Luận Án Tiến Sĩ Về Biến Đổi Curvelet Và Ứng Dụng Trong Xử Lý Ảnh

Luận án tiến sĩ nghiên cứu biến đổi curvelet và hướng ứng dụng cho xử lý ảnh, phân tích chuyên sâu, xây dựng mô hình lý thuyết, đề xuất giải pháp khoa học cho vấn đề thực tiễn.

• Tác giả: Đặng Phan Thu Hương
• Người hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Thúy Anh
• Trường học: Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử
• Đề tài: Biến Đổi Curvelet Và Ứng Dụng Trong Xử Lý Ảnh
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU. MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)
• 1.2. Biến đổi wavelet có hướng
• 1.3. Những tồn tại và định hướng giải quyết
• 1.4. Kết luận chương
• 2. CHƯƠNG 2: BIẾN ĐỔI CURVELET
• 2.1. Sự mở rộng tính định hướng trong trường hợp 2 chiều
• 2.2. Làm việc với biến đổi wavelet rời rạc lấy mẫu điểm cực (DWT)
• 2.3. Làm việc với biến đổi wavelet không phân rã (UWT)
• 2.4. Các wavelet cổ điển và các curvelet
• 2.5. Mối quan hệ của các Curvelet với các Wavelet có hướng khác
• 2.6. Biến đổi Curvelet liên tục
• 2.7. Các hàm cửa sổ
• 2.8. Hệ thống các hàm Curvelet
• 2.9. Định nghĩa của biến đổi Curvelet liên tục
• 2.10. Biến đổi Curvelet nhanh
• 2.11. Biến dịch chuyển
• 2.12. Tính chọn hướng trong xử lý ảnh
• 2.13. Biểu diễn biên
• 2.14. Kết luận chương
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI CURVELET TRONG XỬ LÝ ẢNH
• 3.1. Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet và khuếch tán phi tuyến
• 3.2. Chống rung ảnh Stereo bằng khuếch tán phi tuyến
• 3.3. Nâng cao chất lượng ảnh Restinal sử dụng biến đổi Curvelet kết hợp lọc khuếch tán phi tuyến và thuật toán tối thiểu Minimax
• 3.4. Khử nhiễu ảnh sử dụng biến đổi Curvelet kết hợp phân đoạn biểu đồ Histogram
• 3.5. Kết luận chương
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Biến đổi Curvelet

Biến đổi Curvelet là một công cụ mạnh mẽ trong xử lý ảnh, được phát triển để khắc phục những hạn chế của biến đổi wavelet trong việc xử lý các tín hiệu nhiều chiều. Khả năng của Curvelet trong việc biểu diễn các đột biến dọc theo các biên sườn của tín hiệu là một trong những điểm nổi bật. Curvelet cho phép phân tích các đặc trưng hình học của ảnh một cách hiệu quả hơn, đặc biệt là trong các ứng dụng như khử nhiễu ảnh và nâng cao chất lượng ảnh. Theo nghiên cứu, Curvelet có thể được sử dụng để cải thiện độ chính xác trong việc phát hiện các biên sườn, từ đó nâng cao chất lượng hình ảnh đầu ra. Việc áp dụng Curvelet trong xử lý ảnh y tế cũng cho thấy tiềm năng lớn trong việc cải thiện khả năng chẩn đoán.

1.1. Đặc điểm của Biến đổi Curvelet

Biến đổi Curvelet có khả năng xử lý các tín hiệu với độ phân giải cao và độ chính xác tốt hơn so với các phương pháp truyền thống. Đặc điểm nổi bật của Curvelet là khả năng duy trì các dạng sóng kết hợp dưới tác động của phương trình sóng trong môi trường mịn. Điều này cho phép Curvelet xử lý các tín hiệu có chứa các kỳ dị đường cong một cách hiệu quả. Nghiên cứu cho thấy rằng Curvelet có thể khử nhiễu mà vẫn bảo toàn các thuộc tính quan trọng của ảnh đầu vào, điều này rất cần thiết trong các ứng dụng như phân loại ảnh và trích xuất đặc trưng.

II. Ứng dụng của Biến đổi Curvelet trong Xử lý Ảnh

Biến đổi Curvelet đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của xử lý ảnh, từ khử nhiễu đến nâng cao chất lượng ảnh. Một trong những ứng dụng quan trọng là trong khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn. Phương pháp này sử dụng Curvelet để loại bỏ nhiễu trong khi vẫn giữ lại các chi tiết quan trọng của ảnh. Kết quả cho thấy rằng việc sử dụng Curvelet giúp cải thiện đáng kể chất lượng ảnh so với các phương pháp khử nhiễu truyền thống. Ngoài ra, Curvelet cũng được sử dụng trong chống rung ảnh, giúp cải thiện độ ổn định của hình ảnh trong các tình huống chụp ảnh động.

2.1. Khử nhiễu ảnh

Khử nhiễu ảnh là một trong những ứng dụng chính của biến đổi Curvelet. Phương pháp này cho phép loại bỏ nhiễu mà không làm mất đi các chi tiết quan trọng của ảnh. Nghiên cứu cho thấy rằng Curvelet có thể khử nhiễu hiệu quả hơn so với các phương pháp như lọc Wiener hay lọc Gauss. Việc áp dụng Curvelet trong khử nhiễu ảnh đã cho thấy sự cải thiện rõ rệt về chất lượng ảnh, đặc biệt là trong các ảnh có chứa các kỳ dị đường cong. Điều này mở ra nhiều cơ hội cho việc ứng dụng Curvelet trong các lĩnh vực như xử lý ảnh y tế và phân tích hình ảnh.

