I. Định lý điểm bất động và ánh xạ co suy rộng
Luận án tập trung nghiên cứu định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên không gian kiểu mêtric. Các kết quả chính bao gồm việc mở rộng các định lý điểm bất động từ không gian mêtric truyền thống sang các không gian có cấu trúc phức tạp hơn như không gian mêtric riêng. Các ánh xạ co suy rộng được xem xét bao gồm các lớp ánh xạ như T-co, Meir-Keeler, và Ciric. Những kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng trong việc giải các bài toán thực tế như phương trình tích phân và lý thuyết trò chơi.
1.1. Khái niệm ánh xạ T co
Ánh xạ T-co là một khái niệm mở rộng của ánh xạ co Banach. Cho không gian mêtric (X, d), ánh xạ S được gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(T Sx, T Sy) ≤ k d(T x, T y) với mọi x, y ∈ X. Khi T là ánh xạ đồng nhất, T-co trở thành ánh xạ co thông thường. Khái niệm này đã mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết điểm bất động, đặc biệt là trên các không gian mêtric suy rộng.
1.2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ Meir Keeler
Định lý điểm bất động cho ánh xạ Meir-Keeler được mở rộng trong không gian mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy, nếu ánh xạ S thỏa mãn điều kiện Meir-Keeler, thì S có điểm bất động duy nhất. Kết quả này không chỉ khẳng định sự tồn tại điểm bất động mà còn chỉ ra tính duy nhất của nó, mở rộng các kết quả trước đây trong lý thuyết điểm bất động.
II. Không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án nghiên cứu các không gian kiểu mêtric, đặc biệt là không gian mêtric riêng, nơi các tính chất của mêtric truyền thống được thay đổi để phù hợp với các bài toán phức tạp hơn. Các kết quả chính bao gồm việc thiết lập các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng. Những kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn được áp dụng vào việc giải các phương trình tích phân phi tuyến và bài toán cân bằng trong lý thuyết trò chơi.
2.1. Không gian mêtric riêng
Không gian mêtric riêng là một khái niệm mở rộng của không gian mêtric, trong đó điều kiện d(x, x) = 0 được thay thế bằng d(x, x) ≤ d(x, y) với mọi x, y. Điều này cho phép nghiên cứu các ánh xạ co trên các không gian có cấu trúc phức tạp hơn. Các kết quả trong luận án đã mở rộng các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng, đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết điểm bất động.
2.2. Ứng dụng trong phương trình tích phân
Các kết quả về điểm bất động trên không gian mêtric riêng được áp dụng vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến. Đặc biệt, các định lý điểm bất động bộ đôi được sử dụng để giải các bài toán tích phân phức tạp, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực giải tích hàm và phương trình vi phân.
III. Ứng dụng trong lý thuyết trò chơi
Luận án cũng nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động trong lý thuyết trò chơi, đặc biệt là bài toán cân bằng không cộng tác. Các kết quả về điểm bất động bộ đôi được sử dụng để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng trong các trò chơi với hai người chơi. Điều này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong kinh tế và khoa học xã hội.
3.1. Điểm bất động bộ đôi
Điểm bất động bộ đôi là một khái niệm mở rộng của điểm bất động thông thường, được sử dụng để nghiên cứu các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn. Các kết quả trong luận án đã chứng minh sự tồn tại điểm bất động bộ đôi cho các ánh xạ kiểu F-co trên không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết điểm bất động.
3.2. Ứng dụng trong bài toán cân bằng
Các kết quả về điểm bất động bộ đôi được áp dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Điều này không chỉ khẳng định sự tồn tại điểm cân bằng mà còn chỉ ra tính duy nhất của nó, đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết trò chơi và kinh tế học.
