Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Trần Đức Thành tại Trường Đại học Vinh, chuyên ngành Toán Giải tích (mã số: 62 46 01 02), dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi, bảo vệ năm 2015.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết điểm bất động là một bộ phận trọng yếu của giải tích phi tuyến, cung cấp công cụ nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình hàm, bài toán cân bằng và hệ động lực. Kể từ các công trình nền tảng của Brouwer (1911), Banach (1922) và Tarski (1955), hướng nghiên cứu điểm bất động mêtric phát triển theo ba mạch chính:

  1. Mở rộng điều kiện co của các ánh xạ;
  2. Mở rộng cấu trúc không gian nền (không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, $b$-mêtric, không gian mêtric riêng);
  3. Tìm kiếm các ứng dụng thực tiễn trong toán học và các ngành liên quan.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định bao gồm:

  • Nhu cầu mở rộng các lớp ánh xạ co nổi tiếng (như co kiểu Meir-Keeler, tựa co Ciric, và $(\psi, \phi)$-co yếu) sang lớp ánh xạ kiểu $T$-co (do S. Omid đề xuất năm 2010) trên không gian mêtric đầy đủ.
  • Sự cần thiết phải thiết lập các định lý điểm bất động và điểm bất động chung trên không gian mêtric riêng (partial metric space do S. Matthews đưa ra năm 1992), nơi điều kiện khoảng cách tự thân $p(x, x) = 0$ bị thay thế bởi bất đẳng thức $p(x, x) \le p(x, y)$, khiến các kỹ thuật chứng minh giải tích chuẩn trên không gian mêtric không thể áp dụng trực tiếp.
  • Khả năng xây dựng các định lý điểm bất động bộ đôi (coupled fixed point) cho ánh xạ kiểu $F$-co trên không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và áp dụng giải quyết bài toán nghiệm phương trình tích phân phi tuyến cũng như bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu tổng quát của luận án gồm hai nội dung:

  1. Mở rộng các kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động, điểm bất động chung và điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh xạ co suy rộng trên các cấu trúc không gian: không gian mêtric, không gian mêtric riêng và không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận.
  2. Ứng dụng các định lý thiết lập được để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm và tìm điểm cân bằng không cộng tác cho trò chơi hai người chơi.

Luận án đặt ra hai câu hỏi nghiên cứu cụ thể:

  1. Với các lớp không gian suy rộng như không gian mêtric riêng, cấu trúc tôpô và các điều kiện co suy rộng cần được thiết lập như thế nào để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất điểm bất động khi khoảng cách tự thân $p(x,x)$ có thể nhận giá trị dương?
  2. Có thể xây dựng lớp ánh xạ kiểu $F$-co cho các định lý điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và chuyển hóa kết quả đó để giải quyết bài toán phương trình tích phân và cân bằng trò chơi hay không?

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận; các lớp ánh xạ $T$-co, ánh xạ co suy rộng kiểu Meir-Keeler, kiểu tựa co Ciric, kiểu $(\psi, \phi)$-co yếu, ánh xạ kiểu $F$-co; điểm bất động, điểm bất động chung, điểm bất động bộ đôi; phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm và mô hình trò chơi không cộng tác hai người.
  • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết giải tích hàm và lý thuyết điểm bất động mêtric; phạm vi ứng dụng giới hạn ở phương trình tích phân một chiều và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi hữu hạn/phi hợp tác.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án hệ thống hóa các hướng nghiên cứu tiền đề trong lý thuyết điểm bất động mêtric:

