mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực). Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới. Trong cuốn sách này chữ K được kí hiệu chung cho cả ba trường số, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R và trường số phức C, mỗi khi muốn nói một điều gì chung cho cả ba trường số ấy. Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của bạn đọc.
Tuy nhiên, cuốn sách chưa tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết. Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những sai sót làm cho cuốn sách ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích hơn. Xin chân thành cảm ơn! Các tác giả 14 www.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ CÁC KÍ HIỆU Xn Tập hợp {1, 2,., n} gồm n số tự nhiên từ 1 đến n. n σ = Phép thế σ biến phần tử 1 thành σ(i).
σ(n) Sn Tập hợp các phép thế trên tập Xn sgn(σ) Dấu của phép thế σ. ∑a j∈J j Tổng các số aj, với j thuộc tập chỉ số J. i =1 ∏a j Tích các thừa số aj, với j thuộc tập chỉ số J. j∈ J A = (aij)(m,n) Ma trận A có m dòng, n cột,với các thành phần aij ở dòng thứ i, cột thứ j.
A = (aij)n Ma trận vuông cấp n. Matn(K) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các thành phần thuộc trường K. t A Ma trận chuyển vị của ma trận A. -1 A Ma trận nghịch đảo của ma trận A.
|A| Định thức của ma trận A. I Ma trận đơn vị. ~ M ij Định thức con bù của thành phần aij trong ma trận vuông (aij).com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Aij Phần bù đại số của thành phần aij.jir r Định thức con xác định bởi các dòng i1,., ir và các cột i1,. jr Định thức con bù của định thức con M ij .jir r Phần bù đại số của định thức con M ij.
l l r r hạng(A) Hạng của ma trận A. A+B Tổng của hai ma trận A và B. AB Tích của hai ma trận A và B. α Vectơ, là một phần tử của không gian vectơ.
-α Vectơ đối của α ., α m} Hệ vectơ gồm các vectơ α 1, α 2,. hạng(A A) Hạng của hệ vectơ A., ε n} Cơ sở (ε) của không gian vectơ. dimKV Số chiều của K- không gian vectơ V. f: V → W Ánh xạ tuyến tính từ không gian V đến không gian W.
f(X) Ảnh của tập X qua ánh xạ tuyến tính f. Imf Ảnh của không gian V hay ảnh của ánh xạ tuyến tính f. f-1(Y) Ảnh ngược của tập Y. Kerf hay f-1(0) Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f.
HomK(V, W) Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến W. f+g Tổng của hai ánh xạ tuyến tính f và g. gf Tích của hai ánh xạ tuyến tính f và g.β Tích vô hướng của hai vectơ.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ α⊥ β α trực giao với β. H ⊥ G Không gian H trực giao với không gian G.
hchw α Hình chiếu của α lên không gian W. |z| Môđun của số phức z. z Số phức liên hợp của số phức z. “⇒” Chứng minh điều kiện cần.
“⇐” Chứng minh điều kiện đủ. x* Phương án tối ưu. * X Tập phương án tối ưu. Ai Vectơ dòng thứ i của ma trận A.
Aj Vectơ cột thứ j của ma trận A.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chương I ĐỊNH THỨC MỞ ĐẦU Ở lớp 9, ta giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế. Những phương pháp này đã giúp ta dễ dàng giải các hệ phương trình với hệ số bằng số. Nhưng lên lớp 10, khi phải biện luận hệ phương trình: ta thấy hai phương pháp trên kém tổng quát. Song nếu dùng khái niệm định thức cấp hai thì việc trình bày trở nên sáng sủa, gọn gàng.
Ta sẽ thấy rằng khi khái niệm định thức cấp n, (với n là một số nguyên dương tuỳ ý) được xây dựng, thì nó có một vai trò rất to lớn. Nó còn được áp dụng vào hầu hết các chương trong giáo trình này; đặc biệt, nó góp phần đưa vấn đề giải hệ phương trình bậc nhất trở thành một lý thuyết. Nó còn được áp dụng trong nhiều bộ môn khoa học khác như Hình học, Giải tích, Vật lí, Hoá học, v. Chính vì thế mà ta cần nắm vững các tính chất của định thức và các phương pháp tính định thức, làm nhiều bài tập rèn luyện kĩ năng tính định thức để có thể vận dụng tốt khi học tập và nghiên cứu bộ môn Đại số tuyến tính này cũng như những môn khoa học khác.
Để định nghĩa định thức cấp n ta cần các khái niệm phép thế và ma trận. Yêu cầu chính của chương này là: - Hiểu rõ và nắm vững các tính chất của định thức. - Nắm vững các phương pháp tính định thức để có thể tính thành thạo những định thức cần thiết.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Hơn nữa, trong chương này ta cần dùng một vài kí hiệu sau: Tổng n của n số: a1 + a2 + a3 +. + an-1 + an, (n ≥ 1 ), được viết gọn là ∑ a i , i =1 đọc là "xích ma ai, i chạy từ 1 đến n".
Tổng quát hơn, nếu chỉ số chạy khắp một tập I nào đó thì ta viết là ∑ a i , và đọc là "xích ma ai, thuộc I". i∈I 7 Ví dụ : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = ∑ a i , đọc là “xích ma ai, i i =1 chạy từ 1 đến 7”. n • Tích của n số: a1a2a3. (n ≥ 1), được viết gọn là ∏ a i , và đọc là i =1 “pi ai, i chạy từ 1 đến n”.
