Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với tiêu đề "Some Problems in Pluripotential Theory" (Một số vấn đề trong lý thuyết thế vị đa phức) được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Đỗ Thái Dương dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Phạm Hoàng Hiệp và GS. TSKH. Đinh Tiến Cường tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học, mã số chuyên ngành 9460102 (mã số cũ: 62 46 01 02), hoàn thành và bảo vệ năm 2021.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết thế vị cổ điển (classical potential theory) gắn liền với phương trình tuyến tính Laplace, nghiên cứu các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa, bài toán Dirichlet, hàm Green và dung lượng trong không gian nhiều biến thực $\mathbb{R}^n$. Trong thế kỷ 20, lý thuyết thế vị đa phức (pluripotential theory) được phát triển như một mở rộng đa biến phức tương ứng của lý thuyết thế vị cổ điển trên mặt phẳng phức. Đây là một lý thuyết phi tuyến cao độ, gắn liền với toán tử Monge-Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$ và lớp hàm đa dưới điều hòa (plurisubharmonic - PSH).

Trong quá trình phát triển của lý thuyết thế vị và thế vị đa phức, nhiều vấn đề nền tảng vẫn chưa có lời giải đáp trọn vẹn:

  • Trong lý thuyết thế vị thực, sự bằng nhau hầu khắp nơi theo độ đo Lebesgue của hai hàm dưới điều hòa trên một miền suy ra sự trùng nhau của chúng tại mọi điểm. Tuy nhiên, tính chất so sánh này khi thu hẹp trên các tập con hoặc đa tạp con có số chiều thấp hơn chưa được xác lập đầy đủ.
  • Trong lý thuyết thế vị đa phức, bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức $(dd^c u)^n = \mu$ với điều kiện biên liên tục đã được giải quyết cho các độ đo thỏa mãn điều kiện kiểm soát dung lượng toàn cục của Kołodziej để cho nghiệm liên tục trên toàn miền. Dẫu vậy, khi độ đo $\mu$ mang kỳ dị trên một tập giải tích, việc tìm điều kiện suy rộng để nghiệm liên tục ngoài tập giải tích đó là một bài toán mở.
  • Hành vi tiệm cận tại biên của các hàm thuộc lớp năng lượng Cegrell $\mathcal{F}$ trên miền giả lồi ngặt thông qua độ suy giảm thể tích của các tập mức dưới (sublevel sets) cần được mô tả tường minh bằng các điều kiện cần và đủ.

Mục tiêu và các bài toán nghiên cứu cụ thể

Luận án tập trung giải quyết 3 bài toán nghiên cứu trọng tâm (được đánh số cụ thể trong văn bản):

  1. Bài toán 1 (Problem 1): Khảo sát xem liệu hai hàm dưới điều hòa trên một miền $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ trùng nhau hầu khắp nơi trên một đa tạp con $m$ chiều theo độ đo Hausdorff $m$ chiều thì có nhất thiết trùng nhau tại mọi điểm trên đa tạp con đó hay không.
  2. Bài toán 2 (Problem 2): Tìm điều kiện đối với độ đo $\mu$ để nghiệm $u$ của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức liên tục bên ngoài một tập giải tích $F$, dù $u$ có thể không liên tục trên toàn miền $\Omega$. Vấn đề này dẫn tới bài toán phụ: Tìm điều kiện cho tham số $\alpha \in (0, 1)$ sao cho hàm thế vị kỳ dị $v = -(-\log(|f_1|^{\lambda_1} + \dots + |f_m|^{\lambda_m}))^\alpha$ thuộc miền xác định $\mathcal{E}(\Omega)$ của toán tử Monge-Ampère phức.
  3. Bài toán 3 (Problem 3): Tìm các điều kiện cần và điều kiện đủ về thể tích của các tập mức dưới ${z \in \Omega : u(z) < -t}$ ở lân cận các điểm biên đối với các hàm thuộc lớp Cegrell $\mathcal{F}(\Omega)$ trên miền giả lồi ngặt.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Hàm dưới điều hòa (subharmonic functions), hàm đa dưới điều hòa (plurisubharmonic functions), toán tử vi phân phi tuyến Monge-Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$, các lớp năng lượng Cegrell ($\mathcal{E}_0, \mathcal{F}, \mathcal{E}, \mathcal{N}$), dung lượng tương đối (relative capacity), độ đo Hausdorff, tập chính quy Ahlfors-David, và bài toán Dirichlet phi tuyến.
  • Phạm vi không gian: Các miền mở $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$), miền siêu lồi (hyperconvex domains), miền giả lồi ngặt bị chặn (bounded strictly pseudoconvex domains) trong $\mathbb{C}^n$ với biên trơn lớp $C^2$, và hình cầu đơn vị $B_{2n} \subset \mathbb{C}^n$.
  • Phạm vi thời gian: Luận án tổng hợp và phát triển các kết quả nghiên cứu của tác giả giai đoạn 2018–2021.
Thông tin tổng quát Chi tiết
Tên luận án Some Problems in Pluripotential Theory
Tác giả Đỗ Thái Dương
Người hướng dẫn GS. TSKH. Phạm Hoàng Hiệp, GS. TSKH. Đinh Tiến Cường
Cơ sở đào tạo Viện Toán học – Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam
Chuyên ngành / Mã số Giải tích toán học / 9460102 (62 46 01 02)
Thời gian bảo vệ Năm 2021

