ điều khiển phản hồi hữu hạn chiều nhằm ổn định hóa nghiệm dừng không ổn định của phương trình Navier-Stokes-Voigt trong không gian 2 chiều và 3 chiều với điều kiện biên tuần hoàn thông qua các toán tử nội suy (chế độ Fourier, phần tử thể tích hữu hạn và giá trị nút mạng).
  3. Bài toán (P3): Nghiên cứu hành vi tiệm cận dài hạn của nghiệm yếu đối với phương trình Navier-Stokes-Voigt 3 chiều với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất, bao gồm việc chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm yếu toàn cục, sự tồn tại của tập hút toàn cục hữu hạn chiều kèm ước lượng số chiều fractal, tính ổn định mũ của nghiệm dừng, và sự tồn tại của các phép chiếu và phiếm hàm xác định.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trên miền không gian giới hạn $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \in {2, 3}$), với phạm vi thời gian xét trên nửa trục dương $[0, \infty)$ hoặc toàn bộ trục thực $\mathbb{R}$ đối với các nghiệm tuần hoàn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết về các bậc tự do hữu hạn chi phối hành vi tiệm cận của dòng chảy rối bắt nguồn từ công trình của Foias và Prodi (1967) khi chứng minh rằng một số hữu hạn các mode Fourier bậc thấp (determining modes) có thể quyết định toàn bộ động lực học tiệm cận của phương trình Navier-Stokes 2 chiều. Khái niệm nút xác định (determining nodes) được Foias và Temam (1984) đưa ra nhằm phản ánh dữ liệu đo đạc tại các điểm rời rạc trong thực nghiệm, sau đó được Jones và Titi (1993) phát triển để thiết lập các ước lượng cận trên tối ưu phụ thuộc vào số Grashof ($Gr$). Các mở rộng cho phần tử thể tích xác định (determining volume elements) và hệ phiếm hàm xác định tổng quát được đề xuất bởi Cockburn, Jones, Titi (1997).

Đối với các mô hình điều chuẩn $\alpha$, Kalantarov và Titi (2009) đã nghiên cứu tính tiêu tán và mode xác định cho hệ NSV 3 chiều. Korn (2009) khảo sát mode và nút xác định cho các mô hình Navier-Stokes-$\alpha$, Leray-$\alpha$ và Navier-Stokes-$\omega$. Về mặt điều khiển, Azouani và Titi (2014) đề xuất khung lý thuyết điều khiển phản hồi hữu hạn chiều cho các phương trình tiến hóa tiêu tán tổng quát mà không cần giả định về sự phân tách thang không gian hay sự tồn tại của đa tạp quán tính (inertial manifold).

Về bài toán biên không thuần nhất, các kết quả nghiên cứu tập hút toàn cục chủ yếu tập trung vào phương trình Navier-Stokes 2 chiều (như các công trình của Temam, Miranville, Chepyzhov, Vishik). Đối với phương trình NSV, hầu hết các công trình trước đây chỉ xét điều kiện biên thuần nhất hoặc tuần hoàn, ngoại trừ nghiên cứu của You (2017) xét bài toán 2D trong miền Lipschitz.

Luận án của Nguyễn Thị Ngân định vị việc giải quyết các bài toán chưa được xử lý: thiết lập đánh giá định lượng số nút xác định cho phương trình NSV 3 chiều; mở rộng cơ chế điều khiển phản hồi của Azouani - Titi cho hệ NSV 2D và 3D; và phân tích tập hút toàn cục cho hệ NSV 3 chiều với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng khung lý thuyết giải tích hàm hiện đại, giải tích phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều:

  • Hệ thống không gian hàm: Không gian Lebesgue $L^p(\Omega)$, không gian hàm liên tục $C(\overline{\Omega})$, không gian Sobolev $W^{m,p}(\Omega)$, $H^m(\Omega)$, $H_0^1(\Omega)$ và không gian đối ngẫu $H^{-m}(\Omega)$. Các không gian chuyên dụng cho chất lưu không nén được $\mathcal{V} = {u \in (C_0^\infty(\Omega))^d : \text{div } u = 0}$, cùng các bao đóng tương ứng $H$ (trong $(L^2(\Omega))^d$) và $V$ (trong $(H_0^1(\Omega))^d$ hoặc $(H^1(\Omega))^d$ với điều kiện tuần hoàn và tích phân triệt tiêu).
  • Toán tử và dạng song tuyến/tam tuyến: Phép chiếu trực giao Helmholtz-Leray $P: (L^2(\Omega))^d \to H$, toán tử Stokes $A = -P\Delta$ với miền xác định $D(A) = (H^2(\Omega))^d \cap V$, toán tử song tuyến $B(u, v) = P((u \cdot \nabla)v)$ và dạng tam tuyến liên kết $b(u, v, w) = \langle B(u, v), w \rangle$.
  • Khung lý thuyết hệ động lực: Nửa nhóm toán tử nghiệm ${S(t)}_{t \ge 0}$, tập hút bị chặn (absorbing set), tính trơn tiệm cận (asymptotic smoothness), tính compact tiệm cận (asymptotic compactness), tính chất tách (splitting property $S(t) = S_1(t) + S_2(t)$) và số chiều fractal $d_f(\mathcal{A})$.

