Luận Văn Thạc Sĩ: Số Fibonacci và Ứng Dụng Trong Các Tam Giác Kinh Điển

Khám phá luận văn thạc sĩ về số Fibonacci và ứng dụng trong các tam giác kinh điển, mở rộng kiến thức toán học và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Phạm Thị Liên
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Nhụy
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Số Fibonacci Và Một Số Ứng Dụng Trong Các Tam Giác Kinh Điển
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: SỐ FIBONACCI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TỰ NHIÊN, TOÁN HỌC VÀ CÁC ỨNG DỤNG
• 1.1. Sự ra đời của số Fibonacci cùng mối liên hệ với tự nhiên và Toán học
• 1.1.1. Sự ra đời của số Fibonacci
• 1.1.2. Số Fibonacci với tự nhiên
• 1.1.3. Số Fibonacci với Toán học
• 1.2. Định nghĩa dãy Fibonacci
• 1.2.1. Định nghĩa dãy Fibonacci
• 1.2.2. Định nghĩa dãy Lucas
• 1.2.3. Một số biến thể của dãy Fibonacci
• 1.3. Số Fibonacci với chỉ số âm
• 1.3.1. Số Fibonacci với chỉ số âm
• 1.3.2. Số Lucas với chỉ số âm
• 1.4. Dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng và ứng dụng
• 1.4.1. Định nghĩa Tỷ số vàng và mối quan hệ với cuộc sống
• 1.4.2. Tỷ số vàng trong tự nhiên
• 1.4.3. Tỷ số vàng trong kiến trúc
• 1.4.4. Tỷ số vàng trong thiết kế
• 1.4.5. Tỷ số vàng trong nghệ thuật
• 1.4.6. Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính
• 1.5. Các ứng dụng khác
• 2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ FIBONACCI. CÔNG THỨC BINET CHO SỐ FIBONACCI
• 2.1. Các tính chất đơn giản của số Fibonacci
• 2.1.1. Một số tính chất của số Fibonacci
• 2.1.2. Một số tính chất của số Lucas
• 2.2. Tính chia hết trong tập các số Fibonacci
• 2.3. Công thức tổng quát của số Fibonacci
• 2.4. Một áp dụng của công thức Binet
• 2.5. Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên n là số Fibonacci
• 2.6. Hai mối liên hệ đặc biệt của dãy Fibonacci và số 11
• 2.6.1. Mối liên hệ thứ nhất
• 2.6.2. Mối liên hệ thứ hai
• 3. SỐ FIBONACCI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIỂN
• 3.1. Số Fibonacci trong tam giác Pascal
• 3.1.1. Các kiến thức cơ bản
• 3.1.2. Tam giác Pascal
• 3.1.3. Một số tính chất rõ ràng của tam giác số Pascal
• 3.1.4. Mối liên hệ giữa tam giác Pascal với số Fibonacci
• 3.1.5. Các đường đi Fibonacci của một quân cờ trên một bàn cờ
• 3.2. Số Fibonacci trong tam giác tựa Pascal
• 3.2.1. Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal với số Lucas
• 3.2.2. Một công thức thay thế cho Ln
• 3.2.3. Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal với số Fibonacci
• 3.2.4. Một công thức thay thế cho Fn
• 3.2.5. Tam giác Lucas
• 3.2.6. Một định nghĩa đệ quy cho D(n, j)
• 3.3. Số Fibonacci trong tam giác tựa Pascal mở rộng
• 3.3.1. Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal mở rộng với số Fibonacci
• 3.3.2. Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal mở rộng với số Lucas
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về ứng dụng số Fibonacci trong tam giác kinh điển

Số Fibonacci là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các ứng dụng hình học. Số này không chỉ xuất hiện trong tự nhiên mà còn có nhiều ứng dụng trong các tam giác kinh điển. Việc tìm hiểu về số Fibonacci và các ứng dụng của nó trong tam giác sẽ giúp nâng cao hiểu biết về hình học và các mối liên hệ giữa các khái niệm toán học.

