Các Bài Toán Tìm Giá Trị Cực Trị Trong Hình Học Phẳng

• Tác giả: Vương Thị Thu Thủy
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Uy
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy môn Toán
• Đề tài: Rèn Luyện Năng Lực Giải Toán Cho Học Sinh Trung Học Cơ Sở Thông Qua Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. VAI TRÒ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MÔN TOÁN
• 1.2. Mục tiêu của môn Toán ở THCS
• 1.3. TƯ DUY TOÁN HỌC
• 1.3.1. Khái niệm tư duy
• 1.3.2. Các hình thức cơ bản của tư duy
• 1.3.3. Nội dung của tư duy toán học
• 1.3.4. Các thao tác tư duy toán học
• 1.3.4.1. Phân tích- Tổng hợp
• 1.3.4.2. So sánh- Tương tự
• 1.3.4.3. Khái quát hóa- Đặc biệt hóa
• 1.3.4.4. Một số loại tư duy toán học
• 1.3.4.4.1. Tư duy phê phán
• 1.3.4.4.2. Tư duy giải toán
• 1.3.4.4.3. Tư duy sáng tạo
• 1.3.4.4.4. Tư duy thuật toán
• 1.4. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC
• 1.4.1. Năng lực toán học
• 1.4.2. Năng lực giải toán
• 1.5. VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN
• 1.5.1. Vai trò, chức năng của bài tập toán
• 1.5.2. Yêu cầu lời giải một bài toán
• 1.5.2.1. Lời giải không sai lầm
• 1.5.2.2. Lập luận có căn cứ chính xác
• 1.5.2.3. Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ
• 1.5.2.4. Cách giải đơn giản nhất, hay nhất
• 1.5.2.5. Trình bày rõ ràng, hợp lý
• 1.6. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
• 1.6.1. Các bước giải toán của G
• 1.6.2. Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán
• 1.7. MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
• 1.7.1. Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác
• 1.7.2. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới
• 1.7.3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST
• 1.7.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS
• 2.1. TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÁCH TRÌNH BÀY VÀ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
• 2.1.1. Thế nào là bài toán cực trị hình học
• 2.1.2. Dạng của bài toán cực trị hình học
• 2.1.3. Cách trình bày bài toán cực trị hình học
• 2.1.4. Cách giải bài toán cực trị
• 2.2. TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
• 2.2.1. Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
• 2.2.2. Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
• 2.2.3. Các bất đẳng thức trong đường tròn
• 2.2.4. Bất đẳng thức Côsi
• 2.2.5. Tỉ số lượng giác
• 2.3. RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO
• 2.4. RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN
• 2.5. BÀI TẬP TỔNG HỢP
• 3. CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Về Giá Trị Cực Trị Trong Hình Học Phẳng

Giá trị cực trị trong hình học phẳng là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học. Nó không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy logic mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn. Các bài toán cực trị thường yêu cầu học sinh tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một miền xác định. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

1.1. Khái Niệm Về Giá Trị Cực Trị Trong Hình Học

Giá trị cực trị là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một miền xác định. Trong hình học phẳng, các bài toán này thường liên quan đến việc tìm điểm cực trị của các hàm số liên quan đến hình học như diện tích, chu vi.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Giá Trị Cực Trị

Giá trị cực trị không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học. Việc hiểu rõ về nó giúp học sinh phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề.

II. Những Thách Thức Khi Giải Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng

Giải toán cực trị trong hình học phẳng thường gặp nhiều khó khăn. Học sinh thường không nắm vững các phương pháp giải, dẫn đến việc không thể tìm ra kết quả chính xác. Các bài toán này thường yêu cầu sự sáng tạo và khả năng phân tích cao, điều mà nhiều học sinh chưa phát triển đầy đủ.

2.1. Khó Khăn Trong Việc Hiểu Bài Toán

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu rõ yêu cầu của bài toán cực trị. Điều này dẫn đến việc không thể xác định đúng hàm số cần tối ưu hóa.

2.2. Thiếu Kỹ Năng Phân Tích

Kỹ năng phân tích bài toán là rất quan trọng. Học sinh thường thiếu khả năng phân tích các yếu tố liên quan đến bài toán, dẫn đến việc không thể áp dụng đúng phương pháp giải.

III. Phương Pháp Giải Toán Cực Trị Hiệu Quả Trong Hình Học Phẳng

Để giải quyết các bài toán cực trị trong hình học phẳng, cần áp dụng các phương pháp giải toán hiệu quả. Các phương pháp này bao gồm việc sử dụng đạo hàm, bất đẳng thức và các kỹ thuật hình học. Việc nắm vững các phương pháp này sẽ giúp học sinh giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.

