Mathematical Concepts of Quantum Mechanics (Ấn bản 2) - Gustafson & Sigal
Khám phá các khái niệm toán học then chốt của cơ học lượng tử trong ấn bản thứ 2. Sách cung cấp nền tảng vững chắc cho vật lý lượng tử hiện đại.
Trường đại học
University of British Columbia, University of TorontoChuyên ngành
Toán học, Vật lýNgười đăng
Ẩn danhThể loại
Sách giáo trìnhPhí lưu trữ
75 PointMục lục chi tiết
Tóm tắt
I. Cơ học lượng tử Tổng quan khái niệm ứng dụng toán học
Điểm khởi đầu của cơ học lượng tử là ý tưởng của Planck rằng bức xạ điện từ được phát ra và hấp thụ theo những lượng rời rạc – lượng tử. Einstein mạo hiểm hơn khi cho rằng bản thân bức xạ điện từ bao gồm các hạt, sau đó được đặt tên là photon. Đây là những hạt lượng tử đầu tiên và cái nhìn thoáng qua đầu tiên về tính nhị nguyên sóng-hạt. Sau đó là mô hình nguyên tử của Bohr, với các electron di chuyển trên các quỹ đạo cố định và nhảy từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác mà không đi qua các trạng thái trung gian. Điều này lên đến đỉnh điểm đầu tiên ở cơ học lượng tử Heisenberg và sau đó là Schrödinger, với giai đoạn tiếp theo kết hợp bức xạ điện từ lượng tử được thực hiện bởi Jordan, Pauli, Heisenberg, Born, Dirac và Fermi. Để hoàn thành bản phác thảo thu nhỏ này, chúng ta đề cập đến hai thí nghiệm kịch tính. Thí nghiệm đầu tiên được E. Rutherford thực hiện vào năm 1911, và nó thiết lập mô hình hành tinh của một nguyên tử với hầu như tất cả trọng lượng của nó tập trung trong một hạt nhân nhỏ bé (10−13 − 10−12 cm) ở trung tâm và với các electron quay quanh nó. Các electron bị hút về hạt nhân và bị đẩy lùi bởi nhau thông qua các lực Coulomb. Kích thước của một nguyên tử, tức là kích thước của quỹ đạo electron, là khoảng 10−8 cm. Vấn đề là trong vật lý cổ điển, mô hình này không ổn định. Thí nghiệm thứ hai là sự tán xạ của electron trên một tinh thể được thực hiện bởi Davisson và Germer (1927), G. Thomson (1928) và Rupp (1928), sau sự ra đời của cơ học lượng tử. Thí nghiệm này tương tự như thí nghiệm năm 1805 của Young xác nhận bản chất sóng của ánh sáng. Nó có thể được trừu tượng hóa như thí nghiệm hai khe được mô tả dưới đây. Nó hiển thị một mô hình giao thoa cho các electron, tương tự như sóng. Trong chương giới thiệu này, chúng tôi trình bày một cái nhìn tổng quan rất ngắn gọn về cấu trúc cơ bản của cơ học lượng tử, và chạm vào động lực vật lý cho lý thuyết. Một cuộc thảo luận toán học chi tiết về cơ học lượng tử là trọng tâm của các chương tiếp theo.
