Chương I, phần biến ngẫu nhiên và các khái niệm liên quan (L6; L7; I.8) yêu cầu thực hành chỉ đặt ra đối với biến rời rac, còn đối với biến liên tục chỉ yêu cầu bạn đọc biết được các khái niệm và công thức tương ứng. Mặc dù đã cố gắng, song khó tránh khỏi sai sót. Tác giả mong nhận được sự lượng thứ và đóng góp ý kiến của bạn đọc. Mọi ý kiến xin gửi về Ban Biên tập Sách Đại học — Cao đẳng, CTCP Sách Đại học - Dạy nghề, Nhà Xuất bản Giáo dục — 25 Han Thuyén — Ha Nội.
Hà Nội, ngày 31/12/2006 TÁC GIẢ Chuong I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUÁ CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT —— =————————ễễ— LIL. GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giải tích tổ hợp, bạn đọc đã được học ở THPT, ngay cả đối với ban Xã hội và Nhân văn. Do đó, phần này chỉ nhac lai những điểm cần hiểu rõ của khái niệm để tránh nhầm lẫn khi dùng. Ví dụ minh họa được kết hợp trong các bài toán tính xác suất ở mục sau.
Thực ra, trong các kết quả của giải tích tổ hợp, với mức độ của giáo trình này, chỉ yêu cầu bạn đọc hiểu và dùng được tổ hợp, luật tích. Hoán vị, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp có thể được suy ra từ tổ hợp và luật tích (xem [1)). Tổ hợp: Khi lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập gồm n phần tử (ở đây là lấy đông thời, lấy cùng lúc, lấy một lần ra k phần tu; k <n), sao cho hai cách lấy ra k phần tử được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau (nghĩa là sự khác nhau về thứ tự của các phần tử không có ý nghĩa gì đối với cách lấy theo tổ hợp) thì: số cách lấy ra k phần tử từ n phần tử như trên được gọi là tổ hợp chập k của n, được ký hiệu là CE. Tổ hợp này được xác định như sau: t Ch=— "- kln-k)! trong dé: n! = n.(n—k)! 0!1=1 Chit C 1a viết tất của từ combination, nghia 1a tổ hợp.
Ré rang, ta thay ck phải là số nguyên, dương. Ta có: ck =crk C§ =C? =1 Cy =Cy7 =n (Bạn đọc hãy làm quen với việc tính nhẩm: Ci, G, Œ, Có, Có.) Trong máy tính Casio bỏ túi cũng đã có chương trình để tinh CK). +Tuật tích: Giả sử hiện tượng Á được thực hiện bởi k bước liên tiếp {k = 2, 3, .), trong đó bước thứ ¡ có n, cách thực hiện. Khi đó, để nhận được A ta có (n,.
nụ) cách thực hiện. Luật tổng: Giả sử hiện tượng Á được thực hiện nếu B được thực hiện hoặc nếu C được thực hiện. Khi đó, để nhận được A ta có (nụ + n¿) cách thực hiện với nụ, nẹ là số cách thực hiện B và C tương ứng. PHÉP THỦ VÀ BIẾN CỐ Trước hết, chúng ta bắt đầu từ những phép thử quen thuộc: Gieo một đồng tiển trên một mặt phẳng.
Đó là một phép thử. Phép thử này có hai khả nang (tinh huống) có thể xảy ra, đó là “xuất hiện mặt sấp" và “xuất hiện mặt ngửa”. Đấy cũng là hai biến cố sơ cấp. Gieo một con xúc xắc trên mặt phẳng.
Đó là một phép thử. Phép thử này có 6 khả năng (tình huống) có thể xây ra. Đó là “xuất hiện k chấm ở mặt trên của con xúc xác”, k= 1, 2. D6 cũng là 6 biến cố sơ cấp.
