Luận Văn Thạc Sĩ: Các Dạng Toán Liên Quan Đến Dãy Số Trong Số Học

Khám phá luận văn thạc sĩ với các dạng toán liên quan đến dãy số trong số học, giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán hiệu quả.

• Tác giả: Nguyễn Đức Toàn Thịnh
• Người hướng dẫn: Gs. Nguyễn Văn Mậu
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Một Số Dạng Toán Liên Quan Đến Dãy Số Trong Số Học
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sỹ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG HÓA CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
• 1.1. Một số tính chất cơ bản của dãy số
• 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về dãy số
• 1.1.2. Một vài dãy số đặc biệt
• 1.1.3. Phương trình sai phân tuyến tính
• 1.2. Một số tính chất cơ bản của số học
• 1.2.1. Số nguyên và phép chia hết
• 1.2.2. Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất
• 1.2.3. Số nguyên tố
• 1.2.4. Đồng dư
• 1.2.5. Một số định lí cơ bản của số học
• 2. CHƯƠNG 2: KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN
• 2.1. Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số
• 2.1.1. Phương pháp quy nạp
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Các Dạng Toán Liên Quan Đến Dãy Số

Chủ đề dãy số trong số học là một lĩnh vực quan trọng, không chỉ trong lý thuyết mà còn trong ứng dụng thực tiễn. Dãy số có thể được định nghĩa là một chuỗi các số được sắp xếp theo một quy luật nhất định. Các dạng toán liên quan đến dãy số thường gặp trong các kỳ thi và nghiên cứu toán học. Việc hiểu rõ các dạng toán này giúp nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong số học.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Dãy Số

Dãy số được định nghĩa là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương. Mỗi dãy số có thể được biểu diễn dưới dạng khai triển với các số hạng cụ thể.

1.2. Vai Trò Của Dãy Số Trong Toán Học

Dãy số không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ quan trọng trong các mô hình toán học, đặc biệt trong lý thuyết phương trình và giải tích.

II. Các Vấn Đề Thách Thức Trong Dãy Số

Mặc dù dãy số là một lĩnh vực phong phú, nhưng việc giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số thường gặp nhiều thách thức. Các vấn đề như tính chia hết, tính nguyên, và tính chính phương trong dãy số là những thách thức lớn. Những vấn đề này không chỉ đòi hỏi kiến thức lý thuyết mà còn cần kỹ năng phân tích và tư duy logic.

2.1. Tính Chia Hết Trong Dãy Số

Tính chia hết là một trong những vấn đề quan trọng trong số học. Việc xác định các phần tử trong dãy số có chia hết cho một số nào đó là một thách thức lớn.

2.2. Tính Chính Phương Trong Dãy Số

Các bài toán về tính chính phương trong dãy số thường xuất hiện trong các kỳ thi và yêu cầu người giải phải có kiến thức vững về số học.

III. Phương Pháp Giải Toán Dãy Số Hiệu Quả

Để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số, có nhiều phương pháp khác nhau. Các phương pháp này bao gồm quy nạp, đồng dư, và sử dụng tính tuần hoàn của dãy số. Mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp là rất quan trọng.

3.1. Phương Pháp Quy Nạp

Phương pháp quy nạp là một trong những kỹ thuật mạnh mẽ để chứng minh các tính chất của dãy số. Nó cho phép người giải chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề cho mọi số tự nhiên.

3.2. Phương Pháp Đồng Dư

Phương pháp đồng dư giúp xác định mối quan hệ giữa các phần tử trong dãy số. Đây là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán số học phức tạp.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Dãy Số Trong Số Học

Dãy số có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính, tài chính, và thống kê. Việc hiểu rõ các dạng toán liên quan đến dãy số giúp nâng cao khả năng phân tích và giải quyết vấn đề trong thực tế.

4.1. Dãy Số Trong Khoa Học Máy Tính

Trong khoa học máy tính, dãy số được sử dụng để lưu trữ và xử lý dữ liệu. Các thuật toán liên quan đến dãy số thường được áp dụng trong lập trình và phân tích dữ liệu.

