Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến (H3) B : R + = [0,+∞ ) → R thỏa các điều kiện sau: (i) B liên tục, (ii) tồn tại hai hằng số dƣơng λQ và D0 sao cho (H4) f: R 2 → R thỏa các điều kiện sau: (i) f liên tục, (ii) f không giảm đối với biến thứ hai, nghĩa là, (iii) tồn tại hai hằng số dƣơng λ1 và D1 sao cho trong đó C là hằng số dƣơng và các hằng số còn lại thỏa các điều kiện sau đây phụ thuộc vào n. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng γ = 1.1 Giả sử có các giả thiết ( H 1 ) - ( H 4 ). Khi đó bài toán (1.4) có ít nhất một nghiệm u sao cho Hơn nữa, nếu có các giả thiết (H5 ), (H6 ), thì nghiệm u duy nhất. Chú thích 1.1 Bài báo [26] đã khảo sát bài toán (1.4) trong trƣờng hợp f(u,ut) = | | , 0 < β < 1 và hàm B xác định liên tục không âm trên [0,+ ∞).
Ta cũng chú ý rằng điều kiện (H 3 ,(ii)) không đòi hỏi hàm B không âm trên [0,+∞). Nhƣ vậy kết quả thu đƣợc trong [26] là một trƣờng hợp riêng của định lý 1. Một số tác giả khác nhƣ Nishihara trong [31] - [33], Medeiros trong [28], Hosoya & Yamada trong [17] đã xét B là hàm thuộc lớp C1(R+) và B ≥ Bo > 0 với lớp hàm f kém tổng quát hơn. 15 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Chú thích 1.
Chú ý rằng định lý 1.1 vẫn còn đúng nếu thay thế giả thiết (H3, ii) bởi: ( ) Tồn tại các hằng số dƣơng 0, D0 và r, 0 < r < 1 sao cho Chứng minh định lý 1. Chứng minh bao gồm nhiều bƣớc. xấp xỉ Galerkin Giả sử {wj} là một cơ sở đếm đƣợc của Trong đó cmj(t) thỏa hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến Trong đó 16 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ giả thiết của định lý, hệ (1.11) có nghiệm um(t) trên khoảng 0 ≤ t ≤ Tm với T m (0,T) nào đó. Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy T m = T với mọi m.
Đánh giá tiên nghiệm Nhân mỗi phƣơng trình trong (1.10) với (t) sau đó lấy tổng theo j, ta đƣợc Lấy tích phân (1.14) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có Trong đó Sử dụng giả thiết về tính đơn điệu (H4,(ii)) của f đối với biến thứ hai, ta có Trong đó 17 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Khi đó ta suy ra, từ (1.18), rằng Tƣơng tự, từ (H3,(ii)) ta cũng thu đƣợc Để đánh giá số hạng ∫ ̂ ( ) chúng ta cần đến bổ đề sau Ta suy ra từ (1. Với giả thiết (H4,(4i)), đặt ̂ ∫ ds, ta có toán tử Nemytsky ̂ biến mọi tập bị chận của Hq thành tập bị chận của L1. Chứng minh bổ đề 1. Từ giả thiết (H4 ,(4i)), ta có 18 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Suy ra Từ (1.23) suy ra Do đó ̂ biến mọi tập bị chận trong thành tập bị chận trong L1.
Từ giả thiết (H4,(4i)), suy ra Từ đây kết hợp với (1.23) ta có ̂ biến mọi tập bị chận trong thành tập bị chận trong L1 Bổ đề 1.1 đƣợc chứng minh hoàn tất.13), sử dụng giả thiết (H3, (i)) và bổ đề 1.1, ta thu đƣợc Do đó, từ (1.24) ta thu đƣợc 19 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó và MT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (1.25) rằng Vậy ta có thể lấy T m = T với mọi m và do đó Sử dụng (1.29) và (H4,(4i)) ta đƣợc ta có Mặt khác, từ bất đẳng thức do đó Bước 3. Qua giới hạn.30), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con {um } ,vẫn ký hiệu là {um}, sao cho 20 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Dùng bổ đề về tính compact của Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58), ta có thể suy từ (1.35) rằng tồn tại một dãy con, vẫn ký hiệu là {u m}, sao cho: Do định lý Riesz-Fischer, từ (1.37) ta có thể lấy ra một dãy con, vẫn ký hiệu là {um}, sao cho Vì B liên tục, ta có rong đó Kết hợp (1.3 trong [27] (trang 12 ), ta có Qua giới hạn trong (1.41) ta có 21 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Vậy u(0) = uo u’(0) = u1 Khi đó, để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.4), ta chỉ cần chứng minh χ = f(u,u’) B â y g i ờ t a x é t bổ đ ề s a u đ â y Bổ đề 1. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau: Khỉ đó ta có Hơn nữa, nếu u0 =u1 = 0 thì (1.46) xảy ra đằng thức.
