Công Thức Black-Scholes Trong Toán Tài Chính: Khái Niệm và Ứng Dụng

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất
• 1.2. Thị trường đầy đủ và không đầy đủ
• 1.2.1. Cơ hội có độ chênh thị giá
• 1.2.2. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ
• 1.2.3. Quyền chọn mua kiểu Châu Âu
• 2. CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV
• 2.1. Quá trình ngẫu nhiên được điều khiển bởi xích Markov
• 3. CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X)
• 3.1. Công thức Feynman-Kac cho quá trình tiến hóa ngẫu nhiên Z
• 3.2. Phương trình Black – Scholes cho thị trường chứng khoán không đầy đủ (B, S, X)
• 3.3. Quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị trường (B, S, X)
• 3.4. Công thức Black – Sholes cho thị trường (B, S, X)
• Tài liệu tham khảo

I. Mô Hình Black Scholes Tổng Quan và Ý Nghĩa Cách Mạng

Mô hình Black-Scholes, ra đời năm 1973, đánh dấu một bước ngoặt cách mạng trong định giá tài sản tài chính. Mô hình này đã thay đổi quá trình tính toán và đầu tư trên thị trường tài chính Mỹ và Châu Âu. Gắn liền với tên tuổi của Fischer Black, Myron Scholes và Merton Miller, mô hình này là cơ sở cho giải Nobel Kinh tế năm 1986. Để xây dựng công thức định giá, các tác giả giả định giá chứng khoán cơ sở S(t) biến đổi theo thời gian t tuân theo quá trình chuyển động Brown hình học: S(t) = S(0)exp[(μ - σ²/2)t + σW(t)], hay dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t). Trong đó, μ và σ là hằng số, μ biểu thị tốc độ biến đổi trung bình của giá chứng khoán, còn σ là độ biến động (Volatility). Mô hình Black-Scholes Merton tập trung vào việc định giá quyền chọn châu Âu, đặc biệt là quyền chọn mua (call option) và quyền chọn bán (put option). Phân tích định lượng sâu sắc về thị trường quyền chọn là một đóng góp quan trọng. Tuy nhiên, mô hình cũng có những hạn chế của mô hình Black-Scholes. Theo tài liệu gốc, “Trong việc định giá các gói tài sản tài chính trong một thị trƣờng chứng khoán thì mô hình Black – Sholes ra đời vào năm 1973 đƣợc đánh dấu nhƣ một bƣớc ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn quá trình tính toán và đầu tƣ trên các thị trƣờng tài chính Mỹ và Châu Âu kể từ đó.”

1.1. Giả định chính của mô hình Black Scholes cổ điển

Mô hình ban đầu dựa trên một số giả định đơn giản hóa: thị trường hiệu quả, không có chi phí giao dịch hoặc thuế, lãi suất phi rủi ro không đổi, và độ biến động (Volatility) của tài sản cơ sở là hằng số. Giá tài sản cơ sở tuân theo phân phối log-normal. Những giả định này, mặc dù giúp mô hình dễ sử dụng, lại không hoàn toàn phù hợp với thực tế thị trường, đặc biệt trong điều kiện thị trường biến động mạnh.

1.2. Các yếu tố ảnh hưởng đến định giá quyền chọn

Công thức Black-Scholes sử dụng năm yếu tố chính để định giá quyền chọn: giá hiện tại của tài sản cơ sở (S), giá thực hiện (K), thời gian đến khi đáo hạn (T), lãi suất phi rủi ro (r), và độ biến động (Volatility) (σ). Thay đổi trong bất kỳ yếu tố nào trong số này sẽ ảnh hưởng đến giá trị lý thuyết của quyền chọn. Thời gian đáo hạn càng dài, quyền chọn càng có giá trị cao hơn.

II. Vấn Đề và Hạn Chế Của Công Thức Black Scholes Cổ Điển

Mô hình Black-Scholes cổ điển, dù mang tính đột phá, lại bộc lộ nhiều hạn chế khi áp dụng vào thực tế. Một trong những vấn đề lớn nhất là giả định độ biến động (Volatility) là hằng số. Trên thực tế, độ biến động (Volatility) thường xuyên thay đổi và phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm tin tức kinh tế, sự kiện chính trị và tâm lý nhà đầu tư. Điều này dẫn đến sự khác biệt giữa giá lý thuyết do mô hình tính toán và giá thực tế trên thị trường. Bên cạnh đó, mô hình không tính đến cổ tức (dividend) trả cho cổ đông trong thời gian nắm giữ quyền chọn (Mô hình Black-Scholes cho cổ tức đã được phát triển để giải quyết vấn đề này). Mô hình cũng không phù hợp cho việc định giá các quyền chọn kiểu Mỹ, cho phép thực hiện quyền bất kỳ lúc nào trước ngày đáo hạn. Ngoài ra, Giả định Black-Scholes về phân phối log-normal của giá tài sản cơ sở cũng bị đặt dấu hỏi, vì thị trường thực tế thường có đuôi dày (fat tails) hơn, tức là các biến động cực đoan xảy ra thường xuyên hơn so với dự đoán của phân phối log-normal. Chính những hạn chế này đã thúc đẩy các nhà nghiên cứu phát triển các biến thể của mô hình Black-Scholes.