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án kế thừa và phát triển hệ thống kết quả từ các giai đoạn lịch sử của lý thuyết thế vị và giải tích phức:

Các hướng nghiên cứu nền tảng được điểm lại

  • Kiyoshi Oka và Pierre Lelong (1942): Khởi xướng khái niệm hàm đa dưới điều hòa (PSH) trên không gian nhiều biến phức $\mathbb{C}^n$, đặt nền móng cho lý thuyết thế vị đa phức hiện đại.
  • B. Shiffman và B. A. Taylor: Đưa ra ví dụ chứng minh không thể định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức $(dd^c u)^n$ như một độ đo Radon dương thông thường cho một hàm PSH tùy ý khi số chiều $n \ge 2$. Ví dụ này sau đó được C. O. Kiselman đơn giản hóa bằng hàm $u(z) = (-\log |z_1|)^{1/n} (|z_2|^2 + \dots + |z_n|^2)^{1 - 1/n}$, có toán tử Monge-Ampère không bị chặn gần siêu phẳng ${z_1 = 0}$.
  • Eric Bedford và B. A. Taylor (1976, 1982): Định nghĩa thành công toán tử Monge-Ampère phức $(dd^c u)^n$ như một dòng dương đóng cho các hàm PSH bị chặn địa phương; thiết lập nguyên lý so sánh Bedford-Taylor và khái niệm dung lượng tương đối $\text{Cap}(K, \Omega)$.
  • Jean-Pierre Demailly: Mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampère cho các hàm PSH bị chặn ở lân cận biên của miền; cải tiến bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg; nghiên cứu tính liên tục yếu của dòng Monge-Ampère.
  • Urban Cegrell (1998, 2004, 2008): Giới thiệu các lớp hàm PSH có năng lượng hữu hạn $\mathcal{E}_0(\Omega) \subset \mathcal{F}(\Omega) \subset \mathcal{N}(\Omega) \subset \mathcal{E}(\Omega)$ trên miền siêu lồi bị chặn. Cegrell chứng minh rằng $\mathcal{E}(\Omega) = \mathcal{D}(\Omega) \cap \text{PSH}^-(\Omega)$ là lớp lớn nhất mà toán tử Monge-Ampère được định nghĩa tốt; đồng thời xây dựng phản ví dụ với hàm $u(z) = 2\log |z_1 \dots z_n|$ cho thấy tính liên tục của toán tử Monge-Ampère không bảo toàn qua dãy giảm tùy ý nếu không kiểm soát năng lượng.
  • Zbigniew Błocki: Đặc trưng hóa giải tích hoàn chỉnh cho miền xác định $\mathcal{D}(\Omega)$ của toán tử Monge-Ampère và tính liên tục cho dãy giảm các hàm PSH.
  • Sławomir Kołodziej (1996, 1998, 2005): Giải quyết bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức với độ đo vế phải bị chặn bởi dung lượng tương đối thông qua hàm chuẩn hóa $h$: $\mu(K) \le A \text{Cap}(K, \Omega) [h(\text{Cap}(K, \Omega)^{-1/n})]^{-1}$, suy ra nghiệm liên tục toàn cục và bị chặn.

