Tổng quan luận án

Nghiên cứu nghiệm giải tích dạng đóng của phương trình vi phân là chủ đề nền tảng trong toán học ứng dụng và lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến. Đối với phương trình vi phân đại số thường cấp một (First-Order Algebraic Ordinary Differential Equations - AODEs) có dạng tổng quát $F(y, y') = 0$ hoặc $F(x, y, y') = 0$, việc xác định nghiệm tường minh gặp nhiều trở ngại do tính chất phi tuyến phức tạp. Mặc dù các thuật toán tìm nghiệm hữu tỉ và nghiệm đại số đã được phát triển trong nhiều công trình trước đây, việc giải quyết lớp nghiệm rộng hơn là nghiệm Liouvillian (bao gồm các hàm đại số, hàm mũ, hàm logarit và các phép tích phân không sơ cấp) vẫn tồn tại những khoảng trống lý thuyết và thuật toán đáng kể, đặc biệt là khi mở rộng từ trường hợp thuần nhất (autonomous) sang không thuần nhất (non-autonomous) và từ đường cong có giống (genus) bằng không sang giống dương.

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Nguyễn Trí Đạt, thực hiện tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Lâm Xuân Châu và PGS. Lê Công Trịnh, chuyên ngành Đại số và lý thuyết số (mã số 9 46 01 04), tập trung phát triển và khảo sát các phương pháp đại số - hình học mới nhằm giải quyết bài toán tìm nghiệm Liouvillian tổng quát của AODEs cấp một.

Mục tiêu và các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể của luận án bao gồm:

  1. Xây dựng khái niệm nghiệm Liouvillian hữu tỉ (rational liouvillian solutions) và thiết lập thuật toán xác định lớp nghiệm này cho AODEs thuần nhất cấp một.
  2. Chứng minh mối quan hệ giữa nghiệm Liouvillian và nghiệm Liouvillian hữu tỉ cho AODEs thuần nhất cấp một có giống bằng không ($g=0$); phân loại tường minh nghiệm theo các trường hợp đại số và siêu việt.
  3. Đề xuất thuật toán xác định nghiệm Liouvillian cho AODEs cấp một tổng quát có giống bằng không (bao gồm cả phương trình thuần nhất và không thuần nhất) thông qua các phương trình vi phân tựa tuyến tính và tham số hóa hữu tỉ tối ưu.
  4. Mở rộng phương pháp sang giải AODEs cấp một có giống dương ($g > 0$) thông qua phép biến đổi lũy thừa (power transformations) đưa về dạng rút gọn có giống bằng không, đồng thời khảo sát AODEs với các hệ số thuộc trường mở rộng Liouvillian.

Đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân đại số thường cấp một $F(y, y') = 0$ và $F(x, y, y') = 0$, với $F$ là đa thức bất khả quy trên trường hàm hữu tỉ hoặc trường số phức $\mathbb{C}$. Phạm vi nghiên cứu đặt trong khung lý thuyết đại số vi phân và hình học đại số giải tích, sử dụng các công cụ tính toán ký hiệu trên hệ thống Maple.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử nghiên cứu phương trình vi phân khởi nguồn từ các công trình giải tích của Newton và Leibniz (thập niên 1660–1670). Vấn đề tìm nghiệm dạng đóng được Liouville phát triển từ những năm 1830 cho phương trình $y' = \alpha$, chỉ ra điều kiện biểu diễn nghiệm trong trường mở rộng sơ cấp $\alpha = \sum_{i=1}^n c_i \frac{u_i'}{u_i} + v'$. Sau đó, Rosenlicht (1968) đại số hóa định lý Liouville, tạo tiền đề cho Risch (1969, 1970) xây dựng thuật toán tích phân các hàm sơ cấp.

Về phương trình vi phân đại số, các nghiên cứu nền tảng xuất phát từ Fuchs (1884), Ince (1926) và các phân loại trường hàm vi phân không có điểm bất thường di động của Matsuda (1970s). Malmquist (1913) và sau đó là Eremenko (1982, 1998) nghiên cứu các nghiệm giải tích hình thái siêu việt và chặn bậc của nghiệm hữu tỉ. Singer (1970s) thiết lập điều kiện cần và đủ để phương trình $y' = R(y) \in \mathbb{C}(y)$ có nghiệm sơ cấp; kết quả này được Srinivasan (2017) tổng quát hóa cho trường hợp nghiệm Liouvillian. Đối với các phương trình tuyến tính và phương trình Riccati, Kovacic (1986) giới thiệu thuật toán tính nghiệm Liouvillian cho phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai. Hubert (1996) và Duarte cùng Da Mota (2021) đóng góp các phương pháp tìm tích phân đầu Liouvillian và nghiệm ẩn qua cơ sở Gröbner.