Nếu chỉ sốt chạy khắp một tập I nào đó thì ta viết là ∏ a i và đọc là “pi, ai, i thuộc I”. i∈I n Ví dụ: a1a2a3a4a5 = ∏ a i , đọc là “pi ai, i chạy từ 1 đến 5”. i =1 • Cuối cùng trong cuốn sách này ta dùng từ “trường K” mỗi khi muốn nói đến một điều nào đó chung cho cả trường số hữu tỉ Q, trường số thực R và trường số phức C. Ta hãy tìm hiểu khái niệm phép thế.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ §1.
PHÉP THẾ Ở đây ta chỉ dùng khái niệm phép thế như một phương tiện để nghiên cứu định thức chứ chưa nghiên cứu sâu về nó. Để học chương này bạn đọc chỉ cần hiểu và nhớ định nghĩa các dạng phép thế và tính chất về dấu của nó, không cần nhớ chứng minh. Định nghĩa phép thế a) Giả sử tập hợp Xn = {1, 2, 3,. Một song ánh σ : Xn → Xn được gọi là một phép thế trên tập Xn.
Nói riêng, song ảnh đồng nhất được gọi là phép thế đồng nhất. b) Một phép thế τ trên tập Xn được gọi là một chuyển trí hai phần tử i, j thuộc Xn nếu τ(i) = j, τ(j) = i và τ(k) = k, với mọi k ∈ Xn, k ≠ i, k ≠ i. Nó còn được kí hiệu bởi (i, j). Nói một cách đơn giản, một chuyển trí chỉ hoán vị hai phần tử nào đó của Xn, còn giữ nguyên mọi phần tử khác.
Tập hợp tất cả các phép thế trên tập Xn được kí hiệu bởi Sn. Phép thế σ : Xn → Xn được biểu diễn như sau: trong đó σ(i) là ảnh của phần tử i ∈ Xn được viết ở dòng dưới, trong cùng một cột với i. σ = là phép thế trên tập X4 = {1, 2, 3, 4} xác 3 2 4 1 định bởi: σ(1) = 3, σ(2) = 2, ε(3) = 4, σ(4) = 1. 1 2 3 4 τ = là một chuyển trí hoán vị hai số 2 và 4.
Nó được 1 4 3 2 viết gọn là τ = (2, 4). Ảnh của các phần tử của tập Xn qua mỗi phép thế cho ta một hoán vị trên tập Xn. Ngược lại, mỗi hoán vị lại xác định một phép thế, 20 www.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 1 2 3 4 (chẳng hạn, hoán vị (3, 4, 1, 2) xác định phép thế µ = trên 3 4 1 2 tập X4). Vì thế số các phép thế trên tập Xn bằng số các hoán vị trên tập ấy; nghĩa là bằng n!.
Như vậy, tập Sn có n! phần tử. Đó là những phép thế sau: 1. Nghịch thế Định nghĩa. Giả sử mà một phép thế trên tập Xn.
Với i,j ∈ Xn, i ≠ j, ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ nếu i <j nhưng σ(i) > σ(j). Trên X3, phép thế σ2 = Có 2 nghịch thế là: (2, 1), (3, 2 3 1 1 2 3 1), phép thế τ2 = có 3 nghịch thế là: (3, 2), (3, 1), (2, 1). Dấu của phép thế Định nghĩa. Ta gọi phép thế σ là một phép thế chẵn nên nó có một số chẵn nghịch thế.
σ được gọi là phép thế lẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế. Ta gán cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng -1. Giá trị này của phép thế σ được gọi là dấu của σ và được kí hiệu bởi sgn(σ). Như vậy, theo định nghĩa, sgn(σ) = 1 2 3 Ví dụ.
Trong ví dụ ở mục 1.2, ta thấy phép thế τ = là một 3 2 1 21 www.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 1 2 3 phép thế lẻ vì nó có 3 nghịch thế, còn σ = là một phép thế 2 3 1 chẵn vì nó có 2 nghịch thế. Bạn đọc hãy tự xác định dấu của các phép thế σ1 và τj trong ví dụ 2, ở mục 1. Chỉ cần chứng minh rằng i− j 1, nếu số nghịch thế là số chẵn ∏ { } σ(i) − σ(j) = i, j - 1, nếu số nghịch thế là số lẻ trong đó {i, j} chạy khắp tập các tập con gồm hai phần tử của Xn. Rõ ràng số nhân tử ở tử số và mẫu bằng nhau.
Ta sẽ chứng minh: nếu tử số có nhân tử i - j thì mẫu cũng có i - j hoặc j - i. Vì σ là một song ánh nên ứng với nhân tử i - j tồn tại h, k ∈ Xn sao cho σ(h) = i, σ(k) - j. Nếu tử số có h - k thì mẫu số có σ(h) - σ(k) hay i - j, nếu tử số có k - h thì mẫu số i− j 1 i− j có j = i. Nhưng là số âm nếu (σ(i), {i, j} σ(i) − σ(j) − 1 σ(i) − (j) σ(i)) là một nghịch thế và là số dương nếu trái lại.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.