Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân Biết làm, làm đúng, làm nhanh DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Chûúng 2 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN 201/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 202 1. Dãy số Biết làm, làm đúng, làm nhanh Baâi söë 1 DÃY SỐ A – KHÁI NIỆM c Định nghĩa 1. Ta có khái niệm về dãy số hữu hạn như sau: ○ Mỗi hàm số u : {1; 2; 3;. ; m} 7→ R (m ∈ N∗ ) được gọi là một dãy số hữu hạn.
Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng đúng một số uk nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u1 ; u2 ;. ○ Số u1 được gọi là số hạng đầu, số um được gọi là số hạng cuối của dãy số đó. Ta có khái niệm về dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) như sau: ○ Mỗi hàm số u : N∗ 7→ R được gọi là một dãy số vô hạn. Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số un nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u1 , u2 ,.
○ Dãy số đó còn được viết tắt là (un ). ○ Số u1 gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u2 gọi là số hạng thứ hai, ., số un được gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số đó. Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau. B – CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ c Định nghĩa 1.
Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau: ○ Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng). ○ Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó. ○ Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó. ○ Cho bằng phương pháp truy hồi.
C – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM c Định nghĩa 1. Ta có định nghĩa: ○ Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N∗. ○ Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ N∗. Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm.
Chẳng hạn, dãy số (un ) với un = (−1)n có dạng khai triển là −1, 1, −1,. không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm. 202/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 203 Chương 2. Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân Biết làm, làm đúng, làm nhanh D – DÃY SỐ BỊ CHẶN c Định nghĩa 1.
Ta có định nghĩa: ○ Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n ∈ N∗. ○ Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n ∈ N∗. ○ Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số M và m sao cho m ≤ un ≤ M với mọi n ∈ N∗. E – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1.
Tìm số hạng thứ k của dãy số Để tìm số hạng cụ thể của dãy số ta làm như sau ○ Với trường hợp dãy số đã cho biết công thức tổng quát của dãy số thì ta chỉ cần thay giá trị tương ứng của số hạng đó vào công thức tổng quát. ○ Với trường hợp dãy số cho bởi công thức truy hồi hoặc dưới dạng thì ta phải tìm lần lượt từ những số hạng đầu tiên cho đến số đứng trước số cần tìm trong dãy. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số: v : {1; 2; 3; 4; 5} → R n 7→ v(n) = 2n.
Dãy gồm 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên 1; 3; 5;. ; 19 có phải là dãy số hữu hạn không? Nếu có, tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số. Đây là một dãy số hữu hạn. Ta có số hạng đầu u1 = 1 và số hạng cuối u10 = 19.
Cho các dãy số (an ), (bn ), (cn ), (dn ) được xác định như sau. d) dn là chu vi của đường tròn có bán kính n. Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên. Số hạng đầu của các dãy số trên là 203/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 204 1.
Dãy số Biết làm, làm đúng, làm nhanh a) a1 = 0. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = 3n − 2. Năm số hạng đầu của dãy số là 1, 4, 7, 10, 13. Số hạng thứ 100 của dãy là u100 = 3 · 100 − 2 = 298.
Cho dãy số (un ) với un =. 3n + 1 a) Tìm ba số hạng đầu tiên. 1 2 1 a) Ba số hạng đầu tiên là: u1 = 0; u2 = ; u3 = =. Dãy số Fibonacci là dãy số (un ) được xác định bởi: u1 = 1, u2 = 1 và un = un−1 + un−2 với mọi n ≥ 3.
Viết mười số hạng đầu của dãy số (un ). Thay n = 3 vào công thức truy hồi của dãy số ta được u3 = u2 + u1 = 1 + 1 = 2. Thay n = 4 vào công thức truy hồi của dãy số ta được u4 = u3 + u2 = 2 + 1 = 3. Cứ như thế ta tìm được 10 số hạng đầu của dãy số (un ) là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Bài tập tự luyện Bài 1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (un ) có số hạng tổng quát cho bởi 1 n Å ã a) un = 3n − 2; n b) un = 3 · 2 ; c) un = 1 +. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức sau: (−1)n a) un = 2n2 + 1. a) Năm số hạng đầu của dãy số là u1 = 3; u2 = 9; u3 = 19; u4 = 33; u5 = 51.