1.1. Thí nghiệm hai khe Minh chứng cho tính chất sóng hạt
Giả sử một luồng electron được bắn vào một tấm chắn trong đó hai khe hẹp đã được cắt (xem Hình). Ở phía bên kia của tấm chắn là một màn hình dò. Mỗi electron đi qua tấm chắn chạm vào màn hình dò tại một số điểm và các điểm tiếp xúc này được ghi lại. Được hình dung trong Hình 3 là sự phân bố cường độ quan sát được trên màn hình khi một trong hai khe bị chặn. Khi cả hai khe đều mở, sự phân bố cường độ quan sát được được hiển thị trong Hình 4. Đáng chú ý, đây không phải là tổng của hai phân bố trước đó; tức là có một hiệu ứng giao thoa. Chúng ta đưa ra một số quan sát dựa trên thí nghiệm này. Chúng ta không thể dự đoán chính xác nơi một electron nhất định sẽ chạm vào màn hình, chúng ta chỉ có thể xác định sự phân bố của các vị trí. Mô hình cường độ (gọi là mô hình giao thoa) mà chúng ta quan sát được khi cả hai khe đều mở tương tự như mô hình chúng ta thấy khi một sóng lan truyền qua các khe: cường độ quan sát được khi sóng E1 và E2 (các sóng ở đây được biểu diễn bằng số phức mã hóa biên độ và pha) bắt nguồn từ mỗi khe được kết hợp tỷ lệ với |E1 + E2|2 != |E1|2 + |E2|2. Chúng ta có thể rút ra một số kết luận dựa trên những quan sát này. Vật chất hành xử một cách ngẫu nhiên. Vật chất thể hiện các tính chất giống sóng. Nói cách khác, hành vi của các electron riêng lẻ vốn dĩ là ngẫu nhiên và sự ngẫu nhiên này lan truyền theo quy luật của cơ học sóng. Những quan sát này tạo thành một phần trung tâm của sự thay đổi mô hình được giới thiệu bởi lý thuyết cơ học lượng tử.
1.2. Hàm sóng trong cơ học lượng tử Mô tả trạng thái hạt
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hạt được mô tả bởi một hàm phức có giá trị của vị trí và thời gian, ψ(x, t), x ∈ R3, t ∈ R. Điều này được gọi là một hàm sóng (hoặc vectơ trạng thái). Ở đây Rd biểu thị không gian Euclid d chiều, R = R1 và một vectơ x ∈ Rd có thể được viết trong tọa độ là x = (x1, . , xd) với xj ∈ R. Dưới ánh sáng của cuộc thảo luận trên, hàm sóng nên có các thuộc tính sau. |ψ(·, t)|2 là sự phân bố xác suất cho vị trí của hạt. Đó là, xác suất một hạt ở trong vùng Ω ⊂ R3 tại thời điểm t là ∫Ω |ψ(x, t)|2 dx. Do đó chúng ta yêu cầu sự chuẩn hóa ∫R3 |ψ(x, t)|2 dx = 1. ψ thỏa mãn một loại phương trình sóng nào đó. Ví dụ, trong thí nghiệm hai khe, nếu ψ1 cho trạng thái vượt ra ngoài tấm chắn với khe đầu tiên đóng và ψ2 cho trạng thái vượt ra ngoài tấm chắn với khe thứ hai đóng, thì ψ = ψ1 + ψ2 mô tả trạng thái với cả hai khe đều mở. Mô hình giao thoa quan sát được trong trường hợp sau phản ánh thực tế là |ψ|2 != |ψ1|2 + |ψ2|2.
II. Phương trình Schrödinger Công cụ toán học cơ bản của cơ học lượng tử
Bây giờ chúng tôi đưa ra một động lực cho phương trình chi phối sự tiến hóa của hàm sóng của một hạt. Đây là phương trình Schrödinger nổi tiếng. Một trạng thái tiến hóa tại thời điểm t được ký hiệu bằng ψ(x, t), với ký hiệu ψ(t)(x) ≡ ψ(x, t). Phương trình của chúng ta phải thỏa mãn các thuộc tính hợp lý về mặt vật lý nhất định. Tính nhân quả: Trạng thái ψ(t0) tại thời điểm t = t0 phải xác định trạng thái ψ(t) cho tất cả các thời điểm sau đó t > t0. Nguyên tắc chồng chất: Nếu ψ(t) và φ(t) là sự tiến hóa của các trạng thái, thì αψ(t) + βφ(t) (α, β là các hằng số) cũng phải mô tả sự tiến hóa của một trạng thái. Nguyên tắc tương ứng: Trong "các tình huống hàng ngày", cơ học lượng tử phải gần với cơ học cổ điển mà chúng ta đã quen thuộc. Yêu cầu đầu tiên có nghĩa là ψ phải thỏa mãn một phương trình bậc nhất theo thời gian, cụ thể là ∂/∂t ψ = Aψ cho một số toán tử A, tác động lên không gian trạng thái. Yêu cầu thứ hai ngụ ý rằng A phải là một toán tử tuyến tính. Chúng ta sử dụng yêu cầu thứ ba – nguyên tắc tương ứng – để tìm dạng đúng của A. Ở đây chúng ta được hướng dẫn bởi một sự tương tự với sự chuyển đổi từ quang học sóng sang quang học hình học.
