Giáo trình Toán Cao Cấp C1 - Phân tích Chuỗi Số, Hội Tụ Và Ứng Dụng Trong Khoa Học

Giáo trình toán học về toán cao cấp c1 3, biên soạn theo chương trình đào tạo chuẩn, hệ thống hóa kiến thức từ cơ bản đến nâng cao.

• Trường học: Trường Bách Khoa Paris (École Polytechnique)
• Chuyên ngành: Toán cao cấp
• Đề tài: Chuỗi số
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Địa điểm: Paris

Tóm tắt

I. Tổng quan kiến thức chuỗi số trong giáo trình toán cao cấp

Trong chương trình toán cao cấp, chuỗi số là một khái niệm nền tảng, mở rộng ý tưởng về tổng hữu hạn sang tổng vô hạn các số hạng. Hiểu rõ về chuỗi số là điều kiện tiên quyết để tiếp cận các lĩnh vực giải tích phức tạp hơn. Một chuỗi số được hình thành từ một dãy số vô hạn, và câu hỏi trọng tâm luôn là xác định xem tổng vô hạn đó có tiến tới một giá trị hữu hạn hay không. Quá trình này được gọi là khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. Nếu tổng tiến tới một giá trị hữu hạn, chuỗi được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tổng tiến tới vô cùng hoặc không tồn tại, chuỗi được gọi là phân kỳ. Việc xác định tính hội tụ này không chỉ là một bài toán lý thuyết. Nó có ứng dụng sâu sắc trong vật lý, kỹ thuật, và đặc biệt là kinh tế học, nơi các mô hình tăng trưởng và dự báo thường dựa trên các chuỗi vô hạn. Các khái niệm như tổng riêng, chuỗi số dương, và chuỗi đan dấu là những công cụ cơ bản để phân loại và phân tích chuỗi. Nắm vững định nghĩa và các tính chất cơ bản của chuỗi hội tụ là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi việc áp dụng các tiêu chuẩn hội tụ chuyên biệt. Tài liệu gốc định nghĩa rõ ràng: "Nếu dãy số (S_n) có giới hạn hữu hạn là S thì S được gọi là tổng của chuỗi... và chuỗi được gọi là hội tụ". Đây là định nghĩa cốt lõi chi phối toàn bộ chương học về chuỗi số.

1.1. Định nghĩa cơ bản Chuỗi số và tổng riêng là gì

Một chuỗi số là một biểu thức có dạng tổng vô hạn các số hạng của một dãy số. Cụ thể, cho một dãy số thực (u_n), biểu thức Σu_n từ n=1 đến vô cùng được gọi là một chuỗi số. Mỗi giá trị u_n được gọi là số hạng thứ n của chuỗi. Để phân tích hành vi của tổng vô hạn này, khái niệm tổng riêng thứ n, ký hiệu là S_n, được giới thiệu. Tổng riêng S_n được định nghĩa là tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi: S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n. Dãy các tổng riêng (S_n) chính là chìa khóa để xác định tính hội tụ. Nếu dãy (S_n) có giới hạn hữu hạn khi n tiến ra vô cùng, chuỗi số đó được gọi là hội tụ. Giới hạn đó chính là tổng của chuỗi. Ngược lại, chuỗi được gọi là phân kỳ.

1.2. Phân loại chuỗi số Chuỗi số dương và chuỗi đan dấu

Việc phân loại chuỗi số giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát sự hội tụ bằng cách áp dụng các công cụ phù hợp. Hai loại phổ biến nhất là chuỗi số dương và chuỗi đan dấu. Một chuỗi số dương là chuỗi mà tất cả các số hạng của nó đều không âm (u_n ≥ 0 với mọi n). Đặc điểm quan trọng của chuỗi dương là dãy tổng riêng (S_n) của nó là một dãy không giảm. Do đó, chuỗi dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn trên. Ngược lại, một chuỗi đan dấu là chuỗi có các số hạng liên tiếp đổi dấu, ví dụ như Σ(-1)^(n+1)u_n với u_n > 0. Việc khảo sát các chuỗi này đòi hỏi các tiêu chuẩn riêng, như tiêu chuẩn Leibniz, vì tính dao động của các số hạng có thể dẫn đến sự hội tụ ngay cả khi chuỗi các giá trị tuyệt đối của nó phân kỳ.