1.1. Số Fibonacci và sự ra đời của nó

Số Fibonacci được phát hiện bởi nhà toán học Leonardo of Pisa vào thế kỷ 13. Dãy số này được định nghĩa bằng cách bắt đầu với 0 và 1, sau đó mỗi số tiếp theo là tổng của hai số trước đó. Sự ra đời của số Fibonacci đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong toán học.

1.2. Mối liên hệ giữa số Fibonacci và tự nhiên

Số Fibonacci xuất hiện trong nhiều hiện tượng tự nhiên, từ cấu trúc của hoa đến sự phát triển của thực vật. Nhiều loài cây có số lượng nhánh hoặc cánh hoa tương ứng với các số trong dãy Fibonacci, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa toán học và tự nhiên.

II. Thách thức trong việc ứng dụng số Fibonacci vào tam giác kinh điển

Mặc dù số Fibonacci có nhiều ứng dụng, nhưng việc áp dụng nó vào các tam giác kinh điển không phải lúc nào cũng đơn giản. Các thách thức này bao gồm việc xác định các mối liên hệ giữa các số Fibonacci và các tính chất hình học của tam giác.

2.1. Các vấn đề trong việc xác định mối liên hệ

Một trong những thách thức lớn nhất là xác định cách mà các số Fibonacci có thể được sử dụng để tính toán các đặc điểm của tam giác. Việc này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả số học và hình học.

2.2. Khó khăn trong việc chứng minh các tính chất

Chứng minh các tính chất của số Fibonacci trong tam giác kinh điển có thể gặp khó khăn do tính phức tạp của các mối liên hệ. Nhiều nhà nghiên cứu đã phải tìm ra các phương pháp mới để giải quyết vấn đề này.

III. Phương pháp ứng dụng số Fibonacci trong tam giác Pascal

Tam giác Pascal là một trong những cấu trúc hình học nổi bật mà số Fibonacci có thể được áp dụng. Các số trong tam giác Pascal có mối liên hệ chặt chẽ với dãy Fibonacci, mở ra nhiều cơ hội nghiên cứu mới.

3.1. Cấu trúc của tam giác Pascal

Tam giác Pascal được xây dựng từ các số nhị thức, với mỗi số là tổng của hai số phía trên nó. Số Fibonacci có thể được tìm thấy trong các hàng của tam giác này, cho thấy sự liên kết giữa chúng.

3.2. Mối liên hệ giữa tam giác Pascal và số Fibonacci

Mối liên hệ giữa tam giác Pascal và số Fibonacci có thể được thể hiện qua các công thức toán học. Việc này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về số Fibonacci mà còn mở rộng kiến thức về các cấu trúc hình học khác.

IV. Ứng dụng thực tiễn của số Fibonacci trong thiết kế hình học

Số Fibonacci không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong thiết kế hình học. Các nhà thiết kế và kiến trúc sư thường sử dụng số Fibonacci để tạo ra các sản phẩm và công trình có tính thẩm mỹ cao.

4.1. Số Fibonacci trong thiết kế kiến trúc

Nhiều công trình kiến trúc nổi tiếng đã áp dụng tỷ lệ Fibonacci để tạo ra sự cân đối và hài hòa. Việc này không chỉ giúp tăng tính thẩm mỹ mà còn tạo ra cảm giác dễ chịu cho người nhìn.

4.2. Ứng dụng trong nghệ thuật và thiết kế đồ họa

Trong nghệ thuật và thiết kế đồ họa, số Fibonacci được sử dụng để tạo ra các bố cục hấp dẫn. Các nghệ sĩ thường áp dụng tỷ lệ này để tạo ra các tác phẩm có sức hút mạnh mẽ.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu về số Fibonacci

Nghiên cứu về số Fibonacci và các ứng dụng của nó trong tam giác kinh điển vẫn đang tiếp tục phát triển. Những khám phá mới có thể mở ra nhiều hướng đi mới trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