2.1. Tính nhân quả chồng chất và tương ứng trong phương trình Schrödinger
Trong kinh nghiệm hàng ngày, chúng ta thấy ánh sáng lan truyền dọc theo các đường thẳng phù hợp với các quy luật của quang học hình học, tức là dọc theo các đặc tính của phương trình ∂φ/∂t = ±c|∇x φ| (c = tốc độ ánh sáng), được gọi là phương trình eikonal. Mặt khác, chúng ta biết rằng ánh sáng, giống như bức xạ điện từ nói chung, tuân theo các phương trình Maxwell có thể được rút gọn thành phương trình sóng (ví dụ, cho điện trường trong biểu diễn phức) ∂2u/∂t2 = c2Δu, trong đó Δ = ∑3j=1 ∂2j là toán tử Laplace, hoặc Laplacian (trong không gian ba chiều). Phương trình eikonal xuất hiện như một giới hạn tần số cao của phương trình sóng khi bước sóng nhỏ hơn nhiều so với kích thước điển hình của các vật thể. Cụ thể là chúng ta đặt u = aeiφ/λ, trong đó a và φ là thực và O(1) và λ > 0 là tỷ lệ của bước sóng điển hình so với kích thước điển hình của các vật thể. Hàm thực φ được gọi là eikonal. Thay thế điều này vào phương trình sóng. Trong sự xấp xỉ sóng ngắn, λ << 1 (với các đạo hàm của a và φ O(1)), chúng ta thu được −aφ̇2 = −c2a|∇φ|2, tương đương với phương trình eikonal. Một phương trình trong cơ học cổ điển tương tự như phương trình eikonal là phương trình Hamilton-Jacobi ∂S/∂t = −h(x, ∇S), trong đó h(x, k) là hàm Hamiltonian cổ điển, mà đối với một hạt có khối lượng m di chuyển trong một thế năng V được cho bởi h(x, k) = |k|2/2m + V(x), và S(x, t) là tác động cổ điển. Chúng ta muốn tìm một phương trình tiến hóa sẽ dẫn đến phương trình Hamilton-Jacobi theo cách mà phương trình sóng dẫn đến phương trình eikonal.
2.2. Toán tử Schrödinger Biểu diễn toán học của Hamiltonian
Chúng ta tìm kiếm một giải pháp cho phương trình tiến hóa ở dạng ψ(x, t) = a(x, t)eiS(x,t)/ħ, trong đó S(x, t) thỏa mãn phương trình Hamilton-Jacobi và ħ là một tham số có thứ nguyên của tác động, nhỏ so với một tác động cổ điển điển hình cho hệ thống đang xét. Giả sử a không phụ thuộc vào ħ, thì dễ dàng chứng minh rằng, theo thứ tự hàng đầu, ψ sau đó thỏa mãn phương trình iħ ∂/∂t ψ(x, t) = (−ħ2/2m) Δx ψ(x, t) + V(x)ψ(x, t). Phương trình này có dạng mong muốn. Trên thực tế, nó là phương trình đúng và được gọi là phương trình Schrödinger. Hằng số nhỏ ħ là hằng số Planck; nó là một trong những hằng số cơ bản trong tự nhiên. Giá trị của nó xấp xỉ ħ ≈ 6.5. Phương trình Schrödinger có thể được viết là iħ ∂/∂t ψ = Hψ trong đó toán tử tuyến tính H, được gọi là toán tử Schrödinger, được cho bởi Hψ := (−ħ2/2m) Δψ + V ψ. Dưới đây chỉ là một vài ví dụ về thế năng. Một bức tường: V ≡ 0 ở một bên, V ≡ ∞ ở phía bên kia (có nghĩa là ψ ≡ 0 ở đây). Thí nghiệm hai khe: V ≡ ∞ trên tấm chắn và V ≡ 0 ở những nơi khác. Thế năng Coulomb: V(x) = −α/|x| (mô tả một nguyên tử hydro). Dao động điều hòa: V(x) = (mω2/2)|x|2. Chúng ta sẽ phân tích một số ví dụ này và những ví dụ khác trong các chương tiếp theo.