III. Đánh giá và Tương lai của Biến đổi Curvelet

Biến đổi Curvelet đã chứng minh được giá trị và tính ứng dụng cao trong xử lý ảnh. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều thách thức cần được giải quyết, như việc tối ưu hóa thuật toán để giảm thiểu thời gian xử lý và tăng cường khả năng áp dụng trong các tình huống thực tế. Nghiên cứu hiện tại đang tập trung vào việc phát triển các phương pháp mới kết hợp Curvelet với các kỹ thuật khác như mạng nơ-ron để nâng cao hiệu quả xử lý. Tương lai của Curvelet trong xử lý ảnh hứa hẹn sẽ mang lại nhiều đột phá mới, đặc biệt trong các lĩnh vực như thị giác máy tính và học sâu.

3.1. Thách thức và cơ hội

Mặc dù Curvelet đã đạt được nhiều thành công trong xử lý ảnh, vẫn còn nhiều thách thức cần phải vượt qua. Một trong những thách thức lớn nhất là việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn để xử lý các tín hiệu lớn trong thời gian thực. Cơ hội cho Curvelet trong tương lai là rất lớn, đặc biệt khi kết hợp với các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy. Việc nghiên cứu và phát triển các ứng dụng mới cho Curvelet sẽ mở ra nhiều khả năng trong việc cải thiện chất lượng ảnh và nâng cao hiệu quả xử lý.

Nội dung chính

Tổng quan về luận án

Sự phát triển vượt bậc của các hệ thống đa phương tiện, thị giác máy tính, robot tự hành và chẩn đoán hình ảnh y sinh đòi hỏi các giải pháp xử lý tín hiệu đa chiều (2D, 3D, MD) có độ chính xác hình học cao. Các phương pháp biến đổi kinh điển như Biến đổi Fourier (FT) hay Biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) truyền thống tuy cung cấp khả năng phân tích đa phân giải hiệu quả theo thời gian – tần số, song lại bộc lộ hạn chế cố hữu khi xử lý các đối tượng chứa điểm kỳ dị đường cong (curved singularities) và biên sườn dị hướng (anisotropic edges). Luận án tiến sĩ kỹ thuật điện tử của nghiên cứu sinh Đặng Phan Thu Hương với đề tài "Biến đổi Curvelet và hướng ứng dụng cho xử lý ảnh" (chuyên ngành Kỹ thuật điện tử, Mã số: 9520203, thực hiện tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thúy Anh và PGS. TS. Nguyễn Đức Minh) đã tập trung giải quyết triệt để bài toán này.

Research gap trọng tâm được xác định dựa trên sự thiếu hụt tính chọn lọc hướng của biến đổi Wavelet 2D truyền thống (vốn chỉ phân tách được 3 hướng ngang, dọc, chéo và làm trộn lẫn thông tin pha tại các góc $45^\circ$ và $135^\circ$). Luận án xây dựng hệ thống câu hỏi nghiên cứu và giả thuyết khoa học:

• RQ1: Làm thế nào để mở rộng tính định hướng cho biến đổi Wavelet nhiều chiều nhằm loại bỏ hiện tượng chồng lấn phổ và răng cưa tần số?
• RQ2: Cơ chế kết hợp tối ưu giữa biến đổi đa tỷ lệ dị hướng (Curvelet), phương trình đạo hàm riêng (PDE) khuếch tán phi tuyến và ước lượng thống kê Minimax diễn ra như thế nào nhằm bảo toàn tối đa biên sườn hình học?
• H1: Việc tích hợp băng lọc bàn cờ (checkerboard filter bank) vào các nhánh băng con thông cao sẽ phân giải miền tần số 2D thành 6 hướng chọn lọc mà vẫn bảo toàn cấu trúc lấy mẫu giới hạn.
• H2: Mô hình lai ghép Biến đổi Curvelet – Khuếch tán phi tuyến – Tối ưu Minimax (CVT–Minimax–NLDF) sẽ vượt trội so với các bộ lọc Wiener, Wavelet Daubechies (DB4) về tỷ số tín hiệu cực đại trên nhiễu (PSNR) và sai số toàn phương trung bình (RMSE).

Khung lý thuyết của công trình dựa trên lý thuyết giải tích đa phân giải (MRA) của Stéphane Mallat và Yves Meyer, lý thuyết khung Curvelet của Emmanuel Candès và David Donoho, nguyên lý bán nhóm PDE của Perona-Malik, cùng lý thuyết quyết định thống kê Minimax. Nghiên cứu thực nghiệm được triển khai trên tập dữ liệu ảnh đa chiều, ảnh lập thể 3D stereo đa góc chụp và ảnh quang phổ đáy mắt (retinal fundus images) nhằm định lượng hóa hiệu năng khôi phục tín hiệu.

Literature Review và Positioning

Lý thuyết phân tích đa tỷ lệ trải qua quá trình tiến hóa từ Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) đến Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) và Biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) của Mallat (1989) và Meyer (1992). Tuy nhiên, DWT 2D được xây dựng dựa trên tích tensor của các bộ lọc 1D nên mang tính chất đẳng hướng (isotropic), chỉ biểu diễn hiệu quả các điểm kỳ dị cô lập (point singularities) bậc 0. Khi áp dụng cho các cấu trúc đường cong $C^2$, DWT yêu cầu số lượng hệ số biến đổi rất lớn để xấp xỉ biên, dẫn đến hiện tượng suy giảm năng lượng chậm và tạo ra các vết nhiễu biên (ringing artifacts).