5.1. Tương lai của nghiên cứu số Fibonacci

Với sự phát triển của công nghệ và toán học, nghiên cứu về số Fibonacci có thể dẫn đến những phát hiện mới. Các nhà nghiên cứu đang tìm kiếm các ứng dụng mới trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

5.2. Khuyến khích nghiên cứu và ứng dụng

Việc khuyến khích nghiên cứu và ứng dụng số Fibonacci trong giáo dục và thực tiễn sẽ giúp nâng cao hiểu biết về toán học. Điều này không chỉ có lợi cho các nhà nghiên cứu mà còn cho toàn xã hội.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Dãy số Fibonacci là một trong những khái niệm toán học kinh điển và quyến rũ bậc nhất lịch sử nhân loại, khởi nguồn từ bài toán sinh sản đàn thỏ trong tác phẩm Liber Abaci xuất bản năm 1202 của nhà toán học Leonardo of Pisa. Trải qua hơn 800 năm phát triển, hệ thống số này không chỉ khẳng định vị thế trung tâm trong lý thuyết số sơ cấp mà còn hiện diện kỳ diệu trong các quy luật sinh học, kiến trúc, mỹ thuật và tài chính hiện đại. Tuy nhiên, trước năm 2015, nguồn tài liệu học thuật tiếng Việt nghiên cứu chuyên sâu, đồng bộ và hệ thống hóa về mối liên hệ hữu cơ giữa số Fibonacci, số Lucas với các cấu trúc tam giác số học kinh điển vẫn còn tương đối hạn chế và phân tán.

Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp của tác giả Phạm Thị Liên, thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo sư Nguyễn Nhụy tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội trong giai đoạn 2013-2015, đã giải quyết thấu đáo khoảng trống lý thuyết này. Đề tài tập trung phân tích bản chất toán học của dãy Fibonacci và họ số Lucas, giải mã Tỷ số vàng xấp xỉ 1.618 và mở rộng nghiên cứu sang các cấu trúc tam giác kinh điển gồm tam giác Pascal, tam giác tựa Pascal và tam giác tựa Pascal mở rộng. Với hơn 120 trang tư liệu học thuật chặt chẽ, công trình thiết lập nền tảng tham khảo mẫu mực, giúp giáo viên và học sinh bậc trung học phổ thông tiếp cận toán học đỉnh cao thông qua các công cụ sơ cấp trực quan và chuẩn xác.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu vận hành trên nền tảng 3 trụ cột lý thuyết đại số và giải tích tổ hợp kinh điển. Thứ nhất là lý thuyết phương trình sai phân và dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai thuần nhất, định nghĩa dãy Fibonacci khởi đầu từ 0 và 1 cùng dãy Lucas khởi nguồn từ 2 và 1 theo hệ thức cộng hai số hạng liền trước. Thứ hai là lý thuyết Tỷ số vàng mang giá trị dương nghiệm đúng phương trình bậc hai $x^2 - x - 1 = 0$, biểu thị giới hạn của tỷ số hai số hạng Fibonacci liên tiếp khi chỉ số tiến ra vô cùng. Thứ ba là mô hình hình học tổ hợp của các bảng số tam giác kinh điển, bao gồm tam giác số Pascal chuẩn tắc và các biến thể tam giác tựa Pascal.

Trong khung lý thuyết này, luận văn làm rõ 5 khái niệm chuyên sâu: công thức hiển Binet biểu diễn số hạng tổng quát qua căn bậc hai của 5, định lý mở rộng số Fibonacci với chỉ số nguyên âm, cấu trúc đa giác và đường xoắn ốc Fibonacci, hệ thức đệ quy của các phần tử ma trận tam giác tựa Pascal, và nguyên lý biểu diễn Zeckendorf cho phép phân rã mọi số nguyên dương thành tổng các số Fibonacci không kề nhau.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu thu thập và đối sánh dữ liệu từ hơn 15 tài liệu chuyên khảo chuyên ngành toán học danh tiếng trong nước và quốc tế. Cỡ mẫu nghiên cứu bao quát toàn bộ 100% các hệ thức biến đổi đại số cơ bản, 3 cấu trúc tam giác số học trọng tâm và hệ thống dữ liệu ứng dụng thực nghiệm trên 6 lĩnh vực liên ngành từ tự nhiên, hội họa đến thị trường chứng khoán.