III. Toán học nền tảng Không gian Hilbert và Đại số tuyến tính lượng tử
Không gian của tất cả các trạng thái có thể có của hạt tại một thời điểm nhất định được gọi là không gian trạng thái. Đối với chúng ta, không gian trạng thái của một hạt thường sẽ là các hàm khả tích bình phương: L2(R3) := {ψ : R3 → C | ∫R3 |ψ(x)|2 dx < ∞} (chúng ta có thể áp đặt điều kiện chuẩn hóa khi cần thiết). Đây là một không gian vectơ và có một tích trong được cho bởi <ψ, φ> := ∫R3 ψ̄(x)φ(x)dx. Trên thực tế, nó là một không gian Hilbert. Mục đích của chương này là điều tra sự tồn tại và một thuộc tính quan trọng – sự bảo toàn xác suất – của các nghiệm của phương trình Schrödinger cho một hạt có khối lượng m trong một thế năng V. Tài liệu nền tảng có liên quan về các toán tử tuyến tính được xem xét trong Phụ lục Toán học Chương 23.
3.1. Bảo toàn xác suất Tính chất quan trọng của phương trình Schrödinger
Vì chúng ta diễn giải |ψ(x, t)|2 tại một thời điểm nhất định là một sự phân bố xác suất, chúng ta nên có ∫R3 |ψ(x, t)|2 dx ≡ 1 tại mọi thời điểm, t. Tức là ∫R3 |ψ(x, t)|2 dx = ∫R3 |ψ(x, 0)|2 dx tại mọi thời điểm, t. Nếu điều này xảy ra, chúng ta nói rằng xác suất được bảo toàn. Toán tử H với ψ(t) ∈ D(H) bảo toàn xác suất khi và chỉ khi H đối xứng. Giả sử ψ(t) ∈ D(H) giải quyết bài toán Cauchy. Chúng ta tính d/dt <ψ, ψ> = <ψ̇, ψ> + <ψ, ψ̇> = (1/iħ) <Hψ, ψ> + (1/iħ) <ψ, Hψ> = (1/iħ) [<ψ, Hψ> − <Hψ, ψ>] (ở đây, và thường xuyên bên dưới, chúng ta sử dụng ký hiệu ψ̇ để biểu thị ∂ψ/∂t). Nếu H đối xứng thì đạo hàm thời gian này bằng không, và do đó xác suất được bảo toàn. Ngược lại, nếu xác suất được bảo toàn cho tất cả các nghiệm như vậy, thì <Hφ, φ> = <φ, Hφ> cho tất cả φ ∈ D(H) (vì chúng ta có thể chọn ψ0 = φ). Điều này, đến lượt nó, ngụ ý rằng H là một toán tử đối xứng. Thực tế sau đây từ một phiên bản của đồng nhất thức phân cực, <ψ, φ> = (1/4) (∥φ + ψ∥2 − ∥φ − ψ∥2 − i∥φ + iψ∥2 + i∥φ − iψ∥2), mà chứng minh được để lại như một bài tập bên dưới.
