CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. VAI TRÒ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MÔN TOÁN Phần này được trình bày dựa theo [15], [17], [18] 1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng. Thứ nhất, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khai thác hoá. rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ thông và tương đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư duy.
Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác. Do tính trừu tượng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng. Những tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hoá phổ thông của con người mới. Cùng với việc kiến tạo tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn luyện cho học sinh những kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính - 9 9 - điện tử.
Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như: toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong thời kì phát triển mới của đất nước, môn Toán càng có ý nghĩa quan trọng hơn.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS Môn toán ở THCS nhằm a. Cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp Toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực b. Hình thành và rèn luyện các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc, ước lượng.
Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác. Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic, khả năng quan sát, dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian. Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy. Bước đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác.
Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của người lao động. TƯ DUY TOÁN HỌC Phần này được trình bày dựa theo [16], [19] 2.1 Khái niệm tư duy Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật- của sự vật và hiện tượng 1 0 1 0 - Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì tư duy là “sản vật cao cấp của một sụ vật hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán. Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một sự vận động của vật chất- với sự hoạt động của óc. Khoa học hiện đại đã chứng minh được rằng tư duy là đặc tính của vật chất”.
Paplop đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lí.Hoạt động tâm lí là kết quả của hoạt động sinh lí của một bộ phận nhất định của óc.” Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội hàm của tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả tư duy. Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy. Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt bằng những từ ngữ, câu,.
kí hiệu, công thức, mô hình,. Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng. Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính đều nảy sinh từ thực tiễn và lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức. Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội.
Người ta dựa vào tư duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.2 Các hình thức cơ bản của tư duy. + Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối - tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và 1 1 1 1 - nội hàm. Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A. + Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi. Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp và gián tiếp.
Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai, phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận. Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm. + Suy luận: suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy.
Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp. Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung. Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.2 Nội dung của tư duy toán học Hoạt động của tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy.
Do vậy, khi đề cập đến nội dung của tư duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểm của toán học với tư cách là đối tượng của tư duy toán học. + Đối tượng của toán học Toán học nghiên cứu cái gì? Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh”: “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, tức là một tư liệu rất cụ thể. Tư liệu này biểu hiện dưới hình thức cực kì trừu tượng, đó chỉ là bức màn bên ngoài che lấp nguồn gốc của nó trong thế giới hiện thực” Theo V. Lenin trong “Bút kí triết học”: “Cái mà toán học dạy chúng ta, đó là những mối quan hệ giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính” Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “.về toán học thì có hai góc độ để nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về toán học: - Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dáng và lôgic trong thế giới khách quan.
-Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề” Đối tượng của toán học được cụ thể hóa và mở rộng dần qua từng giai đoạn. Giai đoạn toán học hiện đại, ứng với nền sản xuất tự động hóa, toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán đồng thời với lôgic toán Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta có toán học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật toán, chúng đối lập với nhau nhưng bổ sung cho nhau, là cơ sở của phương pháp mô hình hóa và thuật toán hóa của điều khiển học.3 Các thao tác tư duy toán học 2.1 Phân tích- Tổng hợp A. Phép tổng hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết. Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh và Ai ( ) hoặc là tiên đề, định lí hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp như sau Thông thường phép này được dùng để trình bày lời giải sau một quá trình phân tích.
Đây cũng còn gọi là phép suy xuôi B. Phép phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết. Phép phân tích đi lên (Suy ngược lùi): Phép phân tích đi xuống (Suy ngược tiến): được dùng trong giải toán mang tính chất dự đoán kết quả, dự đoán con đường chứng minh.2 So sánh- Tương tự So sánh So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm khác nhau ở một số đối tượng. Mục đích thứ nhất dẫn đến tương tự và thường đi đôi với khái quát hóa Tương tự Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau.
Kết luận dựa theo sự tương tự có thể được mô tả như sau: - 1 4 1 4 - Đối tượng A có các tính chất a; b; c Đối tượng B có tính chất c Đối tượng B có các tính chất a; b Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dụng trong việc giảng dạy môn Toán.