Mở đầu về vật liệu đàn hồi không đồng nhất Các loại vật liệu không đồng nhất (vật liệu tổ hợp) tuy đƣợc cấu tạo vi mô từ các thành phần vật liệu khác nhau nhƣng về mặt vĩ mô đƣợc coi là đồng nhất và có các tính chất đàn hồi vĩ mô nói chung khác với tính chất các thành phần cấu thành. Các cấu trúc vi mô đƣợc coi là đủ lớn so với kích thƣớc phân tử để có thể đƣợc xem nhƣ là môi trƣờng liên tục. Các trƣờng nội lực và chuyển vị là liên tục trên các mặt ngăn cách giữa các pha. Khi các thành phần cấu thành phân bố không thiên hƣớng hỗn độn trong không gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng vĩ mô.
Ở đây chúng ta cũng giới hạn với giả thiết các vật liệu thành phần là đẳng hƣớng. Việc xác định cơ lý tính vĩ mô (macroscopic) (còn đƣợc gọi là hữu hiệu, hiệu quả, hiệu dụng (effective ) hay tổng thể (overall moduli)) của vật liệu không đồng nhất là một vấn đề cơ bản của khoa học vật liệu, các tính chất này phụ thuộc phức tạp vào tính chất các thành phần cấu thành cũng nhƣ hình học vi mô của vật liệu. Nội dung đƣợc tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [8], [19], [23], [42]. TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.1: Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha Xét phần tử đặc trƣng V của vật liệu tổ hợp (RVE).
Phần tử đặc trƣng này phải đủ lớn so với cấu trúc vi mô để có thể đƣợc coi thực sự đại diện cho vật liệu đƣợc xem xét nhƣng phải đủ nhỏ so với kích thƣớc vĩ mô của vật thể đem sử dụng (và cả độ dài bƣớc sóng trong trƣờng hợp bài toán động) để việc xác định tính chất vĩ mô thực sự có ý nghĩa. Phần tử đặc trƣng V đƣợc cấu thành bởi n thành phần chiếm chiếm các không gian Vα V và có các hệ số đàn hồi k , ; α=1… n; vα là kí hiệu hệ số thể tích của V trong V ( thể tích của V đƣợc coi là 1). Phần tử đặc trƣng V đƣợc gắn với hệ tọa độ Đề các vuông góc {x1, x2, x3}.2: Phần tử tuần hoàn trong mô hình 3 chiều (từ trái qua phải: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối và lập phương tâm mặt) Trong điều kiện chịu lực của vật thể , trƣờng ứng suất σ(x) ( là ten xơ ứng suất bậc 2 với các thành phần ζij ) cần phải thỏa mãn phƣơng trình cân bằng : σ(x) 0, x V (1.1) ( đƣợc hiểu một cách tự nhiên là bao gồm cả các điều kiện cân bằng trên mặt ngăn cách giữa các pha), và quan hệ với trƣờng biến dạng ε(x) thông qua định luật Hook : TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 9 σ(x) C(x) : ε(x), x V ( ijkl Cijkl .2) Tổng trong dấu ngoặc lấy theo các chỉ số latin lặp lại từ 1 tới 3; Các thành phần εij của ten xơ biến dạng ε đƣợc biểu diễn tuyến tính qua các thành phần ui của véc tơ chuyển vị u liên tục trên V: 1 ij (ui , j u j ,i ) (1.3) 2 Chỉ số Latin sau dấu phảy ký hiệu phép vi phân với tọa độ Đề các tƣơng ứng; C(x) C [Cijkl (x) Cijkl (x)] (1.5) [C T(k , )], δij là ký hiệu Krônecker thông thƣờng. Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên miền V đƣợc xác định nhƣ sau: σ σdx, ε εdx, (1.6) V V Quan hệ giữa các giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên V của vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng đƣợc thể hiện thông qua ten xơ đàn hồi vĩ mô Ceff: σ = Ceff : ε , Ceff T(k eff , eff ) (1.7) Một khi giá trị của ε(x) và σ(x) trên V đã đƣợc xác định, từ (1.7) ta có keff, μeff.
Các phƣơng trình và quan hệ (1.3) chƣa đủ để xác định ε(x) và σ(x) , còn cần điều kiện trên biên V của V. Chú ý rằng phần tử V là nhỏ so với kích thƣớc vĩ mô của vật thể chịu lực , điều kiện biên đồng nhất cho chuyển vị đƣợc kiến nghị : u ε0 x (ui ij0 x j ) trên V, ε0 =const (1.8) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 Thay cho (1.8) ta cũng có thể lấy điều kiện biên lực đồng nhất: σ n σ0 n trên V, σ0 =const (1.9) n là véc tơ đơn vị vuông góc trên biên V Bên cạnh việc xác định hệ số đàn hồi vĩ mô thông qua việc giải trực tiếp các phƣơng trình của cơ học môi trƣờng liên tục nhƣ đã trình bày ở trên ( gọi tắt là Đƣờng hƣớng giải phƣơng trình), ta còn có thể đi bằng cách khác thông qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lƣợng trên V ( gọi tắt là Đƣờng hƣớng năng lƣợng hay Đƣờng hƣớng biến phân), chẳng hạn : ε 0 : Ceff : ε 0 inf ε : C : εdx V (1. kl dx) 0 ij eff ijkl 0 kl V Trong đó ten xơ biến dạng ε biểu diễn qua véc tơ chuyển vị u bởi (1.3), còn u thì thỏa mãn điều kiện biên đồng nhất (1. Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.10) với ràng buộc (1.8) cũng sẽ thỏa mãn phƣơng trình cân bằng (1. Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng nhất đối với chuyển vị (1.8) ta có thể lấy ràng buộc trung bình biến dạng trên V σ ε0 (1.11) Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.10) với ràng buộc (1.11) sẽ thỏa mãn phƣơng trình cân bằng (1.1) trong khi trƣờng lực tƣơng ứng là đồng nhất trên biên V (theo cách hiểu (1.
