Nghiên cứu ảnh hưởng phổ đến tốc độ hội tụ của thuật toán LMS thích nghi trong luận án tiến sĩ

• Tác giả: Aaron E. Flores
• Người hướng dẫn: Bernard Widrow
• Trường học: Stanford University
• Chuyên ngành: Electrical Engineering
• Đề tài: Ảnh hưởng phổ đến tốc độ hội tụ của thuật toán LMS thích nghi
• Loại tài liệu: dissertation
• Năm xuất bản: 2005
• Địa điểm: Stanford

• Abstract
• Acknowledgements
• 1. CHƯƠNG 1: Introduction
• 1.1. Motivation
• 2. CHƯƠNG 2: Adaptive Algorithms
• 2.1. Introduction to Adaptive Algorithms
• 2.2. The steepest descent method
• 2.3. Derivation of the LMS algorithm
• 2.4. Convergence of the mean weight vector for LMS
• 2.5. The LMS/Newton Algorithm
• 2.6. Derivation of the LMS/Newton algorithm
• 2.7. Convergence of the mean weight vector for LMS/Newton
• 3. CHƯƠNG 3: Transient Analysis with Stationary Statistics
• 3.1. Mean Square Error (MSE) and Mean Square Deviation (MSD)
• 3.2. MSE and MSD analysis for LMS
• 3.3. Dynamics of the Weight-Error Power Vector
• 3.4. MSE and MSD analysis for LMS/Newton
• 3.5. Dynamics of the Weight Error Power Vector
• 3.6. Eigenvalue spread problem of LMS
• 3.7. Analysis with Random initial conditions
• 3.8. LMS Transient Efficiency
• 4. CHƯƠNG 4: LMS Transient Efficiency
• 4.1. Transient Energy with random Initial conditions
• 4.2. LMS Transient Efficiency
• 4.3. LMS MSE Transient Efficiency
• 4.4. LMS MSD Transient Efficiency
• 4.5. LMS Transient Efficiency in terms of Spectra
• 5. CHƯƠNG 5: Adaptive Transversal Filter and Spectral Analysis
• 5.1. Adaptive Transversal Filter
• 5.2. Continuous Fourier Spectra
• 5.3. LMS Transient Efficiency in terms of Spectra
• 5.4. The R-norm and R-!-norm in the Fourier domain
• 5.5. LMS MSE Transient Efficiency in terms of Fourier Spectra
• 5.6. LMS MSD Transient Efficiency in terms of Fourier Spectra
• 5.7. Applications
• 6. CHƯƠNG 6: Nonstationary Analysis
• 6.1. Nonstationarity model
• 6.2. MSE and MSD Analysis for LMS
• 6.2.1. Dynamics of the weight error power vector
• 6.2.2. MSE Steady state performance under Nonstationary conditions
• 6.2.3. MSD Steady state performance under Nonstationary conditions
• 6.3. MSE and MSD Analysis for LMS/Newton
• 6.3.1. Dynamics of the weight error power vector
• 6.3.2. MSE Steady state performance under Nonstationary conditions
• 6.3.3. MSD Steady state performance under Nonstationary conditions
• 6.4. LMS Nonstationary Efficiency
• 6.4.1. LMS MSE Nonstationary Efficiency
• 6.4.2. LMS MSD Nonstationary Efficiency
• 6.5. LMS Nonstationary Efficiency in terms of Spectra
• 6.5.1. Fourier Spectrum of the Wiener solution steps
• 6.5.2. LMS MSE Nonstationary Efficiency in terms of spectra
• 6.5.3. LMS MSD Nonstationary Efficiency in terms of spectra
• 7. CHƯƠNG 7: Conclusions and Future Work
• A Similarity between EW-RLS and LMS/Newton algorithms
• B Average Spectrum of Weight Deviation
• B.1. Average Spectrum of Weight Deviation Simulation 1
• B.2. Average Spectrum of Weight Deviation Simulation 4
• C Historical Notes on the Study of LMS
• Bibliography
• List of Tables
• List of Figures

I. Giới thiệu

Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc phân tích ảnh hưởng phổ tần số đến tốc độ hội tụ của thuật toán LMS thích nghi. Thuật toán LMS là một trong những thuật toán thích nghi phổ biến nhất trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số và học máy, được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng như hủy tiếng vọng, nhận dạng hệ thống, và điều khiển thích nghi. Tuy nhiên, hiệu suất của LMS phụ thuộc nhiều vào phổ tần số của tín hiệu đầu vào, đặc biệt khi ma trận tự tương quan có độ trải giá trị riêng cao. Luận án này so sánh hiệu suất của LMS với thuật toán LMS/Newton, một biến thể của LMS được thiết kế để giải quyết vấn đề độ trải giá trị riêng.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án là đánh giá tốc độ hội tụ của thuật toán LMS trong cả trường hợp tín hiệu dừng và không dừng. Đối với tín hiệu dừng, nghiên cứu tập trung vào giai đoạn chuyển tiếp khi vector trọng số thích nghi tiến dần về giải pháp Wiener. Đối với tín hiệu không dừng, nghiên cứu xem xét khả năng theo dõi của LMS khi giải pháp Wiener thay đổi theo thời gian. Các biểu thức đơn giản được đưa ra để so sánh hiệu suất của LMS với LMS/Newton dựa trên phổ tần số của tín hiệu đầu vào và giải pháp Wiener.

II. Phân tích giai đoạn chuyển tiếp với tín hiệu dừng

Trong trường hợp tín hiệu dừng, thuật toán LMS được phân tích dựa trên sai số bình phương trung bình (MSE) và độ lệch bình phương trung bình (MSD) của vector trọng số so với giải pháp Wiener. Giai đoạn chuyển tiếp được đánh giá bằng cách xem xét tốc độ hội tụ của LMS từ các điều kiện ban đầu ngẫu nhiên. Kết quả cho thấy, khi phổ tần số của tín hiệu đầu vào tương đồng với phổ giải pháp Wiener, LMS hội tụ nhanh hơn LMS/Newton. Ngược lại, khi hai phổ này khác biệt, hiệu suất của LMS giảm đáng kể.

2.1. Phân tích MSE và MSD

Phân tích MSE và MSD cho thấy, thuật toán LMS có tốc độ hội tụ phụ thuộc vào phổ tần số của tín hiệu đầu vào. Khi phổ tần số của tín hiệu đầu vào tương đồng với phổ giải pháp Wiener, LMS đạt được hiệu suất chuyển tiếp tốt hơn so với LMS/Newton. Điều này được minh họa qua các ví dụ trong nhận dạng hệ thống và cân bằng kênh.

III. Phân tích trường hợp tín hiệu không dừng

Trong trường hợp tín hiệu không dừng, giải pháp Wiener thay đổi theo thời gian, và thuật toán LMS phải theo dõi một mục tiêu di chuyển. Nghiên cứu sử dụng MSE và MSD ở trạng thái ổn định để đánh giá hiệu suất của LMS. Kết quả cho thấy, khi phổ tần số của tín hiệu đầu vào tương đồng với phổ thay đổi của giải pháp Wiener, LMS theo dõi tốt hơn LMS/Newton. Ngược lại, khi hai phổ này khác biệt, hiệu suất của LMS giảm đáng kể.

3.1. Hiệu suất theo dõi của LMS

Hiệu suất theo dõi của thuật toán LMS được đánh giá dựa trên phổ tần số của tín hiệu đầu vào và phổ thay đổi của giải pháp Wiener. Khi hai phổ này tương đồng, LMS đạt được hiệu suất theo dõi tốt hơn so với LMS/Newton. Điều này được minh họa qua các ví dụ trong nhận dạng hệ thống và cân bằng kênh.

IV. Ứng dụng thực tiễn

Kết quả nghiên cứu trong luận án cho phép dự đoán hiệu suất của thuật toán LMS trong các ứng dụng thực tế khi có kiến thức tiên nghiệm về phổ tần số của tín hiệu đầu vào và giải pháp Wiener. Các ví dụ trong nhận dạng hệ thống và cân bằng kênh minh họa rõ ràng giá trị thực tiễn của nghiên cứu này. Điều này giúp các kỹ sư và nhà nghiên cứu lựa chọn và tối ưu hóa thuật toán thích nghi phù hợp với từng ứng dụng cụ thể.

4.1. Nhận dạng hệ thống

Trong nhận dạng hệ thống, nghiên cứu cho thấy thuật toán LMS đạt hiệu suất tốt hơn khi phổ tần số của tín hiệu đầu vào tương đồng với phổ giải pháp Wiener. Điều này giúp cải thiện độ chính xác của mô hình hệ thống được xác định.

4.2. Cân bằng kênh

Trong cân bằng kênh, nghiên cứu chỉ ra rằng thuật toán LMS có thể theo dõi hiệu quả các thay đổi của kênh truyền khi phổ tần số của tín hiệu đầu vào tương đồng với phổ thay đổi của giải pháp Wiener. Điều này giúp cải thiện chất lượng tín hiệu nhận được.