Nhưng tình huống “xuất là hiện mặt có số chấm chẵn” sẽ chỉ là biến cố, không phải biến cố sơ cấp. Rõ ràng, “xuất biện mặt có số chấm chan” cũng là một tình huống của phép thử. Vậy biến cố và biến cố sơ cấp khác nhau ở điểm nào? Chọn ngẫu nhiên một đại biểu, phống vấn ngẫu nhiên một khách hàng,. Đó cũng là các phép thử.
Tùy yêu cầu của phép thử mà ta có các khả năng cô thể khác nhau. Chẳng hạn, xét về giới tính của đại biểu thì phép thử có hai khả năng có thể, nhưng xét về thành phần giai cấp, xét về dân tộc, xét về nghề nghiệp,. thì phép thử lại có nhiều khả năng có thể. Bắn một viên đạn vào một mục tiêu cũng là một phép thủ.
Phép thử này có hai khả năng: có thể "trúng mục tiêu” và “không trúng mục tiêu”, cùng là hai biến số sơ cấp. Bắn một viên đạn vào bia để tính điểm - phép thử có 11 khả năng có thể: “Bắn được k điểm”, k= 0, 1,. Đó cũng là 11 biến cố sơ cấp. Nhưng “Bắn được điểm giỏi” không phải là biến cố sơ cấp.
Qua các ví dụ trên, chúng ta cần hình thành một số khái niệm: phép thử, biến cố, biến cố sơ cấp. ~ Thực hiện một hành động nào đó tức là ta đã thực hiện một phép thử. Phép thử mà ta không khẳng định chắc chắn được kết quả trước khi nó được thực hiện gọi là phép thử ngẫu nhiên. ~ Một khả năng (tình huống) có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố.
~ Biến cố không phân tích nhỏ hơn được nữa được gọi là biến cố sơ cấp. Lưu ý rằng số biến cố sơ cấp sẽ phụ thuộc vào nội dung và yêu cầu của phép thử, chứ không phụ thuộc vào người thực hiện phép thử. Các biến cố được phân chia thành ba loại chính như sau: — Biến cố không thể, ký hiệu $, là biến cố không thể xây ra khi phép thử được thực hiện. — Biến cố chắc chắn, ký h ệu @, là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện.
- Biến cố ngẫu nhiên, ký hiệu A, B, C,., là biến eố có thể xây ra và cũng có thể không xảy ra khi phép thử được thực hiện. Nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên, tức là nghiê n cứu các kết quả có thể của phép thủ, nghĩa là nghiên eứu các biến cố ngẫu nhiên chính là đối tượng nghiên cứu đầu tiên của Lý thuyết Xác suất. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Trong triết học cũng có phạm trù tất nhiên và ngẫu nhiên ~ Hiện tượng ngẫu nhiên trong triết học cũng được hiểu tương tự như biến cố ngẫu nhiên nói trên. Nhưng cách 8 nghiên cứu tính ngẫu nhiên trong triết học khác xa với cách nghiên cứu tính ngẫu nhiên của toán.
Để nghiên cứu các biến cố ngẫu nhiên, các nhà toán học đã xây dựng một khái niệm mới, được gọi là xác suất. Ở mức độ đơn giản dưới đây chỉ nêu định nghĩa xác suất dạng cổ điển. Định nghĩa: Xác suất của một biến cốA là một số không âm, ký hiệu là P(A), biểu thị khả năng xây ra biến cố A. P(A) được xác định như sau: Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Á P(A) = > > — x Số biến cố sơ cấp của phép thử Chữ P là viết tắt của từ probability, nghĩa là xác suất.
Biến cố sơ cấp được gọi là thuận lợi cho biến cố A nếu nó xảy ra thì suy ra biến cố A xảy ra. Định nghĩa này đúng với điều kiện các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra, do đó người ta gọi định nghĩa này là định nghĩa xác suất theo tính đồng khả năng. Tính chất của xác suốt: 0 < P(A) < 1 = 100% P() =0; P@) =1 P(A) + P(Ã) =1 (Á được tạm hiểu là phủ định của A). Xác suất là một khái niệm mới, nhưng thực chất lại là một khái niệm rất quen thuộc.