Tiến trình phát triển biểu diễn đa tỷ lệ hình học:
Wavelet 2D (Mallat, 1989) ──► DT-CWT (Kingsbury, 1998) ──► Curvelet (Candès & Donoho, 2000) ──► CVT-Minimax-NLDF (Luận án, 2019)
    [3 hướng, đẳng hướng]       [6 hướng, dư thừa 4x]        [Đa hướng, tỷ lệ kim thưa]      [Bảo toàn biên, triệt tiêu artifact]

Để khắc phục nhược điểm định hướng của Wavelet, nhiều dòng nghiên cứu quốc tế đã xuất hiện với hai luồng quan điểm đối lập:

1. Trường phái Wavelet phức và băng lọc định hướng: Điển hình là Biến đổi Wavelet cây kép phức (Dual-Tree Complex Wavelet Transform - DT-CWT) của Kingsbury (1998) và Selesnick (2005), cùng Biến đổi Contourlet của Do và Vetterli (2005). DT-CWT giải quyết được tính bất biến dịch chuyển và cung cấp 6 hướng phân giải ($15^\circ, 45^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 135^\circ, 165^\circ$), nhưng lại làm tăng độ dư thừa dữ liệu lên 4 lần ($4\times$ redundancy), gây áp lực lớn cho tài nguyên tính toán DSP.
2. Trường phái biểu diễn hình học liên tục và rời rạc tối ưu: Tiêu biểu là Biến đổi Curvelet của Candès và Donoho (2000, 2004), Shearlet của Labate, Kutyniok et al. (2005), và Bandelets của Le Pennec và Mallat (2005). Curvelet vượt trội về mặt giải tích nhờ tuân theo quy luật tỷ lệ parabol $\text{chiều rộng} \approx \text{chiều dài}^2$, cho phép biểu diễn tối ưu các đường cong gián đoạn cấp $C^2$.

Luận án định vị trọng tâm vào khoảng trống giao thoa: Tận dụng tính chất biểu diễn thưa thớt của Curvelet thế hệ hai kết hợp với mô hình khuếch tán phi tuyến (NLDF) trên cơ sở phương trình vi phân từng phần (PDE) và nguyên lý biên độ Minimax. Khác biệt với công trình của Starck, Candès, Donoho (2002) vốn chỉ lọc ngưỡng Curvelet đơn thuần, hoặc nghiên cứu của Weickert (1998) chỉ dựa trên PDE thuần túy trong không gian điểm ảnh, phương pháp đề xuất của luận án thiết lập một cơ chế lọc thích nghi kép: lọc định hướng đa tỷ lệ trong miền tần số và kiểm soát độ dốc khuếch tán trong miền không gian thực nhằm ngăn ngừa hiện tượng quá làm trơn (over-smoothing).

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án mở rộng nền tảng toán học của lý thuyết biểu diễn tín hiệu đa chiều thông qua các đóng góp lý thuyết cốt lõi:

1. Mở rộng định hướng Wavelet đa chiều (DEW - Directional Extension of Wavelet): Chứng minh toán học việc tích hợp băng lọc bàn cờ 2 kênh (checkerboard filter bank) vào cấu trúc DWT và Biến đổi Wavelet không phân rã (Undecimated Wavelet Transform - UWT). Đối với không gian $N$ chiều $B^N = [-\pi, \pi)^N$, phổ tần số được phân tích thành $2^N$ băng con và gom cụm thành $2^{N-1}$ cặp phân cực thực: $$B_{k_1} \dots B_{k_N} = \bigcup_{s_i \in {+, -}} B_{s_1 k_1}^{s_1} B_{s_2 k_2}^{s_2} \dots B_{s_N k_N}^{s_N}$$ Mô hình này phân tách hoàn toàn hiện tượng chồng lấn phổ giữa hướng $45^\circ$ và $135^\circ$, thiết lập hệ thống 6 băng con định hướng độc lập mà không làm tăng độ dư thừa trong cấu trúc giới hạn mẫu.

2. Quy luật hội tụ xấp xỉ phi phi tuyến của Curvelet: Luận án khẳng định và khai thác bằng chứng toán học chứng minh rằng: "Để một đối tượng mịn $I$ với những gián đoạn dọc theo $C^2$ - các đường cong liên tục, $M$ tốt nhất – tham số xấp xỉ $I_M$ bởi ngưỡng curvelet tuân theo $|I - I_M|_2^2 \le C M^{-2} (\log M)^3$, để tốc độ suy giảm các wavelet chỉ là $M^{-1}$."

Tốc độ suy giảm sai số xấp xỉ không gian C^2:
Wavelet 2D : ||I - I_M||_2^2 ~ O(M^-1)         (Hội tụ chậm)
Curvelet   : ||I - I_M||_2^2 ~ O(M^-2 (log M)^3) (Hội tụ tối ưu tiệm cận)

3. Thiết lập tính bền vững bán nhóm (Semigroup Stability) theo nguyên lý Minimax: Chứng minh điều kiện khả vi và tính chất bao đóng của toán tử khuếch tán phi nonlinear $I_t = \text{div}(c(|\nabla I|)\nabla I)$ kết hợp nguyên lý "Minimum–Maximum": "Nguyên lý 'Minimum–Maximum' là một trong các tiên đề quan trọng, trong đó, phải đảm bảo không tạo ra cực trị địa phương tại bất kỳ thời điểm nào để không xuất hiện thành phần phụ không mong muốn (artifact) ở tín hiệu được khuếch tán." Điều này đảm bảo cực trị toàn cục dọc theo tiến trình khuếch tán bị chặn bởi cực trị của tín hiệu khởi tạo, duy trì tính ổn định Lyapunov của hệ thống xử lý ảnh.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án tích hợp liên ngành ba cấu trúc toán học:

• Khung phân tích đa phân giải hình học (MRA & Tight Frames): Sử dụng các hàm cơ sở Curvelet $\varphi_{j,k,l}(x)$ có miền giá hình nêm hình học trong không gian Fourier, thỏa mãn hệ thức khung chuẩn ngặt dạng Parseval: $\sum_{j,k,l} |\langle f, \varphi_{j,k,l} \rangle|^2 = |f|_{L^2}^2$.
• Lý thuyết lọc khuếch tán PDE dị hướng: Hàm dẫn khuếch tán $c(|\nabla I|)$ được điều chế thích nghi dựa trên ma trận gradient biên, giảm dần tốc độ khuếch tán tại các tọa độ có độ dốc lớn (biên sườn) và tăng cường khuếch tán đẳng hướng tại các vùng phẳng.
• Tiêu chí tối ưu Minimax trong không gian Sobolev: Tìm bộ ước lượng $\hat{I}$ thỏa mãn cực tiểu hóa rủi ro cực đại: $R(n, \mathcal{F}) = \inf_{\hat{I}} \sup_{I \in \mathcal{F}} \mathbb{E}[|I - \hat{I}|_2^2]$ trên lớp hàm trơn $\mathcal{F}$.

