Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Nguyễn Đăng Quang, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Bích Huy, tập trung nghiên cứu lý thuyết bậc tôpô cho các lớp ánh xạ đa trị tác động trong không gian Banach có thứ tự và ứng dụng lý thuyết này vào việc khảo sát sự tồn tại nghiệm, đa nghiệm của các lớp bao hàm thức vi phân và phương trình vi phân phi tuyến có điều khiển phản hồi.

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, tác giả trình bày xuất phát điểm từ các định lý điểm bất động kinh điển:

  • Định lý Banach – Caccioppoli về ánh xạ co thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm và thuật toán lặp hội tụ, nhưng đòi hỏi điều kiện co tương đối ngặt nghèo.
  • Định lý điểm bất động Schauder mở rộng phạm vi nghiên cứu sang nhiều lớp phương trình vi phân phi tuyến mới, nhưng khi áp dụng trên quả cầu tâm $0$ (phần tử zero của không gian định chuẩn) lại không thể khẳng định được điểm bất động tìm được là khác $0$. Đây là một hạn chế lớn vì các mô hình tự nhiên thường đã có sẵn nghiệm tầm thường $0$ và yêu cầu thực tế là phải tìm kiếm các nghiệm không tầm thường ($x \neq 0$).
  • Lý thuyết bậc tôpô do J. Schauder xây dựng và được phát triển tiếp bởi M. Krasnoselskii cùng nhiều nhà toán học đã khắc phục triệt để hạn chế trên, cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số lượng nghiệm và khảo sát cấu trúc liên thông, compact của tập nghiệm.
  • Trong không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón, lý thuyết phương trình cho phép chứng minh các nghiệm có tính chất đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, đồng thời xử lý được các phương trình chứa dữ kiện không liên tục và xây dựng dãy lặp đơn điệu xấp xỉ nghiệm từ hai phía. Tuy nhiên, việc áp dụng quan hệ thứ tự vào nghiên cứu các ánh xạ đa trị (bao hàm thức) trước đây còn gặp nhiều hạn chế do thiếu vắng các định nghĩa thứ tự phù hợp giữa hai tập hợp.
  • Mặt khác, đối với các bao hàm thức vi phân chứa toán tử vi phân phi tuyến (như toán tử $p$-Laplace), lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ có giá trị không lồi dạng $P \circ T$ do R. Bader thiết lập mới chỉ dừng lại ở dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder trên quả cầu tâm $0$, chưa đủ công cụ để xác định nghiệm dương không tầm thường hoặc đa nghiệm.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể gồm:

  1. Phát triển hệ thống lý thuyết bậc tôpô theo nón cho các lớp ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên có giá trị lồi đóng, thiết lập các công thức tính bậc tôpô thông qua đạo hàm Fréchet theo nón và trên các miền định dạng bởi hàm lồi, hàm lõm.
  2. Mở rộng lý thuyết bậc tôpô của R. Bader cho lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi dạng phân tích $P \circ T$ khi không gian được trang bị tôpô yếu hoặc tôpô $(*)$-yếu, thiết lập các tiêu chuẩn tính chỉ số bậc bằng $0$ và bằng $1$.
  3. Ứng dụng các kết quả bậc tôpô đã xây dựng để chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đa nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm cho ba bài toán vi phân cụ thể: bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm chứa số hạng phi địa phương; bài toán biên nhiều điểm liên hợp bậc $m$ với điều khiển phản hồi; và phương trình Logistic suy rộng chứa toán tử $p$-Laplace với điều khiển phản hồi.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Các ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên nhận giá trị lồi đóng; ánh xạ đa trị phân tích được $F = P \circ T$ nhận giá trị không lồi; các nón đóng trong không gian Banach thực; các bao hàm thức vi phân cấp hai, phương trình vi phân cấp $m$ liên hợp và phương trình đạo hàm riêng elliptic phi tuyến ($p$-Laplacian).
  • Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát trong các không gian Banach thực vô hạn chiều như $C[0,1]$, $L^1[0,1]$, $C^m(I)$, $L^\infty(I)$, $W_0^{1,p}(\Omega)$; tập trung vào nghiệm thuộc nón dương (nghiệm không âm, không tầm thường) trên các miền không gian một chiều hoặc nhiều chiều bị chặn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Trong phần tổng quan, tác giả hệ thống hóa các mốc phát triển chính của lý thuyết không gian có thứ tự, bậc tôpô và ánh xạ đa trị:

  • Quan hệ thứ tự trong toán học trừu tượng xuất hiện từ đầu thế kỷ 20 gắn liền với bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại, định lý mở rộng Hahn – Banach và định lý tích Tychonoff.
  • Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được xây dựng hệ thống vào thập niên 1940 trong công trình của M. Krein, sau đó phát triển mạnh trong giai đoạn 1950 – 1970 bởi M. Krasnoselskii và các học trò.
  • Lý thuyết ánh xạ đa trị và bao hàm thức phát triển từ những năm 1950 trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển với các định lý mở rộng của S. Banach, Caccioppoli, J. Schauder, Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz và bất đẳng thức Ky Fan.
  • Bậc tôpô cho ánh xạ đa trị có giá trị lồi trong không gian Banach có thứ tự được hoàn thiện vào thập niên 1970 bởi Y. Fitzpatrick, T. Borisovich và cộng sự, W. Kryszewski, tạo cơ sở mở rộng các định lý điểm bất động nén/giãn nón của M. Krasnoselskii và định lý Leggett – Williams.
  • Các nghiên cứu gần đây về quan hệ thứ tự giữa hai tập hợp và ứng dụng bậc tôpô đa trị bao gồm các công trình của các tác giả được trích dẫn trong tài liệu tham khảo [6, 7, 38, 51, 54, 57, 65, 67, 68].
  • Nghiên cứu bậc tôpô cho ánh xạ có giá trị không lồi: R. Bader ([2]) xây dựng bậc tôpô tương đối theo tập lồi cho ánh xạ dạng $P \circ T$ với $T$ đa trị lồi và $P$ đơn trị phi tuyến.
  • Về các bài toán vi phân ứng dụng:
    • Bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên phi địa phương được xét trong công trình [47] (trường hợp phương trình) và [38] (trường hợp bao hàm thức với bậc tôpô giá trị lồi).
    • Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với tham số $\lambda = 1$ được nghiên cứu bởi tác giả trong [42] (sử dụng bậc Leray – Schauder chứng minh tồn tại số chẵn nghiệm); trường hợp $\lambda$ là hằng số và $f = f(t,x)$ được khảo sát trong [12, 13] (dùng định lý nén/giãn nón Krasnoselskii).
    • Phương trình Logistic mô tả phát tán sinh thái dừng được R. C. MacCamy đề xuất năm 1981 ([35]) dưới dạng $-\Delta u = \lambda a(x)u - b(x)u^2$, sau đó được mở rộng sang dạng chứa toán tử $p$-Laplace và số hạng Kirchhoff trong các công trình [26, 27, 28, 41, 52, 53].

Vị trí của luận án: Luận án giải quyết khoảng trống về phương pháp tính bậc tôpô theo nón cho ánh xạ đa trị thông qua việc đưa ra khái niệm đạo hàm Fréchet theo nón, mở rộng bậc R. Bader sang cấu trúc tôpô $(*)$-yếu, đồng thời kết hợp quan hệ thứ tự giữa các tập hợp để xử lý bài toán điều khiển phản hồi phụ thuộc trạng thái u(t) trong các bao hàm thức và phương trình vi phân phi địa phương.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết của luận án dựa trên giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết không gian Banach có thứ tự và lý thuyết bậc tôpô:

  • Không gian Banach có thứ tự $(X, K)$: Không gian Banach thực $X$ trang bị nón lồi, đóng $K$ thỏa mãn $K \cap (-K) = {\theta}$; thứ tự bộ phận được xác định bởi $x \le y \Leftrightarrow y - x \in K$.
  • Ánh xạ đa trị: Xét ánh xạ $F: D \subset X \to 2^Y \setminus {\emptyset}$. Ký hiệu $cc(K)$ là tập các tập con lồi, compact, khác rỗng của $K$. Ánh xạ $F$ là nửa liên tục trên nếu tập ${x \in D: F(x) \subset E}$ đóng với mọi $E$ đóng; $F$ là compact nếu $F(S)$ compact tương đối với mọi tập $S$ bị chặn.
  • Bậc tôpô theo nón $i_K(A, \Omega)$: Với $\Omega$ mở bị chặn trong $X$ và $A: K \cap \overline{\Omega} \to cc(K)$ compact, nửa liên tục trên không có điểm bất động trên biên $K \cap \partial\Omega$, bậc tôpô được định nghĩa thông qua ánh xạ đơn trị compact $f$ đồng luân với $A$, ký hiệu $i_K(A, \Omega) = i_K(f, \Omega)$. Bậc thỏa mãn các tính chất chuẩn hóa, bất biến đồng luân, Poincaré và cộng tính.
  • Khả vi Fréchet theo nón: Khái niệm đạo hàm theo nón tại $x_0$ ($A'{x_0}$) và tại vô cùng ($A'\infty$) của ánh xạ đa trị $A$ thông qua khoảng cách Hausdorff $d_H$.
  • Quan hệ thứ tự giữa các tập hợp: Định nghĩa 3 dạng quan hệ giữa hai tập hợp $A, B$:
    • $A \le^{(1)} B \Leftrightarrow (\forall x \in A, \exists y \in B: x \le y) \Leftrightarrow A \subset B - K$
    • $A \le^{(2)} B \Leftrightarrow (\forall y \in B, \exists x \in A: x \le y) \Leftrightarrow B \subset A + K$
    • $A \le^{(3)} B \Leftrightarrow (\forall x \in A, \forall y \in B: x \le y) \Leftrightarrow B - x \subset K, \forall x \in A$
  • Ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$: Ánh xạ đa trị từ $K$ vào $2^K \setminus {\emptyset}$ với $T: K \to (K_1, \sigma)$ nửa liên tục trên có giá trị lồi, $\sigma$-compact; $P: (K_1, \sigma) \to K$ đơn trị liên tục theo dãy; $\sigma$ là tôpô yếu $\sigma(F, F^)$ hoặc tôpô $()$-yếu $\sigma(G^*, G)$ với $G$ khả ly.

Phương pháp nghiên cứu thực tế:

  • Phương pháp lý thuyết bậc tôpô trong nón kết hợp phương pháp đồng luân phi tuyến.
  • Kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm và nguyên lý chặn hàm.
  • Phương pháp toán tử giải kết hợp biểu diễn tích phân qua hàm Green $G(t,s)$.
  • Phương pháp dãy lặp đơn điệu xấp xỉ nghiệm từ hai phía.
  • Sử dụng các định lý giải tích hàm cổ điển: Định lý Dunford – Pettis về tính compact yếu trong $L^1$, định lý Ascoli – Arzela về tập compact trong không gian hàm liên tục $C[0,1]$, định lý Krein – Milman và định lý Banach – Alaoglu.

Nguồn tư liệu và dữ liệu: Luận án là công trình nghiên cứu lý thuyết toán học thuần túy; dữ liệu nghiên cứu là các hệ phương trình vi phân, bao hàm thức vi phân và phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ các mô hình truyền nhiệt vật lý và mô hình phát tán sinh học quần thể.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Bậc tôpô của ánh xạ đa trị tác động trong không gian Banach có thứ tự

Chương 1 thiết lập các kết quả lý thuyết nền tảng về bậc tôpô theo nón cho hai lớp ánh xạ đa trị: lớp nhận giá trị lồi và lớp nhận giá trị không lồi dạng phân tích.