3.2. Tính tự liên hợp Điều kiện cần để tồn tại động lực học lượng tử
Như đã đề cập ở trên, thuộc tính chính của toán tử Schrödinger H đảm bảo sự tồn tại của động lực học là tính tự liên hợp của nó. Chúng ta định nghĩa khái niệm này ở đây. Chi tiết hơn có thể được tìm thấy trong Mục 23.5 của phụ lục toán học. Định nghĩa 2.4 Một toán tử tuyến tính A tác động lên không gian Hilbert H là tự liên hợp nếu A đối xứng và Ran(A ± i1) = H. Lưu ý rằng điều kiện Ran(A ± i1) = H tương đương với thực tế là các phương trình (A ± i)ψ = f có nghiệm cho tất cả f ∈ H. Định nghĩa trên khác với định nghĩa thường được sử dụng (xem Mục 23.5 của Phụ lục Toán học và e. [RSI]), nhưng tương đương với nó. Định nghĩa này cô lập thuộc tính mà người ta thực sự cần và tránh các chứng minh dài dòng không liên quan đến chúng ta. Các toán tử trong Bài toán 2.3 đều tự liên hợp. Chúng ta chứng minh điều này cho p = −iħ∂x trên không gian L2(R). Toán tử này đối xứng, vì vậy chúng ta tính Ran(−iħ∂x + i). Tức là, chúng ta giải (−iħ∂x + i)ψ = f, cái mà, sử dụng biến đổi Fourier (xem Mục 23.14), tương đương với (k + i)ψ̂(k) = fˆ(k), và do đó ψ(x) = (2πħ)−1/2 ∫R (fˆ(k)/(k+i)) eikx/ħ dk. Bây giờ đối với bất kỳ f ∈ L2(R) nào như vậy, (1 + |k|2)1/2 |ψ̂(k)| = |fˆ(k)| ∈ L2(R), vì vậy ψ nằm trong không gian Sobolev bậc một, H1(R) = D(−iħ∂x), và do đó Ran(−iħ∂x + i1) = L2. Chứng minh rằng xj, f(x) và f(p), đối với f thực và bị chặn, và Δ đều tự liên hợp trên L2(R3) (với các miền tự nhiên của chúng).
IV. Nguyên lý bất định Heisenberg Giới hạn độ chính xác phép đo
Các quan sát là các đại lượng có thể được đo lường thực nghiệm trong một khung vật lý nhất định. Trong chương này, chúng ta thảo luận về các quan sát của cơ học lượng tử. Chúng ta nhắc lại rằng trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hạt tại thời điểm t được mô tả bởi một hàm sóng ψ(x, t). Sự phân bố xác suất cho vị trí, x, của hạt là |ψ(·, t)|2. Do đó, giá trị trung bình của vị trí tại thời điểm t được cho bởi ∫x|ψ(x, t)|2 dx (lưu ý rằng đây là một vectơ trong R3). Nếu chúng ta định nghĩa toán tử nhân tọa độ xj : ψ(x) 7→ xj ψ(x) thì giá trị trung bình của thành phần j của tọa độ x trong trạng thái ψ là <ψ, xjψ>. Sử dụng thực tế là ψ(x, t) tuân theo phương trình Schrödinger iħ ∂ψ/∂t = Hψ, chúng ta tính d/dt <ψ, xjψ> = <ψ̇, xjψ> + <ψ, xjψ̇> = (1/iħ) <Hψ, xjψ> + (1/iħ) <ψ, xjHψ> = (i/ħ) <ψ, Hxjψ> − <ψ, xjHψ> = (i/ħ) <ψ, [H, xj]ψ> (ở đây nhắc lại [A, B] := AB − BA là toán tử giao hoán của A và B). Vì H = (−ħ2/2m) Δ + V và Δ(xψ) = xΔψ + 2∇ψ, chúng ta tìm thấy [H, xj] = −(iħ/m) ∇j, dẫn đến phương trình d/dt
4.1. Toán tử xung lượng Liên hệ giữa động lượng và hàm sóng
Chúng ta gọi toán tử p là toán tử xung lượng. Trên thực tế, pj là một toán tử tự liên hợp trên L2(R3). (Như thường lệ, phát biểu chính xác là có một miền trên đó pj là tự liên hợp. Ở đây miền chỉ là D(pj) = {ψ ∈ L2(Rd) | ∂/∂xj ψ ∈ L2(Rd)}.) Sử dụng biến đổi Fourier, chúng ta tính giá trị trung bình của toán tử xung lượng <ψ, pjψ> = <ψ̂, pjψ̂> = <ψ̂, kjψ̂> = ∫R3 kj|ψ̂(k)|2 dk. Điều này và các phép tính tương tự, cho thấy rằng |ψ̂(k)|2 là sự phân bố xác suất cho xung lượng của hạt. Một quan sát là một toán tử tự liên hợp trên không gian trạng thái L2(R3). Chúng ta đã thấy một vài ví dụ về các quan sát, bao gồm các toán tử vị trí, xj, các toán tử xung lượng, pj và toán tử Hamiltonian, H = (−ħ2/2m) Δ + V = |p|2/2m + V (ở đây |p|2 = ∑3j=1 p2j). Nhưng ý nghĩa của quan sát này là gì? Chúng ta tìm thấy câu trả lời bên dưới. Độc giả được mời suy ra phương trình sau cho sự tiến hóa của giá trị trung bình của một quan sát. Kiểm tra xem đối với bất kỳ quan sát nào, A, và đối với bất kỳ nghiệm ψ nào của phương trình Schrödinger, chúng ta có d/dt <A>ψ = (i/ħ) <[H, A]>ψ.
4.2. Biểu diễn Heisenberg Cách nhìn khác về động lực học lượng tử
Khuôn khổ được phác thảo cho đến thời điểm này được gọi là biểu diễn Schrödinger của cơ học lượng tử. Theo thứ tự thời gian, cơ học lượng tử lần đầu tiên được xây dựng trong biểu diễn Heisenberg, mà chúng ta hiện mô tả. Đối với một quan sát A, định nghĩa A(t) := eiHt/ħ Ae−iHt/ħ. Vì e−iHt/ħ là unitary, chúng ta có, bằng các phép tính đơn giản để lại như một bài tập, <A>ψ(t) = <A(t)>ψ0. Phương trình cuối cùng này được gọi là phương trình Heisenberg cho sự tiến hóa theo thời gian của quan sát A. Đặc biệt, lấy x và p cho A, chúng ta thu được tương tự lượng tử của các phương trình Hamilton của cơ học cổ điển: mẋ(t) = p(t), ṗ(t) = −∇V (x(t)). Trong biểu diễn Heisenberg, thì trạng thái được cố định (tại ψ0) và các quan sát tiến hóa theo phương trình Heisenberg. Tất nhiên, các biểu diễn Schrödinger và Heisenberg hoàn toàn tương đương (bằng một biến đổi unitary).
V. Spin lượng tử Khái niệm phi cổ điển và bảo toàn năng lượng
Các hạt cơ học lượng tử cũng có thể có các bậc tự do bên trong, mà không có đối tác cổ điển. Quan trọng nhất trong số này là spin. Nó có các tính chất của một mô-men động lượng của chuyển động quỹ đạo. Không gian trạng thái cho một hạt spin r là L2(R3; C2r+1), không gian của các hàm khả tích bình phương với các giá trị trong C2r+1, i. Các quan sát spin Sj, j = 1, 2, 3, là các bộ tạo của nhóm SU(2) (bao phủ đại số Lie su(2)) và thỏa mãn các quan hệ giao hoán [Sk, Sl] = iħδklmSm. Ở đây δklm là biểu tượng Levi-Civita: δ123 = 1 và δklm thay đổi dấu dưới phép hoán vị của bất kỳ hai chỉ số nào. Đó là một thực tế thực nghiệm rằng tất cả các hạt thuộc về một trong hai nhóm sau: các hạt có spin số nguyên, hoặc boson, và các hạt có spin bán số nguyên, hoặc fermion. (Các hạt mà chúng ta đang đối phó – electron, proton và neutron – là fermion, với spin 1/2, trong khi các photon, mà chúng ta sẽ đối phó sau, là boson, với spin 1. Các hạt nhân, mặc dù được coi là các hạt điểm, là các đối tượng composite có spin có thể là số nguyên hoặc bán số nguyên.) Đối với spin r, các toán tử spin Sj tác động lên C2r+1. Đối với r = 1/2, chúng có thể được viết là Sj = ħ/2 σj, trong đó σj là các ma trận Pauli.
