Giải Tích 1 Chương 2: Hàm Số, Giới Hạn & Tính Liên Tục (Eureka Uni)

Tổng hợp đầy đủ kiến thức và bài tập giải tích 1 chương 2: Hàm số, giới hạn, tính liên tục. Tài liệu EurekaUni, full dạng, dễ hiểu, ôn thi hiệu quả.

• Tác giả: Hoàng Bá Mạnh
• Trường học: Đại học KTQD
• Chuyên ngành: Giải Tích
• Đề tài: Hàm Số: Giới Hạn & Tính Liên Tục
• Loại tài liệu: Tài liệu tham khảo
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 1. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ
• 1.1. Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞
• 1.1.1. Giới hạn hữu hạn
• 1.1.2. Giới hạn vô hạn
• 1.2. Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn
• 1.2.1. Giới hạn hữu hạn
• 1.2.2. Giới hạn vô hạn
• 2. CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN
• 2.1. Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản
• 2.2. Giới hạn của các hàm sơ cấp, hàm hợp
• 3. CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH CƠ BẢN
• 3.1. Các dạng vô định và giới hạn vô định cơ bản
• 3.2. Các giới hạn vô định kéo theo thường dùng
• 3.3. Tổng kết giới hạn vô định cơ bản và kéo theo thường dùng
• 3.4. Ví dụ luyện tập và lời giải
• 3.4.1. Ví dụ luyện tập
• 3.4.2. Các quy tắc tính giới hạn
• 3.4.3. Giải ví dụ luyện tập
• 4. SỬ DỤNG VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG
• 4.1. Vô cùng bé tương đương dạng cơ bản
• 4.2. Vô cùng bé và vô cùng bé tương đương
• 4.3. Ứng dụng VCB tương đương trong tính giới hạn
• 4.4. Tìm Vô cùng bé tương đương cho tổng các vô cùng bé
• 4.4.1. Tổng các vô cùng bé khác bậc – ngắt bỏ VCB bậc cao
• 4.4.2. Tổng các vô cùng bé cùng bậc
• 5. QUY TẮC KẸP (VÔ CÙNG BÉ) × (HÀM BỊ CHẶN)
• 5.1. Nội dung của Quy tắc kẹp
• 5.2. Ví dụ luyện tập
• 6. QUY TẮC L’HOSPITAL
• 6.1. Nội dung Quy tắc L’Hospital
• 6.2. Một số đạo hàm cơ bản
• 6.3. Ví dụ luyện tập giải chi tiết
• 7. GIỚI HẠN DẠNG THỨC LŨY THỪA MŨ
• 7.1. Cách cách dùng riêng cho 1∞
• 7.2. Giới hạn vô định cơ bản 1∞. Đổi về cơ số 𝒆𝒆
• 7.3. Quy tắc dùng cho dạng 𝟏𝟏∞
• 7.4. Phương pháp Logarit hóa
• 8. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
• 8.1. Hàm số liên tục, gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn
• 8.1.1. Liên tục tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎. Gián đoạn tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎
• 8.1.2. Liên tục trên miền
• 8.2. Tính liên tục của các hàm sơ cấp. Tính chất của hàm liên tục
• 8.3. Hàm số Liên tục đều
• 8.3.1. Minh họa Hàm số liên tục đều
• 8.3.2. Minh họa Hàm số không liên tục đều
• 8.3.3. Ví dụ luyện tập

Tóm tắt

I. Tổng Quan Giải Tích 1 Chương 2 Hàm Số Giới Hạn Liên Tục

Chương 2 của Giải Tích 1 tập trung vào ba khái niệm nền tảng: hàm số, giới hạn và tính liên tục. Các khái niệm này là cơ sở cho việc xây dựng các công cụ toán học mạnh mẽ hơn, như đạo hàm và vi phân, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Việc nắm vững các định nghĩa hàm số, cách tính giới hạn, và điều kiện liên tục của hàm số là vô cùng quan trọng để tiếp thu các kiến thức giải tích nâng cao hơn. Theo tài liệu tham khảo của Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010), việc hiểu rõ các khái niệm này giúp sinh viên có nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán thực tế phức tạp. Chương này cũng giới thiệu các giới hạn đặc biệt và tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ, mở rộng phạm vi ứng dụng của giải tích.

