[Luận văn] Ứng dụng đạo hàm giải toán sơ cấp THPT - Triệu Thị Luận

Tài liệu nghiên cứu 0211 ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán sơ cấp trong chương trình trung học phổ thông triệu thị, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên

• Trường học: Đại Học Quảng Nam
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: 0211 Ứng Dụng Đạo Hàm Giải Một Số Dạng Toán Sơ Cấp Trong Chương Trình Trung Học Phổ Thông Triệu Thị Luận Luận Văn ĐH Quảng Nam
• Loại tài liệu: luận văn
• Địa điểm: Quảng Nam

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số khái niệm cơ bản
• 1.1.1. Giới hạn của hàm số
• 1.1.1.1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
• 1.1.1.2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
• 1.1.1.3. Giới hạn một bên
• 1.1.2. Hàm số liên tục
• 1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
• 1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm
• 1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng
• 1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
• 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
• 1.2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
• 1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp
• 1.2.3. Đạo hàm của hàm số ngược
• 1.2.4. Bảng công thức đạo hàm
• 1.2.5. Đạo hàm cấp cao
• 1.3. Một số định lí liên quan
• 1.4. Tính đơn điệu của hàm số
• 1.5. Cực trị của hàm số
• 1.5.1. Khái niệm cực trị của hàm số
• 1.5.2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị
• 1.6. Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số
• 1.7. Sự tiếp xúc của hai đường cong
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP
• 2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• 2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
• 2.1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước
• 2.1.3. Một số bài tập tự luyện
• 2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số
• 2.2.1. Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số
• 2.2.2. Dạng 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số
• 2.2.3. Một số bài tập tự luyện
• 2.3. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
• 2.3.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
• 2.3.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát trực tiếp
• 2.3.3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp
• 2.3.4. Một số bài tập tự luyện
• 2.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm
• 2.5. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
• 2.5.1. Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
• 2.5.2. Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình
• 2.5.3. Một số bài tập tự luyện
• 2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình
• 2.6.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình
• 2.7. Sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle để giải các bài toán về phương trình
• 2.7.1. Dạng 1: Sử dụng định lí Rolle, định lí Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm
• 2.7.2. Dạng 2: Sử dụng định lí Rolle, định lí Lagrange để giải phương trình
• 2.7.3. Một số bài tập tự luyện
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan ứng dụng đạo hàm giải toán sơ cấp trong THPT

Khóa luận tốt nghiệp của sinh viên Triệu Thị Luận, trường Đại học Quảng Nam, mang đến một tài liệu hệ thống hóa các kiến thức về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các dạng toán sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông (THPT). Đạo hàm không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong giải tích mà còn là một công cụ toán học mạnh mẽ, được vận dụng xuyên suốt từ chương trình lớp 11 đến lớp 12. Việc nắm vững các ứng dụng của đạo hàm giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về bản chất của hàm số, từ đó phát triển tư duy giải toán một cách linh hoạt và hiệu quả, đặc biệt trong bối cảnh thi trắc nghiệm đòi hỏi tốc độ và sự chính xác. Tài liệu này tập trung vào việc nghiên cứu và phân tích các phương pháp cụ thể, giúp học sinh và giáo viên có một nguồn tham khảo quý giá để tối ưu hóa quá trình dạy và học. Nội dung chính của khóa luận xoay quanh việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu, tìm cực trị, xác định giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, viết phương trình tiếp tuyến và giải các phương trình, hệ phương trình phức tạp. Mỗi dạng toán đều được trình bày một cách logic, từ cơ sở lý thuyết đến các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp người đọc dễ dàng tiếp cận và áp dụng.

1.1. Khái niệm và ý nghĩa hình học của đạo hàm trong giải toán

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), được định nghĩa là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến về 0. Cụ thể, f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx. Về mặt hình học, đạo hàm tại một điểm mang một ý nghĩa vô cùng quan trọng: nó chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó. Ý nghĩa này mở ra một trong những ứng dụng của đạo hàm cơ bản nhất là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị. Nếu hàm số có đạo hàm tại x₀, phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x₀, f(x₀)) có dạng: y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀). Hiểu rõ bản chất này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tiếp xúc của đường cong và các vấn đề hình học khác trong chương trình THPT.

1.2. Vai trò của đạo hàm trong chương trình toán THPT hiện nay

Trong chương trình toán THPT, đặc biệt là với hình thức thi trắc nghiệm, đạo hàm đóng vai trò là một công cụ không thể thiếu. Nó là chìa khóa để giải quyết nhanh chóng và chính xác một loạt các dạng toán sơ cấp. Các ứng dụng của đạo hàm không chỉ dừng lại ở việc khảo sát hàm số (xét tính đơn điệu, tìm cực trị) mà còn mở rộng sang việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, một dạng toán thường xuất hiện trong các bài toán tối ưu hóa. Hơn nữa, đạo hàm còn được sử dụng để giải và biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình. Thay vì các phương pháp biến đổi đại số phức tạp, việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số thông qua đạo hàm thường cho lời giải ngắn gọn và trực quan hơn. Do đó, việc thành thạo các kỹ năng vận dụng đạo hàm giúp học sinh tiết kiệm thời gian và nâng cao hiệu quả làm bài thi.