1.3. Khái niệm cốt lõi Sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi

Khái niệm sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi là trọng tâm của toàn bộ lý thuyết. Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng riêng (S_n) của nó tiến tới một giới hạn hữu hạn S khi n tiến tới vô cùng. Giá trị S này được gọi là tổng của chuỗi. Ngược lại, một chuỗi được gọi là phân kỳ nếu dãy (S_n) không có giới hạn hữu hạn. Điều này có thể xảy ra khi S_n tiến tới +∞, -∞, hoặc không tiến tới bất kỳ giới hạn nào. Ví dụ kinh điển về chuỗi phân kỳ là chuỗi điều hòa Σ(1/n), mặc dù số hạng tổng quát của nó tiến tới 0. Việc hiểu rõ sự khác biệt giữa hội tụ và phân kỳ là nền tảng để áp dụng đúng các định lý và tiêu chuẩn trong giải toán.

II. Thách thức lớn khi xét sự hội tụ của một chuỗi số phức tạp

Việc xác định sự hội tụ của chuỗi số là một trong những thách thức chính trong giải tích. Mặc dù định nghĩa hội tụ dựa trên giới hạn của dãy tổng riêng là rõ ràng, việc tính toán trực tiếp giới hạn này thường rất khó hoặc không thể thực hiện được. Hầu hết các chuỗi số không có công thức tường minh cho tổng riêng S_n. Điều này buộc các nhà toán học phải phát triển một hệ thống các tiêu chuẩn hội tụ gián tiếp, không yêu cầu tính S_n. Tuy nhiên, sự đa dạng của các tiêu chuẩn này lại tạo ra một thách thức khác: lựa chọn tiêu chuẩn nào là phù hợp và hiệu quả nhất cho một chuỗi số cụ thể. Một sai lầm phổ biến là ngộ nhận về điều kiện cần để chuỗi hội tụ. Nhiều người cho rằng nếu số hạng tổng quát u_n tiến về 0 thì chuỗi sẽ hội tụ. Thực tế, đây chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ. Chuỗi điều hòa Σ(1/n) là minh chứng rõ ràng nhất, với lim(1/n) = 0 nhưng chuỗi lại phân kỳ. Việc nắm vững các sắc thái của từng tiêu chuẩn, hiểu rõ khi nào chúng hiệu quả và khi nào chúng không đưa ra kết luận, là kỹ năng quan trọng để giải quyết thành công các bài toán về chuỗi số.

2.1. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ và những lầm tưởng phổ biến

Một trong những nguyên tắc cơ bản nhất là điều kiện cần để chuỗi hội tụ. Định lý 5.1 trong tài liệu gốc phát biểu: "Nếu chuỗi Σu_n hội tụ thì lim u_n = 0 khi n → +∞". Đây là một công cụ mạnh để chứng minh một chuỗi phân kỳ. Nếu giới hạn của số hạng tổng quát khác không hoặc không tồn tại, có thể kết luận ngay chuỗi đó phân kỳ. Tuy nhiên, một lầm tưởng phổ biến là đảo ngược mệnh đề này. Việc lim u_n = 0 không đảm bảo chuỗi sẽ hội tụ. Ví dụ được nêu trong tài liệu: chuỗi Σln(1 + 1/n) có lim u_n = 0 nhưng vẫn phân kỳ. Hiểu rõ tính một chiều của điều kiện này giúp tránh được những kết luận sai lầm và định hướng việc sử dụng các tiêu chuẩn mạnh hơn để kiểm tra sự hội tụ.

2.2. Khó khăn khi lựa chọn tiêu chuẩn hội tụ phù hợp nhất

Khi điều kiện cần được thỏa mãn, thách thức tiếp theo là chọn đúng tiêu chuẩn hội tụ từ một danh sách dài các lựa chọn: tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D'Alembert, tiêu chuẩn Cauchy, v.v. Mỗi tiêu chuẩn có điểm mạnh riêng và chỉ hiệu quả với một số dạng chuỗi nhất định. Ví dụ, tiêu chuẩn D'Alembert (tiêu chuẩn tỷ số) rất hữu ích cho các chuỗi chứa giai thừa (n!) hoặc lũy thừa (a^n). Trong khi đó, tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức) lại phát huy tác dụng với các chuỗi có số hạng tổng quát ở dạng (f(n))^n. Việc lựa chọn sai tiêu chuẩn có thể dẫn đến giới hạn bằng 1, trường hợp mà tiêu chuẩn không đưa ra kết luận, gây lãng phí thời gian và công sức. Do đó, kỹ năng nhận dạng cấu trúc của số hạng tổng quát là chìa khóa để lựa chọn phương pháp tối ưu.

