CHƯƠNG 1. Giới thiệu Lý thuyết Wavelet là một trong những lĩnh vực toán học hiện đại, phát triển bởi các nhà nghiên cứu như Yves Meyer, Stéphanne Mallat và Albert Cohen. Lý thuyết Wavelet cũng được sử dụng như một công cụ phân tích trong hầu hết các lĩnh vực nghiên cứu về kỹ thuật như: cơ học, điện tử, truyền thông, máy tính, sinh học, y học và thiên văn học. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và hình ảnh thì ứng dụng chính của Wavelet để khử nhiễu và nén ảnh.
Trong phạm vi khử nhiễu, sự thành công của kỹ thuật khử nhiễu dựa vào lý thuyết Wavelet được đảm bảo bởi khả năng của biến đổi Wavelet rời rạc [85], [3]. Trong biến đổi Wavelet, tín hiệu chứa trong một lượng nhỏ các hệ số biến đổi. Các hệ số biến đổi khác về cơ bản chứa nhiễu. Như vậy, bằng cách lọc đi một số các hệ số, phần lớn nhiễu được loại bỏ.
Phương pháp khử nhiễu ảnh dùng Wavelet bao gồm ba bước: biến đổi Wavelet rời rạc của ảnh giảm nhiễu, lọc các hệ số trong miền Wavelet và cuối cùng là thực hiện biến đổi Waveler ngược khôi phục ảnh ban đầu. Ba nhược điểm chính của kỹ thuật khử nhiễu dựa vào biến đổi Wavelet rời rạc [28] đó là: thiếu sự bất biến theo thời gian và sự bất đối xứng của sóng mẹ và cuối cùng là tính chọn lọc kém. Những nhược điểm này có thể được khắc phục bằng cách sử dụng biến đổi Wavelet phức [50], [52]. Biến đổi Wavelet phức cũng đã chứng minh là mạnh về phân tích tín hiệu và hình ảnh [68].
Mặc dù biến đổi Wavelet đã có những thành công đáng kể, nhưng chúng có nhiều hạn chế trong xử lý ảnh nhiều chiều vì biến đổi Wavelet không tận dụng được những ưu điểm cũng như các tính năng hình học hiện có trong hình ảnh. Điều này có nghĩa là biến đổi Wavelet không thích hợp để khai thác sự tương quan dọc theo các cạnh và đường biên trong ảnh và có hướng giới hạn tính chọn lọc. Do đó hạn chế hiệu suất khử nhiễu dựa trên thuật toán Wavelet. Vì vậy yêu cầu cần có một phép biến đổi hiệu quả hơn với các hàm cơ sở trong không gian đẳng hướng và không đẳng hướng cho các ảnh thực tế tăng cường biên ảnh và độ tương phản cao 7 luan an hơn.
Ví dụ như Curvelet [10], Contourlet [21], Băng lọc định hướng [5], Wedgelets [25],[45], Shearlet [57],[35], [58], Bandelets [78], [67], [79], Directionlets [97]. Biến đổi Wavelet 1. Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) 1. Cơ sở toán học Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa như sau: + (1.
Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet a,b ( t ) có thể thu được từ Wavelet cơ bản như sau: t−b 1 − a,b ( t ) = a 2 a (1.2) Với a, b là các số thực ( a 0) , a,b ( t ) là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng không: ( t )dt = 0. Hàm Wavelet a,b ( t ) có dạng bất biến trong không − 1 gian L2 ( R ) của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hóa a 2. − Tín hiệu có thể được khôi phục nhờ biến đổi Wavelet ngược: + + 1 dadb x(t) = C − − W(a, b)a,b (t) 2 a (1.3) Trong đó C phải thỏa mãn điều kiện: 2 + () C = d + (1.4) − 8 luan an Với () là biến đổi Fourier của hàm Wavelet a ,b (t). C là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet a ,b (t).