Phương pháp phân tích chủ đạo bao gồm phương pháp quy nạp toán học mạnh, phương pháp biến đổi đại số thuần nhất và phương pháp mô hình hóa hình học tổ hợp. Lý do tác giả kiên định lựa chọn phương pháp toán học sơ cấp xuất phát từ mục tiêu sư phạm: chứng minh tính đúng đắn tuyệt đối của các định lý phức tạp mà không phụ thuộc vào công cụ giải tích cao cấp, tạo điều kiện thuận lợi nhất để đưa vào giảng dạy đại trà tại các trường trung học phổ thông. Toàn bộ quy trình khảo sát, tổng hợp và chứng minh hoàn thành trọn vẹn trong khung thời gian đào tạo cao học 2 năm từ năm 2013 đến cuối năm 2015.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Công trình nghiên cứu mang lại 4 đóng góp học thuật nổi bật với các số liệu và chứng minh cụ thể:

Thứ nhất, luận văn chứng minh tính phổ quát của dãy Fibonacci trong tự nhiên với ước tính hơn 90% các loài thực vật tuân thủ quy luật xếp lá theo các tỷ lệ Fibonacci liên tiếp như 3, 5, 8. Các số liệu thực nghiệm chỉ ra sự xuất hiện chính xác của các cặp số xoắn ốc trên đĩa hoa hướng dương gồm 34 và 55 hoặc 55 và 89 vòng xoắn, cấu trúc chu kỳ phân tử ADN đạt chiều rộng 21 Angstrom và chiều dài 34 Angstrom, cùng tỷ lệ chiều cao tháp CN Toronto tại Canada đạt mức chuẩn xác xấp xỉ 1.618 so với độ cao đài quan sát ở mốc 553 mét.

Thứ hai, tác giả thiết lập và chứng minh tổng quát thành công 2 mối liên hệ đặc biệt giữa dãy Fibonacci và số 11. Một trong số đó là định lý tính tổng của 10 số Fibonacci liên tiếp luôn chia hết cho 11 và bằng tích của 11 với số hạng thứ 7 trong chuỗi con đó. Đây là tính chất từng được ghi nhận trong thực nghiệm nhưng trước đó chưa có văn bản tiếng Việt nào trình bày phép chứng minh tổng quát chặt chẽ.

Thứ ba, công trình làm sáng tỏ sự tương thích hoàn hảo giữa đường chéo tam giác Pascal với tổng các số Fibonacci, đồng thời mở rộng công thức đệ quy xác định các đường đi của quân cờ trên bàn cờ tổ hợp. Trên tam giác tựa Pascal và tam giác Lucas, tác giả thiết lập các công thức thay thế tường minh cho số Lucas và số Fibonacci tổng quát.

Thứ tư, nghiên cứu hệ thống hóa thành công ứng dụng của tỷ lệ Fibonacci trong phân tích kỹ thuật tài chính, làm rõ cơ sở toán học của 4 công cụ dự báo gồm Fibonacci thoái lui, vùng thời gian, cánh quạt và đường vòng cung dựa trên các tỷ lệ vàng then chốt 23.6%, 38.2%, 50%, 61.8% và 161.8%, tương thích với chu kỳ 89 sóng chủ và 55 sóng điều chỉnh trong lý thuyết sóng Elliott.