Chứng minh của bổ đề 1. Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán ( 1. Ta suy từ (1.11) rằng 22 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Qua giới hạn khi m →∞ , bằng cách sử dụng (1.2 với | |2 ) ta thu đƣợc Từ giả thiết (H4,(i)), ta suy ra từ (1.49) Sử dụng giả thiết (H4,(4i)) và định lý hội tụ bị chận Lebesgue, ta thu đƣợc từ (1.50), ta suy ra Tiếp theo, ta xét 23 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ (1.52), ta suy ra rằng Trong (1.53) ta lấy v = u ' - ε w , ε > 0 , w L2(QT), khi đó ta thu đƣợc Cho ε → 0+, ta suy ra từ (1 .54) rằng Vậy do (1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.4) đã đƣợc chứng minh.
Tính duy nhất nghiệm. Giả sử u và v là hai nghiệm yếu của bài toán (1. Khi đó w = u - v thỏa mãn bài toán sau: Sử dụng bổ đề 1.2 với u0 = u1 = 0 ta có đẳng thức 24 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó C0 là một hằng số nhƣ ở (1. Chú ý rằng hàm số f không giảm đối với biến thứ hai, ta có từ (1.57) rằng Sử dụng giả thiết (H5) và (H6) ta suy ra từ (1.58) rằng từ đây ta suy ra X(t) = 0 nhờ bổ đề Gronwall.1 đƣợc chứng minh đầy đủ.
Chúng ta xét một số dạng cụ thể của hàm f ( u , u t ). 25 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Định lý 1. trong đó a , β, λ , θ là các hằng số cho trƣớc thỏa điều kiện sau: Giả sử ( H 1 ) - ( H 3 ) là đúng, khi đó bài toán (1.4) có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn (1. Hơn nữa, nếu a ≥ 1 và B thỏa (H6 ), thì nghiệm duy nhất.
Chú thích 1. Chú ý rằng f(u,u t ) thỏa các giả thiết của định lý 1. Sau đây ta xét số hạng phi tuyến f(u,u t ) có dạng f (u, u t)=g(u) + | | u t, trong đó β là hằng số dƣơng. Ta thiết lập các giả thiết về hàm số g nhƣ sau: (H4) Hàm số g:R→R thỏa mãn (i) g liên tục (ii) Tồn tại các hằng số D2 > 0, λ2> 0 sao cho 26 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính n,p như sau: ( )Với mỗi tập con bị chận M của , tồn tại một hằng số kM > 0 sao cho Khi đó ta có: Định lý 1.3 Giả sử (H1) – (H3), (H’4) đúng, khi đó bài toán (1.1) – (1-4) với | | có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn.60) Hơn nữa, nếu g, B thỏa (H’5), (H6), lần lƣợt, thì nghiệm u duy nhất.
Chú thích 1.3 áp dụng cho trƣờng hợp Cho kết quả mở rộng hơn so với kết quả trong bài báo [26] ứng với 0 < < 1. Nới rộng bài toán Trong phần nầy, chúng tôi tổng quát hóa bài toán (1.4) bằng cách khảo sát bài toán giá trị biện và điều kiện đầu sau: 27 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó Ta chú ý rằng bài toán (1.4) là trƣờng hợp riêng của bài toán trong (1. Vẫn với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự cùng với sự điều chỉnh trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu đƣợc kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.66) đối với các điều kiện (1. Kết quả nay tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả tƣơng ứng trong {1}, [14], [26], [36].
Ngoài các không gian hàm đã sử dụng, chúng ta xét thêm các không gian hàm sau đây và ký hiệu gọn lại nhƣ sau: Ta thành lập thêm giả thiết về p nhƣ sau (H’1) p > 1 nếu n = 1,2; 1< p< Khi đó ta có định lý 28 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Định lý 1. Giả sử (H'1) , ( H 1 ) - ( H 4 ) là đúng. Khi đó bài toán (1.66) có ít nhất một nghiệm u sao cho Hơn nữa, nếu f,B thỏa (H5 ),(H6 ), lần lượt, thì nghiệm duy nhất. Chứng minh định lý 1.
Tƣơng tự với chứng minh của định lý 1.1, ta điều chỉnh trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm nhƣ sau. Trƣớc hết, giả sử { } là một cơ sở đếm đƣợc của. Đặt trong đó cmj(t) thỏa hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến trong đó 29 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ giả thiết của định lý, hệ (1. Nhân mỗi phƣơng trình trong (1.69) với 2c' mj(t), sau đó lấy tổng theo j, ta đƣợc Lấy tích phân (1.73) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có trong đó Sử dụng giả thiết (H4 ,(ii)) về tính đơn điệu của f đối với biến thứ hai, ta có Chú ý rằng từ (H4,(iii)) và (H3,(ii)) ta thu đƣợc các bất đẳng thức sau.
30 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Ta suy ra từ (1.78) rằng Mặt khác, từ (1.72), sử dụng các giả thiết (H3, (i)), (H4,(4i)), và bổ đề (1.1) ta thu đƣợc Do đó, từ (1.80) ta thu đƣợc trong đó MT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Từ đánh giá (1.81), ta suy ra tồn tại một dãy con của {um},vẫn ký hiệu là {um}, sao cho 31 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Điều nay cho phép chúng ta qua giới hạn cho số hạng phi tuyến Lặp lại các bƣớc lý luận 3 và 4 nhƣ trong chứng minh định lý 1.1, ta thu đƣợc chứng minh định lý 1 .