CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VÀ TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về sự đồng bộ hóa và trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu, đặc biệt là tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về sự đồng bộ hóa trong mạng lưới các tế bào. GIỚI THIỆU Sự đồng bộ hóa hay sự cộng hưởng là một hiện tượng vô cùng quan trọng trong tự nhiên và trong khoa học phi tuyến, đặc biệt là trong mạng lưới các hệ phương trình dao động được liên kết với nhau (Aziz-Alaoui, 2006). Sự cộng hưởng giữa các hệ phương trình có nghĩa là chúng sẽ có cùng đặc tính ở cùng thời điểm.
Cụ thể, đối với một mạng lưới gồm hai hệ phương trình thì sự đồng bộ hóa có nghĩa là hệ phương trình này sẽ sao chép những đặc tính của hệ phương trình kia kể từ một thời điểm nào đó. Khi đó, mạng lưới các hệ phương trình được gọi là đồng bộ. Trong bộ não con người kể cả động vật có rất nhiều tế bào, chúng liên kết với nhau tạo thành một mạng lưới tế bào. Một mạng lưới tế bào là một hệ thống các tế bào được liên kết với nhau về mặt sinh lý học.
Sự trao đổi giữa chúng chủ yếu là dựa vào các quá trình điện hóa. Đề tài này trình bày sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng Hindmarsh - Rose với liên kết tuyến tính, cụ thể là tìm điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa xảy ra trong mạng lưới tế bào đang xét. Năm 1952, Hodgkin và Huxley đã đưa ra một mô hình toán học bốn chiều có thể xấp xỉ được các tính chất hoạt náo của điện áp tế bào (Hodgkin & Huxley, 1952; Corson, 2009). Dựa trên mô hình này, rất nhiều mô hình đơn giản hơn đã được công bố nhằm mô tả sự hoạt náo của điện áp tế bào.
Năm 1984, Hindmarsh và Rose đã công bố một mô hình mới mang tên Mô hình Hindmarsh-Rose được biết là mô hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ phương trình nổi tiếng của Hodgkin-Huxley (Izhikevich, 2007; Ermentrout & Terman, 2009; Ambrosio & Aziz-Alaoui, 2013). Tuy là mô hình đơn giản hơn, nhưng nó có nhiều kết quả giải tích đáng chú ý và giữ được các tính chất, ý nghĩa về mặt sinh học. Nó thể hiện được trạng thái cân bằng, hoạt náo và bùng nổ của điện áp tế bào. Mô hình này được tạo thành từ hai phương trình của 1 hai biến u và v.
Biến đầu tiên là biến nhanh, được gọi là biến hoạt náo, nó đại diện cho điện áp của màng tế bào. Biến thứ hai là biến chậm, nó thể hiện cho một số đại lượng vật lí phụ thuộc thời gian như độ dẫn điện của dòng ion đi ngang qua màng tế bào. Hệ phương trình vi phân Hindmarsh-Rose được biểu diễn như sau: du = v − u3 + au2 + I dt (1.1) dv = 1 − bu2 − v dt trong đó a = 3, b = 5 là các hằng số được xác định bằng kinh nghiệm thực tiễn, I là cường độ dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Tuy nhiên, hệ phương trình này không đủ mạnh để phản ánh được sự truyền đi của điện áp tế bào trong không gian (dọc theo thân tế bào), vì thế phương trình dây cáp (cable equations) được sử dụng ở đây bằng cách thêm toán tử Laplace vào hệ phương trình (1.1) như sau: du = ut = v − u3 + au2 + I + du ∆u dt (1.2) dv = vt = 1 − bu2 − v dt trong đó, u = u(x, t), v = v(x, t), (x, t) ∈ Ω × R+ , du là hằng số dương, ∆u là toán tử Laplace của u, Ω ⊂ RN là tập bị chặn trơn và hệ thỏa mãn điều kiện Neumann bằng không trên biên (N là một số nguyên dương).
Hệ phương trình (1.2) được gọi là hệ phương trình phản ứng-khuếch tán dạng Hindmarsh-Rose (HR). Trong những năm gần đây, sự đồng bộ hóa đã được nghiên cứu rộng rãi trên nhiều lĩnh vực, nhiều hiện tượng tự nhiên cũng phản ánh sự đồng bộ hóa như sự di chuyển tạo thành từng đám mây của đàn chim, sự di chuyển của đàn cá chép trong hồ, sự di chuyển của đoàn diễu hành, sự nhận và truyền thông tin của một nhóm các tế bào,. Chính vì thế việc nghiên cứu về sự đồng bộ hóa trong mạng lưới các tế bào là cần thiết. Hơn nữa, tình hình nghiên cứu trong nước về chủ đề đồng bộ hóa trên mạng lưới các hệ phương trình vi phân nói chung và hệ phương trình Hindmarsh-Rose nói riêng còn rất ít, trong khi trên thế giới thì lại có rất nhiều nghiên cứu liên quan đến sự đồng bộ hóa trên mạng lưới các mô hình dạng Hindmarsh-Rose, nhưng đa số chỉ nghiên cứu bằng phương pháp số hoặc chỉ nghiên cứu sự đồng bộ hóa của mạng lưới với số lượng nhỏ các hệ phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose (Corson, 2009).