III. Các phương pháp xét hội tụ cho chuỗi số dương hiệu quả nhất

Đối với chuỗi số dương, việc xét sự hội tụ trở nên có hệ thống hơn nhờ vào tính chất đơn điệu của dãy tổng riêng. Một chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn trên. Dựa trên nguyên tắc này, nhiều tiêu chuẩn mạnh mẽ đã được phát triển. Các tiêu chuẩn so sánh là công cụ cơ bản, cho phép xác định tính hội tụ của một chuỗi phức tạp bằng cách so sánh nó với một chuỗi đơn giản hơn đã biết tính hội tụ (ví dụ như chuỗi p-series Σ1/n^α). Khi so sánh trực tiếp khó khăn, tiêu chuẩn so sánh giới hạn thường là một giải pháp thay thế hiệu quả. Đối với các chuỗi có cấu trúc đặc biệt hơn, tiêu chuẩn D'Alembert và tiêu chuẩn Cauchy cung cấp một cách tiếp cận dựa trên giới hạn. Các tiêu chuẩn này đặc biệt mạnh mẽ vì chúng biến đổi bài toán xét hội tụ thành bài toán tính giới hạn của một dãy số, vốn là một kỹ thuật quen thuộc trong giải tích. Việc thành thạo các phương pháp này cho phép phân tích một cách chính xác và nhanh chóng phần lớn các bài toán về chuỗi số dương trong chương trình toán cao cấp.

3.1. Hướng dẫn chi tiết sử dụng tiêu chuẩn so sánh 1 và 2

Tiêu chuẩn so sánh là một trong những công cụ nền tảng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương. Tiêu chuẩn so sánh 1 phát biểu rằng nếu 0 ≤ u_n ≤ v_n và chuỗi Σv_n hội tụ, thì chuỗi Σu_n cũng hội tụ. Ngược lại, nếu Σu_n phân kỳ thì Σv_n cũng phân kỳ. Chìa khóa ở đây là tìm một chuỗi v_n phù hợp để so sánh. Tiêu chuẩn so sánh 2, hay tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn, giải quyết vấn đề khi bất đẳng thức trực tiếp khó thiết lập. Tiêu chuẩn này xét giới hạn K = lim(u_n/v_n). Nếu 0 < K < +∞, thì hai chuỗi Σu_n và Σv_n có cùng tính chất hội tụ. Cả hai tiêu chuẩn này đều yêu cầu kiến thức về các chuỗi cơ bản như chuỗi hình học và chuỗi p-series để làm cơ sở so sánh.

3.2. Bí quyết áp dụng hiệu quả tiêu chuẩn D Alembert tỷ số

Tiêu chuẩn D'Alembert, hay tiêu chuẩn tỷ số, là một phương pháp rất mạnh. Tiêu chuẩn này xét giới hạn D = lim |u_(n+1)/u_n| khi n → +∞. Theo định lý 5.8, nếu D < 1, chuỗi hội tụ. Nếu D > 1, chuỗi phân kỳ. Trường hợp D = 1 không cho kết luận. Bí quyết để áp dụng hiệu quả tiêu chuẩn này là nhận diện các chuỗi có số hạng chứa giai thừa (ví dụ: n!), lũy thừa (ví dụ: a^n), hoặc tích của các số hạng liên tiếp. Khi tính giới hạn D, nhiều số hạng sẽ được triệt tiêu, làm cho việc tính toán trở nên đơn giản. Ví dụ 5.20 trong tài liệu sử dụng tiêu chuẩn này để khảo sát chuỗi Σ(n!/5^n) và kết luận chuỗi hội tụ vì giới hạn D = 0 < 1.

3.3. Cách dùng tiêu chuẩn Cauchy căn thức một cách chính xác

Tiêu chuẩn Cauchy, hay tiêu chuẩn căn thức, hoạt động dựa trên nguyên tắc tương tự tiêu chuẩn D'Alembert. Tiêu chuẩn này tính giới hạn C = lim |u_n|^(1/n) khi n → +∞. Theo định lý 5.9, nếu C < 1, chuỗi hội tụ. Nếu C > 1, chuỗi phân kỳ. Trường hợp C = 1 cũng không cho kết luận. Tiêu chuẩn Cauchy đặc biệt hữu ích khi số hạng tổng quát u_n có dạng [f(n)]^n, vì phép lấy căn bậc n sẽ khử số mũ n, đơn giản hóa biểu thức một cách đáng kể. Ví dụ 5.22 trong tài liệu áp dụng tiêu chuẩn này cho chuỗi Σ(n/(2n+1))^n và tìm được giới hạn C = 1/2 < 1, từ đó kết luận chuỗi hội tụ.