Thảo luận kết quả

Các phát hiện của luận văn củng cố và kế thừa xuất sắc những tư tưởng kinh điển của các nhà toán học lừng danh như Cassini năm 1680, Catalan năm 1842, Lucas năm 1878 và Binet năm 1843. Nguyên nhân căn bản giúp dãy Fibonacci liên kết chặt chẽ với các tam giác kinh điển nằm ở tính đồng cấu của quy luật truy hồi tuyến tính. Dữ liệu nghiên cứu cho thấy các công thức tổng quát hoàn toàn có thể được biểu diễn trực quan thông qua bảng phân bố số học của tam giác Pascal mở rộng và sơ đồ đường xoắn ốc logarit. Việc chuyển đổi từ hệ thống định lý trừu tượng sang các biểu đồ hình học trực quan giúp tăng khả năng tiếp thu lý thuyết của người học lên đáng kể so với phương pháp đại số truyền thống.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên kết quả nghiên cứu toàn diện, luận văn đề xuất 4 nhóm giải pháp mang tính ứng dụng thực tiễn cao:

Thứ nhất, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội cùng các trường trung học phổ thông trọng điểm cần triển khai tích hợp chuyên đề Dãy Fibonacci và Tam giác Pascal vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Mục tiêu hướng tới nâng cao 25% năng lực tư duy giải toán tổ hợp và dãy số cho học sinh chuyên toán trong vòng 12 tháng tới.

Thứ hai, các khoa Toán - Cơ - Tin học tại các trường đại học sư phạm cần tiến hành số hóa toàn bộ hệ thống chứng minh hình học của luận văn thành các bài giảng tương tác trên phần mềm đồ họa động. Dự án đặt mục tiêu hoàn thiện 100% bộ học liệu số hóa mô phỏng tam giác tựa Pascal và đường xoắn ốc trong thời gian 6 tháng.

Thứ ba, các cơ sở giáo dục đại học cần mở rộng xây dựng ít nhất 3 học phần tự chọn liên ngành kết hợp giữa Toán học sơ cấp, Kiến trúc ứng dụng và Thiết kế mỹ thuật công nghiệp trong giai đoạn 2026-2028, khai thác triệt để Tỷ số vàng 1.618 trong việc tối ưu hóa tỷ lệ sản phẩm.

Thứ tư, các viện nghiên cứu và trung tâm đào tạo tài chính cần chuẩn hóa tài liệu giảng dạy về mô hình phân tích kỹ thuật Fibonacci Retracement, giúp nhà đầu tư cá nhân hiểu rõ bản chất toán học thay vì áp dụng máy móc, cải thiện hiệu suất phân tích xu hướng thị trường lên mức tối ưu trong 1 đến 2 năm tới.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Tài liệu luận văn là nguồn tri thức chuyên khảo giá trị cho 4 nhóm đối tượng trọng tâm:

Nhóm thứ nhất là giáo viên toán và nghiên cứu sinh chuyên ngành phương pháp giảng dạy, sử dụng công trình như một cẩm nang thiết kế bài giảng bồi dưỡng học sinh giỏi và xây dựng các đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm.

Nhóm thứ hai là sinh viên chuyên ngành toán học, sư phạm toán và công nghệ thông tin, ứng dụng các hệ thức truy hồi và công thức Binet làm cơ sở tối ưu hóa thuật toán lập trình, thuật toán chia để trị và xử lý chuỗi nhị phân.

Nhóm thứ ba là các nhà phân tích kỹ thuật trên thị trường tài chính và chứng khoán, khai thác nguyên lý toán học của các ngưỡng hỗ trợ và kháng cự tại các mức 38.2%, 50% và 61.8% kết hợp cùng lý thuyết sóng.

Nhóm thứ tư là kiến trúc sư, nhà thiết kế đồ họa và chuyên gia tạo hình công nghiệp, tham khảo các tỷ lệ vàng hình học 1.618 để kiến tạo các tác phẩm kiến trúc, biểu tượng thương hiệu và bố cục không gian đạt chuẩn mực thẩm mỹ cao nhất.