Hướng nghiên cứu Các tác giả và công trình tiêu biểu được trích dẫn Đóng góp chính của tài liệu trước Vị trí tiếp nối của luận án
Mở rộng điều kiện co trên không gian mêtric Banach (1922), Kannan (1968), Boyd-Wong (1969), Meir-Keeler (1969), Reich (1971), Ciric (1971, 1974), Zamfirescu (1972), Hardy-Rogers (1973), Berinde (2004), Doric (2009), Omid (2010), Wardowski (2012). Đưa ra các dạng co yếu, tựa co, hầu co, $\Phi$-co, $F$-co, và $T$-co trên $(X, d)$. Mở rộng điều kiện Meir-Keeler, tựa co Ciric và $(\psi, \phi)$-co yếu sang dạng $T$-co với toán tử $T$ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy.
Mở rộng cấu trúc không gian mêtric riêng S. Matthews (1992, 1994), I. Simsek (2010), D. Rakocevic (2011), Romaguera (2010), Valero (2005). Xây dựng tiên đề mêtric riêng từ khoa học máy tính; thiết lập nguyên lý co Banach và Hardy-Rogers trên $(X, p)$. Mở rộng điều kiện co Hardy-Rogers, Rakocevic và $(\psi, \phi)$-co yếu trên $(X, p)$ đầy đủ và 0-đầy đủ.
Điểm bất động bộ đôi và có thứ tự T. Lakshmikantham và L. Ciric (2006), N.V. Luong và N.X. Thuan (2011), D. Wardowski (2012), C. Vetro (2012, 2013). Đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi với tính chất đơn điệu trộn trên không gian sắp thứ tự. Kết hợp cấu trúc thứ tự bộ phận, mêtric riêng và điều kiện $F$-co cho điểm bất động bộ đôi; ứng dụng tích phân và trò chơi.

Khoảng trống học thuật mà luận án giải quyết gồm:

  • Loại bỏ tính phụ thuộc vào phép co trực tiếp bằng cách đưa ánh xạ phụ trợ $T$ hội tụ dãy vào các bất đẳng thức co phức tạp (Meir-Keeler, Ciric, $(\psi, \phi)$).
  • Khắc phục khó khăn giải tích khi xử lý dãy lặp trong không gian mêtric riêng bằng các bất đẳng thức đánh giá mới thông qua tập con $X_p = {x \in X : p(x, x) = \inf_{y \in X} p(y, y)}$.
  • Thiết lập cầu nối giữa lý thuyết điểm bất động bộ đôi của ánh xạ $F$-co trên mêtric riêng có thứ tự với bài toán tìm nghiệm dương/nghiệm bị chặn của phương trình Fredholm và điểm cân bằng Nash.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm cơ bản

Luận án vận dụng hệ thống định nghĩa và cấu trúc toán học giải tích:

  • Ánh xạ $T$-co: Cho không gian mêtric $(X, d)$ và các ánh xạ $T, S: X \rightarrow X$. Ánh xạ $S$ được gọi là $T$-co nếu tồn tại $k \in [0, 1)$ sao cho: $$d(TSx, TSy) \le k d(Tx, Ty), \quad \forall x, y \in X$$
  • Ánh xạ hội tụ dãy (sequentially convergent): Ánh xạ $T: X \rightarrow X$ được gọi là hội tụ dãy nếu với bất kỳ dãy ${y_n} \subset X$ mà dãy ${Ty_n}$ hội tụ thì bản thân dãy ${y_n}$ hội tụ trong $X$.
  • Không gian mêtric riêng (Partial metric space): Ánh xạ $p: X \times X \rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn bốn tiên đề với mọi $x, y, z \in X$:
    1. $x = y \Leftrightarrow p(x, x) = p(x, y) = p(y, y)$;
    2. $p(x, x) \le p(x, y)$;
    3. $p(x, y) = p(y, x)$;
    4. $p(x, y) \le p(x, z) + p(z, y) - p(z, z)$. Mêtric cảm sinh tương đương được xác định bởi $p_s(x, y) = 2p(x, y) - p(x, x) - p(y, y)$ và $p_m(x, y) = \max{p(x, y) - p(x, x), p(x, y) - p(y, y)}$.
  • Họ hàm kiểm soát $\Psi$ và $\Phi$: Họ $\Psi$ gồm các hàm $\psi: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ liên tục, không giảm, $\psi(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$. Họ $\Phi$ gồm các hàm $\phi: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ nửa liên tục dưới, $\phi(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$.
  • Họ hàm $F$-co của Wardowski ($\mathcal{F}$): Gồm các hàm $F: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ tăng ngặt, liên tục và thỏa mãn điều kiện giới hạn dãy.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học thuần túy của Giải tích hàm:

