I. Phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình chứa các đạo hàm riêng của hàm ẩn. Chúng được viết dưới dạng F(x1, x2, ..., xn), trong đó x1, x2, ..., xn là các biến độc lập và u là hàm ẩn của các biến đó. Phương trình đạo hàm riêng thường có vô số nghiệm và được phân loại theo cấp, mức độ phi tuyến, và sự phụ thuộc vào thời gian. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phương trình có dạng L[u] = f(x), trong đó L là toán tử tuyến tính. Nếu f ≡ 0, phương trình được gọi là thuần nhất, ngược lại là không thuần nhất.
1.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng được phân loại theo cấp, mức độ phi tuyến, và sự phụ thuộc vào thời gian. Phương trình cấp hai là phương trình có cấp cao nhất của đạo hàm riêng là hai. Ví dụ, phương trình uxx + uyy = f(x, y) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. Phương trình tuyến tính cấp hai có dạng tổng quát a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f(x, y)u = g(x, y).
1.2. Giải phương trình đạo hàm riêng
Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai thường liên quan đến việc tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các phương pháp như biến đổi Fourier hoặc phương pháp tách biến. Ví dụ, phương trình uξη = 0 có nghiệm tổng quát u(ξ, η) = F(ξ) + G(η), trong đó F và G là các hàm khả vi bất kỳ.
II. Chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng
Chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng là quá trình biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn để dễ dàng giải quyết. Đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, việc chuẩn tắc hóa thường liên quan đến việc thay đổi biến số để đưa phương trình về dạng hyperbolic, parabolic hoặc elliptic. Ví dụ, phương trình a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = 0 có thể được chuẩn tắc hóa bằng cách thay đổi biến số ξ và η sao cho phương trình trở thành uξη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0.
2.1. Dạng chuẩn tắc hyperbolic
Đối với phương trình hyperbolic, dạng chuẩn tắc thường là uξη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0. Ví dụ, phương trình uxx - uyy = 0 có thể được chuẩn tắc hóa thành uξη = 0 bằng cách thay đổi biến số ξ = x + y và η = x - y. Dạng chuẩn tắc này giúp đơn giản hóa việc tìm nghiệm của phương trình.
2.2. Dạng chuẩn tắc parabolic
Đối với phương trình parabolic, dạng chuẩn tắc thường là uηη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0. Ví dụ, phương trình uxx = ut có thể được chuẩn tắc hóa thành uηη = 0 bằng cách thay đổi biến số ξ = x và η = t. Dạng chuẩn tắc này thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến sự truyền nhiệt.
2.3. Dạng chuẩn tắc elliptic
Đối với phương trình elliptic, dạng chuẩn tắc thường là uξξ + uηη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0. Ví dụ, phương trình uxx + uyy = 0 có thể được chuẩn tắc hóa thành uξξ + uηη = 0 bằng cách thay đổi biến số ξ = x và η = y. Dạng chuẩn tắc này thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến thế năng.
III. Ứng dụng của phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Chúng được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý như sự truyền nhiệt, sóng, và dòng chảy chất lỏng. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai đặc biệt quan trọng trong việc giải quyết các bài toán biên và bài toán giá trị ban đầu.
3.1. Ứng dụng trong vật lý
Trong vật lý, phương trình đạo hàm riêng được sử dụng để mô tả các hiện tượng như sự truyền nhiệt (phương trình nhiệt), sóng (phương trình sóng), và dòng chảy chất lỏng (phương trình Navier-Stokes). Ví dụ, phương trình nhiệt ut = kuxx được sử dụng để mô tả sự phân bố nhiệt trong một vật thể theo thời gian.
3.2. Ứng dụng trong kỹ thuật
Trong kỹ thuật, phương trình đạo hàm riêng được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển, mô phỏng các quá trình công nghiệp, và phân tích cấu trúc. Ví dụ, phương trình Laplace uxx + uyy = 0 được sử dụng để tính toán thế năng trong các hệ thống điện từ.