IV. Bí quyết chuyên sâu xử lý chuỗi có dấu và chuỗi đan dấu

Khi các số hạng của chuỗi không còn dương, việc phân tích trở nên phức tạp hơn. Chuỗi có dấu bất kỳ và trường hợp đặc biệt là chuỗi đan dấu yêu cầu những công cụ riêng biệt. Đối với chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibniz là công cụ chính. Tiêu chuẩn này cung cấp một bộ điều kiện đơn giản (dãy các giá trị tuyệt đối của số hạng giảm và tiến về 0) để kết luận sự hội tụ. Sự hội tụ của chuỗi đan dấu có thể tinh vi hơn chuỗi dương. Một khái niệm quan trọng được đưa ra là hội tụ tuyệt đối. Một chuỗi được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các giá trị tuyệt đối của nó hội tụ. Một định lý quan trọng khẳng định rằng nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì nó cũng hội tụ. Điều này cho phép sử dụng tất cả các tiêu chuẩn của chuỗi dương để kiểm tra sự hội tụ tuyệt đối. Nếu một chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, nó được gọi là bán hội tụ. Việc phân biệt hai loại hội tụ này là rất quan trọng, vì các chuỗi hội tụ tuyệt đối có nhiều tính chất tốt hơn, chẳng hạn như tính giao hoán của các số hạng.

4.1. Áp dụng tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu chính xác

Tiêu chuẩn Leibniz là một định lý dành riêng cho chuỗi đan dấu có dạng Σ(-1)^(n+1)u_n với u_n > 0. Theo Định lý 5.11, chuỗi này hội tụ nếu thỏa mãn hai điều kiện: (1) Dãy (u_n) là dãy giảm (hoặc không tăng), và (2) lim u_n = 0 khi n → +∞. Tiêu chuẩn này rất trực quan và dễ áp dụng. Ví dụ, chuỗi Σ(-1)^(n+1)/n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz vì dãy (1/n) là dãy giảm và có giới hạn bằng 0. Tiêu chuẩn này không chỉ khẳng định sự hội tụ mà còn cung cấp một công cụ để ước lượng sai số khi tính gần đúng tổng của chuỗi, một ứng dụng rất thực tế.

4.2. Tìm hiểu về khái niệm hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Đối với một chuỗi có dấu bất kỳ Σu_n, ta có thể xét chuỗi các giá trị tuyệt đối của nó là Σ|u_n|. Nếu chuỗi Σ|u_n| hội tụ, chuỗi ban đầu Σu_n được gọi là hội tụ tuyệt đối. Theo Định lý 5.12, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Đây là một kết quả rất mạnh mẽ. Ngược lại, nếu chuỗi Σu_n hội tụ nhưng chuỗi Σ|u_n| phân kỳ, thì chuỗi Σu_n được gọi là bán hội tụ (hay hội tụ có điều kiện). Ví dụ kinh điển là chuỗi Σ(-1)^(n+1)/n. Chuỗi này hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz), nhưng chuỗi các giá trị tuyệt đối của nó là chuỗi điều hòa Σ1/n, một chuỗi phân kỳ. Do đó, đây là một chuỗi bán hội tụ. Việc phân biệt hai khái niệm này rất quan trọng trong các bài toán phức tạp hơn.

V. Ứng dụng thực tiễn của chuỗi số trong phân tích kinh tế

Lý thuyết chuỗi số không chỉ dừng lại ở các bài toán trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tiễn, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế và tài chính. Một trong những ứng dụng rõ ràng nhất là mô hình hóa hiệu ứng số nhân kinh tế. Khi một lượng tiền được bơm vào nền kinh tế (ví dụ thông qua giảm thuế hoặc chi tiêu của chính phủ), số tiền đó sẽ được chi tiêu nhiều lần, tạo ra một chuỗi các hoạt động kinh tế. Tổng tác động lên nền kinh tế có thể được tính toán chính xác bằng cách sử dụng tổng của một chuỗi hình học. Việc xác định chuỗi này có hội tụ hay không tương đương với việc xác định xem tác động kinh tế có ổn định hay không. Nếu chuỗi phân kỳ, điều đó có thể chỉ ra một mô hình kinh tế không bền vững. Ví dụ cụ thể trong giáo trình về chương trình giảm thuế của chính phủ cho thấy cách một khái niệm toán học có thể mô tả một hiện tượng kinh tế phức tạp, biến các giả định về hành vi tiêu dùng thành một con số định lượng cụ thể về tổng số tiền chi tiêu gia tăng.