Hướng tiếp cận đại số - hình học (algebro-geometric method) được hình thành từ các công trình của Feng và Gao (2004, 2006), cho phép quyết định sự tồn tại và tính toán nghiệm hữu tỉ tổng quát của $F(y, y') = 0$ dựa trên tham số hóa hữu tỉ thực sự (proper rational parametrizations) của đường cong đại số kết hợp kết quả của Sendra và Winkler (2001). Chen và Ma (2005) đưa bài toán tìm nghiệm hữu tỉ của AODEs tham số hóa được về phương trình Riccati. Ngô và Winkler (2010, 2011) phát triển phương pháp tham số hóa mặt cho AODEs không thuần nhất. Vo và các cộng sự (2018) hoàn thiện thuật toán quyết định cho nghiệm hữu tỉ tổng quát mạnh bằng cách xác định tham số hóa hữu tỉ tối ưu trên trường hàm. Aroca và các cộng sự (2018) giải quyết bài toán nghiệm đại số của AODEs thuần nhất qua tham số hóa địa phương và chặn bậc đa thức triệt tiêu. Grasegger (2020) nghiên cứu nghiệm căn thức (radical solutions) thông qua tham số hóa căn thức.

Vị trí nghiên cứu của luận án là kế thừa và mở rộng trực tiếp khung lý thuyết của Feng - Gao (2004, 2006), Srinivasan (2017) và Vo et al. (2018), chuyển trọng tâm từ việc tìm nghiệm hữu tỉ, nghiệm đại số thuần túy sang không gian nghiệm Liouvillian cho cả AODEs thuần nhất, không thuần nhất và một lớp AODEs có giống dương.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án xây dựng trên hai trụ cột lý thuyết chính: đại số vi phân (differential algebra) và hình học đại số (algebraic geometry).

Khung lý thuyết đại số vi phân bao gồm:

  • Trường vi phân $(k, ')$ đặc trưng 0; và trường vi phân hàm hữu tỉ $\mathbb{C}(x)$ với đạo hàm chuẩn $x' = 1$.
  • Vành đa thức vi phân $\mathbb{C}(x){y}$, i-đê-an vi phân, i-đê-an vi phân nguyên tố và phân tích i-đê-an vi phân căn ${F} = \Sigma_F \cap {F, S_F}$, trong đó $S_F = \frac{\partial F}{\partial y'}$ là biệt thức vi phân (separant), $\Sigma_F$ là thành phần tổng quát và ${F, S_F}$ là thành phần kỳ dị.
  • Tháp mở rộng trường vi phân Liouvillian: $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \dots \subseteq k_n = E$, trong đó mỗi $t_i$ là đại số, nguyên thủy ($t_i' \in k_{i-1}$), hoặc siêu mũ ($t_i'/t_i \in k_{i-1}$).

Khung lý thuyết hình học đại số bao gồm:

  • Đường cong đại số phẳng afin $\mathcal{C} = V(F)$ và bao đóng xạ ảnh $\Gamma = V(\hat{F}) \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})$.
  • Giống của đường cong $g(\Gamma) = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{P \in S} \delta_P$, trong đó $\delta_P$ là bất biến delta của điểm kỳ dị $P$.
  • Lý thuyết trường hàm đại số một biến $L/\mathbb{C}$, vành định giá $\mathcal{O}$, điểm (place) $\mathfrak{p}$, công thức giống Hurwitz.
  • Trường hàm đại số liên kết $K(\eta, \eta')$ với $\eta$ là nghiệm siêu việt của $F(y, y') = 0$. Khi giống $g=0$, trường hàm liên kết đẳng cấu với trường hàm hữu tỉ $\mathbb{C}(t)$.
  • Tham số hóa hữu tỉ thực sự $\mathcal{P}(t) = (r(t), s(t)) \in \mathbb{C}(t)^2$ sao cho $F(r(t), s(t)) = 0$ và $\mathbb{C}(r(t), s(t)) = \mathbb{C}(t)$.