2.1. Hiện tượng Volatility Smile và Volatility Surface

Hiện tượng Volatility Smile (đường cong độ biến động (Volatility) hình nụ cười) và Volatility Surface (bề mặt độ biến động (Volatility)) cho thấy độ biến động (Volatility) ngụ ý (implied volatility) của các quyền chọn khác nhau với cùng tài sản cơ sở và ngày đáo hạn khác nhau không phải là hằng số, mà thay đổi theo giá thực hiện (strike price) và thời gian đáo hạn. Điều này mâu thuẫn với giả định độ biến động (Volatility) không đổi của mô hình Black-Scholes, và là một thách thức lớn đối với việc định giá quyền chọn chính xác.

2.2. Ảnh hưởng của chi phí giao dịch và thuế đến định giá

Mô hình Black-Scholes bỏ qua chi phí giao dịch và thuế, nhưng trong thực tế, những chi phí này có thể ảnh hưởng đáng kể đến lợi nhuận của các nhà đầu tư. Chi phí giao dịch làm giảm lợi nhuận tiềm năng, trong khi thuế làm giảm lợi nhuận thực tế. Do đó, việc bỏ qua những yếu tố này có thể dẫn đến định giá quyền chọn không chính xác.

III. Các Biến Thể và Mở Rộng Của Công Thức Black Scholes Cải Tiến

Để khắc phục những hạn chế của mô hình Black-Scholes cổ điển, nhiều biến thể và mở rộng đã được phát triển. Một hướng tiếp cận là thay thế quá trình chuyển động Brown bằng một quá trình ngẫu nhiên khác, chẳng hạn như quá trình khuếch tán có bước nhảy hoặc quá trình Lévy. Các mô hình này có thể mô tả tốt hơn các biến động cực đoan trên thị trường. Một hướng tiếp cận khác là xem xét tốc độ biến đổi và độ biến động (Volatility) của chứng khoán không phải là hằng số, mà thay đổi theo thời gian hoặc là các biến ngẫu nhiên. Gần đây, công trình của Richard J.Criego và Anatoly V.Swishchuk đã nghiên cứu mô hình Black-Scholes với các hệ số phụ thuộc vào một xích Markov. Trong mỗi trạng thái của xích Markov này, giá chứng khoán có thể tuân theo mô hình Black-Scholes cổ điển, nhưng theo thời gian với sự chuyển trạng thái của xích Markov, giá chứng khoán lại ứng với một mô hình Black-Scholes cổ điển khác. Mô hình Black-Scholes cho tiền tệ cũng là một mở rộng quan trọng để định giá quyền chọn trên thị trường ngoại hối.

3.1. Mô hình Black Scholes với độ biến động Volatility thay đổi theo thời gian

Mô hình Black-Scholes với độ biến động (Volatility) thay đổi theo thời gian cho phép độ biến động (Volatility) của tài sản cơ sở thay đổi theo thời gian, phản ánh thực tế thị trường biến động. Các mô hình này sử dụng các hàm độ biến động (Volatility) khác nhau để mô tả sự thay đổi độ biến động (Volatility) theo thời gian.

3.2. Mô hình Merton và mô hình Jump Diffusion

Mô hình Merton bổ sung thêm yếu tố cổ tức vào công thức Black-Scholes, giúp định giá quyền chọn trên các cổ phiếu trả cổ tức. Mô hình Jump Diffusion (khuếch tán có bước nhảy) cho phép giá tài sản cơ sở có những bước nhảy đột ngột, phản ánh các sự kiện bất ngờ trên thị trường. Mô hình Jump Diffusion kết hợp mô hình Black-Scholes tiêu chuẩn với một quá trình Poisson để mô tả các bước nhảy.

3.3. Mô hình Heston Volatility Stochastic

Mô hình Heston stochastic volatility model làm cho độ biến động (Volatility) trở thành một quy trình ngẫu nhiên. Cụ thể, độ biến động (Volatility) bản thân nó cũng dao động ngẫu nhiên. Mô hình Heston khắc phục được một số hạn chế của các mô hình trước đó, như mô tả chính xác hơn đường cong biến động cười (volatility smile) trên thị trường quyền chọn.