5.1. Phân tích mô hình số nhân kinh tế thông qua chuỗi số

Mô hình số nhân kinh tế là một ví dụ điển hình về ứng dụng của chuỗi số. Ví dụ 5.8 trong tài liệu mô tả một kịch bản: chính phủ giảm thuế 24 triệu đồng, và mỗi người có xu hướng chi tiêu 80% số tiền nhận được. Số tiền chi tiêu lần đầu là 24 * 0.8. Người nhận được số tiền này lại chi tiêu 80% của nó, tạo ra vòng chi tiêu thứ hai là (24 * 0.8) * 0.8. Quá trình này tiếp tục vô hạn, tạo thành một chuỗi hình học với số hạng đầu a = 24 * 0.8 và công bội q = 0.8. Mô hình này cho thấy mỗi hành động kinh tế ban đầu có thể tạo ra một chuỗi các tác động lan truyền.

5.2. Hướng dẫn tính tổng chi tiêu trong chuỗi vô hạn

Để tính tổng tác động của chuỗi chi tiêu vô hạn, ta cần tính tổng của chuỗi hình học đã xác định. Công thức tổng của một chuỗi hình học hội tụ (khi |q| < 1) là S = a / (1 - q). Trong ví dụ của tài liệu, với a = 24 * 0.8 và q = 0.8, tổng số tiền chi tiêu là S = (24 * 0.8) / (1 - 0.8) = 19.2 / 0.2 = 96 triệu đồng. Phép tính này cho thấy từ một khoản giảm thuế 24 triệu đồng ban đầu, tổng lượng chi tiêu phát sinh trong nền kinh tế là 96 triệu đồng. Điều này minh họa một cách mạnh mẽ cách lý thuyết sự hội tụ của chuỗi số được sử dụng để đưa ra các dự báo kinh tế định lượng.

VI. Tổng kết các tiêu chuẩn hội tụ và những lưu ý quan trọng

Việc nắm vững lý thuyết chuỗi số đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các khái niệm và khả năng vận dụng linh hoạt các tiêu chuẩn hội tụ. Không có một phương pháp vạn năng nào cho tất cả các loại chuỗi. Thay vào đó, người học cần xây dựng một chiến lược tiếp cận bài toán một cách có hệ thống. Bước đầu tiên luôn là kiểm tra điều kiện cần: liệu số hạng tổng quát có tiến về 0 hay không. Nếu không, chuỗi chắc chắn phân kỳ. Nếu có, cần phân loại chuỗi (dương, đan dấu, hay có dấu bất kỳ) để lựa chọn công cụ phù hợp. Đối với chuỗi số dương, các tiêu chuẩn so sánh, D'Alembert và Cauchy là những lựa chọn hàng đầu. Đối với chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibniz là công cụ trực tiếp nhất. Một lưu ý quan trọng là luôn phải kiểm tra cẩn thận các điều kiện của mỗi tiêu chuẩn trước khi áp dụng. Ngoài ra, việc ghi nhớ tính hội tụ của các chuỗi cơ bản như chuỗi p-series và chuỗi hình học là rất cần thiết, vì chúng thường được dùng làm cơ sở để so sánh trong các bài toán phức tạp hơn.

6.1. Xây dựng sơ đồ lựa chọn tiêu chuẩn xét sự hội tụ chuỗi số

Để hệ thống hóa kiến thức, có thể xây dựng một sơ đồ tư duy để lựa chọn tiêu chuẩn hội tụ. Bắt đầu bằng câu hỏi: lim u_n = 0?. Nếu KHÔNG, chuỗi phân kỳ. Nếu CÓ, tiếp tục: Chuỗi có phải là chuỗi dương không?. Nếu CÓ, xem xét cấu trúc của u_n: Có giai thừa hoặc lũy thừa không? -> thử tiêu chuẩn D'Alembert. Có dạng [f(n)]^n không? -> thử tiêu chuẩn Cauchy. Nếu không, thử các tiêu chuẩn so sánh. Nếu chuỗi không phải là chuỗi dương, hỏi: Có phải chuỗi đan dấu không?. Nếu CÓ, thử tiêu chuẩn Leibniz. Nếu là chuỗi có dấu bất kỳ, hãy kiểm tra sự hội tụ tuyệt đối bằng các tiêu chuẩn cho chuỗi dương. Sơ đồ này giúp định hướng suy nghĩ và chọn phương pháp một cách logic.