  • Phương pháp dãy lặp Picard và dãy lặp quỹ đạo: Xây dựng dãy lặp $x_{n+1} = S x_n$ (hoặc $x_{2n+1} = g x_{2n}, x_{2n+2} = f x_{2n+1}$) và chuyển bài toán về việc khảo sát dãy ảnh ${T x_n}$ trong không gian mêtric hoặc không gian mêtric riêng.
  • Kỹ thuật ước lượng khoảng cách giải tích: Chứng minh tính chất dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy và giới hạn dãy bằng phương pháp phản chứng kết hợp bất đẳng thức tam giác suy rộng.
  • Phương pháp quy nạp toán học: Sử dụng để thiết lập các chặn trên cho khoảng cách quỹ đạo $O(Tx, n)$ và lũy thừa $L^k$.
  • Kỹ thuật nghiệm bộ đôi trên và dưới (lower and upper coupled solutions): Biến đổi phương trình tích phân phi tuyến và hệ cân bằng trò chơi về bài toán điểm bất động của toán tử tích phân trên không gian hàm có thứ tự bộ phận.

Nguồn tư liệu và dữ liệu

Nghiên cứu sử dụng tư liệu học thuật giải tích công bố trên các tạp chí toán học quốc tế chuyên ngành (như các bài báo của Meir-Keeler, Ciric, Matthews, Doric, Lakshmikantham, Wardowski, Berinde, Simsek, Rakocevic).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Điểm bất động của một số ánh xạ T-co suy rộng trong không gian mêtric

Chương này trình bày các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ $T$-co trên không gian mêtric đầy đủ $(X, d)$, với giả thiết $T: X \rightarrow X$ là ánh xạ đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy.

1. Ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler

Luận án mở rộng định lý điểm bất động Meir-Keeler (1969) thành Định lý 1.5 và Định lý 1.8:

  • Định lý 1.5: Giả sử ánh xạ $S: X \rightarrow X$ thỏa mãn: với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho: $$\varepsilon \le d(Tx, Ty) < \varepsilon + \delta \implies d(TSx, TSy) < \varepsilon, \quad \forall x, y \in X$$ Khi đó $S$ có duy nhất điểm bất động $z \in X$ và $\lim_{n \rightarrow \infty} T^n x = z$ với mọi $x \in X$.
  • Định lý 1.8: Mở rộng cho toán tử liên tục $F: X \rightarrow X$ thỏa mãn điều kiện co với đại lượng: $$M_T(x, y) = \max\left{d(Tx, Ty), d(Tx, TFx), d(Ty, TFy), \frac{1}{2}[d(Tx, TFy) + d(Ty, TFx)]\right}$$ sao cho $\varepsilon \le M_T(x, y) < \varepsilon + \delta \implies d(TFx, TFy) < \varepsilon$. Khi đó $F$ có duy nhất điểm bất động.
  • Ví dụ minh họa 1.7: Luận án xét tập $X = [1, 8]$ với mêtric thông thường $d(x, y) = |x - y|$, ánh xạ $Sx = \frac{8}{\sqrt{x}}$ có điểm bất động duy nhất $x = 4$. Văn bản chỉ ra $S$ không thỏa mãn điều kiện co Meir-Keeler thông thường (tại $\varepsilon_0 = 3, x=1, y=4$), nhưng thỏa mãn Định lý 1.5 khi chọn $Tx = \ln x + 1$ và $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$.

2. Ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric

Mở rộng định lý Ciric (1974) sang dạng $T$-co:

  • Định lý 1.6: Giả sử tồn tại $q \in [0, 1)$ sao cho: $$d(TSx, TSy) \le q \max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)}$$ với mọi $x, y \in X$ và mọi dãy Cauchy dạng ${TS^n x}$ đều hội tụ trong $X$. Luận án chứng minh:
    1. $d(TS^i x, TS^j x) \le q \delta(O(Tx, n))$ với mọi $i, j \in {1, 2, \dots, n}$;
    2. $\delta(O(Tx, \infty)) \le \frac{1}{1-q} d(Tx, TSx)$;
    3. $S$ có duy nhất điểm bất động $b \in X$;
    4. $\lim_{n \rightarrow \infty} TS^n x = Tb$.
  • Các hệ quả: Hệ quả 1.7 (thay số hạng bằng trung bình cộng khoảng cách chéo), Hệ quả 1.8 (áp dụng cho lũy thừa $S^k$), Hệ quả 1.9 (điều kiện co tuyến tính với $\sum_{i=1}^5 a_i < 1$).
  • Ví dụ minh họa 1.4: Không gian $X = \mathbb{R}^+$, mêtric chuẩn, ánh xạ $Sx = \frac{x^2}{x+1}$. Ánh xạ này không thỏa mãn điều kiện tựa co Ciric thông thường khi $x$ đủ lớn, nhưng thỏa mãn Định lý 1.6 với $Tx = e^x - 1$ và $q = \frac{1}{2}$.

3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T-co kiểu $(\psi, \phi)$-co yếu

  • Định lý 1.2: Cho hai ánh xạ $f, g: X \rightarrow X$ và các hàm $\psi \in \Psi, \phi \in \Phi$ thỏa mãn: $$\psi(d(Tfx, Tgy)) \le \psi(M(Tx, Ty)) - \phi(M(Tx, Ty))$$ với $M(Tx, Ty) = \max\left{d(Tx, Ty), d(Tx, Tfx), d(Ty, Tgy), \frac{d(Tx, Tgy) + d(Ty, Tfx)}{2}\right}$. Khi đó $f$ và $g$ có duy nhất điểm bất động chung.
  • Ví dụ minh họa 1.5: Trên $X = [1, +\infty)$, $f(x) = g(x) = \sqrt[4]{x}$, không thỏa mãn định lý Doric (2009) tại $x=4, y=1$, nhưng thỏa mãn Định lý 1.2 với $Tx = \ln x + 1, \psi(t) = t, \phi(t) = \frac{t}{3}$.

Chương 2: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

Chương 2 tập trung vào cấu trúc không gian mêtric riêng $(X, p)$ và sự tồn tại điểm bất động khi khoảng cách tự thân khác không.

1. Cấu trúc và tính chất không gian mêtric riêng

Luận án trình bày các tính chất cơ bản:

  • Dãy ${x_n}$ hội tụ tới $x$ khi và chỉ khi $p(x, x) = \lim_{n \rightarrow \infty} p(x_n, x)$.
  • Khái niệm dãy 0-Cauchy ($\lim_{n, m \rightarrow \infty} p(x_n, x_m) = 0$) và tính 0-đầy đủ.
  • Khác biệt bản chất: Trong $(X, p)$, dãy hội tụ có thể không là dãy Cauchy và giới hạn có thể không duy nhất (như dãy $x_n = 0$ khi $n$ chẵn, $x_n = 1$ khi $n$ lẻ trên $X = \mathbb{R}^+$ với $p(x, y) = \max{x, y}$). Không gian $(\mathbb{Q}^+, p)$ là 0-đầy đủ nhưng không đầy đủ.

2. Ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

  • Mở rộng kết quả của Simsek (2010) và Rakocevic (2011).
  • Định lý 2.12 và Hệ quả 2.13: Thiết lập sự tồn tại duy nhất điểm bất động $u$ của ánh xạ $T$ trong tập con $X_p = {x \in X : p(x, x) = \inf_{y \in X} p(y, y)}$ với các tham số co $a, b, c \in [0, 1)$ và $d \in [0, 1/2)$.
  • Kỹ thuật chứng minh sử dụng bổ đề đánh giá: Với $L = \max{a, b, c, 2d}$ và $m > n > k \ge 1$, nếu $p(x_n, x_m) > p(x_i, x_i)$ với mọi $i \in {n-k, \dots, m-1}$ thì $p(x_m, x_n) \le L^k p(x_{i_0}, x_{j_0})$.