Sơ đồ khung phân tích lai ghép CVT - Minimax - NLDF:
Ảnh đầu vào I(x,y)
       │
       ▼
┌────────────────────────────────────────┐
│ Phân tích đa phân giải Curvelet nhanh │ ──► Tách hệ số c_{j,k,l} theo vảy (scale) và hướng
└────────────────────────────────────────┘
       │
       ▼
┌────────────────────────────────────────┐
│ Ước lượng ngưỡng tối ưu Minimax        │ ──► Triệt tiêu nhiễu cao tần trên miền Sobolev
└────────────────────────────────────────┘
       │
       ▼
┌────────────────────────────────────────┐
│ Lọc khuếch tán phi tuyến PDE (NLDF)    │ ──► Bảo toàn biên sườn, triệt tiêu artifact bán nhóm
└────────────────────────────────────────┘
       │
       ▼
Ảnh đầu ra tái cấu trúc I_rec(x,y) (PSNR tối ưu, không rung mờ)

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Nghiên cứu tuân thủ chặt chẽ thế giới quan thực chứng (positivism) kết hợp diễn dịch toán học (deductive mathematical modeling) và kiểm chứng thực nghiệm mô phỏng trên nền tảng tính toán khoa học số. Luận án kết hợp giữa phương pháp giải tích hình thức (chứng minh các định lý hội tụ khung, cấu trúc ma trận Toeplitz) và mô phỏng thực nghiệm Monte Carlo. Thiết kế nghiên cứu chia thành 4 tầng phân tích:

• Tầng 1 (Toán tử biến đổi): Khảo sát ma trận chuyển đổi Toeplitz $T_a, T_s$ của băng lọc FIR 2 kênh trực chuẩn thỏa mãn điều kiện hoàn nguyên tín hiệu hoàn hảo: $T_a T_s = T_s T_a = I$.
• Tầng 2 (Mô hình hóa hình học biên): Xấp xỉ hóa đường thẳng số rời rạc $L(r, n) = {(i,j): j = \lfloor ri \rfloor + n}$ với độ dốc $r$ và giao điểm $n$ trên lưới nguyên $\mathbb{Z}^2$.
• Tầng 3 (Thuật toán thích nghi): Xây dựng thuật toán phân đoạn Histogram kết hợp biến đổi Curvelet nhanh (Fast Discrete Curvelet Transform - FDCT) qua phép bọc góc (wrapping algorithm).
• Tầng 4 (Kiểm thử thực nghiệm): Đánh giá trên tập mẫu ảnh chuẩn (Lena, Barbara, Peppers), ảnh lập thể 3D stereo 2 camera (trái/phải) và bộ ảnh y sinh đáy mắt DRIVE/STARE.

Quy trình nghiên cứu rigorous

Quy trình xử lý dữ liệu và thuật toán thực nghiệm diễn ra qua các bước nghiêm ngặt:

1. Lấy mẫu và chuẩn hóa tín hiệu: Dữ liệu ảnh đầu vào $I_0(x,y)$ chịu tác động của các mô hình nhiễu giả lập: Nhiễu Gauss ngẫu nhiên trắng ($\sigma \in [10, 50]$), nhiễu cộng (additive noise), nhiễu nhân (multiplicative speckle noise), và hiện tượng mờ rung chuyển động (motion blur artifact).
2. Khử mẫu và phân tách băng con: Áp dụng ma trận giảm thời gian lấy mẫu $D_1 = \text{diag}(2,1)$ và $D_2 = \text{diag}(1,2)$ trong băng lọc DWT và thuật toán “lỗ trống” (à trous algorithm) đối với UWT.
3. Phân tích quang phổ võng mạc: Tách kênh xanh lá (Green Channel) từ ảnh màu võng mạc RGB do kênh này cung cấp độ tương phản mạch máu tối ưu nhất, tiếp nối bằng cân bằng biểu đồ thích nghi giới hạn độ tương phản (CLAHE) và lọc khử nhiễu CVT–Minimax–NLDF.
4. Triangulation và kiểm định độ tin cậy: Độ tin cậy của thuật toán được bảo đảm thông qua tính trực giao của các bộ lọc gương vuông góc (QMF) thỏa mãn: $$\sum_k h(k) = \sqrt{2}, \quad \sum_k g(k) = 0, \quad g(k) = (-1)^k h(1-n)$$ cùng các điều kiện chính tắc momen triệt tiêu $M_p = \int t^p \psi(t) dt = 0$ với $0 \le p < M$.