II. Những khó khăn thường gặp khi ứng dụng đạo hàm giải toán

Mặc dù là một công cụ mạnh, việc ứng dụng đạo hàm vào giải toán không phải lúc nào cũng đơn giản đối với học sinh. Theo nhận định trong tài liệu, một trong những thách thức lớn nhất là việc nắm vững bản chất khái niệm và các định lý liên quan. Nhiều học sinh có thể thuộc công thức tính đạo hàm nhưng lại không hiểu sâu sắc ý nghĩa của nó, dẫn đến việc áp dụng máy móc và thiếu linh hoạt. Thêm vào đó, việc nhận diện đúng dạng toán để áp dụng phương pháp đạo hàm phù hợp cũng là một rào cản. Một bài toán có thể được giải quyết bằng nhiều cách, và việc lựa chọn sử dụng đạo hàm đòi hỏi sự nhạy bén và kinh nghiệm. Ví dụ, khi nào nên dùng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, khi nào nên lập bảng biến thiên để biện luận nghiệm là những câu hỏi mà học sinh thường lúng túng. Những khó khăn này đòi hỏi một quá trình rèn luyện bài bản và sự hướng dẫn tận tình từ giáo viên để học sinh có thể làm chủ công cụ này và biến nó thành lợi thế trong học tập và thi cử.

2.1. Vấn đề trong việc ghi nhớ các quy tắc và công thức tính đạo hàm

Một trong những trở ngại đầu tiên là khối lượng kiến thức lý thuyết. Học sinh phải ghi nhớ bảng công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản (lũy thừa, lượng giác, mũ, logarit) và các quy tắc tính đạo hàm cho tổng, hiệu, tích, thương và đặc biệt là đạo hàm của hàm số hợp. Sự nhầm lẫn giữa các công thức, ví dụ như (u/v)' và (uv)', hoặc quên đạo hàm của hàm hợp (u(v(x)))' = u'(v(x)).v'(x), là rất phổ biến. Việc không nắm chắc các công thức cơ bản này sẽ dẫn đến sai lầm ngay từ bước đầu tiên của quá trình giải toán, làm cho toàn bộ lời giải sau đó trở nên vô nghĩa. Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc luyện tập thường xuyên để các công thức và quy tắc trở thành phản xạ tự nhiên.

2.2. Lúng túng khi vận dụng đạo hàm vào các dạng toán thực tế

Vượt qua được rào cản lý thuyết, học sinh tiếp tục đối mặt với khó khăn trong việc vận dụng. Một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không phải lúc nào cũng cho sẵn một hàm số tường minh. Thông thường, học sinh phải tự xây dựng hàm số từ các dữ kiện của bài toán thực tế (ví dụ: tối ưu hóa diện tích, thể tích), sau đó mới có thể ứng dụng đạo hàm để khảo sát. Tương tự, việc nhận dạng một phương trình phức tạp có thể được giải quyết hiệu quả bằng phương pháp hàm số (sử dụng tính đơn điệu) đòi hỏi một khả năng phân tích và biến đổi bài toán. Sự thiếu liên kết giữa lý thuyết đạo hàm và các tình huống toán học cụ thể khiến nhiều học sinh cảm thấy bối rối và không biết bắt đầu từ đâu.

III. Phương pháp dùng đạo hàm khảo sát tính đơn điệu và cực trị

Khảo sát hàm số là một trong những ứng dụng của đạo hàm quan trọng và nền tảng nhất. Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một, ta có thể xác định chính xác các khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến, từ đó phác họa được hình dáng cơ bản của đồ thị. Đây được gọi là xét tính đơn điệu của hàm số. Cụ thể, định lý cơ bản nêu rằng: trên một khoảng K, nếu f'(x) > 0 thì hàm số đồng biến, nếu f'(x) < 0 thì hàm số nghịch biến. Từ việc xét tính đơn điệu, ta tiếp tục xác định được các điểm cực trị của hàm số. Điểm cực trị (bao gồm cực đại và cực tiểu) là những điểm mà tại đó hàm số đổi chiều biến thiên. Luận văn của Triệu Thị Luận đã trình bày chi tiết hai quy tắc chính để tìm cực trị: quy tắc sử dụng dấu của đạo hàm cấp một và quy tắc sử dụng đạo hàm cấp hai. Việc thành thạo các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán khảo sát hàm số trực tiếp mà còn là cơ sở để giải quyết các bài toán phức tạp hơn như biện luận số nghiệm của phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

3.1. Hướng dẫn xét tính đồng biến nghịch biến qua dấu đạo hàm

Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), phương pháp chung bao gồm các bước sau. Đầu tiên, tìm tập xác định của hàm số. Tiếp theo, tính đạo hàm y' và giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm tới hạn (nghiệm của phương trình hoặc các điểm làm y' không xác định). Bước quan trọng nhất là lập bảng xét dấu cho y'. Dựa vào dấu của y' trên từng khoảng, ta kết luận hàm số đồng biến (nếu y' > 0) hay nghịch biến (nếu y' < 0). Ví dụ, với hàm số y = x³ - 3x, ta có y' = 3x² - 3. Giải y' = 0 được x = 1 hoặc x = -1. Bảng xét dấu cho thấy y' > 0 trên (-∞, -1) và (1, +∞), nên hàm số đồng biến trên các khoảng này. y' < 0 trên (-1, 1), nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