                    CẤU TRÚC LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1
Mục 1.1: Ánh xạ đa trị giá trị lồi             Mục 1.2: Ánh xạ đa trị giá trị không lồi
- Bậc tôpô theo nón và tính chất đặc trưng     - Ánh xạ phân tích được F = P o T
- Tính bậc trên miền đặc biệt (hàm lồi/lõm)    - Mở rộng tôpô yếu và tôpô (*)-yếu
- Đạo hàm Fréchet theo nón và tính compact     - Tiêu chuẩn tính bậc i_K(F, D) = 0 và 1
- Định lý điểm bất động (1, 2, 3 điểm)         - Bổ đề xây dựng phiếm hàm phân tách
- Bài toán giá trị riêng phi tuyến

1. Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi (Mục 1.1)

  • Tính bậc tôpô của một số ánh xạ (Mục 1.1.2): Thiết lập Mệnh đề 1.6 về tính bảo toàn bậc trên tập mở con $\Omega_0 \subset \Omega$; Mệnh đề 1.7 chứng minh $i_K(A, \Omega) = 1$ khi $A(K \cap \partial\Omega) \subset K_1 \subset K$; Định lý 1.8 và Định lý 1.9 đưa ra điều kiện để $i_K(A, \Omega) = 1$ hoặc $0$ dựa trên vị trí của tập lồi compact $C$ hoặc phần tử $u \in K$; Định lý 1.10 và Định lý 1.11 xác lập tiêu chuẩn bậc triệt tiêu $i_K(A, \Omega) = 0$ khi tồn tại phần tử $x_0 \in K \setminus {\theta}$ sao cho $\lambda x_0 \notin x - tA(x)$.
  • Tính bậc trên các miền đặc biệt (Mục 1.1.3): Xét tập $K(\gamma, d) = {x \in K: \gamma(x) < d}$ với $\gamma$ là phiếm hàm lồi liên tục và $\psi$ là phiếm hàm lõm liên tục. Định lý 1.13 và Định lý 1.14 chứng minh các công thức tính $i_K(A, \Omega) = 1$ hoặc $i_K(A, \Omega) = 0$ trên miền giao $K(\gamma, d, \psi, a) = K(\gamma, d) \cap {x \in K: \psi(x) > a}$.
  • Bậc tôpô của ánh xạ khả vi (Mục 1.1.4):
    • Định lý 1.16 khẳng định: Nếu ánh xạ đa trị $A$ compact và khả vi Fréchet theo nón $K$ tại $x_0$ (hoặc tại $\infty$) thì ánh xạ đạo hàm $A'{x_0}$ (tương ứng $A'\infty$) cũng là ánh xạ compact trên $K$.
    • Định lý 1.17 chứng minh công thức tính bậc thông qua đạo hàm: Nếu $A'$ không có vectơ riêng trong $K$ ứng với giá trị riêng bằng $1$ thì $i_K(A, B(\theta, \rho)) = i_K(A', B(\theta, \rho))$ với $\rho > 0$ đủ nhỏ (khi lấy đạo hàm tại $\theta$) hoặc $\rho > 0$ đủ lớn (khi lấy đạo hàm tại $\infty$).
  • Ứng dụng vào bài toán điểm bất động (Mục 1.1.5):
    • Định lý 1.19 và 1.21: Mở rộng định lý nén và giãn nón Krasnoselskii cho ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi đóng thỏa mãn quan hệ thứ tự $A(x) \le^{(1)} x$ hoặc $A(x) \ge^{(2)} x$.
    • Định lý 1.20 và 1.23: Thiết lập điều kiện tồn tại ít nhất hai điểm bất động $x^* \in \Omega_2 \setminus \overline{\Omega}_1$ và $x^{**} \in \Omega_3 \setminus \overline{\Omega}_2$.
    • Định lý 1.24 và 1.25: Mở rộng định lý Leggett – Williams cho ánh xạ đa trị nhận giá trị trong $cc(K_c)$, chứng minh sự tồn tại của ít nhất ba điểm bất động (Định lý 1.24) hoặc ít nhất hai điểm bất động (Định lý 1.25) thông qua phiếm hàm lõm liên tục $\psi$.
  • Ứng dụng vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng (Mục 1.1.6): Định lý 1.26 và 1.27 chứng minh sự tồn tại của cặp $(\lambda_0, x_0)$ thỏa mãn $\lambda_0 x_0 \in A(x_0)$ với $\lambda_0 > 0, x_0 \in K \cap \partial\Omega$, đồng thời khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi $\lambda \to \infty$.

2. Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi (Mục 1.2)

  • Xét ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ trên không gian Banach $E$ với nón $K$ và không gian $F$ với nón $K_1$, trang bị tôpô $\sigma$ là tôpô yếu $\sigma(F, F^)$ hoặc tôpô $()$-yếu $\sigma(G^*, G)$ với $G$ khả ly.
  • Mệnh đề 1.2 chứng minh tính liên tục của toán tử $P: (K_1, \sigma) \to K$ tương đương với tính liên tục theo dãy dưới cấu trúc tôpô $(*)$-yếu nhờ Định lý Krein – Milman và tính khả metric trên các hình cầu đóng $B_{F,n}$.
  • Mệnh đề 1.3 chứng minh tính nửa liên tục trên và tính chất nhận giá trị $\sigma$-compact của ánh xạ $T$ dựa trên Định lý Kakutani và Định lý Banach – Alaoglu.
  • Thiết lập các tính chất đặc trưng của bậc $i_K(F, D)$: tính cộng tính, tính bất biến qua đồng luân, và tính chuẩn hóa yếu.
  • Mệnh đề 1.5, 1.6 và 1.7 thiết lập các tiêu chuẩn trực tiếp tính chỉ số bậc $i_K(F, D) = 0$ và $i_K(F, D) = 1$ trên tập mở bị chặn $D \subset E$.

Chương 2: Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển phản hồi

Chương 2 vận dụng các định lý bậc tôpô của Chương 1 để giải quyết ba bài toán biên phi tuyến cụ thể:

Bài toán Mô hình toán học Không gian hàm Kỹ thuật giải tích chính Kết quả đạt được
Mục 2.1 $-x''(t) \in f(t, x(t)), t \in [0,1]$
Biên phi địa phương & nhiều điểm		 $C[0,1]$ Hàm Green $G(t,s)$, Định lý Dunford-Pettis, Ascoli-Arzela Tồn tại nghiệm dương không tầm thường, đa nghiệm, nghiệm khi $\lambda \to \infty$
Mục 2.2 $Lu(t) = \lambda(t)f(t, u, \dots, u^{(m-1)})$
$\lambda(t) \in F(t, u(t))$ (bậc $m$)		 $C^m(I) \times L^\infty(I)$ Điểm bất động đa trị lồi, đánh giá tiên nghiệm trong nón Tồn tại 1 hoặc 2 nghiệm dương không tầm thường
Mục 2.3 $-\Delta_p u = \lambda(x)f(x,u,\nabla u) + g(x,u)$
$\lambda(x) \in F(x, u(x))$ (Logistic)		 $W_0^{1,p}(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$ Bậc tôpô $P \circ T$ giá trị không lồi, toán tử giải $p$-Laplacian Tồn tại 1 hoặc 2 nghiệm không âm không tầm thường

1. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương (Mục 2.1)