Các phương pháp nghiên cứu cụ thể bao gồm:

  • Phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin và các định lý nhúng compact: Sử dụng để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh toàn cục.
  • Kỹ thuật thác triển dữ liệu biên: Xây dựng hàm thác triển phù hợp của dữ kiện biên không triệt tiêu vào toàn miền để chuyển bài toán biên không thuần nhất về bài toán tương đương có điều kiện biên thuần nhất với các toán tử phụ trợ.
  • Bất đẳng thức Gronwall và bất đẳng thức Gronwall suy rộng: Đánh giá sự suy giảm năng lượng và sai số tiệm cận của hiệu hai nghiệm.
  • Phương pháp toán tử nội suy xấp xỉ: Áp dụng các toán tử nội suy $\mathcal{R}_h$ thỏa mãn các bất đẳng thức xấp xỉ chuẩn tắc để thiết kế các bộ điều khiển phản hồi cục bộ hoặc rời rạc.

Tư liệu và dữ liệu của luận án hoàn toàn dựa trên các mô hình toán học giải tích và các cấu trúc phương trình vi phân đạo hàm riêng, không sử dụng dữ liệu thống kê hay khảo sát thực nghiệm xã hội.

Nội dung chính theo từng chương

                       CẤU TRÚC LUẬN ÁN TIẾN SĨ
  Chương 1                    Chương 2                    Chương 3 & 4
Kiến thức chuẩn bị        Cận trên số nút             Điều khiển phản hồi
và kết quả bổ trợ        xác định cho NSV 3D         & Biên không thuần nhất
(Hội tụ yếu, Sobolev,     (Nghiệm không dừng,         (Ổn định hóa nghiệm dừng,
Tập hút, Dạng tam tuyến)    Dừng, Tuần hoàn)          Tập hút 3D không thuần nhất)

Chapter 1. PRELIMINARIES AND AUXILIARY RESULTS

Chương này hệ thống hóa các kiến thức bổ trợ và công cụ giải tích phục vụ cho các chương nghiên cứu chuyên sâu:

  • Nhắc lại lý thuyết hội tụ yếu và hội tụ yếu-$*$ trong không gian Banach phân ly và phản xạ; định lý Banach-Alaoglu; các bất đẳng thức giải tích kinh điển (bất đẳng thức Young với $\epsilon$, bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Poincaré).
  • Trình bày cấu trúc không gian Sobolev, định lý nhúng Sobolev-Rellich-Kondrachov, tính chất của các không gian trạng thái $H$, $V$, $D(A)$ và toán tử Stokes $A$.
  • Phân tích dạng tam tuyến $b(u, v, w)$ và thiết lập các đánh giá then chốt: $$|(B(u, v), w)| \le c_1 |u|^{1/2} |Au|^{1/2} |v| |w|^{1/2} |w|^{1/2}, \quad \forall u \in D(A), v \in V, w \in V$$ $$|(B(u, v), w)| \le c_1 |u| |v| |w|^{1/2} |w|^{1/2}, \quad \forall u, v, w \in V$$
  • Thiết lập bất đẳng thức liên hệ giữa các chuẩn: $$|w|^2 \ge d_0 (|w|^2 + \alpha^2 |w|^2), \quad \text{với } d_0 = \frac{\lambda_1}{1 + \alpha^2 \lambda_1}$$
  • Trình bày khung lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, định nghĩa tập hút toàn cục $\mathcal{A}$, tính chất tiêu tán, tính compact tiệm cận thông qua tính chất tách $S(t) = S_1(t) + S_2(t)$, định nghĩa số chiều fractal $d_f(\mathcal{A})$ và định lý Gronwall suy rộng.