3. Điểm bất động chung kiểu $(\psi, \phi)$-co yếu trong không gian mêtric riêng

  • Định lý 2.7 và Hệ quả 2.8: Thiết lập sự tồn tại và duy nhất điểm bất động chung cho cặp ánh xạ co yếu trong không gian mêtric riêng, kèm theo Ví dụ 2.6 minh họa tính tổng quát hơn của kết quả.

Chương 3: Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng dụng

Chương 3 kết hợp cấu trúc mêtric riêng với quan hệ thứ tự bộ phận $\le$, đồng thời triển khai hai ứng dụng thực tiễn của giải tích.

1. Điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ kiểu F-co

  • Khái niệm điểm bất động bộ đôi: Phần tử $(x, y) \in X \times X$ được gọi là điểm bất động bộ đôi của ánh xạ $F: X \times X \rightarrow X$ nếu $F(x, y) = x$ và $F(y, x) = y$.
  • Định lý 3.7 và Hệ quả 3.6: Mở rộng định lý $F$-co của Wardowski (2012) cho các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận, khẳng định sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động bộ đôi.

2. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm

  • Luận án xét lớp phương trình tích phân phi tuyến dạng Fredholm: $$x(t) = \int_a^b K(t, s, x(s)) ds + g(t), \quad t \in [a, b]$$
  • Bằng cách định nghĩa cặp nghiệm bộ đôi trên và dưới (lower and upper coupled solutions) và chuyển phương trình về toán tử tích phân trên không gian $X = C([a, b], \mathbb{R})$ trang bị mêtric riêng và thứ tự thành phần, luận án áp dụng Định lý 3.7 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân.

3. Ứng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi

  • Xét trò chơi không cộng tác gồm hai người chơi với không gian chiến lược và hàm lợi ích tương ứng.
  • Luận án mô hình hóa hàm phản hồi tốt nhất của hai người chơi thành một ánh xạ bộ đôi trên không gian mêtric riêng có thứ tự. Áp dụng kết quả ở Mục 3.1, luận án chứng minh sự tồn tại của điểm bất động bộ đôi kéo theo sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng không cộng tác (cân bằng Nash) của trò chơi.

Kết quả và những đóng góp mới

Những đóng góp mới về mặt lý luận

  1. Thiết lập lớp ánh xạ $T$-co suy rộng: Mở rộng thành công các nguyên lý điểm bất động Meir-Keeler, tựa co Ciric và $(\psi, \phi)$-co yếu sang lớp ánh xạ $T$-co trên không gian mêtric đầy đủ, trong đó toán tử $T$ chỉ cần thỏa mãn tính đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy.
  2. Phát triển giải tích điểm bất động trên không gian mêtric riêng: Xây dựng các định lý điểm bất động và điểm bất động chung cho các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ hầu co và $(\psi, \phi)$-co yếu trong không gian mêtric riêng; chứng minh sự tồn tại điểm bất động trên tập cực tiểu $X_p$.
  3. Mở rộng lý thuyết điểm bất động bộ đôi: Kết hợp điều kiện $F$-co Wardowski với tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric riêng sắp thứ tự bộ phận, thiết lập Định lý 3.7 và Hệ quả 3.6.

Những đóng góp về mặt ứng dụng

  1. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm thông qua phương pháp nghiệm bộ đôi trên và dưới.
  2. Thiết lập điều kiện đảm bảo sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác cho mô hình trò chơi hai người chơi trong lý thuyết trò chơi.