3.2. Quy tắc tìm điểm cực đại cực tiểu bằng đạo hàm cấp 1 cấp 2

Để tìm cực trị của hàm số, có hai quy tắc phổ biến. Quy tắc 1 dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm cấp một f'(x) khi đi qua điểm tới hạn x₀. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, x₀ là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, x₀ là điểm cực tiểu. Quy tắc 2 sử dụng đạo hàm cấp hai. Giả sử f'(x₀) = 0. Ta tính f''(x₀). Nếu f''(x₀) < 0, hàm số đạt cực đại tại x₀. Nếu f''(x₀) > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x₀. Quy tắc 2 thường tỏ ra hiệu quả hơn đối với các hàm số lượng giác hoặc các hàm có đạo hàm cấp hai dễ tính, giúp tiết kiệm thời gian so với việc phải lập bảng biến thiên chi tiết.

IV. Bí quyết ứng dụng đạo hàm tìm GTLN GTNN và tiếp tuyến

Bên cạnh việc khảo sát hàm số, ứng dụng đạo hàm còn là công cụ hữu hiệu để giải quyết hai dạng toán quan trọng: tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) và viết phương trình tiếp tuyến. Tìm GTLN, GTNN của một hàm số thực chất là tìm điểm cao nhất và thấp nhất trên đồ thị của nó trong một miền xác định cho trước. Phương pháp chung là khảo sát sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm và bảng biến thiên. Đối với hàm số liên tục trên một đoạn [a, b], GTLN và GTNN chắc chắn tồn tại và chỉ có thể đạt được tại các điểm biên (a, b) hoặc tại các điểm cực trị nằm trong khoảng (a, b). Trong khi đó, bài toán viết phương trình tiếp tuyến lại dựa trực tiếp vào ý nghĩa hình học của đạo hàm. Luận văn đã phân loại chi tiết các dạng bài toán tiếp tuyến, từ viết phương trình tại một điểm thuộc đồ thị, cho đến viết phương trình khi biết hệ số góc hoặc đi qua một điểm cho trước bên ngoài đồ thị. Việc nắm vững các kỹ thuật này là cực kỳ cần thiết cho học sinh.

4.1. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên một đoạn hoặc khoảng

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], ta thực hiện các bước sau: (1) Tính đạo hàm f'(x). (2) Tìm tất cả các điểm xᵢ thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(xᵢ) = 0 hoặc f'(xᵢ) không xác định. (3) Tính các giá trị f(a), f(b) và f(xᵢ) tại các điểm tìm được ở bước 2. (4) So sánh các giá trị đã tính. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN, và số nhỏ nhất là GTNN trên đoạn [a; b]. Phương pháp này được gọi là phương pháp khảo sát trực tiếp, đảm bảo tìm ra kết quả chính xác mà không cần lập bảng biến thiên đầy đủ.

4.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua một điểm

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua một điểm A(x₀, y₀) cho trước là một dạng toán phổ biến. Phương pháp giải quyết là gọi M(x₁, f(x₁)) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng y = f'(x₁)(x - x₁) + f(x₁). Vì tiếp tuyến này đi qua điểm A(x₀, y₀), tọa độ của A phải thỏa mãn phương trình: y₀ = f'(x₁)(x₀ - x₁) + f(x₁). Đây là một phương trình với ẩn là x₁. Giải phương trình này để tìm hoành độ tiếp điểm x₁, từ đó suy ra hệ số góc f'(x₁) và viết được phương trình tiếp tuyến hoàn chỉnh. Số nghiệm x₁ của phương trình chính là số tiếp tuyến có thể kẻ từ A đến đồ thị (C).

V. Hướng dẫn ứng dụng đạo hàm để giải phương trình phức tạp

Một trong những ứng dụng của đạo hàm nâng cao và hiệu quả nhất là dùng để giải và biện luận số nghiệm của phương trình. Phương pháp này đặc biệt hữu ích khi đối mặt với các phương trình chứa nhiều loại hàm khác nhau (ví dụ: vừa có hàm đa thức, vừa có hàm logarit) mà các phép biến đổi đại số thông thường tỏ ra bất lực. Cốt lõi của phương pháp này dựa trên tính đơn điệu của hàm số. Bằng cách chuyển phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(x) = g(x) và khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) (hoặc f(x) - g(x)), ta có thể xác định được số lần đồ thị hàm số cắt một đường thẳng hoặc một đồ thị khác, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình. Tài liệu của Triệu Thị Luận nhấn mạnh, nếu một hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên một miền xác định, thì phương trình f(x) = k sẽ có không quá một nghiệm. Kỹ thuật này cho phép chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình một cách nhanh chóng và thuyết phục.

5.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất

Để giải một phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu, ta thường thực hiện các bước sau. Đầu tiên, biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0. Sau đó, xét hàm số y = f(x) và tính đạo hàm y'. Nếu chứng minh được y' > 0 (hoặc y' < 0) trên toàn bộ tập xác định D, ta kết luận hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Khi đó, phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Bước cuối cùng là tìm ra nghiệm duy nhất đó bằng cách thử (nhẩm) một giá trị đặc biệt. Phương pháp này rất mạnh trong việc giải các phương trình mà việc cô lập biến x là không thể.

5.2. Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào bảng biến thiên

Để biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số, ví dụ phương trình f(x) = m, ta sử dụng phương pháp đồ thị. Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m (song song với trục hoành). Thay vì vẽ đồ thị chi tiết, ta chỉ cần lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x). Bảng biến thiên cung cấp đầy đủ thông tin về các giá trị cực trị và giới hạn của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể dễ dàng xác định được với mỗi giá trị của m, đường thẳng y = m sẽ cắt đồ thị tại bao nhiêu điểm, từ đó kết luận chính xác số nghiệm của phương trình ban đầu.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong cấu trúc đề thi trắc nghiệm môn Toán với 50 câu hỏi phân hóa trong thời gian 90 phút, học sinh chỉ có trung bình 1,8 phút để xử lý mỗi câu hỏi. Thực tế này đòi hỏi người học không chỉ nắm vững bản chất toán học mà còn phải sở hữu tư duy giải quyết vấn đề nhanh chóng và tối ưu. Đạo hàm là một trong những công cụ giải tích mạnh mẽ nhất trong chương trình toán phổ thông, xuất hiện từ học kỳ 2 lớp 11 và giữ vai trò trung tâm xuyên suốt toàn bộ chương trình lớp 12, chiếm khoảng 30% đến 40% tổng số câu hỏi trong các kỳ thi chuẩn hóa.

Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của đề tài bắt nguồn từ thực trạng nhiều học sinh và giáo viên vẫn còn lúng túng trong việc kết nối giữa công cụ giải tích hiện đại với các bài toán sơ cấp phức tạp như phương trình vô tỷ, hệ phương trình, bất đẳng thức và hình học giải tích. Mục tiêu của công trình là hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý thuyết đạo hàm, từ đó xây dựng các thuật toán và quy trình giải chuẩn mực cho 6 nhóm bài toán sơ cấp cốt lõi trong chương trình trung học phổ thông.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào khối kiến thức toán học bậc trung học phổ thông tại Việt Nam, được đúc kết qua quá trình 4 năm nghiên cứu từ năm 2013 đến năm 2017. Ý nghĩa học thuật và thực tiễn của công trình thể hiện rõ qua việc thiết lập giải pháp giúp rút ngắn từ 40% đến 60% thời gian xử lý bài toán so với các biến đổi đại số truyền thống, đồng thời nâng cao tỷ lệ giải chính xác các câu hỏi vận dụng cao đạt ngưỡng điểm 8 trở lên.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu xây dựng trên nền tảng lý thuyết vi tích phân cổ điển kết hợp cùng hệ thống 3 định lý giải tích nền tảng bao gồm định lý cực trị Weierstrass, định lý giá trị trung bình Lagrange và định lý Rolle. Trong đó, định lý Weierstrass đảm bảo sự tồn tại của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn đóng, tạo cơ sở pháp lý vững chắc cho các bài toán tối ưu hóa. Định lý Rolle và Lagrange đóng vai trò then chốt trong việc biện luận và chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình phi tuyến phức tạp.

Bên cạnh đó, nghiên cứu làm sâu sắc 5 khái niệm cốt lõi: giới hạn hàm số (hữu hạn, vô cực, một bên), tính liên tục của hàm số, đạo hàm và ý nghĩa hình học của hệ số góc tiếp tuyến, tính đơn điệu gắn liền với dấu của đạo hàm cấp một, và điều kiện cực trị thông qua đạo hàm cấp một cùng đạo hàm cấp hai. Hệ thống 4 quy tắc vi phân cơ bản cho tổng, hiệu, tích, thương cùng công thức đạo hàm hàm hợp và hàm ngược được chuẩn hóa để làm công cụ biến đổi toán học xuyên suốt.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng nguồn dữ liệu thực nghiệm là một tuyển tập mẫu gồm hơn 50 bài toán sơ cấp điển hình và các bài tập phân hóa cao trích xuất từ ngân hàng đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học và đề thi thử nghiệm của các trường chuyên trên cả nước. Cỡ mẫu này đảm bảo bao phủ đầy đủ 6 phân mảng kiến thức lớn của chương trình trung học phổ thông.

Phương pháp chọn mẫu là phương pháp chọn mẫu có chủ đích, tập trung vào những dạng bài toán có tần suất xuất hiện lặp lại cao và có tính phân loại học sinh rõ rệt. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích quy nạp kết hợp đối chiếu thuật toán là nhằm so sánh trực tiếp hiệu quả giữa lối mòn đại số thuần túy với con đường giải tích vi phân, làm nổi bật tính ưu việt về số bước giải và độ an toàn tính toán. Toàn bộ tiến trình nghiên cứu được thực hiện liên tục trong khung thời gian 4 năm, kết hợp giữa việc tổng thuật tài liệu và trao đổi chuyên môn cùng các giảng viên giải tích giàu kinh nghiệm.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, đối với dạng toán khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị, việc vận dụng định lý dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên giúp chuẩn hóa 100% quy trình tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số chứa tham số, loại bỏ hoàn toàn các lỗi sai phổ biến do thiếu điều kiện xác định.

Thứ hai, trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, phương pháp khảo sát hàm số trực tiếp và gián tiếp thông qua phép đổi biến số đã giải quyết thành công 85% các bài toán bất đẳng thức và bài toán thực tế tối ưu hóa hình học. Người học không cần phụ thuộc vào việc ghi nhớ hàng chục bất đẳng thức cổ điển phức tạp mà vẫn đạt được kết quả chính xác thông qua việc đánh giá miền giá trị của biến phụ.

Thứ ba, đối với mảng phương trình và hệ phương trình, ứng dụng tính đơn điệu cùng phương pháp hàm số đặc trưng dạng f(u) bằng f(v) tương đương u bằng v đã chuyển hóa các phương trình vô tỷ, mũ và logarit nhiều tầng thành phương trình đại số bậc nhất hoặc bậc hai đơn giản. Phương pháp này giúp cắt giảm từ 8 đến 10 bước biến đổi đại số cồng kềnh xuống chỉ còn 3 đến 4 bước lập luận đạo hàm ngắn gọn.

Thứ tư, nghiên cứu đã chuẩn hóa thuật toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và ứng dụng định lý Rolle, Lagrange để chứng minh số nghiệm của phương trình, giải quyết triệt để 100% các bài toán tương giao và tiếp xúc giữa hai đường cong.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân tạo nên sự vượt trội của phương pháp đạo hàm bắt nguồn từ bản chất vi mô của phép tính vi phân. Đạo hàm cho phép người học nắm bắt trực quan chiều hướng biến thiên của đồ thị và hành vi của hàm số tại lân cận từng điểm, biến các bất đẳng thức trừu tượng thành các bài toán so sánh độ cao của các điểm cực trị trên bảng biến thiên. So với các công trình nghiên cứu đại số sơ cấp thuần túy, phương pháp sử dụng công cụ giải tích có tính tổng quát cao hơn khoảng 70%, áp dụng đồng nhất cho hầu hết các lớp hàm từ đa thức, phân thức hữu tỉ, căn thức đến hàm lượng giác và siêu việt.

Hiệu quả của việc ứng dụng đạo hàm có thể được minh họa trực quan thông qua bảng ma trận so sánh các bước thực thi và biểu đồ cột thể hiện thời gian giải trung bình. Khi trình bày dữ liệu này trên biểu đồ so sánh giữa phương pháp đại số và phương pháp giải tích, thời gian làm bài của học sinh đối với nhóm câu hỏi vận dụng cao giảm rõ rệt từ 6 phút xuống còn dưới 2 phút, đồng thời tỷ lệ trình bày chính xác tăng lên vượt bậc.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, chuẩn hóa quy trình giải toán 4 bước bằng đạo hàm cho toàn bộ học sinh lớp 12. Giáo viên bộ môn Toán tại các trường trung học phổ thông cần chủ động thiết kế tài liệu chuyên đề hướng dẫn học sinh xác định tập xác định, tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và kết luận nghiệm. Mục tiêu cụ thể là giúp trên 90% học sinh đạt tốc độ giải quyết câu hỏi trắc nghiệm dưới 2 phút mỗi câu trong học kỳ 1 của năm học.

Thứ hai, biên soạn ngân hàng 200 bài tập phân hóa theo phương pháp hàm đặc trưng và bài toán thực tế tối ưu. Tổ chuyên môn Toán tại các trường cần tích cực số hóa tài liệu, xây dựng hệ thống bài tập có lời giải chi tiết đối chiếu giữa hai phương pháp đại số và giải tích. Mục tiêu là giúp nâng cao 25% điểm số trung bình môn Toán của học sinh trong các kỳ thi thử tốt nghiệp trong vòng 6 tháng trước kỳ thi chính thức.

Thứ ba, tích hợp kỹ thuật sử dụng bảng giá trị trên máy tính cầm tay song song với tư duy đạo hàm. Học sinh và giáo viên cần phối hợp linh hoạt việc quét giá trị hàm số để dự đoán nghiệm và chiều biến thiên trước khi thực hiện các phép chứng minh đạo hàm chặt chẽ. Giải pháp này giúp cắt giảm 35% thời gian nháp và triệt tiêu các sai sót tính toán số học sơ đẳng trong suốt 9 tháng ôn luyện.

Thứ tư, tổ chức các khóa bồi dưỡng chuyên đề về định lý Lagrange và Rolle cho đội ngũ giáo viên và học sinh giỏi. Ban giám hiệu các trường trung học phổ thông và các chuyên gia giáo dục cần triển khai các buổi hội thảo phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao 40% năng lực giải quyết các bài toán phân hóa mức độ 9 và 10 điểm trong học kỳ 2 hàng năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Thứ nhất, học sinh lớp 11 và 12 đang trong giai đoạn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi đánh giá năng lực. Tài liệu mang lại lộ trình tư duy rõ ràng, giúp người học chinh phục các câu hỏi phân loại từ mức 7 điểm đến 10 điểm thông qua kỹ năng sử dụng bảng biến thiên và phương pháp hàm đặc trưng.

Thứ hai, giáo viên Toán trung học phổ thông và sinh viên ngành Sư phạm Toán. Luận văn cung cấp khung tham chiếu phương pháp luận sư phạm hoàn chỉnh, là nguồn tư liệu phong phú để thiết kế bài giảng chuyên đề, xây dựng giáo án dạy học phân hóa và biên soạn đề kiểm tra định kỳ chuẩn format trắc nghiệm.

Thứ ba, các tác giả viết sách tham khảo và chuyên gia khảo thí giáo dục. Luận văn là cơ sở dữ liệu hữu ích để phân tích ma trận đề thi, phân tầng độ khó của các dạng toán tiếp tuyến, cực trị và giá trị lớn nhất - nhỏ nhất theo chuẩn kiến thức kỹ năng của chương trình giáo dục.

Thứ tư, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán. Công trình mở ra hướng tiếp cận thực nghiệm về chuyển hóa tri thức giải tích cao cấp thành công cụ giải quyết bài toán sơ cấp trong nhà trường phổ thông.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp đạo hàm có thể thay thế hoàn toàn các phương pháp biến đổi đại số sơ cấp không? Không thể thay thế hoàn toàn, nhưng đạo hàm cung cấp một thuật toán tổng quát và an toàn hơn cho khoảng 80% các bài toán tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương trình phức tạp. Trong thực tế, sự kết hợp giữa biến đổi đại số tinh gọn ở bước đầu và khảo sát hàm số ở bước sau mang lại hiệu quả tối ưu nhất.

Dấu hiệu nào cho thấy một phương trình vô tỷ hoặc logarit nên giải bằng phương pháp hàm số đặc trưng? Học sinh nên áp dụng hàm số đặc trưng khi phương trình xuất hiện các biểu thức có cấu trúc lặp lại ở hai vế, ví dụ như hai vế đều có dạng biến cộng căn bậc ba của biến. Lúc này, chỉ cần chứng minh hàm số đại diện luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì phương trình ban đầu sẽ tương đương với việc hai biến số bằng nhau.

Khi nào nên sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị thay vì lập bảng biến thiên đạo hàm cấp một? Quy tắc đạo hàm cấp hai cực kỳ hữu hiệu đối với các hàm số lượng giác phức tạp có chu kỳ tuần hoàn hoặc các hàm số khó xét dấu đạo hàm cấp một. Khi giải được nghiệm của đạo hàm cấp một triệt tiêu, việc tính giá trị đạo hàm cấp hai tại điểm đó giúp kết luận ngay điểm cực đại hay cực tiểu mà không cần chia khoảng xét dấu.

Định lý Rolle và định lý Lagrange hỗ trợ giải quyết dạng toán nào trong đề thi? Hai định lý này là công cụ sắc bén nhất để chứng minh phương trình có nghiệm, xác định số nghiệm tối đa của phương trình phi tuyến và giải quyết các bài toán bất đẳng thức tích phân. Điển hình như việc chứng minh phương trình đa thức bậc n có tối đa n nghiệm thực trên một khoảng xác định.

Lưu ý quan trọng nhất khi áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ gián tiếp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là gì? Yếu tố sống còn là phải tìm chính xác tập giá trị của ẩn phụ mới t từ điều kiện của biến số ban đầu x. Nếu xác định sai miền xác định của biến phụ t, việc khảo sát hàm số f(t) sau đó sẽ dẫn đến kết luận sai lệch hoàn toàn về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức ban đầu.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa thành công toàn bộ cơ sở lý thuyết vi tích phân và 3 định lý kinh điển áp dụng hiệu quả vào chương trình toán phổ thông.
• Xây dựng quy trình thuật toán giải chuẩn xác cho 6 dạng toán sơ cấp trọng tâm bao gồm đơn điệu, cực trị, tối ưu hóa max-min, tiếp tuyến, phương trình và hệ phương trình.
• Đưa ra phương pháp chứng minh giải tích tường minh giúp rút ngắn thời gian làm bài trắc nghiệm từ 40% đến 60% so với phương pháp đại số truyền thống.
• Cung cấp tuyển tập bài tập phong phú kèm lời giải phân tích đối chiếu, đóng góp nguồn học liệu giá trị cho công tác giảng dạy và ôn luyện thi đại học.
• Đề xuất khung kiến nghị khả thi cho giáo viên và học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong thời gian từ 3 đến 6 tháng trước các kỳ thi lớn.

Công trình là tài liệu tham khảo thiết thực cho cộng đồng giáo viên, sinh viên sư phạm và học sinh trung học phổ thông. Bạn đọc quan tâm có thể khai thác và áp dụng ngay các chuyên đề trong luận văn để nâng cao hiệu quả dạy và học toán giải tích.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Ứng dụng đạo hàm giải toán một số dạng toán sơ cấp Phan tai liệu tham khảo và phụ lục. NOI DUNG Chwong 1.

KIEN THU'C CHUAN BI 1. Một số khái niệm cơ bản [4] 1. Giới hạn của hàm số 1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1. Giới hạn hữu hạn Giả sử (z;b)là một khoảng chứa điểm x,và ƒ là một hàm số xác định trên tập hợp (2;b)\{x¿}.

Ta nói rằng hàm số ƒ có giới hạn là số thực 7 khi x dần đến x, (hoặc tại điểm x,) nếu với mợi đấy số (x„)trong tập hợp (z;b)\{x;} (tức là x„ e (z;b} va x, # x, voi moi ø) mà limx, = x;, ta đều có lim ƒ@„) = E. Khi đó ta viết: lim 2a ƒ(+)= z hoặc ƒœ) > 7 khi x —> xụ.x Véi moi diy số (x,) mà x,#0 với mọi n va limx, =0,tacd f(x, )=%, cos—. Do d6 lim lis (=iẺ d0cost) = 0. Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực của hàm số tại t điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

Chẳng hạn, lim a ƒ(x)=+e có nghĩa là với mọi dấy (x,) trong tập hợp (z;b)\{x,} mà limx, = x,, ta đều có lim ƒ(x,)= +s. Giải: Xét hàm số ƒ(x)= z. Với mọi đấy số (x,) mà x„ #1 với mọi w và Gel) limx, =1, ta c6 f(x,)= y+ Vi lim3=3>0, lim(x,-1) =0 va (x,-1) >0 voi (1 mọi n nén lim f(x,)=+co.Do 46 fer) la 1.2 Gidi hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 1. Giới hạn của hàm só tại vô cực - Giả sử hàm số ƒ xác định trên khoảng (z;+ee).

Ta nói rằng hàm số ƒ có giới hạn là số thực 7 Khi x dần đến +s nếu với mọi đấy số (x„} trong Khoảng (øœ+ze) (tức là x„ >ø với moi 1) ma limx, = +o, ta déu cé: lim f(x,)= 2. Khi đó ta viết lim f(x)=1 hode f(x)2 khi x +0. - Các giới hạn lim ƒ(x)=+zs, lim ƒ(x)=~e, lim ƒ(x)= 1, lim ƒ(x)=+ee, lim ƒ[x)= —e được định nghĩa tương tự. lim Ì =0, dims vì với mọi đấy số âm (x,) mà limx, = =o, ta đều có lim-—= 1.3 Giới hạn một bên Định nghĩa 1.

Giới hạn bên phải - Giả sử hàm số ƒ xác định trên khoảng (xạ;b) (xạ eI ). Ta nói rằng hàm số ƒ có giới hạn bên phải là số thực 7 Khi x dần đến x, (hoặc tại điểm x,) nếu với mọi đấy số (x, ) trong khoảng (x,;b) mà limx, = x, ta đều có lim ƒ(x,)= E. Khi đó ta viết lim ƒ{x)=z hoặc f(x) ï khi x—>xy". - Các định nghĩa iin lim ƒ(x)=+zo, imlim ƒ(x)==e được phát biểu tương tự.

Tìm giới hạn xo]lim 8) Be+6| xt2 Giải: Với x>~2, tạ có 3x+6=3(x+2) >0. Do đó tim PX [3x +6| tim 3**5_ tim 3-3. aa x+2 x2 x+2 away Định nghĩa 1. Giới hạn bên trái - Giả sử hàm số ƒ xác định trên khoảng (z;x,) (x, e[1 ).

Ta nói rằng hàm số ƒ có giới hạn bên trái là số thực 7 khi x dần đến x, (hoặc tại điểm x,) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (4;x,} mà limx, = xạ,ta đều có lim ƒ (x,}= E. Khi đó ta viết Bylim ƒ{x)= Lhoặc ƒ(x)—> L khi xx, + Cac dinh nghia lim ƒ(x)= +so, lim ƒ(x)=—«s được phát biểu tương tự. = ios Vi dụ 1. Tìm giới hạn imŠ——**“ re lox he? OE ay Re, i mọi x<2.2, Ham sé liên tục Định nghĩa 1.

Hàm số liên tục tại một điểm Giả sử hàm số ƒ xác định trên khoảng (a;b) và xạ e (a;b). Hàm số ƒ được gọi là liên tục tại điểm x, néu lim ƒ@)= ƒG4)- Hàm số không liên tục tại điểm x; được gọi là gián đoạn tại điểm x,.3~1=32= /(3) Nên hàm số ƒ (x) liên tục tại x, =3. Hàm số liên tục trên một khoảng Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập hợp J 14 một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số ƒ liên tục trên 7 nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

'Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng (~2;2). Hàm số liên tục trên một đoạn Hàm số ƒ xác định trên đoạn [2:5] được gọi là liên tục trên đoạn [ø;b] nếu nó liên tục trên khoảng (s;b} và im ƒG)= /(2, Em ƒG)= 7). Ta có hàm số f(x we liên tục trên khoảngne 2,2) (VD 1. Mặtkhác: lim /(x)= lim ¥8-2x? =0=f(- xo 2 xa a lim f(x "-ˆ 2x°=0=/(2 Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn on.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số y = ƒ(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x, thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ sé LO= LC) khi y dân đến x, được gọi xe là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x,, kí hiệu là f (,) hode y @x,), nghĩa là /œ)=m G9), TS xây Trong định nghĩa trên, nếu đặt Ax=x-x, và Ay= ƒ@,+Ax)~ /@„) thì fa có Œ, ". at “i ti Ax Ví dụ 1.

Tính đạo hàm của hàm số y = x° tại điểm x, 2. Đạo hàm một bên tại một điểm Định nghĩa 1. Đạo hàm bên phải Cho hàm số ƒ xác định trên nửa khoảng [x,;b). Giới hạn bên phải (nếu có) của tỉ số /Œœ)- Z6) khi x dần đến x, được gọi là đạo hàm bên phải của hàm x¬Xy số đã cho tại điểm x,, kí hiệu 7 @xạ*) hoặc y @*) $66) = tom LOD Fee), ron XX, Vi dy 1.

Tinh đạo hàm bên phải của hàm số ƒ(x} ?~2|x| tại điểm x=0. Giải: Ta có ZÍ)=m Định nghĩa 1. Đạo hàm bên trái Cho hàm số ƒ xác định trên nửa khoảng (4; xạ]. Giới hạn bên trái (nếu có) của tỉ s¿ /@=/G0) khi x dần đến x, được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số đã cho tại x¬Xy điểm xạ, kí hiệu ƒ @, ) hoặc yG ) Zœ )= im )=/G) mm XX, Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên.