Phương pháp nghiên cứu thực tế là phân tích lý thuyết giải tích kết hợp phương pháp kiến thiết thuật toán đại số máy tính (computer algebra). Các thuật toán được hình thức hóa về mặt toán học, chứng minh tính dừng, tính đúng đắn và cài đặt kiểm chứng trên phần mềm Maple (sử dụng gói algcurves).

Khái niệm / Ký hiệu Định nghĩa toán học trong luận án Vai trò trong phương pháp luận
Phần tử Liouvillian hữu tỉ $t \in E \setminus \mathbb{C}$ sao cho $t' \in \mathbb{C}(t)$ Biến trung gian chuyển hóa bài toán vi phân về giải tích trường hàm
Nghiệm Liouvillian hữu tỉ $y = r(t) \in \mathbb{C}(t)$ với $t$ là phần tử Liouvillian hữu tỉ Dạng biểu diễn nghiệm hữu tỉ theo tham số $t$
Trường hàm liên kết $L = \mathbb{C}(\eta, \eta')$ với $F(\eta, \eta') = 0$ Cầu nối giữa phương trình vi phân và đường cong hình học đại số
Biệt thức vi phân ($S_F$) $S_F = \frac{\partial F}{\partial y'}$ Phân tách nghiệm tổng quát (không triệt tiêu $S_F$) và nghiệm kỳ dị
Hàm $h(t)$ $h(t) = \frac{r'(t)}{s(t)}$ với $(r(t), s(t))$ là tham số hóa Tiêu chuẩn cốt lõi kiểm tra khả năng khả tích Liouvillian
Resultant Sylvester $\operatorname{res}_t(H_1(t, x), H_2(t, y))$ Khử tham số $t$ để xác định hệ thức đại số ẩn $G(x, y) = 0$

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị (Preliminaries)

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa và công cụ nền tảng. Phần 1.1 trình bày đại số vi phân, nghiệm giải tích, nghiệm đại số, nghiệm sơ cấp, nghiệm Liouvillian và nghiệm tổng quát. Tác giả chứng minh chi tiết ví dụ phương trình $y' - 2xy - 1 = 0$ có nghiệm tổng quát $y(x) = \exp(x^2)(\int \exp(-x^2)dx + c)$ là nghiệm Liouvillian nhưng không phải nghiệm sơ cấp do tích phân $\int \exp(-x^2)dx$ không sơ cấp.

Phần 1.2 và 1.4 tập trung vào đường cong đại số phẳng, đồng hóa đa thức $\hat{F}$, điểm kỳ dị, tính toán giống theo công thức delta và vành tọa độ afin, xạ ảnh. Phần 1.3 trình bày các trường hàm đại số một biến, điểm định giá và mô hình đường cong siêu elip (hyperelliptic function fields) với giống $g_L = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$. Phần 1.5 chuẩn bị hai công cụ then chốt: trường hàm đại số liên kết và tham số hóa hữu tỉ của đường cong có giống bằng không.

Chương 2: Nghiệm Liouvillian hữu tỉ của phương trình vi phân đại số thường thuần nhất cấp một (Rational liouvillian solutions of first-order autonomous AODEs)

Chương 2 nghiên cứu phương trình $F(y, y') = 0$ với đa thức $F(y, w) \in \mathbb{C}[y, w]$. Tác giả tổng quan thuật toán RatSol của Feng - Gao (2004) xác định nghiệm hữu tỉ dựa trên hai dạng quan hệ vi phân: $$ar'(x) = s(x) \quad \text{hoặc} \quad a(x-b)^2 r'(x) = s(x)$$

Dựa trên tiêu chuẩn của Srinivasan (2017) cho phương trình $y' = R(y)$, tác giả định nghĩa phần tử Liouvillian hữu tỉ và nghiệm Liouvillian hữu tỉ $y = r(t)$. Luận án chứng minh Định lý 2.7 (kết quả trọng tâm của chương): Phương trình vi phân $F(y, y') = 0$ có nghiệm Liouvillian hữu tỉ không hằng khi và chỉ khi đường cong đại số tương ứng $F(y, w) = 0$ là đường cong hữu tỉ ($g=0$) và với mọi tham số hóa hữu tỉ thực sự $(r(t), s(t))$, đại lượng $h(t) = \frac{r'(t)}{s(t)}$ phải có dạng: $$h(t) = \frac{dz}{dt} \quad \text{hoặc} \quad h(t) = \frac{1}{az}\frac{dz}{dt} \quad (a \in \mathbb{C} \setminus {0}, z(t) \in \mathbb{C}(t))$$