Chương này không chỉ đơn thuần là lý thuyết mà còn đi sâu vào các bài tập giải tích 1 và ví dụ giải tích 1 minh họa, giúp người học áp dụng kiến thức vào thực tế. Các công thức giải tích 1 quan trọng được trình bày một cách hệ thống, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và ôn luyện. Đây là một chương quan trọng, không thể bỏ qua trong giáo trình giải tích 1.

1.1. Định Nghĩa Hàm Số Miền Xác Định và Tập Giá Trị

Một hàm số được định nghĩa bởi một quy tắc gán mỗi phần tử từ miền xác định đến một phần tử duy nhất trong tập giá trị. Miền xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị mà hàm số có nghĩa. Tập giá trị của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị mà hàm số có thể nhận. Việc xác định đúng miền xác định và tập giá trị là bước đầu tiên và quan trọng trong việc phân tích và sử dụng hàm số. Ví dụ, hàm số f(x) = 1/x có miền xác định là tập hợp tất cả các số thực khác 0, và tập giá trị là tập hợp tất cả các số thực khác 0.

1.2. Các Loại Hàm Số Quan Trọng Hàm Số Ngược và Hàm Số Hợp

Hàm số ngược là hàm số "đảo ngược" tác động của hàm số ban đầu. Nếu f(x) = y, thì hàm số ngược f⁻¹(y) = x. Không phải hàm số nào cũng có hàm ngược. Một hàm số có hàm ngược khi và chỉ khi nó là hàm song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh). Hàm số hợp là hàm số được tạo thành bằng cách áp dụng một hàm số vào kết quả của một hàm số khác. Ví dụ, nếu f(x) = x² và g(x) = x + 1, thì hàm số hợp f(g(x)) = (x + 1)².

II. Vấn Đề Thường Gặp Khi Tính Giới Hạn và Tính Liên Tục

Trong quá trình học và làm bài tập về giới hạn hàm số và liên tục hàm số, sinh viên thường gặp phải một số vấn đề và thách thức. Một trong số đó là tính giới hạn của các hàm số có dạng vô định như 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 1^∞. Để giải quyết vấn đề này, cần nắm vững các quy tắc tính giới hạn, công thức tính giới hạn, và các phương pháp khác nhau như sử dụng vô cùng bé tương đương hay quy tắc L'Hospital. Một khó khăn khác là việc xét tính liên tục của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng. Cần kiểm tra xem hàm số có liên tục tại một điểm không bằng cách xem xét giới hạn của hàm số tại điểm đó có bằng giá trị của hàm số tại điểm đó hay không. Theo Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), việc không nắm vững các định nghĩa và tính chất của hàm liên tục dễ dẫn đến sai sót trong quá trình giải bài tập.

2.1. Giới Hạn Một Bên Giới Hạn Phải và Giới Hạn Trái

Giới hạn một bên là khái niệm mở rộng của giới hạn, xem xét giá trị của hàm số khi x tiến đến một điểm từ một phía (bên trái hoặc bên phải). Giới hạn phải là giới hạn của hàm số khi x tiến đến điểm đó từ bên phải (x > a). Giới hạn trái là giới hạn của hàm số khi x tiến đến điểm đó từ bên trái (x < a). Để hàm số có giới hạn tại một điểm, cả giới hạn phải và giới hạn trái phải tồn tại và bằng nhau.

2.2. Các Dạng Vô Định 0 0 và Cách Xử Lý

Các dạng vô định (0/0, ∞/∞, 0*∞, ∞ - ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0) là các biểu thức mà giá trị của chúng không thể xác định trực tiếp bằng cách thay giá trị của x. Để tính giới hạn của các biểu thức này, cần sử dụng các phương pháp khác nhau, như phân tích nhân tử, quy đồng mẫu số, nhân lượng liên hợp, hoặc sử dụng quy tắc L'Hospital. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào từng dạng vô định cụ thể.

2.3. Giới Hạn Vô Cực Khi Hàm Số Tiến Đến Vô Cùng

Giới hạn vô cực xảy ra khi giá trị của hàm số tiến đến vô cùng (dương vô cùng hoặc âm vô cùng) khi x tiến đến một điểm hoặc tiến đến vô cùng. Giới hạn vô cực thường xuất hiện trong các hàm phân thức hoặc các hàm có tiệm cận. Để tính giới hạn vô cực, cần xem xét dấu của tử và mẫu số và so sánh tốc độ tăng của các hàm số.

III. Top 3 Phương Pháp Tính Giới Hạn Giải Tích 1 Hiệu Quả Nhất

Có nhiều phương pháp tính giới hạn khác nhau, nhưng một số phương pháp được sử dụng phổ biến hơn và hiệu quả hơn trong nhiều trường hợp. Ba phương pháp sau đây là những phương pháp quan trọng nhất mà sinh viên cần nắm vững: (1) Sử dụng vô cùng bé tương đương (VCBTTĐ), (2) Sử dụng quy tắc L'Hospital, và (3) Sử dụng định lý kẹp. Việc lựa chọn phương pháp nào phụ thuộc vào dạng của hàm số và giới hạn cần tính. Tuy nhiên, việc hiểu rõ ưu và nhược điểm của từng phương pháp sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Eureka! Uni trên Youtube cũng có những video hướng dẫn rất chi tiết về các phương pháp tính giới hạn này.

3.1. Vô Cùng Bé Tương Đương Bí Quyết Tính Giới Hạn Nhanh Chóng

Vô cùng bé tương đương (VCBTTĐ) là một công cụ mạnh mẽ giúp tính giới hạn của các hàm số có dạng vô định. VCBTTĐ là một hàm số đơn giản hơn có cùng giới hạn với hàm số ban đầu khi x tiến đến một điểm. Việc thay thế hàm số ban đầu bằng VCBTTĐ của nó có thể đơn giản hóa đáng kể quá trình tính giới hạn. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng VCBTTĐ chỉ có thể được sử dụng trong các phép nhân và chia, không được sử dụng trong các phép cộng và trừ.

3.2. Quy Tắc L Hospital Hướng Dẫn Áp Dụng Chi Tiết

Quy tắc L'Hospital là một phương pháp tính giới hạn dựa trên việc lấy đạo hàm của tử và mẫu số. Quy tắc L'Hospital có thể được sử dụng để tính giới hạn của các hàm số có dạng vô định 0/0 hoặc ∞/∞. Để sử dụng quy tắc L'Hospital, cần kiểm tra xem các điều kiện của quy tắc có được thỏa mãn hay không (ví dụ, tử và mẫu số phải khả vi). Nếu các điều kiện được thỏa mãn, thì giới hạn của tỷ số các hàm số bằng giới hạn của tỷ số các đạo hàm của chúng.

3.3. Định Lý Kẹp Cách Sử Dụng Để Chứng Minh Sự Tồn Tại Giới Hạn

Định lý kẹp (hay còn gọi là định lý sandwich) là một công cụ hữu ích để chứng minh sự tồn tại của giới hạn và tính giá trị của giới hạn. Định lý kẹp nói rằng nếu một hàm số f(x) bị kẹp giữa hai hàm số g(x) và h(x) (tức là g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ) và giới hạn của g(x) và h(x) khi x tiến đến một điểm bằng nhau, thì giới hạn của f(x) khi x tiến đến điểm đó cũng bằng giá trị chung đó.

IV. Ứng Dụng Thực Tế Giải Tích 1 Trong Kinh Tế và Kỹ Thuật

Các khái niệm về hàm số, giới hạn và liên tục không chỉ là các khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là trong kinh tế và kỹ thuật. Trong kinh tế, giới hạn được sử dụng để phân tích tính ổn định của các mô hình kinh tế và dự đoán xu hướng thị trường. Trong kỹ thuật, tính liên tục được sử dụng để đảm bảo tính ổn định và độ tin cậy của các hệ thống và thiết bị. Việc hiểu rõ các ứng dụng của tính liên tục trong thực tế sẽ giúp sinh viên thấy được giá trị của kiến thức đã học và có động lực học tập hơn.