Danh mục công trình khoa học công bố từ luận án

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 07 công trình khoa học:

  • 04 bài báo đã công bố trên tạp chí danh mục ISI:
    1. Arab Journal of Mathematical Sciences (2012, Tập 18, tr. 141-148);
    2. Abstract and Applied Analysis (2012, Article ID 518734, 9 trang);
    3. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (2012, Article ID 431872, 11 trang);
    4. Journal of Inequalities and Applications (2013/2014);
  • 01 bài báo nhận đăng trên tạp chí danh mục ISI: 5. Bulletin of the Iranian Mathematical Society;
  • 02 bài báo công bố trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành: 6. Mathematical and Computer Modelling; 7. Journal of Nonlinear Science and Applications.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế dựa trên phạm vi nghiên cứu

  • Các định lý điểm bất động trong luận án phụ thuộc vào tính chất hội tụ dãy và tính đơn ánh của ánh xạ phụ trợ $T$; nếu các điều kiện này bị vi phạm, kỹ thuật chứng minh dãy lặp không còn hiệu lực.
  • Không gian mêtric riêng trong luận án khảo sát chủ yếu ở dạng khoảng cách thực giá trị dương; chưa mở rộng sang mêtric riêng nón (cone partial metric) hoặc $b$-mêtric riêng (partial $b$-metric).
  • Lớp bài toán ứng dụng mới dừng lại ở phương trình tích phân một chiều kiểu Fredholm và mô hình trò chơi tĩnh hai người chơi; chưa mở rộng cho hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên hay trò chơi vô hạn người chơi.

Hướng nghiên cứu tiếp

  1. Nghiên cứu mở rộng các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ $T$-co đa trị hoặc ánh xạ co suy rộng trên các không gian tổng quát hơn như không gian $b$-mêtric riêng, không gian mêtric nón riêng.
  2. Khảo sát điểm bất động bộ ba (tripled fixed point) hoặc bộ $n$ (n-tupled fixed point) của ánh xạ kiểu $F$-co trên các không gian có cấu trúc tôpô suy rộng.
  3. Mở rộng ứng dụng của lý thuyết điểm bất động bộ đôi vào các bài toán cân bằng động, phương trình đạo hàm riêng và các bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo chuyên môn cho các đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và sinh viên chuyên ngành Toán Giải tích: Cung cấp tài liệu tham khảo về kỹ thuật chứng minh giải tích trên không gian mêtric riêng, phương pháp xây dựng phản ví dụ minh họa và kỹ thuật đánh giá dãy lặp Picard/Cauchy.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu giải tích phi tuyến: Cung cấp khung lý thuyết hoàn chỉnh về lớp ánh xạ $T$-co và các mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Meir-Keeler, Ciric, Wardowski.
  • Nhà nghiên cứu toán ứng dụng và tối ưu: Tham khảo phương pháp chuyển đổi bài toán nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Fredholm và bài toán cân bằng Nash hai người chơi thành bài toán tìm điểm bất động bộ đôi trên không gian hàm.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm ánh xạ T-co là gì và có điểm gì khác so với ánh xạ co Banach thông thường?

Ánh xạ $S: X \rightarrow X$ trên không gian mêtric $(X, d)$ được gọi là $T$-co nếu tồn tại $k \in [0, 1)$ sao cho $d(TSx, TSy) \le k d(Tx, Ty)$ với mọi $x, y \in X$, trong đó $T: X \rightarrow X$ là một ánh xạ cho trước. Khi $Tx = x$ với mọi $x \in X$, ánh xạ $T$-co trở thành ánh xạ co Banach thông thường. Điểm khác biệt căn bản là một ánh xạ $S$ có thể không phải là ánh xạ co mêtric thông thường nhưng vẫn có thể là ánh xạ $T$-co dưới một phép biến đổi $T$ thích hợp (như trong Ví dụ 1.7 với $Sx = \frac{8}{\sqrt{x}}$ và $Tx = \ln x + 1$).