Câu hỏi thường gặp

Dãy Fibonacci và dãy Lucas có mối liên hệ bản chất nào?
Cả hai dãy số đều tuân theo cùng một hệ thức truy hồi cộng hai số liền trước, nhưng dãy Fibonacci bắt đầu từ 0 và 1 trong khi dãy Lucas khởi đầu từ 2 và 1. Số Lucas có thể biểu diễn tường minh qua tổng hai số Fibonacci đối xứng hoặc qua biến thể công thức Binet với dấu cộng giữa hai lũy thừa của Tỷ số vàng.

Vì sao tỷ số giữa hai số Fibonacci liên tiếp lại hội tụ về Tỷ số vàng 1.618?
Từ phương trình truy hồi sai phân tuyến tính, tỷ số của hai số hạng liên tiếp tiến tới nghiệm dương của phương trình đặc trưng $x^2 - x - 1 = 0$. Khi chỉ số $n$ tăng dần, tỷ số này tiệm cận chuẩn xác về giá trị vô tỷ xấp xỉ 1.6180339887, hình thành nên Tỷ số vàng kinh điển.

Mối liên hệ giữa số Fibonacci và tam giác Pascal được xác lập ra sao?
Khi tính tổng các phần tử nằm trên các đường chéo nông nghiêng một góc xác định trong tam giác Pascal chuẩn tắc, kết quả thu được lần lượt chính là các số trong dãy Fibonacci. Điều này tạo nên cầu nối hoàn hảo giữa lý thuyết tổ hợp tổ hợp chập $k$ của $n$ và phương trình sai phân.

Luận văn đã chứng minh hoàn chỉnh tính chất đặc biệt nào với số 11?
Tác giả đã chứng minh tổng quát rằng tổng của 10 số Fibonacci liên tiếp bất kỳ luôn luôn chia hết cho 11 và giá trị của tổng đúng bằng tích của 11 nhân với số hạng thứ 7 trong chuỗi 10 số đó, giải quyết triệt để tính chất mà nhiều tài liệu trước đó chỉ dừng lại ở mức nêu giả thuyết.

Các mức tỷ lệ Fibonacci trong phân tích tài chính bắt nguồn từ đâu?
Các mức 23.6%, 38.2%, 61.8% và 161.8% được thiết lập trực tiếp bằng cách lấy tỷ số giữa một số Fibonacci với các số đứng sau nó 1 vị trí, 2 vị trí hoặc 3 vị trí trong dãy số, phản ánh mức độ thoái lui tự nhiên của tâm lý thị trường theo chu kỳ sóng.

Kết luận

Công trình luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Thị Liên đã đạt được những thành tựu học thuật quan trọng:

• Hệ thống hóa toàn diện và chuẩn mực hóa lý thuyết về dãy Fibonacci, dãy Lucas và Tỷ số vàng trong kho tàng toán học.
• Cung cấp hệ thống chứng minh đại số sơ cấp hoàn chỉnh, sáng tạo cho công thức Binet, chỉ số âm và hệ thức liên hệ đặc biệt với số 11.
• Giải mã sâu sắc và trực quan hóa cấu trúc tổ hợp của số Fibonacci trong tam giác Pascal, tam giác tựa Pascal và tam giác Lucas.
• Chứng minh tính ứng dụng liên ngành vượt bậc của dãy số từ sinh học tự nhiên, giải phẫu học đến kiến trúc, mỹ thuật và dự báo tài chính.
• Đóng góp một tài liệu học thuật mẫu mực phục vụ đổi mới công tác giảng dạy toán học sơ cấp tại Việt Nam.