3.1. Sử Dụng Đạo Hàm Để Tìm Cực Trị

Đạo hàm là công cụ mạnh mẽ trong việc tìm giá trị cực trị. Học sinh cần nắm vững cách tính đạo hàm và áp dụng nó để xác định các điểm cực trị của hàm số.

3.2. Ứng Dụng Bất Đẳng Thức Trong Giải Toán

Bất đẳng thức là một trong những phương pháp hữu ích để giải quyết các bài toán cực trị. Học sinh cần hiểu rõ các bất đẳng thức cơ bản và cách áp dụng chúng trong các bài toán cụ thể.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Giá Trị Cực Trị Trong Hình Học Phẳng

Giá trị cực trị trong hình học phẳng có nhiều ứng dụng thực tiễn. Từ việc tối ưu hóa diện tích, chu vi cho đến các bài toán trong thiết kế kiến trúc, kỹ thuật, giá trị cực trị giúp giải quyết nhiều vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.

4.1. Tối Ưu Hóa Diện Tích Trong Thiết Kế

Trong thiết kế kiến trúc, việc tối ưu hóa diện tích sử dụng là rất quan trọng. Các bài toán cực trị giúp các kiến trúc sư tìm ra giải pháp tối ưu nhất cho không gian.

4.2. Ứng Dụng Trong Kinh Tế

Trong kinh tế, việc tối ưu hóa lợi nhuận hay chi phí cũng thường liên quan đến các bài toán cực trị. Việc áp dụng các phương pháp giải toán cực trị giúp doanh nghiệp đưa ra quyết định chính xác hơn.

V. Kết Luận Về Giá Trị Cực Trị Trong Hình Học Phẳng

Giá trị cực trị trong hình học phẳng là một khái niệm quan trọng, không chỉ trong lý thuyết mà còn trong thực tiễn. Việc nắm vững các phương pháp giải toán cực trị sẽ giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Tương lai, việc nghiên cứu và ứng dụng giá trị cực trị sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực.

5.1. Tương Lai Của Giá Trị Cực Trị

Giá trị cực trị sẽ tiếp tục là một phần quan trọng trong chương trình học toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nó sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về toán học.

5.2. Khuyến Khích Học Sinh Nghiên Cứu

Khuyến khích học sinh nghiên cứu và thực hành các bài toán cực trị sẽ giúp phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề trong thực tế.

Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh giáo dục phổ thông tại Việt Nam, môn Toán giữ vai trò then chốt trong việc phát triển tư duy và năng lực trí tuệ cho học sinh. Theo ước tính, việc rèn luyện năng lực giải toán không chỉ giúp học sinh nâng cao kỹ năng tư duy logic mà còn phát triển các phẩm chất như tính cẩn thận, sáng tạo và kiên trì. Tuy nhiên, thực tế cho thấy nhiều học sinh trung học cơ sở (THCS) gặp khó khăn trong việc giải các bài toán cực trị trong hình học phẳng – một dạng toán đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo và phân tích sâu sắc. Mục tiêu của nghiên cứu này là rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng, nhằm nâng cao hiệu quả học tập và phát triển tư duy toán học sáng tạo. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào chương trình hình học phẳng ở lớp 9 tại một số trường THCS ở Hà Nội trong năm học 2007-2008. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc cải thiện chất lượng dạy học môn Toán, góp phần phát triển năng lực giải toán và tư duy sáng tạo cho học sinh, từ đó nâng cao thành tích học tập và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên các lý thuyết và mô hình về tư duy toán học và năng lực giải toán, trong đó nổi bật là:

• Lý thuyết tư duy sáng tạo (TDST): TDST được xem là quá trình tạo ra ý tưởng mới độc đáo và hiệu quả trong giải quyết vấn đề. Các thành phần cơ bản của TDST gồm tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện và tính nhạy cảm vấn đề. Việc rèn luyện TDST giúp học sinh phát hiện vấn đề mới, tìm ra nhiều giải pháp khác nhau và lựa chọn phương án tối ưu.

• Mô hình các thao tác tư duy toán học: Bao gồm phân tích - tổng hợp, so sánh - tương tự, khái quát hóa - đặc biệt hóa, trừu tượng hóa. Các thao tác này là nền tảng để học sinh phát triển năng lực tư duy logic và sáng tạo trong giải toán.

• Năng lực giải toán: Được hiểu là khả năng áp dụng kiến thức, kỹ năng và tư duy sáng tạo để giải quyết các bài toán có tính hướng đích cao. Năng lực này bao gồm các thành phần như năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận logic, năng lực tư duy linh hoạt và trí nhớ toán học.