6.2. Các sai lầm phổ biến cần tránh khi giải bài tập chuỗi số

Trong quá trình giải bài tập chuỗi số, có một số sai lầm phổ biến cần tránh. Thứ nhất, ngộ nhận rằng lim u_n = 0 là điều kiện đủ cho sự hội tụ. Thứ hai, áp dụng sai tiêu chuẩn, ví dụ dùng tiêu chuẩn cho chuỗi dương để kết luận về sự hội tụ của một chuỗi đan dấu (thay vì phải dùng tiêu chuẩn Leibniz hoặc xét hội tụ tuyệt đối). Thứ ba, khi các tiêu chuẩn D'Alembert hoặc Cauchy cho kết quả giới hạn bằng 1, nhiều người kết luận sai hoặc bối rối. Cần nhớ rằng trường hợp này tiêu chuẩn không có tác dụng và phải sử dụng một phương pháp khác. Cuối cùng, các lỗi tính toán đại số khi tìm giới hạn cũng là một nguyên nhân phổ biến dẫn đến kết quả sai. Luôn kiểm tra lại các bước biến đổi và tính toán một cách cẩn thận.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chuong 5 CHUOI SO 5.1 Co ban vé chuéisé 2.2 Chuỗi số đương.3 Chuỗi có dâu bẫtkỳ.4 Bài tAD TT ,Ạ6U li, LẠ TC AE” và 1 TU 190 5.1 Cơ bản về chuỗi số 5.1 Các khái niệm về chuỗi số Cho day số thực („). Biểu thức BI 18 Uy that.1) MAIt L = được gọi là chuỗi số. được gọi là các số hạng của chuỗi số; #„ được gọi là số hạng thứ ø của chuỗi số. e Tổng ø số hạng đầu tiên của chuỗi số, n Sn = ye Uk, k=1 được goi la téng riéng thir n.1 Co ban vé chudi s6 175 e Néu day số (S„) có giới hạn hữu hạn 1a S thi S được gọi là tổng của chuỗi (5.1) được gọi là chuỗi số hội tự, ta viết +Ằœ 3 Mn.

; xí Nếu dãy (S„) không có giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi (5. © Phan du (chudi du) thu + của chuỗi (5.1) được ký hiệu là R„, R= }› Up. Từ dãy (min m1) ) ta thành lập được chuỗi ee này có số hạng thứ # là ager’ va tổng riêng thứ ø là: s1" ”. `) nn+T1) GIẾT PD HP DF SRST LAs ig ap Ae nO ned 2C.

tì>+co Vậy chuỗi hội tụ và tổng chuỗi bằng 1, tức là +00 1 y° ——__ = 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số bs In Í(a + x): n= Giải. Tổng riêng thir n cia chuỗi là ⁄ S„=m(1+1) Chi N 7 \ n 2. 3 +1 =Ing ting + A = In(# +1).

Do lim S$, = lim_In(n +1) = +00 nên chuỗi phân kỳ. "rời co no > {oo 176 CHUỖI SỐ Ví dụ 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi keo yas (5. Téng riéng thir n cla chuỗi này là Sh=1l+qtq@+.

Ta xét các trường hợp: e Nếu q = 0 thì S„ = 1.Do lim S„ = 1 nên nên chuỗi (5. nto e Néug =1thiS, =n.Do lim S, = +00 nén chudi (5. n>+00 e Néug 41 vaq # 0, thì ta có Sh =14+q9+@4+. +71 ạt, Suy ra (1—4)S„ =1—-” hay s=1-=# Š" rụrprr@r Dé thay rang, lim q” tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi —1 < z < 1.

Mà n-+-+00 Oe eee es ở đây đ z2 1 nên lim„_;o¿ S„ tổn tại khi và chỉ khi —1 < q < 1. Khi đó, de BR AS ON al Se Bug: 1 Vậy chuỗi (5.2) hội tụ khi và chỉ khi —1 < 4 < 1, và 5.12 Điều kiện can để chuỗi hội tụ Dinh lý 5.1) hội tự thì lim uy, = 0.1 Co ban vé chudi sô 177 Chứng minh.1) hội tụ nên lim S, = 8, H+ +00 với S hữu hạn. Suy ra lim = S. nà} no t Do đó ti OLE ed Alana) ai aiid 3 HAI +œ H ao Ví dụ 5.

Chuỗi số » nad phan ky do r1 ề : n 1 St, oper = ae Dị Chú ý 5.1) chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điểu kiện đủ để chuỗi (5. Chuỗi số } ` In (a+ ae có n=1 N 1 lim uy, = lim In (1 +—)=0 t+ 400 1? >+cóo N n} nhưng phân kỳ, theo Vi dụ 5. Chuỗi số 3` (—1)” phân kỳ do n=1 lim uy, = lim (T—1)” n»+-‡co n++00 không tổn tại.3 Tính chất của chuỗi hội tụ l. Nếu chuỗi 3 ` t„ hội tụ oà có tổng là S thì chuỗi c.un, ¢ la hang n=l n=l số, cũng hội tụ oà có tổng là c.