Khoảng trống nghiên cứu luận án giải quyết

  1. Xác định chính xác điều kiện hình học và số chiều của tập con để định lý so sánh cho hàm dưới điều hòa còn hiệu lực: chứng minh kết quả đúng trên các siêu mặt (đối chiều 1) và các tập chính quy Ahlfors-David có số chiều $k > n-2$; đồng thời chứng minh kết quả không còn đúng khi đối chiều $\ge 2$ thông qua việc xây dựng một phản ví dụ giải tích.
  2. Mở rộng điều kiện giải được của bài toán Dirichlet phi tuyến của Kołodziej cho các độ đo có kỳ dị giải tích, chỉ ra tính liên tục của nghiệm bên ngoài tập kỳ dị; đồng thời đưa ra tiêu chuẩn phân loại chính xác $0 < \alpha < m/n$ để thế vị giải tích thuộc miền xác định $\mathcal{E}$.
  3. Khảo sát cấu trúc giải tích của lớp Cegrell $\mathcal{F}$ thông qua thiết lập các định lý tích phân và các ước lượng định lượng về độ suy giảm thể tích của tập mức dưới gần biên trong miền giả lồi ngặt.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

  • Lý thuyết hàm dưới điều hòa và biểu diễn thế vị: Sử dụng phương trình Laplace $\Delta u = \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2} = 0$, định nghĩa hàm dưới điều hòa qua bất đẳng thức giá trị trung bình trên mặt cầu và hình cầu, tích chập chính quy hóa $u * \rho_\epsilon$, và định lý phân tích Riesz (Riesz Decomposition theorem) trên tập mở compact tương đối $U \Subset \Omega$: $$u(x) = \frac{-1}{\max{1, n-2}\sigma(\partial B(0, 1))} \int_U g(|x - w|) d\nu(w) + \varphi(x)$$ trong đó $\nu = \Delta u|_U$, $\varphi \in H(U)$ và nhân $g(r) = -\log r$ khi $n=2$, $g(r) = r^{2-n}$ khi $n > 2$.
  • Lý thuyết độ đo hình học: Độ đo Hausdorff $k$ chiều $H^k$, độ đo Hausdorff tổng quát $\Lambda_h$ với hàm tỷ số $h$, tập chính quy Ahlfors-David số chiều $k$ (thỏa mãn $C_0^{-1} R^k \le H^k(U \cap B(x, R)) \le C_0 R^k$), mật độ trên $\Theta^{k}(\eta, x)$ và mật độ dưới $\Theta_^k(\eta, x)$ của độ đo Radon $\eta$.
  • Lớp hàm kiểm soát $\mathcal{H}$: Lớp các hàm $h: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ thỏa mãn tồn tại $M > 0, c > 4$ sao cho: $$\int_0^{c\epsilon} \frac{h(r)}{r^{n-1}} dr \le M \frac{h(\epsilon)}{\epsilon^{n-2}}$$ với $\epsilon$ đủ nhỏ (chứa các hàm $r^k, r^k |\log r|$ với $k > n-2$).
  • Lý thuyết thế vị đa phức và toán tử Monge-Ampère: Toán tử vi phân $d = \partial + \bar{\partial}$, $d^c = i(\bar{\partial} - \partial)$, $dd^c u = 2i\partial\bar{\partial}u$; toán tử Monge-Ampère $(dd^c u)^n = c_n \det\left(\frac{\partial^2 u}{\partial z_j \partial \bar{z}_k}\right) dV$; dung lượng tương đối $\text{Cap}(K, \Omega) = \sup{\int_K (dd^c v)^n : v \in \text{PSH}(\Omega, [-1, 0])}$; các lớp Cegrell $\mathcal{E}_0(\Omega), \mathcal{F}(\Omega), \mathcal{E}(\Omega), \mathcal{N}(\Omega)$ và các lớp mở rộng $\mathcal{K}(H), \mathcal{K}(f)$.
  • Các nguyên lý so sánh: Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, nguyên lý so sánh mạnh trong lớp $\mathcal{F}$, và tính gần liên tục (quasicontinuity) của hàm PSH.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng thuần túy các phương pháp suy luận toán học giải tích hiện đại:

  • Phương pháp giải tích thực và lý thuyết phân phối: Xấp xỉ trơn hàm PSH bằng tích chập hạt nhân $\rho_\epsilon$, đánh giá hội tụ yếu của các dòng dương đóng.
  • Kỹ thuật ước lượng giải tích vi tích phân: Phân rã không gian tích phân dựa trên bán kính lân cận kỳ dị (chia hai trường hợp khoảng cách $|w| > p\epsilon$ và $|w| \le p\epsilon$), biến đổi tích phân theo công thức phân lớp mức độ đo (distribution function technique).
  • Phương pháp giải tích phức nhiều biến và đại số giao hoán: Sử dụng định lý không điểm Hilbert (Hilbert's Nullstellensatz) để chuyển hóa tọa độ giải tích địa phương qua các ánh xạ song chỉnh hình (biholomorphic maps) về dạng chuẩn tắc.
  • Phương pháp thế vị phi tuyến: Xây dựng nghiệm suy rộng qua hàm rào (barrier functions), phép xấp xỉ độ đo cắt cụt và bao trên của các hàm PSH.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. A comparison theorem for subharmonic functions (Định lý so sánh cho các hàm dưới điều hòa)

Chương 1 giải quyết trọn vẹn Bài toán 1 về việc so sánh hàm dưới điều hòa trên các tập con của miền $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$).

  • Định lý mở rộng giá trị trung bình (Theorem 1.3): Cho $u \in \text{SH}(\Omega)$, $K \subset \Omega$ là tập Borel, $x_0 \in K$ và $h \in \mathcal{H}$. Giả sử tồn tại độ đo Borel dương $\mu$, các hằng số $A, B > 0, \epsilon_0 > 0$ sao cho $\mu(K \cap B(x, \epsilon)) \le B h(\epsilon)$ với mọi $x \in K, \epsilon < \epsilon_0$ và $\mu(K \cap B(x_0, \epsilon)) \ge A h(\epsilon)$. Khi đó: $$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\mu(K \cap B(x_0, \epsilon))} \int_{K \cap B(x_0, \epsilon)} u(x) d\mu(x) = u(x_0)$$
  • Các hệ quả của định lý giá trị trung bình:
    • Hệ quả 1.1: Khẳng định tính chất giá trị trung bình đúng trên tập chính quy Ahlfors-David $U$ với số chiều $k > n-2$ đối với độ đo Hausdorff $H^k$.
    • Hệ quả 1.2: Khẳng định tính chất giá trị trung bình đúng tại mọi điểm $x_0 \in H \cap \Omega$ trên siêu mặt $H$ đối với độ đo diện tích mặt $\sigma$.
  • Định lý so sánh cho hàm dưới điều hòa (Theorem 1.1): Cho $u$ là hàm nửa liên tục trên (USC), $v$ là hàm dưới điều hòa trên $\Omega$, $K$ là tập Borel, $h \in \mathcal{H}$, thỏa mãn điều kiện kiểm soát đo lường với độ đo $\mu$. Giả sử tồn tại tập con $N \subset K$ có $\mu(N) = 0$ sao cho $u(x) \ge v(x)$ với mọi $x \in K \setminus N$. Khi đó $u(x) \ge v(x)$ tại mọi điểm $x \in K$.
    • Hệ quả 1.3: Cho $E$ là tập chính quy Ahlfors-David số chiều $k > n-2$. Nếu $u \ge v$ hầu khắp nơi trên $E$ theo độ đo $H^k$ thì $u \ge v$ trên toàn bộ $E$.
    • Hệ quả 1.4: Cho $H$ là siêu mặt. Nếu $u \ge v$ hầu khắp nơi trên $H \cap \Omega$ theo độ đo mặt $\sigma$ thì $u \ge v$ tại mọi điểm trên $H \cap \Omega$.
    • Suy ra: Hai hàm dưới điều hòa trùng nhau hầu khắp nơi trên siêu mặt theo độ đo mặt thì trùng nhau tại mọi điểm trên siêu mặt đó (trả lời khẳng định cho Bài toán 1 trên siêu mặt).
  • Phản ví dụ trong trường hợp đối chiều cao (Example 1.4): Trong $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$), xét đa tạp con đối chiều bằng 2: $\mathbb{R}^{n-2} \times {0} \times {0}$. Tác giả xây dựng các độ đo $\mu_i$ trên các vành cầu $B_{n-2}(0, i) \setminus B_{n-2}(0, 1/i)$ và các hàm thế vị Riesz: $$p_{\mu_i}(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{-1}{|x - w|^{n-2}} d\mu_i(w)$$ Từ đó xây dựng hàm $u(x) = \sum_{i=2}^\infty \frac{1}{2^{i-1}} u_i(x) \in \text{SH}(\mathbb{R}^n)$ thỏa mãn $u(x) = -\infty$ trên $(\mathbb{R}^{n-2} \setminus {0}) \times {0} \times {0}$ nhưng tại gốc tọa độ $u(0) = -1$. Đặt hàm $\tilde{v} \equiv -2$, ta thấy $\tilde{v} \ge u$ hầu khắp nơi trên $\mathbb{R}^{n-2} \times {0}^2$ theo độ đo Lebesgue $(n-2)$ chiều, nhưng bất đẳng thức sai tại điểm gốc vì $\tilde{v}(0) = -2 < u(0) = -1$. Điều này chứng minh Bài toán 1 không đúng cho các tập con có đối chiều $\ge 2$.
  • Phiên bản theo mật độ độ đo (Section 1.5): Thiết lập Định lý 1.5 và Định lý 1.6 thay thế điều kiện của hàm $h$ bằng điều kiện mật độ dưới $\Theta_*^s(\mu_K, x) > 0$ và tích phân thế vị của mật độ trên $\int_{U_x} \frac{\Theta^{*s}(\mu_K, w)}{|w|^{n-2}} d\nu(w) < +\infty$ với $s > n-2$.