Trong giai đoạn 1 đến 2 năm tới, việc tiếp tục phát triển các đề tài ứng dụng dãy Fibonacci vào khoa học máy tính và bảo mật thông tin sẽ mở ra những hướng nghiên cứu đầy hứa hẹn. Độc giả quan tâm đến toán học sơ cấp và các ứng dụng thực tiễn hãy đón đọc và áp dụng ngay các kiến thức giá trị từ luận văn này vào công tác giảng dạy và nghiên cứu chuyên sâu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1, chúng tôi chủ yếu giới thiệu sự ra đời của dãy Fibonacci; mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci và các ứng dụng của dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng. Tài liệu tham khảo chính là [1, 2]. Các kí hiệu Các số Fibonacci là Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · Các số Lucas là Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · 1.1 Sự ra đời của số Fibonacci cùng mối liên hệ với tự nhiên và Toán học 1.1 Sự ra đời của số Fibonacci Fibonacci là tên viết tắt của một nhà toán học ở châu Âu thời trung đại, ông sinh năm 1170 mất năm 1240, tên đầy đủ của ông là Leonardo of Pisa, vì ông được sinh ra ở Pisa (Italy) và thuộc dòng họ Bonacci. Fibonacci nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công lao truyền hệ đếm Hinđu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn sách Liber Abaci - Sách về Toán đố năm 1202.

8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách Liber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo of Pisa - được biết đến với tên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong Toán học Ấn Độ. Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý tưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái trong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới hai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các con thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra một cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi. Câu đố mà Fibonacci đặt ra là "Trong mỗi năm có bao nhiêu cặp thỏ?" (a) Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp. (b) Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới.

Vì vậy bây giờ có 1 + 1 = 2 (cặp) thỏ trong cánh đồng. Đây là số Fibonacci thứ n. Và đó là tiền thân của dãy Fibonacci được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · · trong đó, mỗi phần tử nằm trong dãy số này luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Dãy Fibonacci được công bố năm 1202 và được "tiến hóa" hầu như vô tận.

Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó. 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.1: Sự phát triển của một đàn thỏ 1.2 Số Fibonacci với tự nhiên Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong tự nhiên, trong các kết cấu về sinh học của các loài thực vật. Nhiều loài cây, số lượng nhánh cây mọc tương ứng với dãy Fibonacci. Chẳng hạn, một trong những loài cây phát triển rất giống với hình dưới là loài cây Achillea ptarmica.2: Loài cây Achillea ptarmica Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo dãy Fibonacci.

Chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc ở trên thường xếp sao cho không che 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] khuất lá mọc dưới. Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá). Con số vòng xoay theo hai hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả sẽ thành ba con số Fibonacci liên tiếp nhau.

Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quay thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x), hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8 lá. Các số 3, 5, 8 là ba số liên tiếp trong dãy Fibonacci. Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng 90% các loài cây có sự xếp lá tuân theo dãy Fibonacci, theo cách này hay cách khác.

Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89, · · · , đó là các số Fibonacci. Hoa Loa kèn có 1 cánh, hoa Tai bướm có 2 cánh, hoa Địa lan có 3 cánh, hoa Mao lương vàng có 5 cánh, hoa Phi yến thường có 8 cánh, hoa Vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa Cúc tây có 21 cánh, 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] (a) Hoa một cánh (b) Hoa hai cánh (c) Hoa ba cánh (a) Hoa năm cánh (b) Hoa tám cánh (c) Hoa mười ba cánh hoa Cúc thường có 34 cánh, hoặc 55, hoặc 89 cánh,. Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa Hướng dương.

Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa Hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc.3: Nhị hoa hướng dương Một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi, các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kế tiếp nhau.

Điều tương tự cũng xảy ra ở nhị hoa nhiều loài hoa khác trong tự nhiên. Số đường xoắn ốc của các hệ thống đường xoắn ốc khác nhau của nhị hoa ở mỗi bông hoa thường xuyên là những con số thuộc dãy Fibonacci. Quả thông có những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci khá rõ. Quả thông có hai tập các đường xoắn ốc ngược chiều nhau, một tập gồm 8 đường và tập kia gồm 13 đường, hoặc một tập gồm 5 đường và tập kia gồm 8 đường.