Đó là khả năng xây ta. Suy nghĩ về khả năng xây ra chúng ta số thấy các yêu cầu, các tính chất của xác suất được nêu ở trên là hợp lý và đúng đắn. Như vậy, bạn đọc đã tự cho mình một cách chứng minh đơn giản. Ở phần trên có để cập đến số khả năng.
Số khả năng khác với khả năng xây ra mà ta dùng để diễn đạt ý nghĩa của xác suất. Nhận xét: Theo định nghĩa cổ điển, để tim xác suất P(A) ta sẽ tìm hai con số ở tử số và mẫu số, rồi làm phép chia. Việc tim hai con số trên lại là bài toán sơ cấp: dùng giải tích tổ hợp hoặc đếm trực tiếp. Thông thường, chung ta tim số biến cố sơ cấp của phép thử trước, mà muốn tìm con sế nay dé dang thì ta phải phân tích phép thử để xem phép thử thực hiện một lần (lấy theo nghĩa tổ hợp) hay thực hiện k lần (dùng luật tích), sau đó tim số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A.
Ví dụ I1: Từ một tổ gồm 9 nam và 6 nữ, ta chọn ngẫu nhiên ra 5 người. Tìm xác suất: a) Chọn được 3 nam. b) Chon được 3 nữ, ©) Chọn được 1 nam. d) Chọn được 5 nữ.
e) Chọn được 5 nam. Giải: Phép thử ở đây là lấy cùng lúc ra 5 người đấy một lần). Do đó, số cách lấy sẽ là C7, = 3003 cách, hay ta có 3003 biến cố sở cấp ứng với phép thử đang xét. Dat A = {Chọn được 3 nam trong ð người chọn ra} = {Chọn được 3 nam và 2 nữ}.
Tương tự đối với các biến cố B, C, D, E. a) Để được A phải chọn hai lần, đầu tiên chọn ra 3 nam trong số9 nam, sau đó chọn ra 2 nữ trong số6 nữ. Theo luật tích ta có số cách chọn thuận lợi cho A la: Cả.15 = 1260 1260 Vay: P(A) = ——— = 0,4196 sự 4) 3003 b) Tương tự, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho B là: 720 C2.0020 0 5 C?, 3003 5 0 e) PŒ)= Cả-Có „128 > 0 04s0 G?, 3003 Qua 5 xác suất tìm được, ta thấy khả năng xảy ra biến cố A là cao nhất (~ 42%), còn khả năng xảy ra biến cố D là nhỏ nhất (~ 0,2%). Khi thực hiện chọn ra ð người cùng lúc trong một lần nào đó thì trong ð biến cố trên, chúng ta trông chờ xây ra biến cố A hoặc B và không hy vọng xảy ra biến cố €, D, E.
Nhưng nếu thực hiện phép thử trên 1000 lần, tức là 1000 lần lấy ra 6 người từ 15 người này thì sẽ có khoảng 420 (- 419,6) lần xảy ra biến cố A, khoảng 240 (~ 239,8) lần xảy ra biến cố B, khoảng 45 lần xảy ra biến cố C, khoảng 43 lần xảy ra biến cố E và chỉ khoảng 2 lần xây ra biến cố D. Ví dụ L2: Xét hai tình huống sau: a) Một đại hội gồm 100 đại biểu, trong đó có 30 đại biểu nữ. Chọn ngẫu nhiên ra một đại biểu. Tìm xác suất chọn được đại biểu nữ.
b) Tỷ lệ học sinh giới của trường là 20%. Trong lúc học ll sinh đang tập trung ở sân trường để sinh hoạt chung, hãy chọn ngẫu nhiên một học sinh.