Chương I CHUYỀN ĐỘNG CỦA ĐIỂM - §1-1. CO SO LY THUYET Để giải bài toán về chuyển động của điểm, ta thường dùng hai phương pháp : Phương pháp tọa độ Đề các và phương pháp tọa độ tự nhiên. 1) Phương pháp tọa độ Đề các: 1. Phương trình chuyển động : biểu diễn sự liên hệ giữa tọa độ của điểm theo thời gian (hình 1-1) Xwu=xŒ); ym=yt); Zm=zZ (1-1) Thí du : x = 10cost; y =10sin et; z = Bt? Nếu khử thời gian t ở phương trình chuyển động và tim được quan hệ các tọa độ, ta nhận được phương trình quỹ đạo của điểm.
a Si ee | 2 ay dar pe es xe “ hư 2. Vận tốc : Vectơ vận tốc ÿỞ của điểm : veer VỚI F=xi+yjt+zk Suy ra hình chiếu của ÿ trên các trục tọa dO: vy =%; Vy =¥; vz, =7 4 es. az aaeys Rae? Vat trae «ne Trị số V= Vx2 + Vy2 + Vz2 q-2) Các cosin chi phương : V Vv V COsœŒ =—Š;» cosB=—“—; cosy =—% V V V ow oe g pe 3. Gia téc : Vectơ gia tốc a cua diém: 4 = —— = —— 2 aH đểể dt dt Hinh chiéu cua 4 trén cdc tructoadé: a, =%; ay =¥; a, =% d2x „ _ dẦy a dÊz Trị số a= jaz+ae +a? (1-3) Các cosin chỉ phương : a a a cosœ =—Š; cosB=—~; cosy =—% a a a 4.
Tính chất chuyển động. Xét tích vô hướng ¥.ä = XX + VV + 22 (1-4) Nếu ÿ.ãä >0 : chuyển động nhanh dần.ä < 0 : chuyển động chậm dần.ä = 0,Vt : chuyển động đều. 2) Phương pháp tọa độ tự nhiên Khi biết quỹ đạo, chọn gốc Mụ và chiều dương. Vị trí của điểm M được xác định bởi tọa độ cong của điểm trên quỹ đạo 8 = MM (hinh 1-2).
Phương trình chuyển động theo quỹ đạo Biểu diễn sự liên hệ giữa tọa độ cong theo thời gian : S=S(@ _ (1-5) Thí dụ : S=8t?~ 15t + 5. Vận tốc : Vectơ vận tốc ÿ có phương tiếp tuyến với quỹ đạo, chiều phụ thuộc Š: v=Si (1-6) 4 - ` ; Hinh 1-2 5 >0: ÿ hướng theo chiều dương của quỹ đạo. Š <0: ÿ hướng theo chiều âm của quỹ đạo. Trị số v = IS], 6 day Š = = ; 4 và ñ là các vectơ đơn vị của tiếp tuyến và pháp tuyến tại M (hình 1-3).
Gia tốc : Vectơ gia tốc ä có hai thành phần : gia tốc tiếp tuyến ã! và gia tốc pháp tuyến ä* (không có thành phần trên trục b) ; Hình 1-3 ä =ã'+ ấn. v2 , v2 ea" = ¬ - hướng vào tâm cong của quỹ đạo và có trị số a” = s (1-7) p- bán kính cong của quỹ đạo tại M. ° e ä! =Šï - tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, (1-8) cùng chiều hoặc ngược chiều với f phụ thuộc vào Š >0 hoặc <0 và có trị số at = |Š|, ở 2 day S = có dt a= Ka)? +(aty? 4. Tính chất chuyển động.
Xét tích vô hướng ÿ.ä! > 0 : chuyển động nhanh dần.ã! < 0 : chuyển động chậm dần. Các chuyển động đặc biệt a) Chuyển động đều v = const Suy ra a'=0; S=v.t (chú ý : a” z0) (1-10) b) Chuyển động biến đổi đều: a` = const = y Khi chọn gốc quỹ đạo ở vị trí đầu, chiều dương của quỹ đạo theo chiều chuyển động của điểm thì : V=votyt; S=vott srt? ; v2 =v2+27S (1-11) dấu (+) ứng với chuyển động nhanh dần đều, dấu (—) ứng với chuyển động chậm dần đều. HƯỚNG DẪN ÁP DỤNG 1) Các loại bài toán I. Tìm phương trình chuyển động, tìm các đặc trưng của chuyển động như : quỹ đạo, vận, tốc, gia tốc và tính chất của chuyển động.