• Phương pháp chung giải toán của G. Polya: Bao gồm bốn bước: hiểu đề, xây dựng kế hoạch giải, thực hiện kế hoạch và kiểm tra lại lời giải. Phương pháp này giúp học sinh phát triển tư duy có hệ thống và sáng tạo trong quá trình giải toán.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng kết hợp phương pháp lý luận và thực nghiệm sư phạm:

• Nguồn dữ liệu: Bao gồm tài liệu lý luận về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn Toán, các bài toán cực trị trong hình học phẳng, và kết quả khảo sát thực tế tại trường THCS Chu Văn An, Tây Hồ, Hà Nội.

• Phương pháp chọn mẫu: Chọn mẫu gồm học sinh khá giỏi lớp 9 tại trường THCS Chu Văn An nhằm đảm bảo đối tượng nghiên cứu có nền tảng kiến thức và năng lực giải toán phù hợp để thực hiện các bài toán cực trị.

• Phương pháp phân tích: Phân tích định tính các bài toán cực trị, đánh giá năng lực giải toán qua các bài tập thực hành, sử dụng phương pháp thống kê mô tả để đánh giá kết quả thực nghiệm.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được tiến hành trong năm học 2007-2008, bao gồm giai đoạn khảo sát, xây dựng biện pháp rèn luyện, thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiểu biết và vận dụng các khái niệm cực trị hình học: Học sinh có thể nắm được định nghĩa bài toán cực trị hình học và các dạng bài tập phổ biến như dựng hình, chứng minh và tính toán. Tỷ lệ học sinh đạt yêu cầu về kiến thức cơ bản đạt khoảng 75%.

2. Khả năng trình bày và giải bài toán cực trị: Qua thực nghiệm, 68% học sinh có thể trình bày lời giải rõ ràng, hợp lý và sử dụng các phương pháp giải toán phù hợp như vẽ hình, biến đổi điều kiện, chứng minh bất đẳng thức. So với trước khi áp dụng biện pháp, tỷ lệ này tăng 20%.

3. Phát triển tư duy sáng tạo trong giải toán: Học sinh được rèn luyện các thành phần tư duy sáng tạo như tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo trong việc tìm kiếm nhiều cách giải khác nhau. Khoảng 60% học sinh thể hiện khả năng tìm ra lời giải mới hoặc phương pháp giải ngắn gọn hơn.

4. Hiệu quả của các biện pháp rèn luyện: Các biện pháp như truyền thụ kiến thức cơ bản, đặt câu hỏi gợi mở, sử dụng bài tập không theo mẫu và khuyến khích tự tìm tòi đã giúp nâng cao năng lực giải toán của học sinh. Kết quả kiểm tra cuối kỳ cho thấy điểm trung bình môn Toán tăng từ 6.8 lên 7.9.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của sự cải thiện năng lực giải toán là do việc tập trung rèn luyện các thao tác tư duy toán học và tư duy sáng tạo thông qua các bài toán cực trị. So với các nghiên cứu trước đây, kết quả này khẳng định vai trò quan trọng của việc sử dụng bài toán cực trị trong phát triển năng lực giải toán cho học sinh THCS. Việc áp dụng phương pháp giải toán của G. Polya giúp học sinh có hệ thống tư duy rõ ràng, từ đó nâng cao khả năng tự học và tự giải quyết vấn đề. Các biểu đồ so sánh điểm số trước và sau thực nghiệm minh họa rõ sự tiến bộ về năng lực giải toán. Ngoài ra, việc chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo đã giúp học sinh không chỉ giải được bài toán mà còn phát triển kỹ năng tư duy linh hoạt và sáng tạo, điều này có ý nghĩa lớn trong giáo dục hiện đại.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường truyền thụ kiến thức cơ bản về bài toán cực trị: Giáo viên cần hệ thống hóa và truyền đạt rõ ràng các khái niệm, dạng bài và phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học phẳng nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng. Thời gian thực hiện: trong suốt học kỳ, chủ thể: giáo viên bộ môn.

2. Áp dụng phương pháp giải toán theo bốn bước của G. Polya: Khuyến khích học sinh vận dụng phương pháp này trong giải toán để phát triển tư duy có hệ thống và sáng tạo. Thời gian thực hiện: liên tục trong quá trình học, chủ thể: giáo viên và học sinh.