4.1. Các Phép Toán Trên Hàm Liên Tục Ứng Dụng Trong Mô Hình Hóa

Các phép toán trên hàm liên tục (ví dụ, tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) cũng là các hàm liên tục (với điều kiện mẫu số khác 0 trong phép chia). Điều này cho phép chúng ta xây dựng các mô hình toán học phức tạp từ các hàm số liên tục đơn giản. Các mô hình này có thể được sử dụng để mô phỏng và dự đoán hành vi của các hệ thống thực tế.

4.2. Định Lý Weierstrass và Định Lý Giá Trị Trung Gian Ý Nghĩa và Ứng Dụng

Định lý Weierstrass nói rằng một hàm số liên tục trên một khoảng đóng bị chặn sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Định lý giá trị trung gian nói rằng nếu một hàm số liên tục trên một khoảng đóng và nhận hai giá trị khác nhau, thì nó sẽ nhận tất cả các giá trị nằm giữa hai giá trị đó. Các định lý này có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm phương trình và tối ưu hóa các hàm số.

V. Cách Phân Loại Điểm Gián Đoạn Hàm Số Giải Tích 1 Chi Tiết

Việc hiểu rõ về điểm gián đoạn của hàm số là rất quan trọng trong giải tích. Điểm gián đoạn là điểm mà tại đó hàm số không liên tục. Có nhiều phân loại điểm gián đoạn khác nhau, mỗi loại có những đặc điểm riêng. Việc phân loại điểm gián đoạn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và có thể đưa ra các biện pháp xử lý phù hợp. Theo Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012), việc nắm vững các phân loại điểm gián đoạn giúp người học có thể xác định chính xác tính liên tục của hàm số trên toàn miền xác định.

5.1. Liên Tục Tại Một Điểm Điều Kiện và Ví Dụ Minh Họa

Một hàm số được gọi là liên tục tại một điểm x₀ nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn: (1) Hàm số xác định tại x₀ (f(x₀) tồn tại), (2) Giới hạn của hàm số khi x tiến đến x₀ tồn tại (lim x→x₀ f(x) tồn tại), và (3) Giới hạn của hàm số khi x tiến đến x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀ (lim x→x₀ f(x) = f(x₀)). Việc kiểm tra ba điều kiện này là cần thiết để xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm.

5.2. Điểm Gián Đoạn Khử Được Nguyên Nhân và Cách Khắc Phục

Điểm gián đoạn khử được là điểm gián đoạn mà tại đó giới hạn của hàm số tồn tại nhưng không bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Điểm gián đoạn khử được thường xảy ra khi hàm số có dạng phân thức mà tử và mẫu số có chung nhân tử. Để khắc phục điểm gián đoạn khử được, có thể rút gọn phân thức bằng cách chia cả tử và mẫu số cho nhân tử chung, hoặc định nghĩa lại giá trị của hàm số tại điểm đó.

5.3. Điểm Gián Đoạn Loại 1 và Loại 2 Phân Biệt và Ví Dụ

Điểm gián đoạn loại 1 là điểm gián đoạn mà tại đó cả giới hạn trái và giới hạn phải tồn tại nhưng không bằng nhau (hoặc ít nhất một trong hai giới hạn không bằng giá trị của hàm số tại điểm đó). Điểm gián đoạn loại 2 là điểm gián đoạn mà tại đó ít nhất một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại. Việc phân biệt giữa điểm gián đoạn loại 1 và loại 2 giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số gần điểm gián đoạn.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Giải Tích 1 Chương 2 Trong Tương Lai

Chương 2 của Giải Tích 1, bao gồm hàm số, giới hạn và tính liên tục, là nền tảng quan trọng cho việc học tập và nghiên cứu các môn toán cao cấp hơn. Việc nắm vững các khái niệm và phương pháp trong chương này sẽ giúp sinh viên tự tin giải quyết các bài toán phức tạp và áp dụng kiến thức vào thực tế. Trong tương lai, các nghiên cứu về giải tích có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính giới hạn và xét tính liên tục hiệu quả hơn cho các hàm số phức tạp, cũng như tìm kiếm các ứng dụng mới của các khái niệm này trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác.