5.1. Tương tác spin từ trường Ảnh hưởng của spin lên năng lượng
Trong trường hợp này, nếu chúng ta giới thiệu biến spin s = ±1/2 và sử dụng ký hiệu ψ(x, s) = (ψ(x, 1/2), ψ(x, −1/2)), chúng ta có các quan hệ S1 ψ(x, s) = ħ|s|ψ(x, −s), S2 ψ(x, s) = −iħsψ(x, −s), S3 ψ(x, s) = ħsψ(x, s). Spin tương tác với một từ trường bên ngoài và năng lượng của tương tác này (trong trường hợp spin r = 1/2) là (eħ/2mc) σ · B(x), trong đó e và m là điện tích và khối lượng của hạt và B(x) là từ trường. Giả sử trường điện từ là động lực và coi nó như một trường lượng tử (tức là lượng tử hóa các phương trình Maxwell, xem Chương 19) dẫn đến các hiệu chỉnh cho biểu thức này.
5.2. Định luật bảo toàn Quan hệ với đối xứng của hệ lượng tử
Chúng ta nói rằng một quan sát A (hoặc chính xác hơn, đại lượng vật lý được biểu diễn bởi quan sát này) được bảo toàn nếu giá trị trung bình của nó trong bất kỳ trạng thái tiến hóa nào ψ(t) độc lập với t: <A>ψ(t) = <A(t)>ψ0 = <A>ψ0, trong đó ψ0 = ψ(0), A(t) := eiHt/ħ Ae−iHt/ħ và ψ(t) giải phương trình Schrödinger: iħ ∂ψ/∂t = Hψ. Do đó, một quan sát A được bảo toàn nếu và chỉ nếu A(t) là hằng số, tương đương với việc A giao hoán với toán tử Schrödinger H, i. Ví dụ, vì rõ ràng [H, H] = 0, chúng ta có <H>ψ(t) = const, đó là phiên bản giá trị trung bình của việc bảo toàn năng lượng. Hầu hết các định luật bảo toàn đến từ các đối xứng của hệ lượng tử đang xét. Ví dụ • Tính bất biến theo thời gian (V độc lập với t) → bảo toàn năng lượng • Tính bất biến theo không gian (V độc lập với x) → bảo toàn xung lượng • Tính bất biến theo phép quay không gian (V bất biến theo phép quay, i. là một hàm của |x|) → bảo toàn mô-men động lượng • Tính bất biến đo (tính bất biến của phương trình dưới phép biến đổi ψ → eiα ψ) → bảo toàn điện tích/xác suất.
VI. Lượng tử hóa Chuyển từ cơ học cổ điển sang lượng tử
Trong chương này, chúng ta thảo luận về quy trình chuyển từ cơ học cổ điển sang cơ học lượng tử. Điều này được gọi là "lượng tử hóa" của một lý thuyết cổ điển. Để mô tả một lượng tử hóa của cơ học cổ điển, chúng ta bắt đầu với công thức Hamiltonian của cơ học cổ điển (xem Mục bổ sung 4.4 để biết thêm chi tiết), trong đó các đối tượng cơ bản như sau: Không gian pha (hoặc không gian trạng thái) R3x × R3k. Hamiltonian: một hàm thực, h(x, k), trên R3x × R3k (cho năng lượng của hệ cổ điển). Các quan sát cổ điển: các hàm (thực) trên R3x × R3k. Dấu ngoặc Poisson: một dạng song tuyến tính ánh xạ mỗi cặp quan sát cổ điển, f, g, sang quan sát (hàm) {f, g} = ∑3j=1 (∂f/∂kj ∂g/∂xj − ∂f/∂xj ∂g/∂kj ). Các biến liên hợp chính tắc: các hàm tọa độ xi, ki, thỏa mãn {xi, xj} = {ki, kj} = 0; {ki, xj} = δij. Động lực học cổ điển: các phương trình Hamilton: ẋ = {h, x}, k̇ = {h, k}. Các đối tượng cơ bản tương ứng trong cơ học lượng tử là những điều sau đây: Không gian trạng thái L2(R3x).
