C123T NGUYEN PHU KHANH CAP TOC GIẢI 10 CHUYEN DE 10 DIEM THI CAC DANG TOAN TRONG NHUNG Ki THI TUYEN SINH VAO DAI HOC HIEN NAY (Tái bản, sửu chữa và bổ sung) ›ể % = / Ê_ BIIIIIIIIIII _.013391 _ - “8S oc = : im —` NHÀ XUẤT BẢN TỔNG HỢP TP. HỒ CHÍ MINH 540. 16 CHET NGUYEN PHU KHANH GẤP TỐC GIẢI đồ CHUYÊN DE Ồ ĐIỂM THI MON TOAN CAC DANG TOAN TRONG NHUNG Ki THI TUYEN SINH VAO DAI HOC HIEN NAY (Tai ban, situ chữa và bổ sung) = MIEN THR ĐÌNH sae CÐVL. 244921 _] K8 NHÀ XUẤT BẢN TỔNG HỢP TP.
HỒ CHÍ MINH Lai nbidéiw te 2 ` Các em học sinh thân mến! Giảng đường Đại học là nơi gần như em nào cũng muốn được bước vào sau khi rời THPT, dù biết rằng không phải tất cả đều có khả năng, điều kiện để thực hiện ước mơ ấy. Nhằm góp phần giúp các em học sinh thực hiện được mơ ước đó, tác giả biên soạn cuốn “ Cấp tốc giải 10 chuyên đề 10 điểm thi môn Toán”. Cuốn sách được biên soạn theo nội dung chuẩn kiến thức, kỹ năng. Trong sách được trình bày từng vấn đề, theo cấu trúc đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo để bạn đọc tiện tham khảo.
Mỗi vấn đề sẽ có: - Tom tat các kiến thức lý thuyết cơ bản. -_ Lời giải chỉ tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa. - Cac bài tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn chỉ tiết. Tác giả chủ trương tránh đưa vào sách những phần lý thuyết nặng nề và ít sử dụng.
Mỗi ví dụ, lời giải lại có nhận định sâu sắc, kèm theo lời bình khiến người đọc tâm đắc và sẽ có tư duy sáng tạo riêng của mình khi gặp những câu hỏi khó, bài toán khó lạ khác. Phần bài tập tự luyện được tác giả biên soạn rất công phu và tập hợp nhiều dạng toán hay, mới mẻ. Giúp người học không chỉ có thể thử sức những bài toán rèn luyện tư duy, mà còn giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa, tưởng chừng không thể nào giải nổi. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải được dựa trên nền tảng kiến thức và kỹ năng cơ bản.
Tác giả hi vọng, khi gặp một đề thi khó, lạ người học sẽ không còn ngại ngùng trong việc đưa ra lời giải cho mỗi bài toán. Cuốn sách là sự kế thừa những hiểu biết chuyên môn và kinh nghiệm của chính tác giả trong quá trình trực tiếp đứng lớp bồi dưỡng. Tác giả hi vọng, người học cần phải nắm vững kiến thức căn bản trước khi làm bài tập tự luyện. Để đạt hiệu quả cao trong kì thi Đại học sắp tới, tác giả hi vọng các em sử dụng cuốn “Cấp tốc giải 10 chuyên đề 10 điểm thi môn Toán” song song với cuốn “Ôn luyện thi cấp tốc Môn Toán theo chuyên đề" mà tác giả đã ấn hành, phần bài mới có nhiều bài toán mới lạ và có nhiều cách giải hay và đẹp.
Các em học sinh đón đọc. Hai cuốn sách được ví như mỗi cá thể đi tìm một nửa kia trái tim, mong muốn kết tỉnh tình yêu thật đẹp. Mỗi cuốn sách, một phong cách, một nét đẹp!. Với “sáng tác độc đáo và đầy tư duy ngẫu hứng” này, tác giả tin tưởng các em học sinh sẽ vững tin bước vào kỳ thi Đại học sắp tới.
Sinh viên sư phạm và quý thầy cô sẽ có thêm nhiều tài liệu để tham khảo. Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi. Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc giả để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn. Tác giả Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chuyên đề I MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỎ THỊ %$ Chủ đẻ I: Tiếp tuyến của đỏ thị hàm số.
- Viét phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M(xạ;yạ), hoặc hoành độ xạ, hoặc tung độ yọ. -_ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xạ;ya ) cho trước. - _ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. L1 Phương pháp: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và M(xạ;yạ) là điểm trên (C).
Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(xạ;yo) có: -_ Hệ số góc: k=f'(xạ) -_ Phương trình: y—yạ =k(x—xạ), hay y—Yạ = f'(xg)(x—*ạ) Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M(xạ;yạ) chúng ta cần đủ ba yếu tỐ sau: -_ Hoành độ tiếp điểm: xạ - Tung độ tiếp điểm: yọ (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay xạ vào )) hàm số yọ = f(xạ -_ Hệ số góc k=f(xạ) Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M(xạ;yạ), hoặc hoành độ xạ, hoặc tung độ vụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) tại điểm M(xg;f(xo)) Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) tại M(xạ;yg) là: y=f'(so)(x~X)+Yo Bài toán 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) biết hoành độ tiếp điểm x= xạ. Giải: Tính yọ =f(xo), y'(xạ)=> phương trình tiếp tuyến: y=ff(o)(x~Xo)+Yo Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng yọ. Gọi M(xạ;yạ) là tiếp điểm Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh Giải phương trình f(x)=yp ta tìm được các nghiệm xụ.
Tính y'(xọ) = phương trình tiếp tuyến: y =f'(xạ)(x~Xo)+Yo Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 -3x2 42 1. Tại điểm có hoành độ x=—1 3. Tại điểm có tung độ y =-2 4.