4.2. Dãy Số Trong Tài Chính

Trong tài chính, dãy số được sử dụng để phân tích xu hướng và dự đoán biến động của thị trường. Các mô hình toán học dựa trên dãy số giúp đưa ra quyết định đầu tư chính xác.

V. Kết Luận Về Các Dạng Toán Liên Quan Đến Dãy Số

Các dạng toán liên quan đến dãy số trong số học là một lĩnh vực phong phú và đa dạng. Việc nắm vững các kiến thức và phương pháp giải quyết sẽ giúp nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề trong toán học. Tương lai của nghiên cứu về dãy số hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới và ứng dụng thực tiễn.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu Dãy Số

Nghiên cứu về dãy số sẽ tiếp tục phát triển, mở ra nhiều hướng đi mới trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

5.2. Khuyến Khích Nghiên Cứu Thêm

Khuyến khích các nhà nghiên cứu và sinh viên tiếp tục tìm hiểu và phát triển các phương pháp mới trong lĩnh vực dãy số.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Nội dung chương chủ yếu được lấy từ các tài liệu [2], [3], [4].1 Một số tính chất cơ bản của dãy số 1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số Định nghĩa 1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : N∗ → R n 7→ u(n) Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1 , u2 , u3 ,.

trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,. , m} với m ∈ N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 ,.

, um , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Để xác định một dãy số người ta có thể tiến hành theo các cách sau đây. a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả.2 Một vài dãy số đặc biệt a) Cấp số cộng LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 5 Định nghĩa 1. Dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un =. được gọi là một cấp số cộng. Khi dãy số (un ) lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u1 − u0 được gọi là công sai của cấp số cộng đã cho.

• Một số tính chất của cấp số cộng. i) un = u1 + (n − 1)d, với mọi n = 1, 2, 3,. uk−1 + uk+1 ii) uk = , với mọi k = 2, 3,. 2 iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 ,.

Khi đó ta có u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 =. Một cách tổng quát u1 + un = uk + un−k với mọi k = 2, 3,. • Tổng của một cấp số cộng. +) Cho cấp cố cộng u1 , u2 ,.

với công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un là tổng n số đầu của cấp số cộng. Khi đó ta có (u1 + un )n [2u1 + (n − 1)d]n Sn = =. 2 2 +) Vài tổng đặc biệt.

4 b) Cấp số nhân Định nghĩa 1. Dãy số (un ) được gọi là cấp số nhân với công bội q , (q 6= 0, q 6= 1) nếu như ta có un = un−1. • Một số tính chất của cấp số nhân.uk+1 với mọi k = 2, 3,. • Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 ,.

với công bội q. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. Khi đó ta có u1 (q n − 1) Sn =. q−1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 6 c) Dãy số Fibonacci Định nghĩa 1.

Dãy số (Fn ) cho bởi hệ thức truy hồi  F1 = F2 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ∈ N∗ được gọi là dãy số Fibonacci. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy số Fibonacci là √ !n √ !n 1 1+ 5 1 1− 5 un = √ −√ (Công thức Binet). Nếu n chia hết cho m thì Fn chia hết cho Fm. Nếu Fn chia hết cho Fm thì n chia hết cho m với m > 2.

Nếu n ≥ 5 và Fn là số nguyên tố thì n cũng là số nguyên tố.qn với qn không chia hết cho 5. Fn có tận cùng là 0 khi và chỉ khi n. Fn có tận cùng là hai chữ số 0 khi và chỉ khi n .3 Dãy tuần hoàn Trong phần này, ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn cơ bản là dãy tuần hoàn cộng tính và dãy tuần hoàn nhân tính. Dãy (un ) được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho un+k = un , ∀ ∈ N.1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 7 Số nguyên dương k bé nhất để dãy (un ) thỏa mãn điều kiện (??) được gọi là chu kì cơ sở của dãy.

Dãy số (un ) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = un , ∀n ∈ N.2) Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy (un ) thoả mãn (??) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.2 Phương trình sai phân tuyến tính Trong phần này ta trình bày một số phương trình sai phân tuyến tính cơ bản với hệ số hằng số, có nghiệm là các số thực và cách giải chúng. Phương trình sai phân (cấp k ) là một hệ tuyến tính chứa sai phân các cấp tới k. f yn ; ∆yn ; ∆2 yn ; .3) Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên (??) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n). ; ak ; f (n) đã biết, còn yn , yn+1 ,.