Data và phân tích

Phân tích số liệu định lượng được thực hiện thông qua môi trường mô phỏng MATLAB/Simulink và CurveLab toolbox:

• Chỉ số đánh giá cốt lõi: Tỷ số tín hiệu cực đại trên nhiễu (PSNR - Peak Signal-to-Noise Ratio) tính bằng decibel (dB) và Sai số toàn phương trung bình (RMSE - Root Mean Square Error): $$\text{PSNR} = 10 \log_{10}\left(\frac{\text{MAX}I^2}{\text{MSE}}\right), \quad \text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{MN}\sum{i=1}^M \sum_{j=1}^N [I(i,j) - \hat{I}(i,j)]^2}$$
• Kiểm định tính bền vững: Đánh giá độ nhạy của thuật toán dưới sự thay đổi của phương sai nhiễu $\sigma$, kiểm tra phổ mật độ năng lượng (Power Spectral Density - PSD) so sánh giữa các phương pháp: Chuẩn hóa cục bộ (Local Normalization), Decorrelation Stretch, Toán tử Laplacian, CLAHE, DWT thuần túy và CVT–Minimax–NLDF đề xuất.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

1. Hiệu năng vượt trội trong bảo toàn biên sườn và phục hồi chi tiết: Kết quả mô phỏng khử nhiễu ảnh tại mức nhiễu Gauss $\sigma = 15$ chứng minh thuật toán đề xuất (Curvelet kết hợp phân đoạn Histogram và NLDF) đạt chỉ số PSNR vượt trội so với các kỹ thuật kinh điển. Bảng số liệu đối sánh từ luận án chỉ ra: Wavelet DB4 chỉ đạt $23.4950\text{ dB}$, Lọc Wiener đạt $25.12\text{ dB}$, Lọc khuếch tán phi tuyến đơn thuần (NLDF) đạt $26.84\text{ dB}$, trong khi Phương pháp đề xuất (CVT–Minimax–NLDF) xác lập mức kỷ lục $29.87\text{ dB}$ (cải thiện hơn $6.37\text{ dB}$ so với Wavelet cơ bản).
2. Khả năng chống rung và khử mờ ảnh lập thể 3D Stereo: Trong bài toán xử lý cặp ảnh chụp từ hệ thống 2 camera trái – phải, phương pháp Curvelet đề xuất khôi phục hoàn hảo các đường bao cạnh và biên chiều sâu (depth map edges) bị mờ do rung động cơ học. So với bộ lọc Wiener (vốn tạo ra các vòng hào quang mờ - ringing artifacts quanh mép vật thể với RMSE cao), Curvelet giúp giảm RMSE xuống mức tối thiểu, bảo toàn tương quan thị sai lập thể (stereo parallax correlation).
3. Hiện tượng bất định răng cưa và cơ chế triệt tiêu trong UWT: Phân tích đáp ứng tần số tương đương $F_{\text{eq}}(e^{j\omega_1}, e^{j\omega_2}) = F_1(e^{j\omega_1})F_2(e^{j\omega_2})H_0(e^{j\omega_1}, e^{j\omega_2})$ cho thấy việc áp dụng DWT lấy mẫu cực hạn sẽ tạo ra vùng răng cưa không mong muốn tại góc $45^\circ$. Tuy nhiên, khi chuyển đổi sang mô hình Wavelet không phân rã (UWT) kết hợp băng lọc bàn cờ, hiện tượng răng cưa tần số bị triệt tiêu hoàn toàn nhờ cấu trúc dư thừa $(3J + 1)$ lần mà không làm tăng bậc tính toán của băng lọc.
4. Tăng cường đột phá vi mạch máu trong ảnh võng mạc: Kết quả phân tích mật độ phổ năng lượng trên ảnh đáy mắt kênh Green chứng minh thuật toán CVT–Minimax–NLDF làm rõ nét các vi phình mạch (microaneurysms) và mạng mao mạch võng mạc mỏng (đường kính 1–2 pixels) mà không làm khuếch đại nhiễu nền hay biến dạng hình học đĩa thị.

So sánh định lượng PSNR (dB) giữa các phương pháp khử nhiễu (Nhiễu Gauss σ = 15):
┌───────────────────────────────────────────────┬──────────────┐
│ Phương pháp xử lý                             │ Giá trị PSNR │
├───────────────────────────────────────────────┼──────────────┤
│ Biến đổi Wavelet Daubechies (DB4)             │ 23.4950 dB   │
│ Bộ lọc Wiener truyền thống                    │ 25.1200 dB   │
│ Lọc khuếch tán phi tuyến (NLDF)               │ 26.8400 dB   │
│ Mô hình đề xuất (CVT - Minimax - NLDF)        │ 29.8700 dB   │
└───────────────────────────────────────────────┴──────────────┘

Implications đa chiều

• Về mặt lý thuyết: Công trình mở rộng năng lực của giải tích điều hòa hiện đại (modern harmonic analysis), kết nối chặt chẽ giữa lý thuyết khung thưa thớt (sparse frames) và lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng ứng dụng.
• Về mặt phương pháp luận: Thiết lập một pipeline xử lý ảnh 4 giai đoạn chuẩn hóa (Phân rã đa hướng $\rightarrow$ Ước lượng Minimax $\rightarrow$ Khuếch tán PDE $\rightarrow$ Tái cấu trúc) có khả năng chuyển giao cho các dạng dữ liệu tín hiệu y sinh, địa chấn và radar khẩu độ tổng hợp (SAR).
• Về mặt thực tiễn y tế: Cung cấp công cụ tiền xử lý tự động chất lượng cao cho các hệ thống CAD (Computer-Aided Diagnosis), hỗ trợ bác sĩ nhãn khoa phát hiện sớm bệnh võng mạc tiểu đường (Diabetic Retinopathy) và thoái hóa điểm vàng.
• Về mặt kỹ thuật thị giác 3D: Ứng dụng trực tiếp vào module camera chống rung trên robot tự hành và thiết bị bay không người lái (UAV) hoạt động trong môi trường rung lắc mạnh.

Limitations và Future Research

Luận án thẳng thắn thừa nhận các hạn chế nội tại:

1. Độ phức tạp tính toán và chi phí bộ nhớ: Dù thuật toán FDCT dạng wrapping đã giảm thiểu đáng kể số phép tính so với thế hệ thứ nhất, việc kết hợp với phép giải phương trình vi phân từng phần phi tuyến (PDE) yêu cầu giải thuật lặp qua nhiều bước thời gian $\Delta t$, dẫn đến thời gian thực thi chưa tối ưu cho các hệ thống nhúng thời gian thực (real-time embedded DSPs).
2. Hiện tượng phụ biên (Boundary Artifacts) trong phép bọc tần số: Quá trình rời rạc hóa các nêm hình học trong miền Fourier đôi khi tạo ra sai số làm tròn số học tại các góc tần số cực cao.
3. Phạm vi kịch bản thực nghiệm: Nghiên cứu chủ yếu tập trung vào các mô hình nhiễu chuẩn (Gauss, Speckle) và cặp ảnh stereo cố định trục quang học, chưa khảo sát sâu trên các camera chuyển động tự do đa trục (6-DoF motion).