Chương 2. Complex Monge-Ampère equation in strictly pseudoconvex domains (Phương trình Monge-Ampère phức trong miền giả lồi ngặt)

Chương 2 nghiên cứu tính liên tục của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère phức khi độ đo vế phải có kỳ dị giải tích (Bài toán 2).

  • Định lý nghiệm liên tục ngoài tập kỳ dị (Theorem 2.8): Cho $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ là miền giả lồi ngặt bị chặn, $\mu$ là độ đo xác suất Borel, $\varphi \in C(\partial\Omega)$ và $v \in \mathcal{E}(\Omega)$. Giả sử tồn tại các dãy số thực dương $M_j \to \infty$, $\epsilon_j \to 0$ sao cho:

    1. Với mỗi $j \in \mathbb{Z}^+$, trên tập $U_j = {z \in \Omega : v(z) < -M_j}$ ta có $\chi_{U_j} \mu \le \epsilon_j \chi_{U_j} (dd^c v)^n$.
    2. Trên phần bù $V_j = \Omega \setminus U_j$, độ đo $\mu$ thỏa mãn điều kiện Kołodziej (công thức (2.2)) với các hàm $h_j$ và hằng số $A_j$.

    Khi đó tồn tại duy nhất một hàm $u$ thỏa mãn: $$u \in \mathcal{F}(\varphi, \Omega), \quad (dd^c u)^n = \mu \text{ trong } \Omega, \quad u \in C(V_j \cup \partial\Omega) \quad (\forall j \in \mathbb{Z}^+)$$ Đặc biệt, nếu $v$ liên tục ngoài một tập giải tích $F \subset \Omega$, thì nghiệm $u$ liên tục trên $(\Omega \setminus F) \cup (\partial\Omega \setminus \bar{F})$ và $\lim_{\xi \to z} u(\xi) = \varphi(z)$ với mọi $z \in \partial\Omega \setminus F$ (Hệ quả 2.1).

  • Tiêu chuẩn cho thế vị giải tích thuộc lớp Cegrell $\mathcal{E}$ (Proposition 2.1 & Lemma 2.2): Cho $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ là miền bị chặn, $f_1, \dots, f_m \in \mathcal{A}(\Omega)$, $\lambda_1, \dots, \lambda_m > 0$ sao cho tập không điểm chung $F = {f_1 = \dots = f_m = 0}$ không kỳ dị và thỏa mãn $n > \dim_{\mathbb{C}} F = n - m > 0$. Xét hàm thế vị: $$v = -(-\log(|f_1|^{\lambda_1} + \dots + |f_m|^{\lambda_m}))^\alpha$$ Luận án chứng minh rằng $v \in \mathcal{E}(\Omega)$ khi và chỉ khi: $$0 < \alpha < \frac{m}{n}$$ Để chứng minh mệnh đề này, tác giả thiết lập bổ đề giải tích (Lemma 2.2) trên hình cầu $B \subset \mathbb{C}^n$ bán kính $1/2$ đối với họ hàm xấp xỉ $u_\epsilon^\alpha = -(-\log(|z_1|^2 + \dots + |z_m|^2 + \epsilon))^\alpha$, tính toán tường minh ma trận đạo hàm riêng phức cấp hai, phân tích kỳ dị qua dạng vi phân $du_\epsilon^\alpha \wedge d^c u_\epsilon^\alpha \wedge (dd^c u_\epsilon^\alpha)^p \wedge \omega^{n-p-1}$, và áp dụng bổ đề Fatou để chỉ ra tích phân phân kỳ khi $\alpha \ge m/n$.