6.1. Các Hướng Nghiên Cứu Mới Trong Giải Tích Hàm

Các hướng nghiên cứu mới trong giải tích hàm tập trung vào việc mở rộng các khái niệm về hàm số, giới hạn và liên tục cho các không gian hàm tổng quát hơn. Các kết quả nghiên cứu trong giải tích hàm có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính.

6.2. Ứng Dụng Của Giải Tích Trong Học Sâu và Trí Tuệ Nhân Tạo

Các khái niệm về giới hạn và tính liên tục đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và huấn luyện các mô hình học sâu và trí tuệ nhân tạo. Các thuật toán tối ưu hóa được sử dụng để huấn luyện các mô hình này dựa trên các nguyên lý của giải tích. Việc hiểu rõ các nguyên lý này giúp chúng ta thiết kế các thuật toán tối ưu hóa hiệu quả hơn và xây dựng các mô hình trí tuệ nhân tạo mạnh mẽ hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ: GIỚI HẠN & TÍNH LIÊN TỤC Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo 1. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế.

NXB Đại học KTQD. Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010). Giáo trình Giải tích 1. NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.

Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập II. NXB Giáo Dục. Free Video Playlists 1.

ĐẠI SỐ: https://tinyurl. GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full 3. GIẢI TÍCH: https://tinyurl. GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full 5.

TOÁN CAO CẤP NEU: https://tinyurl. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni. KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Momo/Shopee/Vietinbank/Techcombank/VPBank: 0986.312 Hoang Ba Manh MỤC LỤC 1.

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ. Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞. Giới hạn hữu hạn. Giới hạn vô hạn.

Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn. Giới hạn hữu hạn. Giới hạn vô hạn. CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN.

Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản. Giới hạn của các hàm sơ cấp, hàm hợp. CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH CƠ BẢN. Các dạng vô định và giới hạn vô định cơ bản.

Các giới hạn vô định kéo theo thường dùng. Tổng kết giới hạn vô định cơ bản và kéo theo thường dùng. Ví dụ luyện tập và lời giải. Ví dụ luyện tập.

Các quy tắc tính giới hạn. Giải ví dụ luyện tập. SỬ DỤNG VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG. Vô cùng bé tương đương dạng cơ bản.

Vô cùng bé và vô cùng bé tương đương. Ứng dụng VCB tương đương trong tính giới hạn. Tìm Vô cùng bé tương đương cho tổng các vô cùng bé. Tổng các vô cùng bé khác bậc – ngắt bỏ VCB bậc cao.

Tổng các vô cùng bé cùng bậc. Tìm VCB tương đương bằng khai triển Taylor, Maclaurin. Các khai triển Maclaurin thường gặp. Khai triển gián tiếp cho hàm hợp.

Áp dụng tính giới hạn. QUY TẮC KẸP (VÔ CÙNG BÉ) × (HÀM BỊ CHẶN). Nội dung của Quy tắc kẹp. Ví dụ luyện tập.

QUY TẮC L’HOSPITAL. Nội dung Quy tắc L’Hospital. Một số đạo hàm cơ bản. Ví dụ luyện tập giải chi tiết.

GIỚI HẠN DẠNG THỨC LŨY THỪA MŨ. Cách cách dùng riêng cho 1∞. Giới hạn vô định cơ bản 1∞. Đổi về cơ số 𝒆𝒆.

Quy tắc dùng cho dạng 𝟏𝟏∞. Phương pháp Logarit hóa. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ. Hàm số liên tục, gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn.

Liên tục tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎. Gián đoạn tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎. Liên tục trên miền. Tính liên tục của các hàm sơ cấp.

Tính chất của hàm liên tục. Hàm số Liên tục đều. Minh họa Hàm số liên tục đều. Minh họa Hàm số không liên tục đều.

Ví dụ luyện tập. 63 1 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞ 1.

Giới hạn hữu hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn 𝐿𝐿 khi 𝑥𝑥 → ∞ nếu ∀ 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, ∃ 𝑥𝑥0 > 0 sao cho ∀ |𝑥𝑥 | > 𝑥𝑥0 thì: |𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀 Ví dụ 1. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: 𝑥𝑥 2 1 lim = − 𝑥𝑥→+∞ 2 − 3𝑥𝑥 2 3 Xét 𝜀𝜀 > 0 và do 𝑥𝑥 → +∞ nên xét 𝑥𝑥 > 1, ta có: 𝑥𝑥 2 1 2 2 1 � + � = � � = < < 𝜀𝜀 2 − 3𝑥𝑥 2 3 3(2 − 3𝑥𝑥 2 ) 3(3𝑥𝑥 2 − 2) 𝑥𝑥 1 ⇔ 𝑥𝑥 > 𝜀𝜀 3 𝑥𝑥 > 1 ⇒ (3𝑥𝑥 2 − 2) > 3𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑥𝑥 2 + 2(𝑥𝑥 2 − 1) > 𝑥𝑥 2 > 𝑥𝑥 2 2 1 ⇒ < 3(3𝑥𝑥 2 − 2) 𝑥𝑥 1 Vậy với 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý và chọn 𝑥𝑥0 = , ∀𝑥𝑥 > 𝑥𝑥0 , ta luôn có: 𝜀𝜀 𝑥𝑥 2 1 � + � < 𝜀𝜀 2 − 3𝑥𝑥 2 3 Theo định nghĩa: Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 2 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 2 1 lim = − 𝑥𝑥→+∞ 2 − 3𝑥𝑥 2 3 𝑥𝑥 2 1 lim = − 𝑥𝑥→−∞ 2 − 3𝑥𝑥 2 3 Xét 𝜀𝜀 > 0 và do 𝑥𝑥 → −∞ nên xét 𝑥𝑥 < −1, ta có: 𝑥𝑥 2 1 2 2 1 1 � + � = � � = < < 𝜀𝜀 ⇔ |𝑥𝑥 | > 2 − 3𝑥𝑥 2 3 3(2 − 3𝑥𝑥 2 ) 3|3𝑥𝑥 2 − 2| |𝑥𝑥 | 𝜀𝜀 1 1 ⇔ −𝑥𝑥 > ⇔ 𝑥𝑥 < − 𝜀𝜀 𝜀𝜀 3 3 𝑥𝑥 < −1 ⇒ |3𝑥𝑥 2 − 2| = (3𝑥𝑥 2 − 2) > 3𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑥𝑥 2 + 2(𝑥𝑥 2 − 1) 2 2 > 𝑥𝑥 2 > |𝑥𝑥 | 1 Vậy, với 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝑥𝑥0 = và 𝑥𝑥 < −𝑥𝑥0 , ta luôn có: 𝜀𝜀 𝑥𝑥 2 1 � + � < 𝜀𝜀 2 − 3𝑥𝑥 2 3 Theo định nghĩa: 𝑥𝑥 2 1 lim = − 𝑥𝑥→−∞ 2 − 3𝑥𝑥 2 3 1. Giới hạn vô hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn ∞ khi 𝑥𝑥 → ∞ nếu ∀ 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, ∃ 𝑥𝑥0 sao cho ∀ |𝑥𝑥 | > 𝑥𝑥0 thì: |𝑓𝑓(𝑥𝑥 )| > 𝐸𝐸 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 3 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: 𝑥𝑥 2 lim = −∞ 𝑥𝑥→−∞ 2𝑥𝑥 − 3 Xét 𝐸𝐸 > 0 và do 𝑥𝑥 → −∞ nên ta xét 𝑥𝑥 < −1, lúc này ta có: 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 � �= > = > 𝐸𝐸 ⇔ 𝑥𝑥 < −5𝐸𝐸 2𝑥𝑥 − 3 3 − 2𝑥𝑥 −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 −5 𝑥𝑥 < −1 ⇒ −𝑥𝑥 > 1 ⇒ 3 − 2𝑥𝑥 < −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = −5𝑥𝑥 Theo 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý và 𝑥𝑥 < −5𝐸𝐸, ta luôn có: 𝑥𝑥 2 � � > 𝐸𝐸 2𝑥𝑥 − 3 Vậy theo định nghĩa: 𝑥𝑥 2 lim = −∞ 𝑥𝑥→−∞ 2𝑥𝑥 − 3 1.

Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn 1. Giới hạn hữu hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn 𝐿𝐿 khi 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 nếu ∀ 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, ∃ 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿 (𝜀𝜀 ) > 0 sao cho ∀ |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 thì: |𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) − 𝐿𝐿| < ⋯ < 𝑘𝑘 |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝜀𝜀 Ví dụ 3. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: √𝑥𝑥 + 6 lim =1 𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥 − 3 Xét 𝜀𝜀 > 0 và do 𝑥𝑥 → 3 nên ta xét 𝑥𝑥 > 2, khi đó: 𝑘𝑘|𝑥𝑥 − 3| < 𝜀𝜀 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 4 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) √𝑥𝑥 + 6 √𝑥𝑥 + 6 − (2𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + 6 − 3 2(𝑥𝑥 − 3) � − 1� = � �=� − � 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 √𝑥𝑥 + 6 − 3 𝑥𝑥 − 3 <� � + 2� � 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 (𝑥𝑥 + 6) − 9 𝑥𝑥 − 3 =� � + 2� �= (2𝑥𝑥 − 3)�√𝑥𝑥 + 6 + 3� 2𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 3 =� � + 2� � (2𝑥𝑥 − 3)�√𝑥𝑥 + 6 + 3� 2𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 3 <� �+ 2� � = 3� � < 3|𝑥𝑥 − 3| < 𝜀𝜀 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 𝜀𝜀 ⇔ |𝑥𝑥 − 3| < 3 Với mọi 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀/3. Khi đó với |𝑥𝑥 − 3| < 𝛿𝛿 ta luôn có: √𝑥𝑥 + 6 � − 1� < 𝜀𝜀 2𝑥𝑥 − 3 Vậy, theo định nghĩa: √𝑥𝑥 + 6 lim =1 𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥 − 3 1.

Giới hạn vô hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn ∞ khi 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 nếu ∀ 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, ∃ 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿 (𝐸𝐸 ) > 0 sao cho ∀ |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 thì: |𝑓𝑓 (𝑥𝑥 )| > 𝐸𝐸 ⇔ ⋯ ⇔ 𝑘𝑘|𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝑔𝑔(𝐸𝐸) Ví dụ 4. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 5 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 lim = +∞ 𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2)2 Xét 𝐸𝐸 > 0 và do 𝑥𝑥 → 2 nên ta xét 𝑥𝑥 > 1, khi đó: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 1 � � = > > 𝐸𝐸 ⇔ (𝑥𝑥 − 2 ) < ⇔ |𝑥𝑥 − 2| (𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2 𝐸𝐸 1 < √𝐸𝐸 Với mọi 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 1/√𝐸𝐸. Khi đó với |𝑥𝑥 − 2| < 𝛿𝛿 ta luôn có: 𝑥𝑥 � � > 𝐸𝐸 (𝑥𝑥 − 2)2 Vậy, theo định nghĩa: 𝑥𝑥 lim = +∞ 𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2)2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 6 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook. CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN XÁC ĐỊNH VÔ ĐỊNH • Tồn tại • Tồn tại??? • GH cơ bản • 7 dạng • GH cơ bản 2.

Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝐶𝐶 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ℝ (0, +∞) ℝ (0, +∞) 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = sin 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = cos 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = tan 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = cot 𝑥𝑥 ℝ ℝ 𝜋𝜋 ℝ \{𝑘𝑘𝑘𝑘, } ℝ \ � + 𝑘𝑘𝑘𝑘, � 2 𝑘𝑘 ∈ ℤ 𝑘𝑘 ∈ ℤ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = arcsin 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arccos 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arctan 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arccot 𝑥𝑥 [−1,1] [−1,1] (−∞, +∞) (−∞, +∞) Tại điểm 𝑥𝑥0 thuộc MXĐ lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 Tại các đầu mút của MXĐ 0, 𝛼𝛼 > 0 lim+ 𝑥𝑥 0,2 = 0 lim+ 𝑥𝑥 𝛼𝛼 = � 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 +∞, 𝛼𝛼 < 0 1 𝑥𝑥 → 0+ : 𝑥𝑥 → 0, 𝑥𝑥 > 0 lim+ 𝑥𝑥 −0,2 = lim+ = +∞ 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 0,2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 7 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.