Bài toán tổng hợp, dùng cả hai phương pháp (tọa độ Đề các và tọa độ tự nhiên) trong một bài toán. 2) Phương pháp giải bài toán 1. Chọn phương pháp: Tùy theo đầu bài mà chọn phương pháp tọa độ Đề các hay tọa độ tự nhiên. Phương pháp tọa độ tự nhiên được dùng khi đã biết quỹ đạo của điểm.
Tìm phương trình chuyển động * Xét điểm ở vị trí bất kỳ. Tìm quan hệ giữa các đại lượng định vị theo thời gian t. * Nếu biết gia tốc thì dùng phép tích phân, nhận được vận tốc, tích phân lần: nữa ta nhận được phương trình chuyển động. * Nếu biết chuyển động của điểm là đều hay biến đổi đều ta viết phương trình chuyển động dạng (1-10) hoặc (1-11).
Tìm quỹ đạo : Khử thời gian t khỏi phương trình chuyển động (1-1) và tìm quan hệ giữa các tọa độ. Tìm vận tốc và gia tốc Áp dụng (1-2) và (1-3) khi dùng tọa độ Đề các. Ap dung (1-6), (1-7) và (1-8) khi dùng phương pháp tọa độ tự nhiên. Tìm bán kính cong quỹ đạo Áp dụng (1-7).
Nếu bài toán cho ở dạng tọa độ Đề các, thì cần phải chuyển sang tọa độ tự nhiên bằng cách đặt : v=vx42+ÿ2+¿2 =Š; at =|§ 2 a=Alš2+ÿ? +2? ; a® = Ja" -(at)? ; p=— (1-12) §1-3. NHỮNG BÀI GIẢI MẪU: 1) Tìm phương trình chuyển động và các đặc trưng của chuyển động Thí dụ 1—1 : (Phương pháp tọa độ Đề các, bài toán thuận). Cơ cấu tay quay — con trugt OAB cé OA = AB = 3b. Tay quay OA quay quanh O theo quy luật = kt làm cho con trượt B chuyển động theo rãnh ngang.
Tìm phương trình chuyển động, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm B và điểm M (MB = b). Xét sự nhanh chậm của điểm B và M khi 0 < ọ <2. Bài giỏi Xét điểm B. Phương trình chuyển động.
Tìm xp(t) : xp = 6b coso = 6b coskt Quỹ đạo điểm B là đoạn thẳng dọc trục x. Vận tốc: vp = &pg = -6bk. Vectơ ởpg hướng về O (chi 0 < ọ = kt < 1/2) 3. Gia tốc ap = #p = —6bkÊ.
Vectơ ấp hướng về O 4. Xét nhanh chậm : Ÿ#p.cos kt > 0, do đó B chuyển động sang trái nhanh dần. Phương trình chuyển động : Tìm xm(t) va y(t) Xm = 5b coso = 5b coskt ; YM = b sing = b sinkt Quỹ đạo điểm M. Rút coskt và sinkt từ phương trình chuyển động, bình phương hai vế rồi cộng lại ta được :.
xi + YM =1 (5b)? b2 Quỹ đạo điểm M là đường elip tâm O với các bán trục là 5b và b. Vận tốc 9M: VMx = ÄM = -ðbk.sinkt; vMy = ŸM = bk.coskt VM = \|VÑw + VMy = bkV2ðsin” kt + cos? kt Vectơ Vụ. tiếp tuyến với quỹ đạo elip. Gia téc ay: ¬ 2 4, — — 18h _ 42 aMx = ¥m =—5bk" coskt = -k"xy; amy = ¥m = -bkÝ sin kt = -k”“YM am = art + aMy = bk? V25 cos” kt + sin? kt ầ.
có các thành phần hình chiếu tỷ lệ và ngược dấu với tọa độ, do đó ä„ hướng về O. Xét nhanh chậm : Vy.4y > O (vi géc 9 < 7/2) do dé điểm M chuyển động nhanh dần. Có thể thấy : ỞMw.äM = VMx-8Mx + VMy-3My > 0. Thí dụ 1-2 : (Phương pháp tọa độ Đề các, bài toán ngược) Cơ cấu giảm chấn thủy lực gồm pittông (có các lỗ) chuyển động trong xylanh chứa dầu.