Chương 3. Decay near boundary of volume of sublevel sets of plurisubharmonic functions (Sự suy giảm gần biên của thể tích các tập mức dưới của hàm đa dưới điều hòa)

Chương 3 khảo sát hành vi giải tích của các hàm thuộc lớp Cegrell $\mathcal{F}(\Omega)$ gần biên của miền giả lồi ngặt (Bài toán 3).

  • Đặc trưng tiệm cận của lớp $\mathcal{F}$: Mặc dù mọi hàm $u \in \mathcal{F}(\Omega)$ đều thỏa mãn $\limsup_{z \to \partial\Omega} u(z) = 0$, nhưng tồn tại những hàm trong $\mathcal{F}(\Omega)$ có $\liminf_{z \to \partial\Omega} u(z) = -\infty$ (Theorem 3.9 khẳng định nếu $E$ là tập cực đa cực thì tồn tại $h \in \mathcal{F}(\Omega)$ sao cho $E \subset {h = -\infty}$). Do đó, việc nghiên cứu độ đo thể tích của tập mức dưới ${u < -t}$ gần biên là công cụ định lượng bản chất của lớp hàm này.
  • Định lý tích phân cho lớp $\mathcal{F}$ (An integral theorem for the class $\mathcal{F}$): Thiết lập bất đẳng thức tích phân tổng quát liên kết hàm đa dưới điều hòa, toán tử Monge-Ampère và hàm định nghĩa miền giả lồi ngặt.
  • Điều kiện cần cho chặn trên thể tích tập mức dưới (Theorem 3.1): Trên miền giả lồi ngặt bị chặn $\Omega$, thiết lập các chặn trên cho thể tích Lebesgue $V_{2n}({z \in \Omega : u(z) < -t} \cap U)$ khi $z$ tiến gần đến các điểm biên, phụ thuộc vào tổng khối lượng Monge-Ampère $\int_\Omega (dd^c u)^n$.
  • Điều kiện cần và đủ trên hình cầu đơn vị (Theorem 3.1 & Theorem 3.3): Trong trường hợp miền $\Omega$ là hình cầu đơn vị $B_{2n} \subset \mathbb{C}^n$, luận án xác lập điều kiện cần (Theorem 3.3) và điều kiện đủ (Theorem 3.1) để một hàm PSH âm thuộc vào lớp $\mathcal{F}(B_{2n})$ thông qua tốc độ suy giảm tích phân thể tích của các tập mức dưới ${u < -t}$ khi bán kính $r \to 1$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các kết quả mới về mặt lý thuyết giải tích, được công bố trên các tạp chí quốc tế:

  1. Định lý so sánh và phân tích đối chiều cho hàm dưới điều hòa:
    • Chứng minh trọn vẹn định lý giá trị trung bình suy rộng và định lý so sánh cho hàm dưới điều hòa trên các tập con Borel kiểm soát bởi hàm $h \in \mathcal{H}$, các tập chính quy Ahlfors-David số chiều $k > n-2$, và các siêu mặt.
    • Giải đáp hoàn chỉnh Bài toán 1: khẳng định tính duy nhất đúng trên siêu mặt (đối chiều 1) và xây dựng phản ví dụ giải tích khẳng định tính chất này không còn đúng trên các đa tạp con có đối chiều $\ge 2$.
  2. Mở rộng bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức:
    • Mở rộng định lý kinh điển của Kołodziej, chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng thuộc lớp $\mathcal{F}(\varphi, \Omega)$ đối với phương trình Monge-Ampère phức có vế phải mang kỳ dị giải tích, khẳng định tính liên tục của nghiệm bên ngoài tập kỳ dị.
    • Thiết lập điều kiện cần và đủ chính xác $0 < \alpha < m/n$ để hàm thế vị giải tích $v = -(-\log(|f_1|^{\lambda_1} + \dots + |f_m|^{\lambda_m}))^\alpha$ thuộc miền xác định $\mathcal{E}(\Omega)$ của toán tử Monge-Ampère phức khi tập không điểm $F$ không kỳ dị.
  3. Đặc trưng hóa lớp Cegrell $\mathcal{F}$ qua thể tích tập mức dưới:
    • Thiết lập các định lý tích phân mới và các bất đẳng thức đánh giá tốc độ suy giảm thể tích tập mức dưới của hàm đa dưới điều hòa gần biên trong miền giả lồi ngặt và hình cầu đơn vị.