6.1. Hàm và toán tử Hamiltonian Cầu nối giữa cổ điển và lượng tử
Toán tử Hamiltonian lượng tử: một toán tử Schrödinger, H = h(x, p) tác động lên không gian trạng thái L2(R3x). Toán tử giao hoán: một dạng song tuyến tính ánh xạ mỗi cặp toán tử tác động lên L2(R3x), vào toán tử giao hoán [·, ·]. Các toán tử liên hợp chính tắc: các toán tử tọa độ xi, pi, thỏa mãn [xi, xj] = [pi, pj] = 0; [pi, xj] = δij. Động lực học của hệ lượng tử có thể được mô tả bằng các phương trình Heisenberg ẋ = (i/ħ) [H, x], ṗ = (i/ħ) [H, p]. Các phương trình được gọi là các quan hệ giao hoán chính tắc. Để lượng tử hóa cơ học cổ điển, chúng ta chuyển từ các biến liên hợp chính tắc, xi, ki, thỏa mãn (4.1) sang các toán tử liên hợp chính tắc, xi, pi, i = 1, 2, 3, thỏa mãn (4.3): xi, ki −→ xi, pi. Do đó với các quan sát cổ điển f(x, k), chúng ta liên kết các quan sát lượng tử f(x, p). Đây là một quy trình khá đơn giản nếu f(x, p) là tổng của một hàm của x và một hàm của p, nhưng khá tinh tế nếu không. Nó được giải thích trong phần tiếp theo. Nếu hàm Hamiltonian cổ điển là h(x, k) = |k|2/2m + V(x), thì Hamiltonian lượng tử tương ứng là toán tử Schrödinger H = h(x, p) = |p|2/2m + V(x) = (−ħ2/2m) Δ + V(x). Tương tự, chúng ta chuyển từ mô-men động lượng cổ điển, lj = (x × k)j, sang các toán tử mô-men động lượng, Lj = (x × p)j.
6.2. Biểu diễn và liên hệ giữa các đại lượng cổ điển và lượng tử
Bảng sau đây cung cấp tóm tắt về các đối tượng cơ học cổ điển và các đối tác lượng tử hóa của chúng: Đối tượng CM QM Trạng thái R3x × R3k và không gian L2(R3x) Dấu ngoặc Poisson Toán tử giao hoán Đường tiến hóa trong Đường tiến hóa trong không gian pha L2(R3x) Quan sát Hàm thực Toán tử tự liên hợp trên không gian trạng thái Kết quả của việc Đo đạc Xác định Xác suất Đối tượng xác định Hàm Hamiltonian Toán tử Hamiltonian Các hàm chính tắc Toán tử Các tọa độ x và k x (nhân) và p (đạo hàm). Lượng tử hóa các hệ thống cổ điển không dẫn đến một mô tả hoàn chỉnh về các hệ thống lượng tử. Như đã lưu ý trong chương trước, các hạt cơ học lượng tử cũng có thể có các bậc tự do bên trong, chẳng hạn như spin, mà không có đối tác cổ điển và do đó không thể thu được như một kết quả của lượng tử hóa một hệ thống cổ điển. Để tính đến các bậc tự do này, người ta nên sửa đổi quy trình lượng tử hóa ở trên một cách ad hoc hoặc thêm các tiên đề lượng tử hóa mới như trong lý thuyết tương đối.
27/09/2025