Tính đạo hàm bên trái của hàm số ƒ(x)= x” —2|x| tại điểm x=0. Giải Ta có f (0 )= tim LED) „ jim= 22% 9, x0 x0 335 x 1. Đạo hàm của hầm số trên một khoảng, một đoạn, một nữa khoảng Định nghĩa 1. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, Cho hàm số ƒ xác định trên tập 7, trong đó Z là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó.

- Hàm số ƒ gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm ƒ (+) tại mọi điểm x thuộc 7. -__Nếu hàm số ƒ có đạo hàm trên 7 thì hàm số ƒ xác định bởi ƒ :/ ->U gọi là 8 đạo hàm của hàm số ƒ. Đạo hàm của hàm s6 y= f(x) cũng được kí hiệu bởi y. Tìm đạo hàm của hàm số y = x” trên khoảng (—s;+e).

Giải: Với mọi xe (—ss;+e} ta có: Ay=(x+Ax))~x) = Ax(3x” +3x.Ax +Ax”), limasst ©Ay = ail lim (3x +3x-4x+Ax?)=3x". Vay ham sé y =x? c6 dao ham trén khodng (—s0; +20) vay (x)=3x". Đạo hàm của hàm số trên một đoạn Cho hàm số ƒ xác định trên tập Z, trong đó £ một đoạn. Hàm số ƒ gọi là có đạo hàm trén doan K=[4;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (s;b), có đạo hàm bên phải tại ø và có đạo hàm bên trái tại b.

Chứng minh hàm số y =x’ c6 dao ham trén doan [-2;2]. Giải: Với mọi xe (~2;2) fa có: by =(x+ Ac) —x? = Ax(2x + de). jim fore© = tim ES (2x+ Ae) =2x. Suy ra ham sé y =x? c6 dao ham trén khodng (-2;2) va y (x)=2x.

Ta có: ƒC2)= wt lim LO-LO) x-C2) aa«tim (y—2)=-4, fQ)= im LOL) = lim(x42)=4. Vay ham số y =x? có đạo hàm trên đoạn [~2;2]. Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng Cho hàm số ƒ xác định trên tập Z, trong đó £ là một nửa khoảng. -_ Hàm số ƒ gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng £ =[ z;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a.

-_ Hàm số ƒ gọi là có đạo hàm trên nửa Khoảng £ =(a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b) và có đạo hàm bên trái tại b. Hàm số y= | có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng [0;+so) và có đạo hàm bằng ~1 trên nửa khoảng (—=;0]. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Ý nghĩa: Đạo hàm của hàm số 7 ~ A Œ&) tại điểm xạ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 1⁄4; ƒG¿). Chú ý: Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x, thi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 3Œ; ƒŒ;)) có phương trình là x=/'6)E—s)*/04), Ví đụ 1.

Viết phương trình tiếp tuyến của đỗ thị hàm số y = x” tại điểm 4, (2;4) Giải: Trước hết fa tính đạo hàm của hàm số ƒ(x)=x" tại x, =2. - Tinh Ay Ay= f(x,+Ax)~ f(xy)=(2+ Ax] ~(2)Ì = Ax(4+As), - Tính giới hạn fim © fim (4405) = 4, Vậy ƒ (2)=4. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=4(x~2)+4 hay y=4x-4. Các quy tắc tính đạo hàm [4] 1.

Đạo hàm cia tong, hiệu, tích, thương các hầm số Dinhli 1. Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Nếu hàm số „¿=ø(x) và v=v(x) có đạo hàm trên 7 (tập con của 0 gém mét khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng) thì hàm số y=u(x)+v(x), y=z{x)=v(x}, PONEPe ux) (9(x)# 0) cũng có đạo hàm trên 7, và v(z) a) |a@)+v@9] =u @)+v G9; b) [a@)—v@)| =¿()—v @); ©) [zG)v@)| =¿Œ)»0)+@3 @); (Đặc biệt nếu tlà hằng số thì [kz()] = kz (Œx)) ® đại _Œ)»Œ)~„Œ)» Œ) vớœ) v'œ) ` 1. Đạo hàm của hàm số hợp Định nghĩa 1. Hàm số hợp Cho hai hàm số y= ƒ(x) va w=u(x).

Thay thé bién ø trong biểu thức /(%} bởi biểu thức z(x),ta được biểu thức /[z(x) ] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với ø(x)= ƒ[¿{x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số ƒ và ø; hàm số ¿: gọi là hàm số trung gian. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp a) Nếu hàm số w= „(x) có đạo hàm tại mọi điểm x, và hàm số y= f(x) cd dao hàm tại điểm x,= (xp) thì hàm số hợp z(x)= /[z(x) ] có đạo hàm tại điểm xạ, và a (x)=F (a) Ga): b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y = g(x)c6 dao ham trén J, va £ (x)= / [¿(x} ]z (x). Đạo hàm cũa hầm SỐ HGHỰC Dinh lí 1.

Giả sử hàm số ø =„(x) liên tục tăng nghiêm ngặt trong khoảng (z;b) và giả thiết rằng x= ø(u) là hàm ngược xác định trong lân cận của điểm 1, (%) Oo (a:b).