Chương 1, chúng tôi chủ yếu giới thiệu sự ra đời của dãy Fibonacci; mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci và các ứng dụng của dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng. Tài liệu tham khảo chính là [1, 2]. Các kí hiệu Các số Fibonacci là Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · Các số Lucas là Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · 1.1 Sự ra đời của số Fibonacci cùng mối liên hệ với tự nhiên và Toán học 1.1 Sự ra đời của số Fibonacci Fibonacci là tên viết tắt của một nhà toán học ở châu Âu thời trung đại, ông sinh năm 1170 mất năm 1240, tên đầy đủ của ông là Leonardo of Pisa, vì ông được sinh ra ở Pisa (Italy) và thuộc dòng họ Bonacci. Fibonacci nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công lao truyền hệ đếm Hinđu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn sách Liber Abaci - Sách về Toán đố năm 1202.
8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách Liber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo of Pisa - được biết đến với tên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong Toán học Ấn Độ. Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý tưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái trong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới hai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các con thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra một cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi. Câu đố mà Fibonacci đặt ra là "Trong mỗi năm có bao nhiêu cặp thỏ?" (a) Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp. (b) Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới.
Vì vậy bây giờ có 1 + 1 = 2 (cặp) thỏ trong cánh đồng. Đây là số Fibonacci thứ n. Và đó là tiền thân của dãy Fibonacci được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · · trong đó, mỗi phần tử nằm trong dãy số này luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Dãy Fibonacci được công bố năm 1202 và được "tiến hóa" hầu như vô tận.
Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó. 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.1: Sự phát triển của một đàn thỏ 1.2 Số Fibonacci với tự nhiên Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong tự nhiên, trong các kết cấu về sinh học của các loài thực vật. Nhiều loài cây, số lượng nhánh cây mọc tương ứng với dãy Fibonacci. Chẳng hạn, một trong những loài cây phát triển rất giống với hình dưới là loài cây Achillea ptarmica.2: Loài cây Achillea ptarmica Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo dãy Fibonacci.
Chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc ở trên thường xếp sao cho không che 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khuất lá mọc dưới. Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá). Con số vòng xoay theo hai hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả sẽ thành ba con số Fibonacci liên tiếp nhau.
Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quay thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x), hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8 lá. Các số 3, 5, 8 là ba số liên tiếp trong dãy Fibonacci. Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng 90% các loài cây có sự xếp lá tuân theo dãy Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89, · · · , đó là các số Fibonacci. Hoa Loa kèn có 1 cánh, hoa Tai bướm có 2 cánh, hoa Địa lan có 3 cánh, hoa Mao lương vàng có 5 cánh, hoa Phi yến thường có 8 cánh, hoa Vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa Cúc tây có 21 cánh, 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (a) Hoa một cánh (b) Hoa hai cánh (c) Hoa ba cánh (a) Hoa năm cánh (b) Hoa tám cánh (c) Hoa mười ba cánh hoa Cúc thường có 34 cánh, hoặc 55, hoặc 89 cánh,. Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa Hướng dương.
Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa Hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc.3: Nhị hoa hướng dương Một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi, các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kế tiếp nhau.
Điều tương tự cũng xảy ra ở nhị hoa nhiều loài hoa khác trong tự nhiên. Số đường xoắn ốc của các hệ thống đường xoắn ốc khác nhau của nhị hoa ở mỗi bông hoa thường xuyên là những con số thuộc dãy Fibonacci. Quả thông có những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci khá rõ. Quả thông có hai tập các đường xoắn ốc ngược chiều nhau, một tập gồm 8 đường và tập kia gồm 13 đường, hoặc một tập gồm 5 đường và tập kia gồm 8 đường.