Tại giao điểm của đồ thị với y=x—1 Lời giải Hàm số đã cho xác định với VxelR. Goi Mg (Xq;¥q) là tọa độ tiếp điểm và yạ = y(xạ) = xộ -3x§ +2 y'=3x? 6x, tiếp tuyến tại điểm Mạ có hệ số góc: y'(xạ) = 3x) —6xy 1. Phương trình tiếp tuyến tai diém M(2;-2): y =0(x-2)-2=-2 2. Ta có: yọ = -2=> x3 —3x? +2=-2 x} ~ 3x4 +4=0 = (Xp +1)(xp sg =0<€>xụ =~1 hoặc xạ =2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (—1;-2) : y=9x+7 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2;-2) : y =—2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y=-2, y=9x+7.
Phương trình hoành độ giao diém: x? —3x*+2=x-1 ì c>x! ~3x?~x+3=0<>(x~3)(x? ~1)=0csx=3 hoặc x=+1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (—1;-2): y=9x+7 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;0): y==3x+ 3 Phương trình tiếp tuyến tại diém (3;2): y=9x-25 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y=9x+7, y=-3x+3, y=9x—25. Cho hàm số: y=xỶ-(m—1)x°+(3m+1)x+m-2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A(2;~1). Lời giải Hàm số đã cho xác định với Vxe R.
Ta có: y'=3x?~2(m-~1)x+3m+1 Với x=1=y(1)=3m+1=y'(1)=m+6 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x=1: y =(m+6)(x-1)+3m+1 Tiếp tuyến này đi qua A(2;-1) nên có: -1=m+6+3m+1>m=-~2 ¿ậy, m=-~2 là giá trị cần tìm. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xạ;yạ) cho trước Giải: Gọi M(xạ;yọ) là tọa độ tiếp điểm. Khi đó tiếp tuyến có đạng: y =f'(%o)(x—xạ)+Yọ Vì tiếp tuyến đi qua A nên có: yạ =f'(Xạ)(Xạ — Xọ))+ yọ , giải phương trình này ta tìm được xạ, suy ra phương trình tiếp tuyến.
Cho ham sé y=x? -3x?-9x+11 có đồ thị là (C). Lap phwong trinh tiép tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm ( a8) 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y = ^ Thiết đới qua điểm SE 5 A(-6;5). Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ xạ khi đó phương trình tiếp tuyến (A) có dạng: 2 3 y.=Y'(o)(x=xo)+y(xo)=| 3ụ ~ÕXg-9](x~sa)*xo ~3xã ~9xụ +11 2 3 Vì (A) đi qua điểm (Sam) nên: 18t |ọ ~6Xy— |Ÿ¬s)*~ ~3⁄@ —9xg +11 © 2xŸ —32x0 +58xọ +260 =0 © xạ =13 hoặc xạ =5 hoặc xụ =~2.
- Với xạ =13 thì phương trình tiếp tuyến là y =420x—3876 - Với xạ =5 thì phương trình tiếp tuyến là y =36x— 164 - Với xạ =-2 thì phương trình tiếp tuyến là y =15x+39 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =420x-3876; y=36x- 164; y =15x+39 2. Cách 1: Gọi (xạ;y(xạ)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và (C), voi y(xọ)= ^, 2 tiếpax tuyến“ d có hệSahsố gócxà y i (xe)=—=, Xọ #2 và d có: Xo~ (Xo -2 phương trình: y tt —Xg)+ xp #2 (Xo -2) Xo -2 d đi qua điểm A(-6;5) nên có SN ta phương trình Xg— này tương đương với xã — 6X9 =0> Xp =0 hoặc xạ =6 Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh * Với xạ =0, ta có phương trình: y=—x—1 *- Với xạ =6, ta có phương trình: y=-T t2 ¬ xế: Z. x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y=—x—1, yer ti» Cách 2: Phương trình d đi qua A(-6;5) có hệ số góc k, khi đó d có phương trình là: y =k(x+6)+5 d tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ xạ khi và chỉ khi hệ: Xạ+2 k(x +6)+5=—° 4x ~24xạ =0 4 4 có nghiệm xạ hay Em 4 có nghiệm xạ koe (xo =2) bạ~2Ÿ Xp =0, k=-1l=>d:y=-x-1 ° 1 % 3 Xp =6, k=-—>d:y=-—+=— 0 sg ed aS NI Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y=—x—1, i * Nhận xét 1: Qua cách 1 ta thấy đường thẳng d: y=-x—1 luôn tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm M(0;~1) và đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng IM với I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Qua đó ta có bài toán sau: Tìm trên đồ thị y = a những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với x- đường thẳng IM, với 1(2;1).k=~—1 tức là -4 4 2° 2 =-1 hay (Xp -2)* =16 <> xq =0 hodc xg =4 (Xo -2)° (xo -2) Vậy, M;(0;—1), M;(4;3) là tọa độ cần tìm.
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Nhận xét 2: Dễ thấy, tiếp tuyến tại M;, M; song song với nhau, hơn nữa đường thẳng qua 2 điểm Mạ, M; song song với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến tại Mạ, M; có hệ số góc là y'(0)= y'(4)=—1 * Qua đó, ta có bài toán sau: Giả sử đường thẳng A: x— y—m =0 cắt đồ thị y = = tại 2 điểm phân biệt M„, M2. Goi ky, ky lần lượt là hệ số góc của dị, d; là tiếp tuyến của đồ thị tại Mạ, Mạ. Tim toa dé M,, Mz sao cho k, +k, =-2. Tim gid tri me để tiếp tuyến tại Mị, M; song song với nhau.