Chapter 2. BOUNDS ON THE NUMBER OF DETERMINING NODES FOR 3D NAVIER-STOKES-VOIGT EQUATIONS

Chương 2 tập trung giải quyết Bài toán (P1) cho hệ NSV 3 chiều trên miền lập phương $\Omega = (0, L)^3$ với điều kiện biên tuần hoàn. Miền $\Omega$ được phân chia thành $N$ khối lập phương con bằng nhau $\Omega_j$ ($j = 1, \dots, N$) với độ dài cạnh $h = L/N^{1/3}$, mỗi khối chứa một nút mạng $x_j \in \Omega_j$. Tập hợp các điểm $\mathcal{N} = {x_1, \dots, x_N}$ tạo thành một lưới quan sát rời rạc.

Nghiên cứu sinh trước hết chứng minh tính bị chặn tiệm cận của nghiệm yếu và nghiệm mạnh toàn cục theo số Grashof tổng quát $Gr = \frac{1}{\nu^2 \lambda_1^{3/4}} \limsup_{t \to \infty} |f(t)|$: $$\limsup_{t \to \infty} (|u(t)|^2 + \alpha^2 |u(t)|^2) \le \frac{\nu^2 \lambda_1^{1/2}}{d_0} Gr^2$$ $$\limsup_{t \to \infty} (|u(t)|^2 + \alpha^2 |Au(t)|^2) \le \frac{2\nu^2 \lambda_1^{3/2}}{d_0} Gr^2 + \frac{27 c_1^4 \nu^2 \lambda_1^{3/2}}{2\alpha^6 d_0^4} Gr^6$$

Các kết quả chính của chương gồm 3 định lý định lượng:

Lớp nghiệm khảo sát Điều kiện cận dưới của số nút mạng ($N$) Kết quả hội tụ tiệm cận
Nghiệm không dừng (Instationary - Theorem 2.1) $N > \left( \frac{216 c_1^4 c_4 \lambda_1 L^2 Gr^4}{\alpha^4 d_0^2} \right)^{3/2}$ $\lim_{t \to \infty} |u(t) - v(t)|_{D(A)} = 0$ khi sai số tại các nút tiến về 0
Nghiệm dừng (Stationary - Theorem 2.2) $N > \max\left{ \left( \frac{216 c_1^4 c_4 \lambda_1 L^2 Gr^4}{\alpha^4 d_0^2} \right)^{3/2}, \left( \frac{8 c_1^3 f_\infty
Nghiệm tuần hoàn (Periodic - Theorem 2.3) $N > \max\left{ \left( \frac{216 c_1^4 c_4 \lambda_1 L^2 Gr^4}{\alpha^4 d_0^2} \right)^{3/2}, \left( \frac{27 c_1^4 c_4 L^2 \Gamma^2}{2\nu^4} \right)^{3/2} \right}$ Nghiệm $u(t)$ hội tụ đều về nghiệm tuần hoàn duy nhất $\phi(t)$ chu kỳ $T$

Các đánh giá này khẳng định rằng động lực học vô hạn chiều của phương trình NSV 3 chiều hoàn toàn bị kiểm soát bởi một số hữu hạn các điểm quan sát rời rạc trong không gian vật lý, với cận trên phụ thuộc tường minh vào các tham số vật lý $\nu, \alpha, L$ và lực cưỡng bức $f$.

Chapter 3. FEEDBACK CONTROL OF NAVIER-STOKES-VOIGT EQUATIONS BY FINITE DETERMINING PARAMETERS

Chương 3 giải quyết Bài toán (P2) về ổn định hóa nghiệm dừng không ổn định $u^$ của phương trình NSV với điều kiện biên tuần hoàn. Khi ngoại lực $f$ không thỏa mãn điều kiện ổn định tự nhiên ($\nu \le \frac{\tilde{c}_0 |f|}{\nu \lambda_1^{3/4}}$), nghiệm dừng $u^$ có thể mất ổn định.

Để ổn định hóa $u^$, luận án thiết kế phương trình điều khiển phản hồi: $$\frac{d}{dt}(u + \alpha^2 Au) + \nu Au + B(u, u) = f - \mu \mathcal{R}_h(u - u^)$$ trong đó $\mu > 0$ là độ lợi điều khiển (feedback gain) và $\mathcal{R}_h$ là một toán tử nội suy xấp xỉ biểu diễn các đại lượng quan sát hữu hạn chiều:

  • Phép chiếu Fourier: Sử dụng phép chiếu trực giao $P_N$ lên không gian sinh bởi $N$ hàm riêng đầu tiên của toán tử Stokes.
  • Phần tử thể tích hữu hạn: Sử dụng toán tử lấy trung bình cục bộ trên lưới các ô thể tích con.
  • Giá trị tại các nút mạng (cho trường hợp 2D): Sử dụng toán tử nội suy đa thức từng phần dựa trên giá trị tại các nút rời rạc.

Luận án chứng minh rằng với việc chọn tham số $h$ đủ nhỏ (hoặc $N$ đủ lớn) và độ lợi điều khiển $\mu$ phù hợp, nghiệm của hệ kín sẽ hội tụ mũ về nghiệm dừng $u^$ trong chuẩn $V$: $$|u(t) - u^|^2 + \alpha^2 |u(t) - u^|^2 \le (|u_0 - u^|^2 + \alpha^2 |u_0 - u^*|^2) e^{-\kappa t}, \quad \kappa > 0$$

Chapter 4. ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THREE-DIMENSIONAL NON-HOMOGENEOUS NAVIER-STOKES-VOIGT EQUATIONS

Chương 4 khảo sát hệ phương trình NSV 3 chiều với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất $u|_{\partial\Omega} = \phi \ne 0$. Luận án triển khai các nội dung chính:

  • Khử điều kiện biên không thuần nhất: Xây dựng hàm thác triển Hopf-Leray $\Phi \in (H^2(\Omega))^3$ của dữ kiện biên $\phi$ sao cho $\text{div } \Phi = 0$, biến đổi nghiệm $u = v + \Phi$ đưa về phương trình đối với $v$ thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất $v|_{\partial\Omega} = 0$, xuất hiện thêm các số hạng tuyến tính và song tuyến phụ thuộc $\Phi$.
  • Tính đặt chỉnh toàn cục: Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục $v \in C([0, \infty); V) \cap L^2(0, T; D(A))$ bằng phương pháp Faedo-Galerkin.
  • Tập hút toàn cục và số chiều fractal: Chứng minh nửa nhóm ${S(t)}_{t \ge 0}$ có tập hút bị chặn trong $V$ và thỏa mãn tính chất tách $S(t) = S_1(t) + S_2(t)$ để suy ra tính compact tiệm cận. Từ đó thiết lập sự tồn tại của tập hút toàn cục $\mathcal{A} \subset V$ và đưa ra ước lượng cận trên cho số chiều fractal $d_f(\mathcal{A})$.
  • Nghiệm dừng và phiếm hàm xác định: Chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định mũ của nghiệm dừng khi hệ số nhớt đủ lớn so với dữ kiện biên và ngoại lực. Đồng thời, chứng minh sự tồn tại của các phép chiếu xác định và phiếm hàm xác định cho nghiệm yếu của hệ không thuần nhất 3 chiều.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các kết quả khoa học mới sau:

  1. Thiết lập cận trên cho số nút xác định của hệ NSV 3 chiều: Đưa ra các chặn trên định lượng đầu tiên cho số nút xác định đối với cả ba lớp nghiệm (không dừng, dừng và tuần hoàn) của phương trình Navier-Stokes-Voigt 3 chiều với điều kiện biên tuần hoàn, biểu diễn tường minh qua các hệ số vật lý $\alpha, \nu, L, \lambda_1$ và số Grashof $Gr$.
  2. Xây dựng giải pháp điều khiển phản hồi hữu hạn chiều: Mở rộng thành công phương pháp của Azouani - Titi để ổn định hóa nghiệm dừng của hệ NSV trong không gian 2D và 3D bằng các bộ điều khiển phản hồi dựa trên mode Fourier, thể tích hữu hạn và giá trị nút mạng mà không cần điều kiện tách thang không gian.
  3. Giải quyết bài toán biên Dirichlet không thuần nhất 3D: Chứng minh trọn vẹn tính đặt chỉnh toàn cục, sự tồn tại của tập hút toàn cục compact hữu hạn chiều cùng ước lượng số chiều fractal, và thiết lập lý thuyết phiếm hàm xác định cho phương trình NSV 3 chiều với điều kiện biên không thuần nhất.

Các kết quả này đã được công bố trong 3 công trình khoa học ([CT1], [CT2] đã xuất bản và [CT3] đã gửi đăng) và báo cáo tại seminar chuyên môn của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ theo nội dung và phạm vi nghiên cứu của luận án:

  • Các đánh giá cận trên cho số nút xác định ở Chương 2 và sơ đồ điều khiển ở Chương 3 chủ yếu được thiết lập trên miền lập phương với điều kiện biên tuần hoàn.
  • Ước lượng cận trên số nút mạng phụ thuộc bậc lũy thừa tương đối cao vào số Grashof ($Gr^6$), để lại không gian cho các kỹ thuật làm mịn giải tích nhằm tối ưu hóa bậc tiệm cận.
  • Hướng mở rộng tiếp theo được tác giả định hướng bao gồm: nghiên cứu hành vi tiệm cận hữu hạn chiều cho các mô hình điều chuẩn liên quan như hệ từ thủy động lực học Voigt (MHD-Voigt) 3 chiều, khảo sát phương trình NSV với lực kích động dao động nhanh theo thời gian hoặc trong các miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo hữu ích cho:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích, Phương trình vi phân và Hệ động lực: Cung cấp phương pháp luận chặt chẽ trong việc xử lý phương trình đạo hàm riêng hyperbolic tắt dần, kỹ thuật ước lượng dạng tam tuyến và phân tích tập hút toàn cục.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu cơ học chất lưu lý thuyết: Cung cấp cơ sở toán học giải tích về tính hữu hạn chiều của dòng chảy rối trong các mô hình điều chuẩn $\alpha$, làm tiền đề cho việc phân tích độ ổn định và thuật toán đồng hóa dữ liệu (data assimilation).
  • Các nhà nghiên cứu lý thuyết điều khiển: Cung cấp khung thuật toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều áp dụng cho các hệ tiêu tán phi tuyến không có đa tạp quán tính.

Câu hỏi thường gặp

1. Số hạng $-\alpha^2 \Delta u_t$ trong phương trình Navier-Stokes-Voigt có vai trò toán học và vật lý gì?

Về mặt vật lý, số hạng $-\alpha^2 \Delta u_t$ đại diện cho hiệu ứng đàn hồi của chất lưu nhớt đàn hồi tuyến tính (với $\alpha$ là thang độ dài đàn hồi). Về mặt toán học, số hạng này đóng vai trò điều chuẩn, biến phương trình Navier-Stokes từ dạng parabolic sang dạng hyperbolic có tắt dần, mang lại tính đặt chỉnh toàn cục (nghiệm tồn tại duy nhất và trơn theo cả hai chiều thời gian) ngay cả trong không gian 3 chiều.

2. Định nghĩa tập nút xác định (determining nodes) trong luận án được hiểu như thế nào?

Một tập hữu hạn gồm $N$ điểm $\mathcal{N} = {x_1, \dots, x_N} \subset \Omega$ được gọi là tập nút xác định nếu với hai nghiệm bất kỳ $u, v$, khi khoảng cách giữa các giá trị đo đạc tại các điểm này triệt tiêu khi thời gian tiến ra vô cùng ($\lim_{t \to \infty} |u(x_j, t) - v(x_j, t)| = 0, \forall j$), thì sự sai khác giữa hai trường vận tốc trên toàn miền $\Omega$ cũng hội tụ đều về $0$ khi $t \to \infty$.

3. Sơ đồ điều khiển phản hồi của Azouani - Titi ứng dụng trong luận án có ưu điểm gì so với phương pháp truyền thống?

Sơ đồ điều khiển phản hồi này sử dụng trực tiếp các toán tử nội suy xấp xỉ (mode Fourier, thể tích hữu hạn, nút mạng) tác động lên hệ thống mà không đòi hỏi hệ phương trình phải có sự phân tách thang không gian hoặc phải tồn tại đa tạp quán tính (inertial manifold), giúp việc thiết kế bộ điều khiển trở nên đơn giản và áp dụng được trực tiếp cho hệ NSV 2D và 3D.

4. Phương pháp nào được sử dụng để xử lý điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất trong không gian 3D ở Chương 4?

Luận án sử dụng phương pháp thác triển dữ liệu biên Hopf-Leray. Bằng cách xây dựng hàm thác triển không phân kỳ $\Phi$ của dữ liệu biên $\phi$ vào toàn miền $\Omega$, bài toán được quy về tìm nghiệm sai phân $v = u - \Phi$ thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất $v|_{\partial\Omega} = 0$, sau đó áp dụng phương pháp Faedo-Galerkin và lý thuyết tập hút cho hệ biến đổi.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Thị Ngân đã giải quyết hoàn chỉnh ba bài toán trọng tâm về hành vi tiệm cận hữu hạn chiều của phương trình Navier-Stokes-Voigt trong không gian hai và ba chiều. Tác giả đã thiết lập các ước lượng cận trên định lượng tường minh cho số lượng nút xác định, xây dựng thành công cơ chế ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi hữu hạn tham số, và làm sáng tỏ cấu trúc tập hút toàn cục hữu hạn chiều cho bài toán biên không thuần nhất 3 chiều. Các kết quả đạt được thể hiện đóng góp học thuật rõ nét cho lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và lý thuyết định tính của cơ học chất lưu.