I. Bài toán mômen tổng quát và một số kết quả về bài toán mômen đầy đủ một chiều trên khoảng
Chương này trình bày bài toán mômen tổng quát, Định lý Haviland, và các kết quả cơ bản về bài toán mômen đầy đủ một chiều trên khoảng. Bài toán mômen là vấn đề toán học cổ điển, liên quan đến việc tìm độ đo biểu diễn từ dãy mômen cho trước. Định lý Haviland cho thấy mối liên hệ giữa tính giải được của bài toán mômen và tính biểu diễn không âm của các đa thức trên tập đóng K. Các kết quả này làm cơ sở cho việc nghiên cứu bài toán mômen chặt cụt một chiều.
1.1 Bài toán mômen
Bài toán mômen được phát biểu như sau: Cho dãy số thực s = (sn)n∈N0, liệu có tồn tại độ đo dương Radon µ trên R sao cho sn = ∫x^n dµ(x) với mọi n? Bài toán này liên quan đến việc tìm độ đo biểu diễn từ dãy mômen cho trước. Phiếm hàm Riesz Ls được định nghĩa bởi Ls(x^n) = sn, và bài toán mômen tương đương với việc tìm biểu diễn tích phân cho Ls.
1.2 Không gian thích ứng
Không gian E được gọi là thích ứng nếu thỏa mãn các điều kiện: (i) Mỗi hàm trong E biểu diễn được dưới dạng hiệu của hai hàm không âm, (ii) E chứa các hàm làm trội. Định lý Choquet khẳng định rằng bài toán K−mômen giải được trên các không gian thích ứng. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc xác định không gian thích ứng trong nghiên cứu bài toán mômen.
1.3 Biểu diễn tổng bình phương của các đa thức dương
Các đa thức dương trên R có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của các đa thức khác. Đồng nhất thức hai bình phương cho thấy tích của hai tổng bình phương cũng là tổng bình phương. Kết quả này được áp dụng để chứng minh các đa thức dương trên khoảng [0, +∞) có thể biểu diễn dưới dạng f^2 + xg^2, với f, g là các đa thức.
1.4 Bài toán mômen đầy đủ trên khoảng
Bài toán mômen đầy đủ trên khoảng đóng J được nghiên cứu thông qua Định lý Haviland và tính chất của tập hợp Pos(J). Dãy mômen Hamburger được đặc trưng bởi tính nửa xác định dương của các ma trận Hankel. Tương tự, bài toán mômen Stieltjes và bài toán mômen Hausdorff cũng được giải quyết thông qua các tiêu chuẩn tương tự.
II. Bài toán mômen chặt cụt Hamburger và Stieltjes
Chương này tập trung vào bài toán mômen chặt cụt Hamburger và bài toán mômen chặt cụt Stieltjes. Bài toán mômen chặt cụt liên quan đến việc tìm độ đo biểu diễn từ dãy mômen bị chặt cụt (s0, s1, ..., sm). Các kết quả trong chương này được trình bày lại từ tài liệu tham khảo, với trọng tâm là các điều kiện để bài toán có nghiệm.
2.1 Bài toán moment chặt cụt Hamburger đối với 2n dãy xác định dương
Bài toán mômen chặt cụt Hamburger được phát biểu như sau: Cho dãy s = (sj)mj=0, liệu có tồn tại độ đo Radon µ trên R sao cho sj = ∫x^j dµ(x) với mọi j = 1, ..., m? Bài toán này được giải quyết thông qua tính nửa xác định dương của các ma trận Hankel. Kết quả cho thấy, nếu dãy s là nửa xác định dương, thì tồn tại độ đo biểu diễn µ.
2.2 Bài toán moment chặt cụt Hamburger và Stieltjes đối với 2n dãy nửa xác định dương
Tương tự, bài toán mômen chặt cụt Stieltjes được nghiên cứu trên khoảng [0, +∞). Điều kiện để bài toán có nghiệm là các ma trận Hankel Hn(s) và Hn(Es) đều nửa xác định dương. Kết quả này mở rộng từ bài toán Hamburger và có ứng dụng trong việc nghiên cứu các dãy mômen trên khoảng không âm.
III. Bài toán mômen chặt cụt một chiều trên khoảng bị chặn
Chương này nghiên cứu bài toán mômen chặt cụt một chiều trên khoảng bị chặn [a, b]. Trọng tâm là việc xác định điều kiện tồn tại nghiệm và các tính chất của nón mômen Sm+1. Kết quả cho thấy, bài toán mômen chặt cụt trên khoảng bị chặn có thể được giải quyết thông qua các phương pháp tương tự như bài toán trên toàn bộ đường thẳng thực.
3.1 Sự tồn tại nghiệm
Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán mômen chặt cụt một chiều trên khoảng bị chặn [a, b] được nghiên cứu thông qua tính nửa xác định dương của các ma trận Hankel. Kết quả cho thấy, nếu dãy mômen s thỏa mãn các điều kiện nhất định, thì tồn tại độ đo biểu diễn µ trên [a, b].
3.2 Nón mômen Sm 1 và các điểm biên và điểm trong của nó
Nón mômen Sm+1 là tập hợp các dãy mômen chặt cụt có thể biểu diễn được bằng độ đo trên [a, b]. Các điểm biên và điểm trong của nón này được nghiên cứu để hiểu rõ hơn về cấu trúc của bài toán mômen chặt cụt. Kết quả này có ứng dụng trong việc tối ưu hóa các phương pháp giải bài toán mômen.