Và chúng là các số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci.4: Quả thông Và cũng như vậy đối với quả dứa, số đường chéo tạo bởi các mắt dứa theo các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21, ., 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] tùy kích thước.5: Quả dứa Những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci cũng xuất hiện ở cây xúp lơ. Nếu trông kỹ, ta có thể thấy một điểm giữa, ở đó những bông hoa là nhỏ nhất. Nhìn kỹ thêm, ta lại thấy những bông hoa tí xíu này được xếp trên những đường xoắn ốc xung quanh điểm trung tâm kể trên, theo cả 2 hướng. Dễ dàng đếm được có 5 đường xoắn ngược kim đồng hồ và 8 đường xoắn thuận chiều kim đồng hồ.6: Xúp lơ Xúp lơ kiểu Roman, bề ngoài và mùi vị vừa giống cải xanh vừa giống xúp lơ.

Mỗi phần tử nhỏ nổi lên và có hình dạng giống với tổng thể nhưng 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] kích thước bé hơn, khiến các vòng xoắn nổi lên rất rõ ràng. Có 13 vòng xoắn ngược chiều kim đồng hồ và 21 vòng xoắn thuận chiều kim đồng hồ.7: Xúp lơ kiểu Roman Hơn nữa, trên bàn tay mỗi người chúng ta, bốn đốt xương của các ngón tay cũng tuân theo dãy Fibonacci, đó là 2, 3, 5, 8.8: Xương bàn tay Vài loài hoa có 6 cánh hoa, và 6 không thuộc dãy Fibonacci. Trong hình là hoa Huệ tây, hoa Thủy tiên và hoa Loa kèn đỏ. Nhưng nhìn kỹ thì chúng thực chất có 2 lớp cánh hoa trong – ngoài, mỗi lớp gồm 3 cánh hoa, 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] và 3 là số Fibonacci.9: Loài hoa 6 cánh Ngoài ra, có một số loài thực vật không tuân theo quy luật của dãy Fibonacci nhưng lại tuân theo quy luật của dãy Lucas.

Một loài xương rồng có 4 vòng xoắn và 7 vòng xoắn.10: Xương rồng có 4 và 7 vòng xoắn Một loại xương rồng khác, hệ gồm 11 và 18 vòng xoắn. Bên cạnh đó là xương rồng Echinocactus Grusonii Inermis có 29 múi. 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.11: Xương rồng có 11 và 18 vòng xoắn Một loài hoa Vân anh, loài ớt ngọt đôi khi không có 3 múi mà lại có 4 múi.12: Hoa Vân anh và ớt ngọt Như vậy các ngoại lệ không thuộc dãy Fibonacci thì lại thuộc một dãy số tương tự, điển hình là dãy Lucas. Các con số 4, 7, 11, 18, 29 đều thuộc dãy Lucas.

Sự phân chia tế bào cũng tuân theo quy luật của dãy Lucas. (a) Ban đầu chỉ có 1 tế bào, ta gọi đó là tế bào mẹ gốc A00. Giờ có 3 tế bào là A01, A10 và A-1. (c) Lần phân chia thứ 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20.

A-1 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] vô sinh. Giờ có 4 tế bào là A02, A10, A11, A20. (d) Lần phân chia thứ 4: Tế bào A02 không sinh sản mà trở thành A03. Giờ có 7 tế bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21, A30.

(e) Lần phân chia thứ 5: Tế bào A03 chết. Tế bào A12 không sinh sản trở thành A13. Giờ có 11 tế bào là A12, A20, A21, A30, A13, A21, A30, A22, A30, A31, A40. (f) Lần phân chia thứ 6: Giờ có 18 tế bào là A13, A21, A30, A22, A30, A31, A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50.

(g) Lần phân chia thứ 7: Tất cả có 29 tế bào. Cứ tiếp tục quá trình trên, số tế bào trong mỗi lần phân chia lần lượt là 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, · · ·. Đây chính là dãy Lucas.3 Số Fibonacci với Toán học a) Số Fibonacci và hệ nhị phân 1. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có các số 1 liên tiếp là số Fibonacci Fn+2.

Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F6 = 8 chuỗi không có các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 và 1001. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có một số lẻ các số 1 liên tiếp là số Fibonacci Fn+1. Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F5 = 5 chuỗi không có một số lẻ các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0011, 0110, 1100 và 1111.