Gọi S„, 5ÿ ˆ lần lượt là tổng riêng, thứ ø của chuỗi » Un va chuối À7 c. n=l n=l aj, " Sy? = Sa in = C.F tn = Sn k=1 k=t và lima-›+œ Su = S nên lim„ „eo SE = c.S o 178 CHUOI SO Ví dụ 5. Do} nary = 1nên } SiT1 AGE) m3: Ví dụ 5. Chính phủ quyết định áp dụng chương trình giảm thuế nhằm kích thích nên kinh tế.

Giả sử bạn được giảm thuế 24 triệu đồng và bạn chỉ tiêu 80% số tiền này, và mỗi người nhận được số tiễn bạn chỉ tiêu cũng dành 80% số tiền họ nhận được để chỉ tiêu, và quá trình này tiếp tục không có kết thúc. Tổng số tiền chỉ tiêu là bao nhiêu nếu quá trình này tiếp tục như đã nêu? Giải. Số tiền chỉ tiêu lần thứ ø là 4. Do đó, tổng số tiền chỉ tiêu là ca aq 24.80% LA Sys 4E Ì= ga = 96 (triệu đổn 5 3.

TT—q = 1 1—80% bà» aq” = (4. Nếu chuối = Uy va chudi sẽ ø„ hội tự thì chuỗi Am (Un + 0n) hội n=l n=] nol tu va +00 v® a Yo (un + on) = Vo un t+ YO Ơn, n=1 n=1 n=1 Chứng minh. Gọi sf)ni s?) va sự lần lượt là tổng riêng thứ ø của chuỗi DPS Hu, P1 Dn va chudi S15 (un + Un). Ta cd s?) = Low + 0n)= yo tn oe vy = SK) 4 5?), Suy ra lim SỆ = tim (8h? n> +00 + 5?) lim sự dy lim sự š noe n+œ Mã 2 keo im, Sy -5 Un, „lim Sự y= yn Un nén suy ra keo +eœ +e Yi (tn +0n) = Yo ent Vo on.

Do} 771 mụịp == 1 va> DIS (3) ia = š nên ae 1 ng 3.2 Chuỗi số dương 179 Định lý 5.1) hội tụ thì chuỗi du pS,., ux cling hoi Fụ 0à ngược lại, nêu có chuỗi dự ee 41 Me AGi tụ thì chuỗi (5. Gọi S7, là tổng riêng thứ mm của chuỗi dư, ta có m mm n = Viuase= YO ue YO ug = Snam — Su.1) hội tụ nên mt) lim +60 Sntm = 8. m— +00 Vậy chuỗi dư hội tụ. Ngược lại, giả sử Soa uy hội tụ.

Ta chứng, tỏ (5. Ta có Sin = Sng + Sin—nig: Vì chuỗi dư hội tụ nên lim Sin-ng = 5S’ ER. m— +00 Suy ra ANH Sm = Su + SỐ. Tính hội tụ của chuỗi (5.1) sẽ không thau đổi nếu ta thêm hay bỏ đi một số hữu hạn các sô hạng đầu Hiên của nó.

= nữ] hội tụ khi và chỉ khi } 3œ att) hội tụ.2 Chuỗi số dương 5.1 Khái niệm chuỗi dương +00 Định nghĩa 5. Chuỗi 3” uv, duge goi la chudi sé duong néu tat cd cdc 86 n=1 hạng của nó củ nghĩa là u„ > 0, với mọi n €N. San là chuỗi số đương vì n Un — 2n=rT Har CS>0,Vn GO, € N. 00 Gọi S„ là tổng riêng thứ #r của chuỗi số đương 3 ` „.

Ta có nell Sn41 = Sn -t Ung > Sx, Vn € N, nghĩa là (S„) là đãy số tăng. Do đó, ta có 180 CHUOI SO +00 Dinh lý 5. Chuỗi số dương )) t„ hội Hụ khí oà chỉ khi dãy tổng riêng bị chặn ø=1 trên. ty mo Pl h.

Xét chuỗi số dương +a _ Tổng riêng phan thu a la n=1 V 1 1 1 S„=l+—+d.+— —=>"—= 4 " v2 oj it Vn : Ja vn Dãy (S„) không bị chặn nên chuỗi phan ky. Xét chuỗi điều hòa a 4 1 1 S`—=1+zc+.3) wn 2) H Fase 1 1 1 1 al Hoe =<, N. Gy "+1 npat TS SY geal gre (6-4) Gọi S„ là tổng riêng thứ ?: của chuỗi (5.4) ta có Bp te AEN WS 5°6'7 „n1 82 „AM eT 2 NS a J1 5 1 1À PGT pg 7T 2-1200 6áL TH DU) Bho aul 1 1 van TA in co2 wee op oa -Á{_ 8. +5 Suy ra (Sx) khéng bi chan.