204/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 205 Chương 2. Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân Biết làm, làm đúng, làm nhanh b) Năm số hạng đầu của dãy số là 1 1 1 1 u1 = −1; u2 = ; u3 = − ; u4 = ; u5 = −. 3 5 7 9 c) Năm số hạng đầu của dãy số là 8 32 u1 = 2; u2 = 2; u3 = ; u4 = 4; u5 =. 3 5 d) Năm số hạng đầu của dãy số là 9 64 625 7776 u1 = 2; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 =.
Cho dãy số (un ), biết un =. Cho dãy số un bao gồm các số nguyên tố. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. Vậy số hạng thứ 5 của dãy số là 11.
Cho dãy số (un ) thỏa mãn. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. Cho dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi u1 = 1, un = 3un−1 + 2 với n ≥ 2 Viết ba số hạng đầu của dãy số này. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy? un+1 = un + n Lời giải.
Vậy số 20 là số hạng thứ 6. □ 205/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 206 1. Dãy số Biết làm, làm đúng, làm nhanh 1 Bài 9. Cho dãy số un = √.
Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát: un = 2n + n2 + 4. Tìm số hạng thứ 6 của dãy số. Cho dãy số (un ) xác định bởi:. Tìm số hạng thứ 7 của dãy.
un+1 = 5un − 6un−1 ∀n ≥ 2 Lời giải. Ta có u3 = 5u2 − 6u1 = 21; u4 = 5u3 − 6u2 = 87; u5 = 309; u6 = 1023; u7 = 3261 Vậy số hạng thứ 7 của dãy là 3261. Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn ) cho bởi hệ thức truy hồi ® F1 = 1, F2 = 1 Fn = Fn−1 + Fn−2 (n ≥ 3). Người ta nuôi cấy 5 con vi khuẩn ecoli trong môi trường nhân tạo.
Cứ 30 phút thì vi khuẩn ecoli sẽ nhân đôi 1 lần. Tính số lượng vi khuẩn thu được sau 1, 2, 3 lần nhân đôi. Đặt u1 = 5, gọi số vi khuẩn sau n lần phân chia là un+1 , khi đó ta có dãy số (un ) thỏa mãn u1 = 5, un+1 = 2un Ta có u2 = 10, u3 = 20, u4 = 40. Cho dãy số (un ) được xác định bởi un =.
n+1 a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.1 + 7 11 17 25 47 a) Ta có năm số hạng đầu của dãy u1 = = ; u2 = ; u3 = ; u4 = 7; u5 =. 1+1 2 3 4 6 5 5 b) Ta có: un = n + 2 + , do đó un nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n + 1 là ước của 5. Điều đó n+1 n+1 xảy ra khi n + 1 = 5 ⇔ n = 4.
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4 = 7. Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện x1 = 1, xn+1 − xn = , n = 1, 2, 3,. Số hạng x2023 bằng n(n + 1) Lời giải. Ta có n−1 n−1 XÅ1 ã 1 1 1 X 1 xn+1 − xn = = − ⇔ (xk+1 − xk ) = − n(n + 1) n n+1 k k+1 k=1 k=1 1 ⇔ xn − x1 = 1 − n 2n − 1 ⇔ xn =.
n □ 206/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 207 Chương 2. Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân Biết làm, làm đúng, làm nhanh ® u1 = 99 Bài 16. Cho dãy số (un ) biết. Hỏi số −861 là số hạng thứ mấy? un+1 = un − 2n − 1, n ≥ 1 Lời giải.
Ta có un = un−1 − 2n + 1 un−1 = un−2 − 2n + 3. u3 = u2 − 2n + 2n − 5 u2 = u1 − 2n + 2n − 3 Suy ra un = u1 − 2n · (n − 1) + 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 5) + (2n − 3) n−1 un = 99 − 2n2 + 2n + · [2 · 1 + (n − 2) · 2] = 100 − n2 2 Giả sử un = −861 ⇒ n2 = 961 ⇒ n = 31 (vì n ∈ N). Vậy số −861 là số hạng thứ 31. Câu hỏi trắc nghiệm n Câu 1.