Từ đó, tác giả xây dựng thuật toán RatLiouSol (trang 33). Chương này phân tích một loạt ví dụ kiểm chứng:

  • Phương trình $y^5 - y'^2 = 0$ có tham số hóa $(t^2, t^5)$, dẫn đến $h(t) = \frac{2}{t^4} = \frac{dz}{dt}$ với $z(t) = -\frac{2}{3t^3} = x$, cho nghiệm Liouvillian hữu tỉ $y = \sqrt[3]{\frac{4}{9x^2}}$.
  • Phương trình $y^2 + y'^2 = 1$ có $h(t) = \frac{1}{iz}\frac{dz}{dt}$ với $z(t) = \frac{t-i}{t+i} = \exp(ix)$, sinh ra nghiệm siêu việt $y = \frac{i}{2}(\exp(ix) - \exp(-ix))$.
  • Phương trình $5y'^6 - 3y'^2 - 6y + 7 = 0$ cho nghiệm Liouvillian hữu tỉ nhưng không thể biểu diễn dưới dạng căn thức tường minh.
  • Phương trình $y'^5 + y^2 y'^3 - 3y^2 y'^2 + 3y^2 y' - y^2 = 0$ có $h(t) = \frac{dz_1}{dt} - \frac{1}{iz_2}\frac{dz_2}{dt}$, vi phạm cấu trúc đơn nhất của Định lý 2.7 nên không có nghiệm Liouvillian hữu tỉ.

Chương 3: Nghiệm Liouvillian của phương trình vi phân đại số thường thuần nhất cấp một giống bằng không (Liouvillian solutions of first-order autonomous AODEs of genus zero)

Chương 3 giải quyết câu hỏi: Liệu một phương trình $F(y, y') = 0$ có giống bằng không có thể có nghiệm Liouvillian nào nằm ngoài lớp nghiệm Liouvillian hữu tỉ hay không? Bằng cách sử dụng lý thuyết trường hàm đại số liên kết $\mathbb{C}(\eta, \eta')$, tác giả chứng minh Bổ đề 3.2: Mọi nghiệm Liouvillian của $F(y, y') = 0$ có $g=0$ bắt buộc phải là nghiệm Liouvillian hữu tỉ.

Tác giả sử dụng ma trận và resultant Sylvester $\operatorname{res}_t(H_1(t, x), H_2(t, y))$ để khử tham số $t$, đưa ra thuật toán LiouSolAut (trang 45) cho phép phân loại và tính toán nghiệm:

  1. Trường hợp nghiệm đại số: xác định phương trình đa thức ẩn $G(x, y) = 0$ thỏa mãn $\operatorname{deg}_x G = \operatorname{deg}_w F$ và $\operatorname{deg}_y G \le \operatorname{deg}_y F + \operatorname{deg}_w F$.
  2. Trường hợp nghiệm siêu việt: xác định nghiệm dưới dạng chuỗi hàm hội tụ tương thích với nghiệm chuỗi lũy thừa hình thức.

Chương 4: Nghiệm Liouvillian của phương trình vi phân đại số thường cấp một (Liouvillian solutions of first-order AODEs)

Chương 4 mở rộng phạm vi nghiên cứu sang ba bài toán nâng cao:

  1. AODEs cấp một có giống bằng không tổng quát ($F(x, y, y') = 0$): Bằng cách sử dụng tham số hóa hữu tỉ tối ưu trên trường hàm $\mathbb{C}(x)$, bài toán được chuyển về giải phương trình vi phân tựa tuyến tính tương ứng. Tác giả chứng minh tính tương đương về khả năng giải được Liouvillian giữa hai phương trình và thiết lập thuật toán LiouSol (trang 57).