  • Xét bài toán: $$\begin{cases} -x''(t) \in f(t, x(t)), \quad 0 \le t \le 1 \ x'(0) = u(x), \quad x(1) = \sum_{i=1}^{m-2} \alpha_i x(\eta_i) \quad (m \ge 3) \end{cases}$$ trong đó $u(x) = \int_0^\theta x(s)ds$ ($0 < \theta < 1$), $\alpha_i > 0$, $\eta_i \in (0,1)$, $\sum_{i=1}^{m-2} \alpha_i < 1$ và $\sum_{i=1}^{m-2} \alpha_i \eta_i < 1$.
  • Thiết lập các hằng số hình học: $$A = 1 - \sum_{i=1}^{m-2} \alpha_i \eta_i, \quad B = 1 - \sum_{i=1}^{m-2} \alpha_i, \quad D = \frac{A+B}{A}$$ $$C = \min \left{ 1 - \frac{B}{A}\left(\frac{1}{2} - \frac{\theta}{2}\right), \frac{1}{D}\left(\frac{1}{2} - \frac{\theta}{2}\right) \right} > 0$$
  • Đưa bài toán về bài toán tìm điểm bất động của toán tử tích phân đa trị: $$T(x) = \left{ h \in K: \exists y \in F_x, h(t) = \phi(t)u(x) + \int_0^1 G(t,s)y(s)ds \right}$$ với $\phi(t) = \frac{A - Bt}{A}$ và $G(t,s)$ là hàm Green liên kết.
  • Bổ đề 2.3 chứng minh chi tiết: Ánh xạ $T: K \to 2^K \setminus {\emptyset}$ là ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên và có giá trị lồi đóng trong không gian $C[0,1]$. Quá trình chứng minh sử dụng Định lý Dunford – Pettis để trích dãy con hội tụ yếu trong $L^1[0,1]$ và Định lý Ascoli – Arzela để chứng minh tính đồng liên tục của họ ảnh.
  • Định lý 2.4 thiết lập điều kiện tường minh cho các hàm giới hạn: $$\sup f(t,x) \le \frac{4(1 - \theta)R}{D}, \quad \forall x \in [0, R]$$ $$f(t,x) \ge \frac{2048}{27 C^{1/8}} x, \quad \forall x \in [\rho, \infty)$$ để khẳng định bài toán có ít nhất một nghiệm không tầm thường thuộc nón $K$.

2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi (Mục 2.2)

  • Xét phương trình vi phân bậc $m$: $$Lu(t) = \lambda(t) f(t, u(t), u'(t), \dots, u^{(m-1)}(t)), \quad t \in I$$ kết hợp điều kiện biên nhiều điểm liên hợp bậc $m$ và điều khiển phản hồi phụ thuộc trạng thái $\lambda(t) \in F(t, u(t))$ hầu khắp nơi trên $I$.
  • Toán tử vi phân $Lu = u^{(m)} + p_1(t)u^{(m-1)} + \dots + p_m(t)u$ thỏa mãn điều kiện mọi nghiệm không tầm thường của $Lu = 0$ có ít hơn $m$ không-điểm trên $I$.
  • Luận án chuyển hệ phương trình vi phân và bao hàm thức điều khiển về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi đóng trên không gian $C^{m-1}(I)$, áp dụng định lý bậc tôpô trong nón để chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm dương không tầm thường.

3. Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi (Mục 2.3)

  • Xét phương trình Logistic suy rộng chứa toán tử $p$-Laplace và tham số điều khiển phản hồi đa trị: $$\begin{cases} -\Delta_p u = \lambda(x) f(x, u, \nabla u) + g(x, u) & \text{trong } \Omega \ u = 0 & \text{trên } \partial\Omega \ \lambda(x) \in F(x, u(x)) & \text{hầu khắp nơi trong } \Omega \end{cases}$$
  • Luận án phân tích bài toán thành phương trình điểm bất động dạng hợp $u \in (P \circ T)(u)$, trong đó $T$ là ánh xạ đa trị lồi biểu diễn phần vế phải và điều khiển phản hồi, còn $P$ là toán tử giải đơn trị phi tuyến của bài toán biên liên kết $-\Delta_p u - g(x, u) = h$.
  • Áp dụng các định lý tính bậc cho ánh xạ phân tích được $P \circ T$ với giá trị không lồi đã xây dựng ở Mục 1.2, tác giả chứng minh:
    • Bài toán có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường khi $\lambda_1 < p - 1$ và khi $\lambda_1 > p - 1$.
    • Bài toán có ít nhất hai nghiệm không âm, không tầm thường khi $\lambda_1 = p - 1$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự tổng hợp các đóng góp mới về mặt lý luận giải tích và thực tiễn giải bài toán vi phân như sau:

  1. Đóng góp về mặt lý luận toán học:

    • Mở rộng lý thuyết đạo hàm theo nón cho ánh xạ đa trị: Chứng minh rằng đạo hàm Fréchet theo nón (tại điểm zero $\theta$ và tại vô cùng $\infty$) của ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi đóng vẫn duy trì tính chất compact; thiết lập công thức tính bậc tôpô của ánh xạ thông qua bậc tôpô của đạo hàm.
    • Bổ sung hệ thống định lý điểm bất động mới trong không gian Banach có thứ tự: Mở rộng định lý nén/giãn nón của Krasnoselskii và định lý ba điểm bất động Leggett – Williams cho ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi đóng.
    • Phát triển hoàn thiện lý thuyết bậc tôpô của R. Bader cho lớp ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ có giá trị không lồi: Mở rộng phạm vi áp dụng từ không gian với tôpô yếu sang không gian trang bị tôpô $()$-yếu $\sigma(G^, G)$ với $G$ khả ly; thiết lập các tiêu chuẩn tường minh xác định chỉ số bậc $i_K(P \circ T, D) = 0$ và $i_K(P \circ T, D) = 1$.

  2. Đóng góp về mặt ứng dụng giải toán:

    • Thiết lập các điều kiện đủ tường minh về sự tồn tại nghiệm dương, đa nghiệm và nghiệm tiệm cận cho bao hàm thức vi phân cấp hai có điều kiện biên nhiều điểm chứa số hạng tích phân phi địa phương.
    • Giải quyết trọn vẹn bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến bậc $m$ khi tham số điều khiển $\lambda(t)$ chịu tác động phản hồi từ trạng thái của hệ thống.
    • Khảo sát thành công sự tồn tại nghiệm và đa nghiệm cho phương trình Logistic suy rộng chứa toán tử phi tuyến $p$-Laplace dưới tác động của điều khiển phản hồi đa trị phi địa phương $\lambda(x) \in F(x, u(x))$.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và nội dung được trình bày trong văn bản:

  • Hạn chế:
    • Luận án tập trung vào các lớp ánh xạ đa trị compact hoặc ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ với $T$ có giá trị lồi $\sigma$-compact. Các lớp ánh xạ đa trị không compact tổng quát (như ánh xạ ngưng kết, ánh xạ loại $k$-co) chưa được khảo sát.
    • Các bài toán biên vi phân và phương trình đạo hàm riêng chỉ được xét trên các miền bị chặn (đoạn $[0,1]$ trong không gian một chiều hoặc miền $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ bị chặn với biên trơn $\partial\Omega$).
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng lý thuyết bậc tôpô cho các lớp ánh xạ đa trị phi compact tác động trong không gian Banach có thứ tự.
    • Nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến và phương trình Logistic với điều khiển phản hồi trên các miền không bị chặn (miền vô hạn $\mathbb{R}^N$).
    • Phát triển các thuật toán số và phương pháp xấp xỉ dãy lặp đơn điệu cụ thể để tính toán số trị nghiệm cho phương trình chứa toán tử $p$-Laplace với điều khiển phản hồi.