Vì thế việc nghiên cứu về chủ đề này rất có ý nghĩa về mặt tiên phong và gia tăng số lượng nghiên cứu về nó trong lĩnh vực Toán ứng dụng của nước nhà. Để cho việc nghiên cứu trở nên dễ dàng hơn, trong Đề tài này chúng tôi chỉ xét mạng lưới các tế bào có cấu trúc đầy đủ, nghĩa là mỗi tế bào trong mạng lưới sẽ 2 truyền thông tin đến các tế bào khác trong cùng mạng lưới, đồng thời cũng nhận thông tin phản hồi từ các tế bào này (liên kết hai chiều). Đề tài sẽ đưa ra điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa xảy ra trên mạng lưới đang xét và có phần mô phỏng bằng phương pháp số để kiểm tra lại kết quả lý thuyết tìm được. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC Bài toán liên quan đến sự đồng bộ hóa của các hệ phương trình vi phân nói chung, và hệ phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose nói riêng còn chưa thực sự phổ biến trong nước, cụ thể chỉ có tác giả Lê Hoa Nguyên công tác tại Trường Đại học Đà Nẵng đã có một Bài báo đăng trên Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật Đà Nẵng vào năm 2019.
Tác giả đã nghiên cứu một số tính chất giải tích và sự đồng bộ hóa của 2 hệ phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose. Tác giả đã chỉ ra tính bùng nổ và đưa ra biểu đồ rẽ nhánh của hệ Hindmarsh-Rose. Ngoài ra, điều kiện cần để mạng lưới 2 hệ HR đồng bộ hóa cũng được tác giả nghiên cứu. Bên cạnh đó, cũng có các công trình khác nghiên cứu về sự đồng bộ hóa nhưng lại được thực hiện trên các hệ phương trình dạng FitzHugh-Nagumo (FHN).
Cụ thể như sau: • Năm 2011, nhóm tác giả Nguyễn Lê Hoa và Hong đã nghiên cứu về sự đồng bộ hóa của hai hệ phương trình FitzHugh-Nagumo (hệ phương trình vi phân) có tính Chaos thông qua hàm số Lyapunov. Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả đã nghiên cứu sự ảnh hưởng của tần số của dòng điện tác động từ bên ngoài lên tính Chaos của hệ phương trình FHN, sau đó tìm điều kiện cần và đủ cho sự đồng bộ hóa giữa hai hệ phương trình FHN liên kết với nhau theo kiểu tuyến tính thông qua hệ số Lyapunov xuyên ngang lớn nhất và hàm số Lyapunov. • Năm 2017, tác giả Phan Văn Long Em đã nghiên cứu sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết tuyến tính. Trong nghiên cứu này, tác giả đã thiết lập được điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ của hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết tuyến tính, cùng với mô phỏng bằng phương pháp số cho thấy có sự tương quan giữa kết quả lý thuyết tìm được và kết quả từ phương pháp số.
• Năm 2021, tác giả Phan Văn Long Em đã nghiên cứu sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết phi tuyến. Trong nghiên cứu này, tác giả đã thiết lập được điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ của hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết phi tuyến, cùng với mô phỏng bằng phương pháp số cho 3 thấy có sự tương quan giữa kết quả lý thuyết tìm được và kết quả từ phương pháp số. • Năm 2021, tác giả Phan Văn Long Em đã nghiên cứu sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân FHN với liên kết phi tuyến. Trong nghiên cứu này, tác giả đã thiết lập được điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ của hệ phương trình vi phân FHN với liên kết phi tuyến, cùng với mô phỏng bằng phương pháp số cho thấy có sự tương quan giữa kết quả lý thuyết tìm được và kết quả từ phương pháp số.
Nhìn chung, chưa có nhiều nghiên cứu liên quan đến sự đồng bộ hóa của các hệ phương trình vi phân hay đạo hàm riêng trong lĩnh vực Toán ứng dụng. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC Trong những năm gần đây, chủ đề liên quan đến sự đồng bộ hóa trong mạng lưới các hệ phương trình Hindmarsh-Rose được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm và có nhiều kết quả được xuất bản như sau: Năm 2009, Corson đã hoàn thành Luận án tiến sĩ về hệ thống mạng lưới các phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose. Trong nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra kết quả sơ lược bằng phương pháp số về sự đồng bộ hóa các hệ phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose trong mạng lưới đầy đủ, nhưng chưa đưa ra kết quả chứng minh cụ thể bằng giải tích toán học cho trường hợp này. Điều đó cũng dễ hiểu vì đây không phải là kết quả chính của Luận án mà tác giả hướng đến.
Năm 2014, Le Hoa Nguyên & Hong đã đưa ra điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa của mạng lưới hai tế bào các hệ phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose được liên kết tuyến tính với nhau. Trong nghiên cứu này nhóm tác giả đã sử dụng hàm Lyapunov để tìm điều kiện đủ cho sự cộng hưởng xảy ra. Năm 2016, Lihua, Guodong & Chunni đã sử dụng công cụ PSpice nghiên cứu sự cộng hưởng trên 3 hệ phương trình vi phân dạng Hindmarsh-Rose liên kết tuyến tính với cấu trúc dạng vòng. Năm 2017, Hector, Eliseo, Mariana & Cesar đã đưa ra nghiên cứu với mong muốn hiểu được các cơ chế sinh lý của hệ thống tế bào thần kinh theo hướng kỹ thuật nhằm giải thích cách thức hoạt động của não bộ.