Các hướng nghiên cứu tiếp nối trong tương lai:

• Tối ưu hóa thuật toán song song hóa trên phần cứng GPU kiến trúc CUDA hoặc vi mạch chuyên dụng FPGA.
• Mở rộng mô hình Curvelet 3D cho xử lý chuỗi video thể tích (volumetric video) và ảnh cắt lớp vi tính CT/MRI 4 chiều.
• Tích hợp khung toán học Curvelet vào các lớp kiến trúc mạng nơ-ron tích chập sâu (Deep CNNs / Vision Transformers) dưới dạng lớp lọc học đặc trưng định hướng (learnable directional filter layers).

Tác động và ảnh hưởng

Luận án đóng góp sâu sắc vào sự phát triển của ngành Kỹ thuật Điện tử và Xử lý Tín hiệu tại Việt Nam:

• Tác động học thuật: Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên các tạp chí khoa học chuyên ngành uy tín và kỷ yếu hội nghị quốc tế, cung cấp tài liệu tham khảo giá trị cho các nhóm nghiên cứu về xử lý ảnh đa chiều và giải tích Fourier ứng dụng.
• Ứng dụng công nghiệp & y tế: Khung thuật toán có khả năng chuyển giao công nghệ cho các công ty phát triển thiết bị y tế chẩn đoán hình ảnh và các hệ thống quang điện tử quốc phòng (camera trinh sát tầm xa trên biển).
• Lợi ích xã hội: Góp phần nâng cao độ chính xác trong sàng lọc bệnh lý mắt cộng đồng, giảm thiểu tỷ lệ chẩn đoán sai sót và hỗ trợ giảm tải cho hệ thống y tế tuyến trên.

Hệ sinh thái hưởng lợi từ công trình nghiên cứu:
┌─────────────────────────┐     ┌─────────────────────────┐
│     Nghiên cứu sinh     │     │  Kỹ sư R&D Công nghệ    │
│  Khai thác khung toán   │     │  Nhúng thuật toán vào   │
│   PDE - Sparse Frames   │     │  DSP, FPGA, Drone, UAV  │
└────────────┬────────────┘     └────────────┬────────────┘
             │                               │
             ▼                               ▼
      Luận án Tiến sĩ: Biến đổi Curvelet & Xử lý Ảnh
             ▲                               ▲
             │                               │
┌────────────┴────────────┐     ┌────────────┴────────────┐
│   Bác sĩ & Cơ sở Y tế   │     │   Giảng viên Đại học    │
│   Ảnh võng mạc sắc nét  │     │   Giáo trình chuyên sâu │
│   Chẩn đoán sớm bệnh    │     │   Xử lý tín hiệu số MD  │
└─────────────────────────┘     └─────────────────────────┘

Đối tượng hưởng lợi

• Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Xử lý tín hiệu số (DSP): Tiếp cận tài liệu hệ thống hóa toàn diện về toán học Wavelet thế hệ hai, kỹ thuật thiết kế băng lọc bàn cờ và cách giải tích phương trình vi phân từng phần trên lưới rời rạc.
• Các nhà khoa học và giảng viên đại học: Bổ sung tư liệu giảng dạy chuyên sâu cho các học phần Xử lý ảnh nâng cao, Thị giác máy tính và Toán ứng dụng.
• Kỹ sư R&D trong ngành thị giác máy tính và quang điện tử: Sở hữu mã nguồn thuật toán và giải pháp kỹ thuật cụ thể để nâng cao chất lượng ảnh camera 3D, hệ thống quét laser lidar và thiết bị nội soi y tế.
• Chuyên gia y tế và nhãn khoa: Hưởng lợi gián tiếp từ các công cụ phần mềm tăng cường độ tương phản ảnh mạch máu đáy mắt, giúp quy trình can thiệp lâm sàng nhanh chóng và chuẩn xác hơn.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì và đã mở rộng lý thuyết nào? Trả lời: Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất là việc thiết lập thành công mô hình toán học lai ghép giữa Biến đổi Curvelet nhanh, phương trình vi phân khuếch tán phi tuyến (NLDF) và chuẩn ước lượng tối ưu Minimax trong không gian hàm Sobolev. Công trình đã mở rộng trực tiếp lý thuyết Phân tích đa phân giải (MRA) của Mallat & Meyer từ không gian đẳng hướng sang không gian dị hướng đa chiều, đồng thời phát triển lý thuyết khung liên tục của Candès & Donoho thành cấu trúc băng lọc rời rạc lấy mẫu hoàn hảo.

2. Đột phá về phương pháp luận của luận án khi so sánh với ít nhất 2 nghiên cứu quốc tế tiền nhiệm? Trả lời: So với Biến đổi Wavelet cây kép phức (DT-CWT) của Kingsbury (1998) vốn chịu mức dư thừa $4\times$ và chỉ cung cấp 6 hướng cố định, phương pháp mở rộng định hướng (DEW) kết hợp UWT của luận án đạt khả năng chọn lọc hướng linh hoạt hơn mà triệt tiêu hoàn toàn hiện tượng răng cưa phổ. So với phương pháp lọc Curvelet đơn thuần của Starck et al. (2002) thường tạo ra các vết giả (ringing artifacts) quanh các điểm gián đoạn cô lập, luận án đã tích hợp thành công toán tử khuếch tán phi tuyến PDE thỏa mãn tiên đề bán nhóm Minimax, loại bỏ triệt để các cực trị địa phương giả mạo.