Giá trị tham khảo

  • Đối tượng thụ hưởng:
    • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Phương trình vi phân và tích phân, Giải tích phi tuyến.
    • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết điều khiển tối ưu, Toán ứng dụng trong cơ học chất lỏng và sinh học quần thể.
  • Các nội dung có giá trị tham khảo chuyên sâu:
    • Kỹ thuật tính bậc tôpô qua đạo hàm theo nón (Mục 1.1.4) và khung lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ không lồi $P \circ T$ (Mục 1.2): Cung cấp công cụ giải tích để giải quyết các bài toán điểm bất động đa trị phức tạp.
    • Kỹ thuật chuyển đổi bài toán biên phi địa phương về phương trình điểm bất động qua hàm Green và định lý Dunford – Pettis (Mục 2.1): Cung cấp quy trình mẫu mực để khảo sát các bài toán truyền nhiệt và bài toán biên đa điểm.
    • Kỹ thuật kết hợp toán tử giải của toán tử $p$-Laplacian với bậc tôpô Bader (Mục 2.3): Cung cấp phương pháp luận xử lý các phương trình đạo hàm riêng elliptic phi tuyến có chứa số hạng phản hồi đa trị.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án giải quyết hạn chế cơ bản nào của Định lý điểm bất động Schauder?
Trả lời: Định lý Schauder khi áp dụng cho hình cầu tâm $0$ chỉ bảo đảm sự tồn tại điểm bất động nói chung mà không khẳng định được điểm đó khác phần tử zero ($0$). Luận án khắc phục điểm này bằng cách sử dụng lý thuyết bậc tôpô trong nón $i_K(A, \Omega)$, cho phép chứng minh sự tồn tại của các điểm bất động không tầm thường ($x \neq 0$), đánh giá số lượng nghiệm và cấu trúc tập nghiệm.

2. Đạo hàm Fréchet theo nón của ánh xạ đa trị compact có giữ được tính chất compact không?
Trả lời: Có. Theo Định lý 1.16 của luận án, nếu ánh xạ đa trị $A$ là compact và khả vi Fréchet theo nón $K$ tại điểm $x_0$ (hoặc tại $\infty$) thì ánh xạ đạo hàm $A'{x_0}$ (tương ứng $A'\infty$) cũng là ánh xạ compact trên $K$.

3. Ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ trong Chương 1 được cấu thành từ những thành phần nào?
Trả lời: Ánh xạ $F: K \to 2^K \setminus {\emptyset}$ có dạng hợp thành $F = P \circ T$, trong đó $T: K \to (K_1, \sigma)$ là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên nhận giá trị lồi, $\sigma$-compact; $P: (K_1, \sigma) \to K$ là ánh xạ đơn trị liên tục theo dãy; và $\sigma$ là tôpô yếu $\sigma(F, F^)$ hoặc tôpô $()$-yếu $\sigma(G^*, G)$ với $G$ là không gian Banach khả ly.

4. Trong bài toán truyền nhiệt phi địa phương ở Mục 2.1, số hạng phi địa phương $u(x)$ được định nghĩa như thế nào?
Trả lời: Số hạng phi địa phương $u(x)$ là một phiếm hàm xác định trên nón $K \subset C[0,1]$ bởi công thức tích phân $u(x) = \int_0^\theta x(s) ds$ với $0 < \theta < 1$ cố định, xuất hiện trực tiếp trong điều kiện biên tại điểm đầu mút $x'(0) = u(x)$.

5. Điều khiển phản hồi trong bài toán phương trình Logistic ở Mục 2.3 có dạng toán học như thế nào?
Trả lời: Tham số tăng trưởng $\lambda(x)$ không phải là hằng số cố định mà phụ thuộc vào vị trí không gian $x \in \Omega$ và mật độ quần thể $u(x)$ thông qua bao hàm thức phản hồi đa trị $\lambda(x) \in F(x, u(x))$ hầu khắp nơi trong miền $\Omega$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Đăng Quang đã phát triển có hệ thống lý thuyết bậc tôpô theo nón cho hai lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi và không lồi trong không gian Banach có thứ tự. Công trình đã chứng minh nhiều định lý điểm bất động mới thông qua đạo hàm Fréchet theo nón và phiếm hàm lồi/lõm, mở rộng phạm vi của lý thuyết bậc tôpô sang cấu trúc tôpô $(*)$-yếu. Các kết quả lý thuyết trừu tượng này đã được ứng dụng hiệu quả để giải quyết trọn vẹn bài toán tồn tại nghiệm dương, nghiệm kép và dáng điệu tiệm cận cho các lớp bao hàm thức vi phân cấp hai phi địa phương, bài toán biên liên hợp bậc $m$ và phương trình Logistic suy rộng với điều khiển phản hồi.