Danh mục công trình công bố của tác giả

Các kết quả chính của luận án được công bố trong 3 bài báo khoa học:

  1. Thai Duong Do, A comparison theorem for subharmonic functions, Results in Mathematics, Vol. 76, No. 4, Art. 176, 13 pp. (2021).
  2. Hoang Son Do, Thai Duong Do, Hoang Hiep Pham, Complex Monge-Ampère equation in strictly pseudoconvex domains, Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 46, No. 4, pp. 697–709 (2021).
  3. Hoang Son Do, Thai Duong Do, Some remarks on Cegrell's class $\mathcal{F}$, Annales Polonici Mathematici, Vol. 125, No. 1, pp. 13–24 (2020).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế dựa trên phạm vi nghiên cứu

  • Các kết quả về bài toán Dirichlet phi tuyến với vế phải mang kỳ dị mới được thiết lập trong phạm vi miền giả lồi ngặt bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ với điều kiện biên liên tục; chưa mở rộng trên các đa tạp phức compact tổng quát hoặc miền giả lồi yếu.
  • Tiêu chuẩn $0 < \alpha < m/n$ để thế vị giải tích thuộc lớp $\mathcal{E}(\Omega)$ đòi hỏi giả thiết tập không điểm chung $F = {f_1 = \dots = f_m = 0}$ là không kỳ dị (non-singular). Trong trường hợp $F$ có điểm kỳ dị đại số phức tạp, điều kiện tương đương cho $\alpha$ chưa được giải quyết trong văn bản.
  • Các điều kiện cần và đủ về sự suy giảm thể tích của tập mức dưới cho lớp $\mathcal{F}$ mới đạt được sự tương đương chặt chẽ trên hình cầu đơn vị $B_{2n}$.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng bài toán phân loại thế vị kỳ dị thuộc lớp $\mathcal{E}$ đối với các tập giải tích có điểm kỳ dị tổng quát thông qua độ phân giải kỳ dị (resolution of singularities) của Hironaka.
  • Nghiên cứu bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức với độ đo kỳ dị trên các đa tạp Kähler compact hoặc đa tạp đại số xạ ảnh.
  • Phát triển định lý so sánh cho các lớp nghiệm suy rộng của các phương trình elliptic phi tuyến cấp hai khác trong lý thuyết thế vị phi tuyến.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị chuyên môn cao đối với cộng đồng nghiên cứu toán học lý thuyết:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Giải tích: Cung cấp phương pháp tiếp cận chi tiết từ lý thuyết thế vị cổ điển đến lý thuyết thế vị đa phức; hệ thống hóa các kỹ thuật giải tích hiện đại về dòng dương đóng, hàm đa dưới điều hòa và các lớp năng lượng Cegrell.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu Giải tích phức, Hình học phức và PDE phi tuyến:
    • Chương 1: Cung cấp công cụ và kỹ thuật phân tích Riesz để xử lý bài toán so sánh độ đo Hausdorff trên các tập con hình học phức tạp.
    • Chương 2: Cung cấp phương pháp xây dựng hàm rào giải tích và tiêu chuẩn xác định miền của toán tử Monge-Ampère, hữu ích cho việc giải các phương trình loại Monge-Ampère phát sinh trong hình học phức (như phương trình Calabi-Yau, metric Kähler-Einstein).
    • Chương 3: Cung cấp các ước lượng định lượng về hành vi biên của hàm PSH, phục vụ việc phân loại không gian hàm thế vị.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án trả lời như thế nào về việc hai hàm dưới điều hòa bằng nhau hầu khắp nơi trên một đa tạp con?

Luận án chỉ ra rằng câu trả lời phụ thuộc chính xác vào đối chiều của đa tạp con:

  • Nếu đa tạp con là siêu mặt (đối chiều 1), hoặc tổng quát hơn là tập chính quy Ahlfors-David có số chiều $k > n-2$, hai hàm dưới điều hòa bằng nhau hầu khắp nơi theo độ đo mặt (hoặc độ đo Hausdorff $H^k$) thì bắt buộc phải bằng nhau tại mọi điểm trên tập đó (Hệ quả 1.3 và 1.4).
  • Nếu đa tạp con có đối chiều lớn hơn hoặc bằng 2 (số chiều $\le n-2$), khẳng định trên không còn đúng. Luận án đã xây dựng một phản ví dụ tường minh (Example 1.4) trong $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 3$) trên không gian con đối chiều 2 là $\mathbb{R}^{n-2} \times {0}^2$, chỉ ra hai hàm bằng nhau hầu khắp nơi nhưng khác nhau tại gốc tọa độ.