2. Sự khác biệt cơ bản giữa không gian mêtric thông thường và không gian mêtric riêng của S. Matthews là gì?

Trong không gian mêtric thông thường $(X, d)$, tiên đề khoảng cách tự thân luôn bằng 0: $d(x, x) = 0$ với mọi $x \in X$. Trong không gian mêtric riêng $(X, p)$, đẳng thức này được thay thế bởi bất đẳng thức $p(x, x) \le p(x, y)$, cho phép khoảng cách từ một điểm đến chính nó $p(x, x)$ nhận giá trị dương (ví dụ $p(x, y) = \max{x, y}$ trên $\mathbb{R}^+$ thì $p(x, x) = x > 0$ khi $x > 0$).

3. Tại sao một dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng lại có thể không phải là dãy Cauchy?

Trong không gian mêtric riêng $(X, p)$, dãy ${x_n}$ hội tụ về $x$ khi $\lim_{n \rightarrow \infty} p(x_n, x) = p(x, x)$, trong khi điều kiện Cauchy đòi hỏi $\lim_{n, m \rightarrow \infty} p(x_n, x_m)$ tồn tại hữu hạn. Do khoảng cách tự thân không nhất thiết bằng 0, một dãy dao động giữa các giá trị có thể hội tụ theo nghĩa mêtric riêng tới một điểm nhưng khoảng cách giữa các phần tử trong dãy không hội tụ (ví dụ dãy $x_n = 0$ khi $n$ chẵn, $x_n = 1$ khi $n$ lẻ trên $\mathbb{R}^+$ với $p(x, y) = \max{x, y}$ hội tụ về mọi $x \ge 1$ nhưng không là dãy Cauchy).

4. Ánh xạ kiểu F-co của D. Wardowski được định nghĩa như thế nào?

Cho $(X, d)$ là không gian mêtric, ánh xạ $T: X \rightarrow X$ được gọi là $F$-co nếu tồn tại hàm $F \in \mathcal{F}$ ($F$ tăng ngặt, liên tục) và hằng số $\tau > 0$ sao cho: $$\tau + F(d(Tx, Ty)) \le F(d(x, y)), \quad \forall x, y \in X \text{ với } d(Tx, Ty) > 0$$ Luận án đã mở rộng khái niệm này cho ánh xạ hai biến $F: X \times X \rightarrow X$ (điểm bất động bộ đôi) trên không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận.

5. Kết quả điểm bất động bộ đôi ở Chương 3 được áp dụng cụ thể vào những bài toán nào?

Kết quả điểm bất động bộ đôi ở Chương 3 được áp dụng vào hai bài toán giải tích cụ thể:

  1. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm dạng $x(t) = \int_a^b K(t, s, x(s)) ds + g(t)$ trên không gian hàm liên tục $C[a, b]$ thông qua khái niệm cặp nghiệm bộ đôi trên và dưới;
  2. Chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác (cân bằng Nash) cho trò chơi hai người chơi bằng cách mô hình hóa hàm phản ứng tối ưu của các đấu thủ thành ánh xạ bộ đôi thỏa mãn điều kiện co có thứ tự.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Trần Đức Thành đã giải quyết trọn vẹn các mục tiêu nghiên cứu đặt ra về việc thiết lập và mở rộng các định lý điểm bất động, điểm bất động chung và điểm bất động bộ đôi cho các lớp ánh xạ co suy rộng ($T$-co, Meir-Keeler, tựa co Ciric, $(\psi, \phi)$-co yếu, $F$-co) trên các không gian mêtric, không gian mêtric riêng và không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận. Các kết quả lý thuyết thu được được minh chứng qua hệ thống ví dụ giải tích chặt chẽ, chỉ rõ tính mở rộng thực sự so với các công trình kinh điển đi trước. Đồng thời, luận án đã hiện thực hóa giá trị ứng dụng của lý thuyết điểm bất động vào việc giải quyết sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến Fredholm và điểm cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Hệ thống 07 công trình công bố trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế khẳng định giá trị khoa học của bản luận án trong chuyên ngành Toán Giải tích.