3. Phát hiện thực nghiệm nào gây bất ngờ nhất và có số liệu chứng minh ra sao? Trả lời: Phát hiện bất ngờ nhất là hiện tượng răng cưa tần số tại phương $45^\circ$ khi dùng DWT thông thường hoàn toàn có thể được khắc phục triệt để mà không cần tăng bậc của bộ lọc FIR, bằng cách chuyển đổi sang cấu trúc Wavelet không phân rã (UWT) kết hợp băng lọc checkerboard. Về mặt số liệu, thuật toán đề xuất đạt mức tăng vọt chỉ số PSNR lên $29.87\text{ dB}$ so với $23.4950\text{ dB}$ của Wavelet DB4 truyền thống (chênh lệch tới $+6.375\text{ dB}$) trong điều kiện ảnh chịu nhiễu Gauss nặng $\sigma = 15$.

4. Luận án có cung cấp quy trình tái lập (Replication Protocol) hoàn chỉnh không? Trả lời: Có. Luận án mô tả chi tiết biểu thức toán học của các ma trận suy giảm mẫu $D_1, D_2$, cấu trúc băng lọc phân tích $T_a$ và tổng hợp $T_s$, phương trình hàm dẫn khuếch tán $c(|\nabla I|)$, sơ đồ thuật toán xử lý ảnh võng mạc kênh màu Green, cùng các bước lặp thuật toán phân đoạn Histogram kết hợp phép biến đổi Curvelet nhanh (FDCT).

5. Chương trình nghị sự nghiên cứu 10 năm (10-year research agenda) được vạch ra như thế nào? Trả lời: Chương trình nghị sự tập trung vào 3 trục chính: (1) Tối ưu hóa phần cứng và giải thuật thời gian thực trên chip FPGA/ASIC phục vụ thiết bị y tế cầm tay; (2) Mở rộng lý thuyết Curvelet sang miền không-thời gian 4D nhằm xử lý chuỗi video động và ảnh cộng hưởng từ thời gian thực; (3) Hợp nhất biểu diễn thưa hình học Curvelet vào các mô hình học sâu sinh (Generative AI / Diffusion Models) để phục hồi ảnh siêu phân giải (Super-resolution).

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Đặng Phan Thu Hương đã hoàn thành xuất sắc các mục tiêu nghiên cứu đề ra với 5 đóng góp học thuật cốt lõi:

1. Hệ thống hóa và mở rộng thành công lý thuyết biểu diễn Wavelet có hướng cho không gian tín hiệu $N$ chiều thông qua việc tích hợp cấu trúc băng lọc bàn cờ (Checkerboard Filter Bank).
2. Xây dựng giải pháp triệt tiêu hiện tượng răng cưa phổ tần số bằng cách kết hợp hoàn hảo giữa Biến đổi Wavelet không phân rã (UWT) và băng lọc định hướng đa kênh.
3. Đề xuất thành công khung thuật toán lai ghép đột phá CVT–Minimax–NLDF, chứng minh tính ổn định bán nhóm và nguyên lý chặn cực trị Minimax giúp bảo toàn nguyên vẹn biên sườn hình học.
4. Hiện thực hóa thuật toán chống rung và khôi phục độ sắc nét cho hệ thống ảnh lập thể 3D stereo với độ chính xác RMSE vượt trội so với các bộ lọc Wiener cổ điển.
5. Phát triển giải pháp tiền xử lý và tăng cường tự động cấu trúc vi mạch máu trên ảnh võng mạc y sinh, mở ra bước tiến mới cho các hệ thống thị giác máy tính và hỗ trợ chẩn đoán y khoa chính xác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. Giới thiệu Lý thuyết Wavelet là một trong những lĩnh vực toán học hiện đại, phát triển bởi các nhà nghiên cứu như Yves Meyer, Stéphanne Mallat và Albert Cohen. Lý thuyết Wavelet cũng được sử dụng như một công cụ phân tích trong hầu hết các lĩnh vực nghiên cứu về kỹ thuật như: cơ học, điện tử, truyền thông, máy tính, sinh học, y học và thiên văn học. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và hình ảnh thì ứng dụng chính của Wavelet để khử nhiễu và nén ảnh.

Trong phạm vi khử nhiễu, sự thành công của kỹ thuật khử nhiễu dựa vào lý thuyết Wavelet được đảm bảo bởi khả năng của biến đổi Wavelet rời rạc [85], [3]. Trong biến đổi Wavelet, tín hiệu chứa trong một lượng nhỏ các hệ số biến đổi. Các hệ số biến đổi khác về cơ bản chứa nhiễu. Như vậy, bằng cách lọc đi một số các hệ số, phần lớn nhiễu được loại bỏ.

Phương pháp khử nhiễu ảnh dùng Wavelet bao gồm ba bước: biến đổi Wavelet rời rạc của ảnh giảm nhiễu, lọc các hệ số trong miền Wavelet và cuối cùng là thực hiện biến đổi Waveler ngược khôi phục ảnh ban đầu. Ba nhược điểm chính của kỹ thuật khử nhiễu dựa vào biến đổi Wavelet rời rạc [28] đó là: thiếu sự bất biến theo thời gian và sự bất đối xứng của sóng mẹ và cuối cùng là tính chọn lọc kém. Những nhược điểm này có thể được khắc phục bằng cách sử dụng biến đổi Wavelet phức [50], [52]. Biến đổi Wavelet phức cũng đã chứng minh là mạnh về phân tích tín hiệu và hình ảnh [68].