, yn+k là các giá trị chưa biết. • Phương trình (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k. • Nếu f (n) = 0 thì phương trình (??) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = 0.5) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k. • Nếu f (n) 6= 0 thì (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.

• Nghiệm của phương trình sai phân. +) Hàm số yn biến n thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (??). +) Hàm số ybn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm tổng quát của (??). +) Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (??) được gọi là một nghiệm riêng của (??).

LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 8 a) Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất Bài toán 1. Giải phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất (cấp một) u1 = α, aun+1 + bun = f (n), n ∈ N∗ , (1.6) trong đó a, b, α là các hằng số (a, b 6= 0) và f (n) là biểu thức của n cho trước. Nhận xét rằng các cấp số cơ bản là những dạng đặc biệt của phương trình sai phân tuyến tính. Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng.

+) Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ. +) Tìm nhiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng aun+1 + bun = 0 dưới dạng u bn = cλn (c là hằng số). Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình không thuần nhất. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) là un = u∗n + u bn.

Sau đây ta trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng. Trường hợp 1. Nếu f (n) = Pm (n) là đa thức bậc m đối với n. Khi đó +) Nếu λ 6= 1 thì ta chọn u∗n = Qm (n) cũng là đa thức bậc m đối với n.

+) Nếu λ = 1 thì ta chọn u∗n = nQm (n), trong đó Qm (n) cũng là đa thức bậc m đối với n. Trường hợp 2. Khi đó +) Nếu λ 6= β thì ta chọn u∗n = d. +) Nếu λ = β thì ta chọn u∗n = d.

Khi đó, ta chọn nghiệm riêng u∗n dưới P Trường hợp 3. Giải phương trình sai phân  x0 = 7 (1.7) xn+1 = 15xn − 14n + 1 Lời giải. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 9 Ta có f (n) = −14n + 1 là đa thức bậc nhất, λ = 15 6= 1 nên chọn x∗n = an + b. Thay vào phương trình (??) ta được a(n + 1) + b = 15(an + b) − 14n + 1.15n và nghiệm tổng quát của (??) là xn = C.

Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7. Giải phương trình sai phân  x0 = 99 xn+1 = xn − 2n − 1 (1. Thay vào phương trình (??) ta được (n + 1)[a(n + 1) + b] = n(an + b) − 2n − 1.1n = C và nghiệm tổng quát là xn = C − n2. Vậy phương trình có nghiệm là xn = 99 − n2.

Giải phương trình sai phân  x0 = 8 xn+1 = 2xn + 3n (1. Ta có f (n) = 3n , λ = 2 6= 3 = β nên chọn x∗n = d. Thay vào phương trình (??) ta được d. Nghiệm tổng quát là xn = C.

Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7. Giải phương trình sai phân  x0 = 101 (1.10) xn+1 = 7xn + 7n+1 Lời giải. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 10 Ta có f (n) = 7n+1 , λ = 7 = β nên chọn x∗n = d. Thay vào phương trình (??) ta được d.

Nghiệm tổng quát là xn = C. Vậy phương trình có nghiệm là xn = (101 + n). b) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Bài toán 1. Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n), n ∈ N∗ (1.11) trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c 6= 0) và f (n) là biểu thức của n cho trước.

Giải phương trình thuần nhất tương ứng. Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) dưới dạng bn + u∗n. un = u Bài toán 1.

Giải phương trình thuần nhất u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = 0, n ∈ N∗. trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c 6= 0). +) Xét phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được nghiệm λ1 , λ2. +) Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực khác nhau thì nghiệm tổng quát của phương trình là un = Aλ21 + Bλ22 , trong đó A, B được xác định khi biết u1 , u2.

+) Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực và λ1 = λ2 = λ thì nghiệm tổng quát của phương trình un = (A + Bn)λn , trong đó A, B được xác định khi biết u1 , u2 .