Do d6, đấy (S„) cũng không bị chan. Chú thích 5. Cho hai chuỗi số đương 3} u31 0n. Đặt w " n 1) 2 ¬ 3 ¬ sự) = > ux, SY? = h® y= 2 (u + Ug).

“=1 = = Do si +s?) = s® nen néu LS (a + On) HO tụ thì (sr } bị chặn trên, dan đến Cà) và (sẽ 7 bị chặn trên. Vậy, +eo +00 + Ge +ơ„,) hội tụ = i, Un,ae ø„ cùng hội tụ.2 Chuỗi số dương 181 Ví dụ 5. Ta có +00 1 2 ; +00 1 2 pa +4") 4 héitu = pm va ca qˆ” hội tu =1 2 n=] Sp >lvag <1.2 Các tiêu chuẩn hội tu Tiêu chuẩn tích phân của Cauchy - Maclaurin Dinh ly 5. Gid sw ƒ(x) liên tục, không âm va giảm.

Khi đó, £(n) hội tụ <= vụ ƒ(x)dx hội tụ. Suy ra E/&+Ð < Delon 7008 = Ys) < Ure, n1 n-1 hay k=1 ya) —f0) =f"i feds < k=1Yo Fk) Từ đó, định ly duge chumg minh. Khảo sát tính hội tụ của chuỗi 3` xo 1 —~,a € R. Ta xét hai trường hợp: 4 7 1 4 ae.

e Néua < Othiu, = ae Ø, nên chuôi phân kỳ. 1 e Véi « > 0, ham f(x)= on là hàm không âm, liên tục và giảm trên 1, ly nên, theo tiêu chuẩn tích phân Maclaurin- Cauchy, chuỗi too xi = hội tụ © ‘he xa hội tụ Sa>tl. n=l 182 CHUOI SO Chú ý 5.6 có thể được khái quát như sau: Cho hàm số ƒ liên tục, không âm và giảm trên miễn [ro; +eo), với nọ € N*. Khi đó, a ƒ(n) hội tụ & i £(x)ax hội tụ.

Khảo sát tính hội tụ của chuỗi ` = ninn™ Giai. Ham f(x) = at không âm, liên tục trén [2; +00), va giam bdi vi Inx+1 ƒ# ; ME = [lv eal <0,Vx>> 2. Hơn nữa, ta có je ae xInx e x= ff ee nginx) end(l = Inín Indnx)|2™x)|‡°® = +00. Do đó, theo tiêu chuẩn tích phân Maclaurin- Cauchy, chuỗi đã cho phan kỳ.

R Tiêu chuẩn so sánh 1 Định lý 5. Cho hai chuỗi số dương: si Huy ĐỀ ° ø„ thỏa điều kiện n=1 n=1 Un < Un, Vn EN.5) boo +o Khi đó, nêu chuỗi 3” 0ạ hội tụ thì chuỗi ` 3 uạụ hội tụ. Gọi SẼ") và S‡?” lần lượt là tổng riêng thir n tương ứng của hai chuỗi đã cho. Ta có sf) = k=]By < k=1Soo = 90.

a nN +00 Do đó, nêu > vn hdi tu, tic day ($1?) bi chan trên thi day (SẼ!) cũng bị chăn trên. Vậy, n=l +00 = Uy hoi tu. Do hệ quả 5.1 nén diéu kién (5.5) c6 thé được thay bởi dno, Vn > ng: un < Vn.2 Chuỗi số dương 183 Ví dụ 5. Khảo sát tính hội tụ của các chuỗi E9 1 a b ) x vm.3"a TGS= iy , Sưne=n Giải.

a) Taco 1 _ 1 lẻ Lu ——,Vn > 2. n n2\~ \/n(n — 1) keo 1 Mà chuỗi ; Phân kỳ nên chuỗi "=——— tron. ae xu Vn(n — 1) b) Ta có 1 1 Jas® <= 3nzVn >1 Po Mà chuỗi = ve3 hội tụ nên chuỗi `. nai 3 n=1 ae @ Tiéu chuan so sánh 2 Định lý 5.

Xét hai chudi s6 duong ° uy, va > Un. Gid str tén tại giới hạn n=l n=1 (hữu hạn hoặc 0ô hạn) : Un K= lim —. t--+-+- oo Vn Khi do: 1. Néu K = 00a LES On h6i te thi ers 1 Hạ hội Hạ.

Nếu < K < œ thì 3® uụ oầ } „S3 oụ hoặc cừng hội tu hoặc cùng phân kỳ.