Mặc dù biến đổi Wavelet đã có những thành công đáng kể, nhưng chúng có nhiều hạn chế trong xử lý ảnh nhiều chiều vì biến đổi Wavelet không tận dụng được những ưu điểm cũng như các tính năng hình học hiện có trong hình ảnh. Điều này có nghĩa là biến đổi Wavelet không thích hợp để khai thác sự tương quan dọc theo các cạnh và đường biên trong ảnh và có hướng giới hạn tính chọn lọc. Do đó hạn chế hiệu suất khử nhiễu dựa trên thuật toán Wavelet. Vì vậy yêu cầu cần có một phép biến đổi hiệu quả hơn với các hàm cơ sở trong không gian đẳng hướng và không đẳng hướng cho các ảnh thực tế tăng cường biên ảnh và độ tương phản cao 7 luan an hơn.

Ví dụ như Curvelet [10], Contourlet [21], Băng lọc định hướng [5], Wedgelets [25],[45], Shearlet [57],[35], [58], Bandelets [78], [67], [79], Directionlets [97]. Biến đổi Wavelet 1. Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) 1. Cơ sở toán học Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa như sau: + (1.

Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet a,b ( t ) có thể thu được từ Wavelet cơ bản như sau:  t−b 1 −  a,b ( t ) = a   2   a  (1.2) Với a, b là các số thực ( a  0) , a,b ( t ) là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung  bình bằng không:   ( t )dt = 0. Hàm Wavelet a,b ( t ) có dạng bất biến trong không − 1 gian L2 ( R ) của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hóa a 2. − Tín hiệu có thể được khôi phục nhờ biến đổi Wavelet ngược: + + 1 dadb x(t) =   C − − W(a, b)a,b (t) 2 a (1.3) Trong đó C  phải thỏa mãn điều kiện: 2 + () C =  d  + (1.4) −  8 luan an Với () là biến đổi Fourier của hàm Wavelet  a ,b (t). C  là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet  a ,b (t).

C  là hữu hạn chỉ khi hàm (0) = 0 hay điều kiện tương đương : + (1.5)  (t)dt = 0 − Để đảm bảo tính chất phân rã của các hàm Wavelet, các hàm được khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện: +¥ a (1.6) ò (1 + t y (t) )dt < + ¥ , a > 0 - ¥ Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT. Sự gián đoạn hoá CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ. Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist. Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu.

Do vậy, khi hệ số tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm, số lượng phép tính giảm. Tính chất của CWT Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện chấp nhận (admisibility condition) và các điều kiện chính tắc (regularity condition) và các đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng con). Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm  (t) thoả mãn điều kiện admissibility:  () 2 (1.7)   d  + có thể được sử dụng để phân tích ban đầu và sau đó khôi phục lại tín hiệu mà không tổn hao thông tin. Trong biểu thức (1.

Điều kiện admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm (t) triệt tiêu ở f = 0.8) 2 =0 =0 9 luan an Điểm không ở tần số bằng 0 cũng có nghĩa rằng giá trị trung bình của Wavelet trong miền thời gian phải bằng 0:   ( t ) dt = 0 (1.9) và do vậy phải có dạng dao động. Nói cách khác, (t) phải là dạng sóng. Người ta sử dụng các điều kiện bổ sung (additional condition) của các hàm Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet suy giảm nhanh cùng với sự giảm tỷ lệ a. Đó là điều kiện chính tắc (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số.

Regularity là một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm momen triệt tiêu (vanishing moment). Nếu khai triển biến đổi Wavelet (1.1) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc n (dễ dàng rút b = 0), ta có: 1  n ( p) tp  t   (1.10) W(a,0) =  f ( 0 )     dt + O ( n + 1)  a  p =0 p!  a   Ở đây x p có nghĩa là đạo hàm bậc p của x(t) và O(n + 1) nghĩa là phần dư của biểu thức. Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng M p : M p =  t p  ( t ) dt (1.11) thì có thể viết lại (1.9) thành khai triển hữu hạn: 1  x1 ( 0 ) x 2 ( 0) x n (0)  W(a,0) =  ( ) 0 x 0 M a + M1a 2 + M 2 a 3 + .12) Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế phải là bằng 0. Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho tín hiệu trơn f ( t ).

Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ. Nếu Wavelet có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N. Trên thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng. 10 luan an Tính tuyến tính Tính chất tuyến tính của biến đổi Wavelet có tính chất tuyến tính của tích vô hướng.14) Như vậy việc dịch tín hiệu ban đầu trong miền thời gian sẽ tương ứng với dịch trong biến đổi Wavelet liên tục.

Tính tỷ lệ (scaling) ( W x ) (a, b) = ( W x ) (v a, vb), x ( t ) = v x ( vt )  v  −1 v (1.15) Tính chất tỷ lệ làm cho biến đổi wavelet thực sự phù hợp để phân tích các cấu trúc dạng bậc. Nó như là một kính hiển vi toán học với các đặc tính không phụ thuộc vào sự phóng đại. Tính bảo toàn năng lượng Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier. Định lý: Nếu hàm x(t)  L2 (R) và có biến đổi Wavelet liên tục là Wx ( a,b ) thì:    1 2 dadb (1.16)  x ( t ) dt =  − ( ) 2 Wx a, b − C − a2 Tính định vị (localization) Biến đổi Wavelet liên tục có tính định vị tốt, đặc biệt là với những thay đổi đột ngột trong miền thời gian ở tần số cao (hay tỷ lệ thấp), đây là một ưu điểm so với các phép biến đổi truyền thống.

Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) Vì những hàm Wavelet được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet rất dư thừa. Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu. Biến đổi DWT 11 luan an dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu. Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển.

Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding). Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA). Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b). Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số.

Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau. Cơ sở toán học Chúng ta có hàm rời rạc f ( n ) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc DWT đưa ra bởi: C ( a,b ) = C ( j,k ) =  f ( n ) j,k (n) nz (1.17) với  j,k là Wavelet rời rạc được định nghĩa:  n − 2 j k  − j/2  = 2  (2 n − k ) 1 −j  j,k (n) =  j (1.18) 2  2  j Các tham số a, b được xác định: a = 2j, b = 2j k.