IV. Ứng Dụng Black Scholes Trong Quản Lý Rủi Ro và Định Giá Doanh Nghiệp

Mô hình Black-Scholes không chỉ hữu ích trong việc định giá quyền chọn, mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng khác trong quản lý rủi ro và định giá doanh nghiệp. Trong quản lý rủi ro, mô hình được sử dụng để tính toán các chỉ số nhạy cảm (Greeks) như Delta, Gamma, Vega, Theta và Rho, giúp các nhà đầu tư Hedging vị thế của mình. Delta hedging giúp duy trì vị thế trung lập Delta, Gamma hedging giúp kiểm soát rủi ro liên quan đến thay đổi Delta, Vega hedging giúp giảm thiểu ảnh hưởng của thay đổi độ biến động (Volatility), Theta hedging giúp quản lý rủi ro liên quan đến thời gian, và Rho hedging giúp kiểm soát rủi ro liên quan đến thay đổi lãi suất. Trong định giá doanh nghiệp, mô hình có thể được sử dụng để định giá các quyền chọn thực (real options), chẳng hạn như quyền mở rộng, quyền tạm ngừng hoạt động, hoặc quyền từ bỏ dự án. Ứng dụng Black-Scholes trong định giá doanh nghiệp giúp các nhà quản lý đưa ra các quyết định đầu tư tốt hơn.

4.1. Sử dụng Greeks để Hedging rủi ro quyền chọn

Các chỉ số Greeks (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho) đo lường độ nhạy cảm của giá quyền chọn đối với những thay đổi trong các yếu tố khác nhau ảnh hưởng đến giá quyền chọn. Các nhà đầu tư sử dụng Greeks để Hedging rủi ro trong danh mục đầu tư quyền chọn của họ. Ví dụ, Delta đo lường độ nhạy cảm của giá quyền chọn đối với những thay đổi trong giá tài sản cơ sở. Các nhà đầu tư có thể sử dụng Delta để tạo ra một vị thế trung lập delta, trong đó lợi nhuận hoặc thua lỗ từ quyền chọn được bù đắp bằng lợi nhuận hoặc thua lỗ từ tài sản cơ sở.

4.2. Định giá quyền chọn thực Real Options trong đầu tư

Quyền chọn thực (Real Options) là quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, thực hiện một hành động nào đó liên quan đến một dự án đầu tư. Ví dụ, một công ty có thể có quyền mở rộng một nhà máy nếu nhu cầu tăng lên, hoặc quyền từ bỏ một dự án nếu dự án không thành công. Mô hình Black-Scholes có thể được sử dụng để định giá các quyền chọn thực, giúp các nhà quản lý đưa ra các quyết định đầu tư tốt hơn.

V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Của Công Thức Black Scholes

Công thức Black-Scholes, mặc dù có những hạn chế, vẫn là một công cụ quan trọng trong toán học tài chính và thị trường quyền chọn. Nó cung cấp một khuôn khổ cơ bản để định giá quyền chọn và quản lý rủi ro. Các biến thể và mở rộng của mô hình Black-Scholes tiếp tục được phát triển để đáp ứng nhu cầu của thị trường tài chính ngày càng phức tạp. Trong tương lai, các nghiên cứu có thể tập trung vào việc kết hợp các yếu tố vĩ mô, như chính sách tiền tệ và rủi ro hệ thống, vào mô hình định giá quyền chọn. Ngoài ra, việc sử dụng các kỹ thuật học máy để dự đoán độ biến động (Volatility) và các yếu tố khác ảnh hưởng đến giá quyền chọn cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn. Việc hiểu rõ công thức Black-Scholes và các biến thể của nó là rất quan trọng cho các nhà đầu tư, nhà quản lý rủi ro và các nhà nghiên cứu tài chính.

5.1. Vai trò của Black Scholes trong thị trường phái sinh

Mô hình Black-Scholes đóng một vai trò không thể thiếu trên thị trường phái sinh tài chính, đặc biệt là trong việc cung cấp một khuôn khổ định lượng để định giá các sản phẩm phái sinh tài chính và so sánh với giá thị trường. Dù không hoàn hảo, nó vẫn là điểm khởi đầu quan trọng để các nhà đầu tư và nhà giao dịch đánh giá giá trị của các công cụ phái sinh tài chính khác nhau.

5.2. Hướng nghiên cứu mới trong định giá quyền chọn

Các hướng nghiên cứu mới trong định giá quyền chọn tập trung vào việc kết hợp các mô hình học máy và trí tuệ nhân tạo để dự đoán chính xác hơn độ biến động (Volatility) và các yếu tố khác ảnh hưởng đến giá quyền chọn. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng đang phát triển các mô hình phức tạp hơn để mô tả các đặc điểm thị trường, như đuôi dày và bất định cực đoan.