3. Sử dụng bài tập không theo mẫu và câu hỏi gợi mở: Thiết kế các bài tập đòi hỏi học sinh tự phát hiện vấn đề, tìm tòi và sáng tạo lời giải nhằm phát triển tư duy sáng tạo. Thời gian thực hiện: trong các tiết học và hoạt động ngoại khóa, chủ thể: giáo viên.

4. Tổ chức các hoạt động ngoại khóa và câu lạc bộ Toán học: Tạo môi trường để học sinh thực hành giải toán cực trị, trao đổi kinh nghiệm và phát triển năng lực giải toán sáng tạo. Thời gian thực hiện: hàng tháng, chủ thể: nhà trường và giáo viên.

5. Đánh giá năng lực giải toán dựa trên tư duy sáng tạo: Xây dựng các đề kiểm tra, đề thi có yêu cầu kiểm tra năng lực tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng kiến thức giải toán cực trị. Thời gian thực hiện: trong các kỳ kiểm tra định kỳ, chủ thể: giáo viên và ban giám hiệu.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán THCS: Nghiên cứu cung cấp các biện pháp và phương pháp giảng dạy giúp giáo viên nâng cao hiệu quả dạy học, đặc biệt trong việc rèn luyện năng lực giải toán và tư duy sáng tạo cho học sinh.

2. Nhà quản lý giáo dục: Tham khảo để xây dựng chương trình đào tạo, tổ chức các hoạt động bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên, đồng thời phát triển các chính sách hỗ trợ nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.

3. Sinh viên ngành Sư phạm Toán: Tài liệu tham khảo quý giá giúp sinh viên hiểu sâu về lý thuyết tư duy toán học, năng lực giải toán và phương pháp giảng dạy hiện đại, chuẩn bị tốt cho công tác giảng dạy tương lai.

4. Nghiên cứu sinh và nhà khoa học giáo dục: Cung cấp cơ sở lý luận và thực nghiệm để phát triển các đề tài nghiên cứu tiếp theo về rèn luyện năng lực giải toán và phát triển tư duy sáng tạo trong giáo dục phổ thông.

Câu hỏi thường gặp

1. Bài toán cực trị trong hình học phẳng là gì?
   Bài toán cực trị yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng hình học (độ dài, diện tích, góc,...) trong các hình thỏa mãn điều kiện cho trước. Ví dụ, tìm dây cung ngắn nhất đi qua một điểm cố định trong đường tròn.

2. Tại sao bài toán cực trị giúp phát triển tư duy sáng tạo?
   Bài toán cực trị thường không cho sẵn điều phải chứng minh, đòi hỏi học sinh tự tìm kiếm lời giải tối ưu, từ đó phát huy tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo trong tư duy, giúp hình thành kỹ năng giải quyết vấn đề sáng tạo.

3. Phương pháp giải toán của G. Polya gồm những bước nào?
   Gồm bốn bước: (1) Hiểu đề bài, (2) Lập kế hoạch giải, (3) Thực hiện kế hoạch, (4) Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải. Phương pháp này giúp học sinh có hệ thống tư duy rõ ràng và sáng tạo.

4. Làm thế nào để giáo viên rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh?
   Giáo viên cần truyền thụ kiến thức cơ bản, sử dụng bài tập đa dạng, đặt câu hỏi gợi mở, khuyến khích học sinh tự tìm tòi, tổ chức hoạt động ngoại khóa và đánh giá năng lực tư duy sáng tạo qua các bài kiểm tra.

5. Năng lực giải toán gồm những thành phần nào?
   Bao gồm năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận logic, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm lời giải hay, năng lực tư duy thuận nghịch và trí nhớ toán học. Các thành phần này phối hợp giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán.

Kết luận

• Luận văn đã làm rõ vai trò quan trọng của bài toán cực trị trong hình học phẳng đối với việc rèn luyện năng lực giải toán và tư duy sáng tạo cho học sinh THCS.
• Nghiên cứu đã xây dựng và áp dụng thành công các biện pháp rèn luyện năng lực giải toán, giúp nâng cao điểm số và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9.
• Phương pháp giải toán của G. Polya được chứng minh là công cụ hiệu quả trong việc phát triển tư duy có hệ thống và sáng tạo.
• Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần được tiến hành liên tục, kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác trong quá trình dạy học.
• Đề xuất các giải pháp cụ thể nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh, đồng thời khuyến khích giáo viên và nhà trường áp dụng rộng rãi trong thực tiễn giảng dạy.

Hành động tiếp theo: Giáo viên và nhà trường nên triển khai các biện pháp rèn luyện năng lực giải toán qua bài toán cực trị, đồng thời tổ chức các khóa bồi dưỡng chuyên môn để nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán.