MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI QUAN SÁT BIÊN

• Tác giả: Lê Thị Thu Giang
• Người hướng dẫn: Prof. Đinh Nho Hào
• Trường học: Institute of Mathematics, Vietnam Academy Of Science And Technology
• Chuyên ngành: Applied Mathematics
• Đề tài: Một Số Bài Toán Ngược Cho Phương Trình Elliptic Với Quan Sát Biên
• Loại tài liệu: Thesis
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: THE CAUCHY PROBLEM FOR ELLIPTIC EQUATIONS
• 1.1. Problem settings and the non-local boundary problem regularization method
• 1.2. The very weak solution to the Cauchy problem for elliptic equations
• 1.3. The well-posedness of the non-local boundary value problem for elliptic equations
• 1.4. Finite difference scheme for the non-local boundary value problem
• 1.4.1. The three-dimensional problem
• 1.4.2. The two-dimensional problem
• 2. CHƯƠNG 2: THE SOURCE TERM DETERMINATION IN THE ROBIN BOUNDARY PROBLEM FOR ELLIPTIC EQUATIONS
• 2.1. The inverse source problem and its abstract setting
• 2.1.1. The inverse problem as an operator equation
• 2.1.2. Example on the instability
• 2.1.3. The non-uniqueness of the solution
• 2.1.4. Discretization of linear ill-posed problems
• 2.1.5. The Tikhonov regularization parameter selection rule
• 2.2. The inverse source problem and its finite element approximation
• 2.2.1. The inverse problem
• 2.2.2. Conjugate Gradient Method
• 2.2.3. Finite element method for the direct problem
• 2.2.4. Regularized discretized variational problem
• 3. CHƯƠNG 3: DETERMINING A SOURCE TERM IN AN ELLIPTIC EQUATION IN A CYLINDER FROM BOUNDARY OBSERVATIONS
• 3.1. A representation of the solution
• 3.2. Regularization by the truncated Fourier series
• 3.3. A special case of equations with constant coefficients in a parallelepiped
• 3.4. A representation to the solution
• 3.5. Regularization by the truncated Fourier series
• CONCLUSION
• BIBLIOGRAPHY

Tóm tắt

I. Bài Toán Ngược Elliptic Tổng Quan và Ứng Dụng Thực Tế

Bài toán ngược ngày càng quan trọng trong nhiều lĩnh vực như khoa học, công nghệ, y học, vật lý và địa vật lý. Trong vật lý toán, bài toán thuận thường mô hình hóa các trường vật lý, quá trình hoặc hiện tượng. Mục tiêu là tìm một hàm mô tả trường vật lý hoặc quá trình tại mọi điểm trong một miền cho trước. Bài toán thuận bao gồm các yếu tố: miền nghiên cứu, phương trình mô tả quá trình (bao gồm các tham số và quan hệ), điều kiện ban đầu (nếu quá trình không dừng) và điều kiện trên biên của miền. Nếu tất cả các đầu vào, tham số và mối quan hệ giữa chúng được biết đến, và chúng ta muốn biết quá trình diễn ra như thế nào, thì đó là bài toán thuận. Tuy nhiên, việc giải quyết những bài toán này gặp nhiều khó khăn do tính ill-posedness của chúng.

1.1. Khái niệm cơ bản về bài toán thuận và bài toán ngược

Bài toán thuận được đặc trưng bởi việc xác định trạng thái hoặc đầu ra của một hệ thống khi các thông số và điều kiện ban đầu được biết. Ngược lại, bài toán ngược tìm cách xác định các thông số hoặc điều kiện ban đầu từ các quan sát hoặc đo lường trạng thái hệ thống. Như vậy, bài toán ngược thường phức tạp hơn và đòi hỏi các kỹ thuật giải quyết đặc biệt để đảm bảo tính duy nhất và ổn định của nghiệm. Cần hiểu rõ sự khác biệt này để áp dụng phương pháp giải phù hợp cho từng loại bài toán.

1.2. Ví dụ về ứng dụng bài toán ngược trong thực tế

Các ứng dụng của bài toán ngược rất đa dạng, từ xác định các thuộc tính của vật liệu từ các phép đo đến hình ảnh y tế và thăm dò địa chất. Ví dụ, trong y học, chụp ảnh cộng hưởng từ (MRI) sử dụng bài toán ngược để tái tạo hình ảnh bên trong cơ thể từ các tín hiệu từ trường. Trong thăm dò địa chất, bài toán ngược được sử dụng để xác định cấu trúc dưới lòng đất từ dữ liệu địa chấn. Các ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải bài toán ngược hiệu quả.

II. Thách Thức và Tính Ill Posedness của Bài Toán Ngược Elliptic

Hadamard đã đưa ra khái niệm về bài toán đặt tốt, bao gồm ba điều kiện: tồn tại nghiệm, nghiệm duy nhất và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện này bị vi phạm, bài toán được gọi là ill-posed. Trong bài toán Cauchy cho phương trình Laplace, Hadamard chứng minh rằng không phải lúc nào cũng tồn tại nghiệm, và nếu có, nghiệm có thể không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Ông kết luận rằng bài toán ill-posed không có ý nghĩa vật lý. Tuy nhiên, nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ và thực tiễn dẫn đến bài toán ill-posed, ví dụ như bài toán ngược cho phương trình Elliptic equation.

2.1. Điều kiện Hadamard và tính ill posed trong bài toán ngược

Tính ill-posed trong bài toán ngược xuất phát từ việc dữ liệu đo lường thường bị nhiễu và không đầy đủ. Điều này có thể dẫn đến nhiều nghiệm khác nhau, hoặc nghiệm không ổn định và nhạy cảm với nhiễu. Việc giải quyết bài toán ngược ill-posed đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt để ổn định nghiệm và đảm bảo tính chính xác của kết quả. Do đó, việc hiểu rõ các điều kiện Hadamard và các yếu tố gây ra tính ill-posed là rất quan trọng.

2.2. Ảnh hưởng của nhiễu và sai số đến nghiệm của bài toán

Nhiễu và sai số trong dữ liệu đo lường có thể gây ra những thay đổi lớn trong nghiệm của bài toán ngược, đặc biệt là đối với các bài toán ill-posed. Thậm chí một lượng nhiễu nhỏ cũng có thể dẫn đến nghiệm không chính xác hoặc không có ý nghĩa vật lý. Do đó, việc xử lý nhiễu và giảm thiểu sai số là một phần quan trọng của quá trình giải bài toán ngược. Các phương pháp như Regularization (điều chuẩn) và lọc nhiễu thường được sử dụng để cải thiện độ chính xác và độ ổn định của nghiệm.

2.3. Các ví dụ minh họa về tính ill posed của bài toán ngược Elliptic

Một ví dụ điển hình về tính ill-posed là bài toán xác định hệ số dẫn nhiệt trong một vật thể từ các phép đo nhiệt độ trên bề mặt. Do tính chất suy giảm của phương trình nhiệt, các phép đo trên bề mặt có thể không đủ để xác định chính xác hệ số dẫn nhiệt bên trong vật thể. Một ví dụ khác là bài toán hình ảnh hóa một vật thể từ các phép đo tán xạ sóng. Do nhiễu xạ và giao thoa, các phép đo tán xạ sóng có thể không đủ để tái tạo lại hình dạng và kích thước của vật thể một cách chính xác.

III. Phương Pháp Điều Chuẩn Tikhonov Giải Bài Toán Ngược Elliptic

Để giải quyết vấn đề ill-posed, các phương pháp điều chuẩn đóng vai trò then chốt. Lavrent'ev và Tikhonov đã đề xuất các phương pháp điều chuẩn phổ biến. Thay vì tìm nghiệm trực tiếp f ϵ = A⁻¹g ϵ, Lavrent'ev xấp xỉ nó bằng (A + αI)⁻¹g ϵ với α = α(ϵ) > 0 là tham số điều chuẩn. Tikhonov đề xuất phương pháp tối thiểu hóa hàm mục tiêu: ∥Af - g ϵ∥²Y + αl(f), với l(f) ≥ 0 là hàm điều chuẩn bị chặn. Bài toán tối ưu này được chứng minh là đặt tốt, và nghiệm f ϵ hội tụ về nghiệm chính xác f khi ϵ → 0 nếu chọn α phù hợp. Các ước tính ổn định có thể được sử dụng để thu được tốc độ hội tụ. Phương pháp Tikhonov là một trong những phương pháp Regularization (điều chuẩn) quan trọng nhất để giải quyết bài toán ngược ill-posed.

3.1. Nguyên lý cơ bản của phương pháp điều chuẩn Tikhonov

Phương pháp điều chuẩn Tikhonov dựa trên việc thêm một hàm phạt vào bài toán gốc để ổn định nghiệm và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu. Hàm phạt này thường là một chuẩn của nghiệm, ví dụ như chuẩn L2 hoặc chuẩn Sobolev. Việc lựa chọn tham số điều chuẩn α là rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác và độ ổn định của nghiệm. Tham số α quá lớn có thể dẫn đến nghiệm bị làm trơn quá mức, trong khi tham số α quá nhỏ có thể không đủ để ổn định nghiệm.

3.2. Lựa chọn tham số điều chuẩn trong phương pháp Tikhonov

Việc lựa chọn tham số điều chuẩn α là một vấn đề quan trọng trong phương pháp Tikhonov. Có nhiều phương pháp khác nhau để lựa chọn tham số α, bao gồm phương pháp L-curve, phương pháp discrepancy principle và phương pháp cross-validation. Phương pháp L-curve dựa trên việc vẽ đồ thị của chuẩn của nghiệm so với chuẩn của phần dư, và chọn điểm trên đồ thị có độ cong lớn nhất. Phương pháp discrepancy principle dựa trên việc chọn α sao cho chuẩn của phần dư bằng với ước lượng của nhiễu. Phương pháp cross-validation dựa trên việc chia dữ liệu thành các tập con, và sử dụng một tập con để ước lượng tham số α, và các tập con còn lại để đánh giá hiệu suất của nghiệm.

3.3. Ưu điểm và hạn chế của phương pháp điều chuẩn Tikhonov

Phương pháp điều chuẩn Tikhonov có nhiều ưu điểm, bao gồm tính đơn giản, dễ triển khai và khả năng ổn định nghiệm hiệu quả. Tuy nhiên, phương pháp này cũng có một số hạn chế, bao gồm sự phụ thuộc vào việc lựa chọn tham số điều chuẩn và khả năng làm trơn nghiệm quá mức. Ngoài ra, phương pháp Tikhonov có thể không hiệu quả đối với các bài toán có độ ill-posed cao hoặc có cấu trúc nghiệm phức tạp.

IV. Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Cho Bài Toán Định Danh Nguồn Elliptic

Chương 2 nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình elliptic với quan sát trên biên. Bài toán được viết dưới dạng phương trình toán tử và được điều chuẩn bằng phương pháp điều chuẩn Tikhonov. Để rời rạc hóa bài toán, ý tưởng rời rạc biến phân của Hinze được sử dụng, và một quy tắc chọn tham số điều chuẩn phụ thuộc vào mức độ nhiễu trong dữ liệu quan sát và bước lưới được đề xuất để đạt được tốc độ hội tụ tối ưu. Kết quả này được áp dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn để giải số bài toán xác định nguồn. Các ví dụ số được trình bày để thể hiện tính hiệu quả của phương pháp. Đây là phương pháp mạnh mẽ để giải quyết bài toán nguồn.

4.1. Xây dựng phương trình toán tử cho bài toán định danh nguồn

Việc xây dựng phương trình toán tử là bước quan trọng để áp dụng các phương pháp điều chuẩn. Phương trình toán tử liên kết nguồn cần xác định với các quan sát trên biên. Tính chất của toán tử này, chẳng hạn như tính compact và liên tục, ảnh hưởng đến lựa chọn phương pháp điều chuẩn và tốc độ hội tụ của nghiệm.

4.2. Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một kỹ thuật rời rạc hóa phổ biến được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân. Trong bài toán định danh nguồn, phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của phương trình elliptic và để rời rạc hóa phương trình toán tử. Việc lựa chọn kích thước phần tử và bậc của hàm xấp xỉ ảnh hưởng đến độ chính xác và hiệu quả tính toán của phương pháp.

4.3. Đánh giá hiệu quả của phương pháp qua các ví dụ số

Các ví dụ số là một phần quan trọng của quá trình nghiên cứu, giúp đánh giá tính hiệu quả và độ chính xác của phương pháp đề xuất. Các ví dụ số nên được lựa chọn sao cho đại diện cho các tình huống thực tế và có độ phức tạp khác nhau. Kết quả của các ví dụ số có thể được sử dụng để tinh chỉnh phương pháp và để so sánh với các phương pháp khác.

V. Giải Pháp Số Cho Bài Toán Ngược Elliptic Trong Hình Trụ

Chương 3 xét bài toán xác định vế phải của phương trình elliptic với hệ số hằng và hệ số biến thiên trong hình trụ từ quan sát trên biên. Dựa vào cấu trúc đặc biệt của phương trình và miền hình trụ, lời giải có thể biểu diễn qua chuỗi Fourier. Do bài toán đặt không chỉnh, nó được hiệu chỉnh bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier. Một phương pháp chọn số các hệ số Fourier để phương pháp hội tụ và chỉ ra tốc độ hội tụ được đưa ra. Các ví dụ số được trình bày để thể hiện tính hiệu quả của phương pháp. Việc sử dụng chuỗi Fourier mang lại một cách tiếp cận hiệu quả cho các miền hình trụ.

5.1. Biểu diễn nghiệm bằng chuỗi Fourier trong miền hình trụ

Việc sử dụng chuỗi Fourier là một cách tiếp cận hiệu quả để giải bài toán ngược elliptic trong miền hình trụ. Chuỗi Fourier cho phép phân tích nghiệm thành các thành phần tần số khác nhau, giúp đơn giản hóa bài toán và tăng tốc độ tính toán. Việc lựa chọn số lượng các thành phần Fourier cần giữ lại là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến độ chính xác của nghiệm.

5.2. Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để điều chuẩn nghiệm

Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier là một kỹ thuật điều chuẩn đơn giản và hiệu quả, dựa trên việc loại bỏ các thành phần tần số cao trong chuỗi Fourier. Các thành phần tần số cao thường bị ảnh hưởng nhiều nhất bởi nhiễu và có thể gây ra sự không ổn định trong nghiệm. Việc lựa chọn số lượng các thành phần Fourier cần giữ lại là một bài toán tối ưu, cần cân bằng giữa độ chính xác và độ ổn định của nghiệm.

5.3. Đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp thông qua ví dụ số

Các ví dụ số là một công cụ quan trọng để đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier. Tốc độ hội tụ cho biết nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm chính xác nhanh như thế nào khi số lượng các thành phần Fourier được giữ lại tăng lên. Việc đánh giá tốc độ hội tụ giúp xác định các tham số tối ưu cho phương pháp và đảm bảo rằng nghiệm đạt được độ chính xác mong muốn.

VI. Nghiên Cứu Mới Về Nghiệm Yếu Cho Bài Toán Cauchy Elliptic

Chương 1 của luận án tập trung vào bài toán Cauchy cho phương trình elliptic. Một khái niệm mới về nghiệm rất yếu cho bài toán Cauchy và bài toán biên không địa phương được giới thiệu. Bài toán biên không địa phương được rời rạc hóa bằng phương pháp sai phân hữu hạn, và sự ổn định và hội tụ của phương pháp được chứng minh. Các ví dụ số được trình bày để thể hiện tính hiệu quả của phương pháp. Việc đưa ra khái niệm nghiệm yếu mở ra hướng tiếp cận mới cho bài toán Cauchy.

6.1. Khái niệm nghiệm rất yếu cho bài toán Cauchy

Khái niệm nghiệm rất yếu cho bài toán Cauchy mở rộng phạm vi của các nghiệm có thể chấp nhận được, cho phép giải quyết các bài toán mà nghiệm cổ điển không tồn tại. Nghiệm rất yếu được định nghĩa thông qua một công thức tích phân, cho phép sử dụng các hàm thử không trơn. Việc sử dụng nghiệm rất yếu đòi hỏi các kỹ thuật phân tích đặc biệt, nhưng có thể mang lại kết quả tốt hơn trong một số trường hợp.

6.2. Ổn định hóa bài toán Cauchy bằng bài toán biên không địa phương

Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic thường ill-posed, do đó việc ổn định hóa là cần thiết để thu được nghiệm có ý nghĩa. Bài toán biên không địa phương là một kỹ thuật ổn định hóa, dựa trên việc thay thế điều kiện Cauchy bằng một điều kiện biên tích phân. Bài toán biên không địa phương thường well-posed hơn bài toán Cauchy, và có thể được giải bằng các phương pháp số thông thường.

6.3. Phương pháp sai phân hữu hạn giải bài toán biên không địa phương

Phương pháp sai phân hữu hạn là một kỹ thuật rời rạc hóa đơn giản và dễ triển khai, được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân. Trong bài toán biên không địa phương, phương pháp sai phân hữu hạn được sử dụng để rời rạc hóa phương trình elliptic và điều kiện biên. Việc lựa chọn kích thước lưới và bậc của phương pháp sai phân ảnh hưởng đến độ chính xác và hiệu quả tính toán của phương pháp.