Và chúng là các số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci.4: Quả thông Và cũng như vậy đối với quả dứa, số đường chéo tạo bởi các mắt dứa theo các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21, ., 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tùy kích thước.5: Quả dứa Những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci cũng xuất hiện ở cây xúp lơ. Nếu trông kỹ, ta có thể thấy một điểm giữa, ở đó những bông hoa là nhỏ nhất. Nhìn kỹ thêm, ta lại thấy những bông hoa tí xíu này được xếp trên những đường xoắn ốc xung quanh điểm trung tâm kể trên, theo cả 2 hướng. Dễ dàng đếm được có 5 đường xoắn ngược kim đồng hồ và 8 đường xoắn thuận chiều kim đồng hồ.6: Xúp lơ Xúp lơ kiểu Roman, bề ngoài và mùi vị vừa giống cải xanh vừa giống xúp lơ.
Mỗi phần tử nhỏ nổi lên và có hình dạng giống với tổng thể nhưng 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com kích thước bé hơn, khiến các vòng xoắn nổi lên rất rõ ràng. Có 13 vòng xoắn ngược chiều kim đồng hồ và 21 vòng xoắn thuận chiều kim đồng hồ.7: Xúp lơ kiểu Roman Hơn nữa, trên bàn tay mỗi người chúng ta, bốn đốt xương của các ngón tay cũng tuân theo dãy Fibonacci, đó là 2, 3, 5, 8.8: Xương bàn tay Vài loài hoa có 6 cánh hoa, và 6 không thuộc dãy Fibonacci. Trong hình là hoa Huệ tây, hoa Thủy tiên và hoa Loa kèn đỏ. Nhưng nhìn kỹ thì chúng thực chất có 2 lớp cánh hoa trong – ngoài, mỗi lớp gồm 3 cánh hoa, 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com và 3 là số Fibonacci.9: Loài hoa 6 cánh Ngoài ra, có một số loài thực vật không tuân theo quy luật của dãy Fibonacci nhưng lại tuân theo quy luật của dãy Lucas.
Một loài xương rồng có 4 vòng xoắn và 7 vòng xoắn.10: Xương rồng có 4 và 7 vòng xoắn Một loại xương rồng khác, hệ gồm 11 và 18 vòng xoắn. Bên cạnh đó là xương rồng Echinocactus Grusonii Inermis có 29 múi. 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.11: Xương rồng có 11 và 18 vòng xoắn Một loài hoa Vân anh, loài ớt ngọt đôi khi không có 3 múi mà lại có 4 múi.12: Hoa Vân anh và ớt ngọt Như vậy các ngoại lệ không thuộc dãy Fibonacci thì lại thuộc một dãy số tương tự, điển hình là dãy Lucas. Các con số 4, 7, 11, 18, 29 đều thuộc dãy Lucas.
Sự phân chia tế bào cũng tuân theo quy luật của dãy Lucas. (a) Ban đầu chỉ có 1 tế bào, ta gọi đó là tế bào mẹ gốc A00. Giờ có 3 tế bào là A01, A10 và A-1. (c) Lần phân chia thứ 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20.
A-1 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vô sinh. Giờ có 4 tế bào là A02, A10, A11, A20. (d) Lần phân chia thứ 4: Tế bào A02 không sinh sản mà trở thành A03. Giờ có 7 tế bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21, A30.
(e) Lần phân chia thứ 5: Tế bào A03 chết. Tế bào A12 không sinh sản trở thành A13. Giờ có 11 tế bào là A12, A20, A21, A30, A13, A21, A30, A22, A30, A31, A40. (f) Lần phân chia thứ 6: Giờ có 18 tế bào là A13, A21, A30, A22, A30, A31, A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50.
(g) Lần phân chia thứ 7: Tất cả có 29 tế bào. Cứ tiếp tục quá trình trên, số tế bào trong mỗi lần phân chia lần lượt là 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, · · ·. Đây chính là dãy Lucas.3 Số Fibonacci với Toán học a) Số Fibonacci và hệ nhị phân 1. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có các số 1 liên tiếp là số Fibonacci Fn+2.
Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F6 = 8 chuỗi không có các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 và 1001. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có một số lẻ các số 1 liên tiếp là số Fibonacci Fn+1. Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F5 = 5 chuỗi không có một số lẻ các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0011, 0110, 1100 và 1111.