2. Sự khác biệt căn bản giữa kết quả của luận án trong Chương 2 và định lý kinh điển của Kołodziej là gì?

Định lý kinh điển của Kołodziej (1998) yêu cầu độ đo $\mu$ phải được kiểm soát toàn cục bởi dung lượng tương đối $\text{Cap}(\cdot, \Omega)$ trên toàn bộ miền $\Omega$, dẫn đến nghiệm $u$ là bị chặn và liên tục trên toàn miền $\Omega$. Trong khi đó, Định lý 2.8 của luận án xét trường hợp độ đo $\mu$ có kỳ dị lớn trên một tập con $U_j = {v < -M_j}$ (do đó nghiệm không thể liên tục trên toàn miền $\Omega$). Luận án chứng minh rằng chỉ cần độ đo $\mu$ thỏa mãn điều kiện Kołodziej trên phần bù $V_j = \Omega \setminus U_j$ và bị chặn bởi $(dd^c v)^n$ trên $U_j$ với trọng số $\epsilon_j \to 0$, thì nghiệm $u$ tồn tại duy nhất và đảm bảo tính liên tục cục bộ bên ngoài tập kỳ dị của $v$.

3. Điều kiện để hàm thế vị dạng $v = -(-\log(|f_1|^{\lambda_1} + \dots + |f_m|^{\lambda_m}))^\alpha$ thuộc lớp $\mathcal{E}(\Omega)$ là gì?

Theo Mệnh đề 2.1 của luận án, giả sử $f_1, \dots, f_m$ là các hàm giải tích trên miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{C}^n$, các số thực $\lambda_1, \dots, \lambda_m > 0$, và tập không điểm chung $F = {z \in \Omega : f_1(z) = \dots = f_m(z) = 0}$ là không kỳ dị có số chiều phức $n > \dim_{\mathbb{C}} F = n - m > 0$. Khi đó, hàm $v$ thuộc miền xác định $\mathcal{E}(\Omega)$ của toán tử Monge-Ampère phức khi và chỉ khi: $$0 < \alpha < \frac{m}{n}$$ Nếu $\alpha \ge m/n$, tích phân của dòng Monge-Ampère tương ứng sẽ phân kỳ về $+\infty$ gần tập không điểm $F$.

4. Tại sao cần nghiên cứu sự suy giảm thể tích của tập mức dưới của các hàm thuộc lớp Cegrell $\mathcal{F}$?

Mặc dù định nghĩa của lớp $\mathcal{F}(\Omega)$ suy ra $\limsup_{z \to \partial\Omega} u(z) = 0$ đối với mọi $u \in \mathcal{F}(\Omega)$, nhưng giới hạn dưới $\liminf_{z \to \partial\Omega} u(z)$ có thể bằng $-\infty$ trên các tập cực đa cực tiệm cận biên (Theorem 3.9). Do đó, thông tin về giới hạn thông thường không đủ để kiểm soát độ kỳ dị của hàm tại biên. Việc ước lượng thể tích Lebesgue của tập mức dưới ${z \in \Omega : u(z) < -t}$ khi $z$ tiến gần đến $\partial\Omega$ cung cấp một tiêu chuẩn định lượng chính xác để đặc trưng hóa các hàm thuộc lớp $\mathcal{F}(\Omega)$.

Kết luận

Luận án "Some Problems in Pluripotential Theory" của TS. Đỗ Thái Dương đã giải quyết trọn vẹn ba bài toán giải tích chuyên sâu trong lý thuyết thế vị thực và lý thuyết thế vị đa phức. Tác giả đã xác lập định lý so sánh cho hàm dưới điều hòa trên các siêu mặt và phân loại ranh giới đối chiều của tính chất này qua một phản ví dụ giải tích cụ thể. Đồng thời, luận án đã mở rộng bài toán Dirichlet phi tuyến cho phương trình Monge-Ampère phức với độ đo mang kỳ dị giải tích, thiết lập tiêu chuẩn thuộc lớp $\mathcal{E}$, và đưa ra các ước lượng thể tích tập mức dưới cho lớp năng lượng Cegrell $\mathcal{F}$. Các kết quả nghiên cứu trong luận án có tính hệ thống cao, cấu trúc chặt chẽ và đã được công bố trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành toán học.