C là hữu hạn chỉ khi hàm (0) = 0 hay điều kiện tương đương : + (1.5) (t)dt = 0 − Để đảm bảo tính chất phân rã của các hàm Wavelet, các hàm được khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện: +¥ a (1.6) ò (1 + t y (t) )dt < + ¥ , a > 0 - ¥ Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT. Sự gián đoạn hoá CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ. Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist. Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu.
Do vậy, khi hệ số tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm, số lượng phép tính giảm. Tính chất của CWT Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện chấp nhận (admisibility condition) và các điều kiện chính tắc (regularity condition) và các đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng con). Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm (t) thoả mãn điều kiện admissibility: () 2 (1.7) d + có thể được sử dụng để phân tích ban đầu và sau đó khôi phục lại tín hiệu mà không tổn hao thông tin. Trong biểu thức (1.
Điều kiện admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm (t) triệt tiêu ở f = 0.8) 2 =0 =0 9 luan an Điểm không ở tần số bằng 0 cũng có nghĩa rằng giá trị trung bình của Wavelet trong miền thời gian phải bằng 0: ( t ) dt = 0 (1.9) và do vậy phải có dạng dao động. Nói cách khác, (t) phải là dạng sóng. Người ta sử dụng các điều kiện bổ sung (additional condition) của các hàm Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet suy giảm nhanh cùng với sự giảm tỷ lệ a. Đó là điều kiện chính tắc (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số.
Regularity là một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm momen triệt tiêu (vanishing moment). Nếu khai triển biến đổi Wavelet (1.1) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc n (dễ dàng rút b = 0), ta có: 1 n ( p) tp t (1.10) W(a,0) = f ( 0 ) dt + O ( n + 1) a p =0 p! a Ở đây x p có nghĩa là đạo hàm bậc p của x(t) và O(n + 1) nghĩa là phần dư của biểu thức. Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng M p : M p = t p ( t ) dt (1.11) thì có thể viết lại (1.9) thành khai triển hữu hạn: 1 x1 ( 0 ) x 2 ( 0) x n (0) W(a,0) = ( ) 0 x 0 M a + M1a 2 + M 2 a 3 + .12) Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế phải là bằng 0. Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho tín hiệu trơn f ( t ).
Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ. Nếu Wavelet có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N. Trên thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng. 10 luan an Tính tuyến tính Tính chất tuyến tính của biến đổi Wavelet có tính chất tuyến tính của tích vô hướng.14) Như vậy việc dịch tín hiệu ban đầu trong miền thời gian sẽ tương ứng với dịch trong biến đổi Wavelet liên tục.
Tính tỷ lệ (scaling) ( W x ) (a, b) = ( W x ) (v a, vb), x ( t ) = v x ( vt ) v −1 v (1.15) Tính chất tỷ lệ làm cho biến đổi wavelet thực sự phù hợp để phân tích các cấu trúc dạng bậc. Nó như là một kính hiển vi toán học với các đặc tính không phụ thuộc vào sự phóng đại. Tính bảo toàn năng lượng Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier. Định lý: Nếu hàm x(t) L2 (R) và có biến đổi Wavelet liên tục là Wx ( a,b ) thì: 1 2 dadb (1.16) x ( t ) dt = − ( ) 2 Wx a, b − C − a2 Tính định vị (localization) Biến đổi Wavelet liên tục có tính định vị tốt, đặc biệt là với những thay đổi đột ngột trong miền thời gian ở tần số cao (hay tỷ lệ thấp), đây là một ưu điểm so với các phép biến đổi truyền thống.
Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) Vì những hàm Wavelet được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet rất dư thừa. Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu. Biến đổi DWT 11 luan an dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu. Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển.
Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding). Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA). Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b). Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số.
Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau. Cơ sở toán học Chúng ta có hàm rời rạc f ( n ) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc DWT đưa ra bởi: C ( a,b ) = C ( j,k ) = f ( n ) j,k (n) nz (1.17) với j,k là Wavelet rời rạc được định nghĩa: n − 2 j k − j/2 = 2 (2 n − k ) 1 −j j,k (n) = j (1.18) 2 2 j Các tham số a, b được xác định: a = 2j, b = 2j k.