Ceff cũng có thể đƣợc xác định từ nguyên lý biến phân đối ngẫu của (1.12) V Trong đó: ten xơ ứng suất thỏa mãn phƣơng trình cân bằng (1.1) và điều kiện biên đồng nhất (1. Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.12) với ràng buộc (1.9) sẽ thỏa mãn các phƣơng trình tƣơng thích biến dạng (nghĩa là với (1.2) tồn tại quan hệ (1. Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng nhất (1.9) ta có thể lấy ràng buộc trung bình ứng suất trên V σ σ0 (1.13) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 11 Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.12) với ràng buộc (1.13) sẽ thỏa mãn các phƣơng trình tƣơng thích biến dạng (Với (1.3)) trong khi trƣờng chuyển vị tƣơng ứng là đồng nhất trên biên V. Trong các điều kiện làm việc của vật thể, các trƣờng chuyển vị và ứng suất thực nói chung không thỏa mãn chính xác các điều kiện biên đồng nhất nhƣ (1.9) cho dù V là nhỏ so với các kích thƣớc vĩ mô của vật thể mà thay đổi dao động xung quanh các giá trị này do cấu trúc vi mô không đồng nhất của V, tuy nhiên các nhiễu này chỉ có ảnh hƣởng ở các vùng gần biên V giống nhƣ nội dung của nguyên lý Cent Venant (để tính Ceff - trong khi đó - ta cần tổng tích phân các giá trị của trƣờng trên toàn V).
Cũng giống nhƣ vậy các trƣờng ứng suất và biến dạng đƣợc xác định bởi (1.13) nói chung không trùng nhau. Giả thiết xuất phát của chúng ta là các định nghĩa đó đều cho các mô đun vĩ mô Ceff trùng nhau về mặt tiệm cận khi kích thƣớc V đủ lớn so với các kích thƣớc vi mô; Ceff cũng cần phải không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đặc trƣng cụ thể V của vật liệu cũng nhƣ hình dạng của V với điều kiện các kích thƣớc của V đều lớn hơn nhiều so với các kích thƣớc vi mô. Do vậy V có thể đƣợc lấy là hình cầu hay khối lập phƣơng. thuận tiện cho phƣơng pháp toán học áp dụng.
Các tính chất khác của vật liệu tổ hợp nhƣ hệ số dẫn đƣợc xem xét tƣơng tự. Một số đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng nhất Những nghiên cứu đầu tiên về tính chất của vật liệu không đồng nhất đƣợc thực hiện ở cuối thế kỉ 19 – đầu thế kỉ 20 bởi các nhà khoa học hàng đầu của thời kì đó. Theo đó, họ xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu không đồng nhất bằng cách đƣa ra các đánh giá trên và dƣới cho giá trị của các hệ số này. Nói cách khác, họ đƣa ra một khoảng giá trị giữa cận trên và cận dƣới của chúng.
Vào năm 1928, Voight [39] đã đƣa ra các công thức trung bình cộng số học để tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của vật liệu đàn hồi tổ hợp đẳng hƣớng: n k eff v k 1 n (1.14) eff v 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 12 Reuss [36] đã chỉ ra rằng trong một số các trƣờng hợp thì công thức trung bình cộng điều hòa cho đƣợc kết quả xấp xỉ tốt hơn: 1 n k eff v k 1 1 (1.15) n eff v 1 Xuất phát từ các nguyên lý biến phân đã nói ở trên và chọn các trƣờng khả dĩ hằng số, Hill [15], và Paul [24] đã chứng minh đƣợc rằng các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng dù hình học pha nhƣ thế nào luôn nằm ở giữa các giá trị (1. Cụ thể, đánh giá Hill- Paul có thể đƣợc viết nhƣ sau: 1 n n v k k v k eff 1 1 1 (1.16) n n v eff v 1 1 Vào năm 1962 và 1963, Hashin và Shtrikman (trong [11], [12], [13], [14]) đã đƣa vào các trƣờng khả dĩ phân cực (polarization fiels) và có các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau, các ông đã xây dựng thành công đánh giá mới tốt hơn đánh giá Hill- Paul: Với d là số chiều của bài toán. Công thức tổng quát đƣợc viết nhƣ sau: 2(d 1) 2(d 1) Pk min k eff Pk max (1.17) d d 1 v Pk k* k* k k* min min | 1,., n P * (kmin , min eff P * (kmax , max (1.