  2. AODEs có giống dương ($g > 0$) thông qua phép biến đổi lũy thừa: Định nghĩa phép biến đổi lũy thừa $y = u^m, w = u^{m-1} v$ và thuật toán RedPol (trang 67) để tìm dạng rút gọn của đa thức $F(y, w)$. Nếu dạng rút gọn có giống bằng không, nghiệm Liouvillian của phương trình gốc có giống dương được suy ra trực tiếp từ nghiệm của dạng rút gọn.

  3. AODEs với hệ số thuộc trường mở rộng Liouvillian: Sử dụng phép đổi biến vi phân để chuyển phương trình có hệ số Liouvillian về phương trình đại số chuẩn trên $\mathbb{C}(x)$.

Tên thuật toán Vị trí trong văn bản Đầu vào (Input) Đầu ra (Output)
RatSol Trang 24 Đường cong đại số $F(y, w) = 0$ trên $\overline{\mathbb{Q}}$ Nghiệm hữu tỉ tổng quát của $F(y, y') = 0$ nếu có
RatLiouSol Trang 33 Đường cong đại số $F(y, w) = 0$ Nghiệm Liouvillian hữu tỉ tổng quát của $F(y, y') = 0$
LiouSolAut Trang 45 AODEs thuần nhất $F(y, y') = 0$ có $g=0$ Nghiệm Liouvillian phân loại (đại số dạng $G(x,y)=0$ hoặc siêu việt)
LiouSol Trang 57 AODEs tổng quát $F(x, y, y') = 0$ có $g=0$ Nghiệm Liouvillian tổng quát qua ODE tựa tuyến tính
RedPol Trang 67 Đa thức bất khả quy $F(y, w)$ Dạng rút gọn qua phép biến đổi lũy thừa để hạ giống

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự đúc kết 5 đóng góp khoa học chính:

  1. Đưa ra định nghĩa hình thức về nghiệm Liouvillian hữu tỉ (Định nghĩa 2.3) và xây dựng thuật toán hoàn chỉnh RatLiouSol để tìm nghiệm Liouvillian hữu tỉ cho phương trình vi phân đại số thường thuần nhất cấp một.
  2. Chứng minh kết quả lý thuyết khẳng định mọi nghiệm Liouvillian của AODEs thuần nhất cấp một có giống bằng không đều là nghiệm Liouvillian hữu tỉ (Bổ đề 3.2); đồng thời đề xuất thuật toán LiouSolAut phân loại tường minh nghiệm đại số và nghiệm siêu việt.
  3. Mở rộng phương pháp sang AODEs cấp một tổng quát có giống bằng không (bao gồm cả trường hợp không thuần nhất), thiết lập thuật toán LiouSol dựa trên tham số hóa hữu tỉ tối ưu và phương trình vi phân tựa tuyến tính.
  4. Đề xuất khái niệm phép biến đổi lũy thừa (Định nghĩa 4.1) và thuật toán RedPol tính dạng rút gọn của đa thức vi phân; thiết lập phương pháp giải cho một lớp AODEs có giống dương ($g > 0$) khi dạng rút gọn có giống bằng không.
  5. Xây dựng kỹ thuật chuyển đổi bài toán giải AODEs có hệ số thuộc trường mở rộng Liouvillian về bài toán AODEs chuẩn thông qua phép đổi biến vi phân thích hợp.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Văn bản luận án nêu rõ các hạn chế và định hướng phát triển:

  • Thuật toán RatLiouSol ở Chương 2 chưa giải quyết trọn vẹn việc tìm dạng tường minh của hàm $t = g(x)$ trong mọi trường hợp tổng quát nếu không áp dụng các công cụ khử tham số ở Chương 3.
  • Đối với phương trình vi phân có giống dương ($g \ge 1$), phương pháp biến đổi lũy thừa và thuật toán RedPol chỉ áp dụng được cho lớp phương trình có dạng rút gọn quy về giống bằng không; bài toán tìm nghiệm Liouvillian cho AODEs có giống dương bất kỳ vẫn là bài toán mở.
  • Hướng nghiên cứu tiếp theo được tác giả xác định là khảo sát tính khả tích Liouvillian cho các hệ phương trình vi phân đại số và mở rộng kỹ thuật tham số hóa cho các phương trình vi phân bậc cao hơn.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Đại số, Hình học đại số, Đại số vi phân và Toán tính toán.
  • Các nhà nghiên cứu phát triển phần mềm toán học hình thức (Computer Algebra Systems như Maple, Mathematica, Singular) trong việc cài đặt các gói thuật toán giải phương trình vi phân phi tuyến dạng đóng.
  • Các phần có giá trị tham khảo kỹ thuật cao: Bảng phân loại điều kiện $h(t)$ trong Chương 2, kỹ thuật ứng dụng Resultant Sylvester trong Chương 3, và thuật toán rút gọn đa thức RedPol trong Chương 4.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương trình vi phân đại số thường thuần nhất cấp một (autonomous AODE) khác gì so với phương trình không thuần nhất? Theo định nghĩa ở Mục 1.1, phương trình vi phân đại số thuần nhất cấp một có dạng $F(y, y') = 0$, trong đó các hệ số của đa thức $F$ không phụ thuộc tường minh vào biến độc lập $x$ (nghĩa là $F \in \mathbb{C}[y, y']$). Ngược lại, phương trình không thuần nhất có hệ số phụ thuộc vào biến $x$, tức $F \in \mathbb{C}(x)[y, y']$.

2. Điểm khác biệt cốt lõi giữa nghiệm Liouvillian hữu tỉ và nghiệm hữu tỉ chuẩn là gì? Nghiệm hữu tỉ chuẩn là hàm phân thức $y(x) \in \mathbb{C}(x)$. Nghiệm Liouvillian hữu tỉ có dạng $y = r(t) \in \mathbb{C}(t)$, trong đó bản thân biến tham số $t$ không nhất thiết là $x$ mà là một phần tử Liouvillian thỏa mãn phương trình vi phân $t' \in \mathbb{C}(t)$ (ví dụ $t = \exp(x)$ hoặc $t = \sqrt{x^2+1}$). Do đó, nghiệm Liouvillian hữu tỉ bao hàm cả các nghiệm căn thức và nghiệm siêu việt phân thức.

3. Tại sao giống ($genus$) của đường cong đại số lại quyết định việc áp dụng phương pháp tham số hóa? Theo Định lý 1.9, một đường cong đại số phẳng chỉ có thể tham số hóa hữu tỉ khi và chỉ khi giống hình học của nó bằng không ($g = 0$). Khi $g = 0$, trường hàm liên kết $\mathbb{C}(\eta, \eta')$ đẳng cấu với trường hàm hữu tỉ $\mathbb{C}(t)$, cho phép chuyển đổi toàn bộ bài toán vi phân phi tuyến thành bài toán giải tích trên trường hàm $\mathbb{C}(t)$.

4. Luận án giải quyết trường hợp đường cong có giống dương ($g > 0$) như thế nào? Tại Chương 4, đối với một số AODEs có giống dương, tác giả áp dụng phép biến đổi lũy thừa (Định nghĩa 4.1) thông qua thuật toán RedPol để đưa đa thức $F(y, w)$ về dạng rút gọn. Nếu dạng rút gọn này có giống bằng không, phương pháp tham số hóa hữu tỉ có thể áp dụng gián tiếp để tìm ra nghiệm Liouvillian của phương trình ban đầu.

5. Công cụ tính toán nào được sử dụng để hỗ trợ thực thi các thuật toán trong luận án? Tác giả sử dụng hệ thống đại số máy tính Maple cùng với gói chuyên dụng algcurves để tính toán giống của đường cong đại số (genus), tìm tập điểm kỳ dị (singularities), tính tham số hóa hữu tỉ thực sự (parametrization), và thực hiện phép tính đạo hàm, giản ước phân thức vi phân $h(t)$.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Trí Đạt đã giải quyết bài toán tìm nghiệm Liouvillian tổng quát cho phương trình vi phân đại số thường cấp một bằng phương pháp đại số - hình học. Công trình đã thiết lập các tiêu chuẩn cần và đủ, chứng minh tính tương đương giữa nghiệm Liouvillian và nghiệm Liouvillian hữu tỉ trên đường cong có giống bằng không, đồng thời xây dựng hệ thống 5 thuật toán chuyên biệt được kiểm chứng trên Maple. Các kết quả đạt được đã mở rộng phạm vi giải được của AODEs từ nghiệm hữu tỉ sang nghiệm Liouvillian và cung cấp giải pháp kỹ thuật xử lý cho một số lớp phương trình có giống dương.