Pittông có vận tốc đầu vụ, gia tốc a, = -kv ; k - hệ số tỷ lệ, v - vận tốc pittông. Vẽ đường biểu diễn quan hệ trên. Xác định vận tốc của pittông dv dv dv 5 = ab hay “kv = 4, > 7) = kat a dt Y dy t “ > = -k [dt => In =-kt >v= v,e Xt V y 0 Yo 2. Xác định phương trình chuyển động _ dx .« a-kt _ đX Yat? PAY! Vor = at * Jax _= vo Je A kt dtx=-- = —Yog yi -kt kt _ (6 =1) Hinh 1-5 3.
Xác dinh quan hé v(x) 3h _dv_dxdv__s dv : —dv a Dat : a= 3b = Gedx dx’ hay: “kv = v7 = dv = -kdx V x f dv = -k fdx => v-v, = -kx > v = vọ - kx Yo ° 2) Bài toán tổng hợp Thi du 1-3 : (Dùng cả hai phương pháp : tọa độ Đề các và tọa độ tự nhiên) Điểm M chuyển động trên đường tròn, bán kính R = 8 m, tâm C có tọa độ (R,0). Vị trí của điểm M được xác định bằng góc giữa bán kính CM và trục x (hình 1-6) : ọ = ssinst 1. Lập phương trình chuyển động của điểm ở dạng tọa độ tự nhiên. Xác định vận tốc, gia tốc của điểm lúc hướng chuyển động thay đổi.
Lập phương trình chuyển động của điểm ở dạng tọa Hình 1-6 độ Đề các và viết phương trình quỹ đạo của điểm. Dùng phương pháp tọa độ tự nhiên - Phương trình chuyển động theo quỹ đạo : TL. T S= Rg = 85sing t= 4nsin >t (m) - Vận tốc: v=S=Rộ= Qn” coset (m/s) 2 4 - Gia tốc : + gia tốc pháp tuyến : a® = = = “cos” at (m/s?) + gia tốc tiếp tuyến : at =§=- 7° sinst (m/s”) Tìm thời điểm chuyển động đổi hướng : =0 khi t=0 ÿ.xẺ sing t =-n°sinnt 4<0 khi t<1 >0 khi t>1 Khit = 1 thi vecto V đổi hướng, lúc đó : 4 4 v=0; a" =; at =0; a =a" =~ (m/s?) 2. Dùng phương pháp tọa độ Đề các ~ Phương trình chuyển động Xm =R+Rcosọ =8+ 8cos( Zsin 5 t] ym = Rsing = Bsin 5 sin 5t] - Quỹ đạo : Rút cos § sin ®t) va sin É sin Zt} từ hai phương trình trên, bình phương hai vế rồi cộng lại, ta được phương trình quỹ đạo : — (xy -8)? | ym" + — =1 82 82 Đó chính là phương trình đường tròn có bán kính R = 8 và tâm C(8,0).
Tìm phương trình chuyển động theo quỹ đạo và bán kính cong quỹ đạo. Dùng phương pháp tọa độ Đề các - Vận tốc ÿ : Vự„=k=-aqsint; vy =y=aj,cost; v, =z=b, v= yx? +7742? = fat + b? = const - Gia tốc 4: a, =X =-a,cost; ay =Y=-a,sint; a, =z=0 a = /x” +97 49? = a, = const 2. Dùng phương pháp tọa độ tự nhiên - Phương trình chuyển động theo quỹ đạo : t t S = [vdt= [az + bể dt = ta? + bệ oO oO - Gia tốc + gia tốc tiếp tuyến a’ = + =0 + gia tốc pháp tuyến a® = Ja” -(a‘)? =a, = const - Bán kính cong quỹ đạo : p= ` = sbi = const §1-4. BÀI TẬP 1) Tìm phương trình chuyển động và các đặc trưng của chuyển động 1-1.
Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm nếu phương trình chuyển động của điểm được cho như sau (x, y, z tính bằng cm, t tính bằng giây) : _ 43 +2 a)x=t - 2n b) x=10cos-—t x T1 °X=r y=3-t? y=10sin "+ y=-4t-4 z=2t+2 11 1-9.