mở đầu cho việc nghiên cứu giải tích Fourier, từ đó đưa đến các ứng dụng của giải tích Fourier trong việc giải các lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau, chẳng hạn như phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu. Trong các phần tiếp theo của luận văn ta sẽ đưa ra các điều kiện chính xác để bài toán trên được nghiệm 13 đúng. Tuy nhiên, các hệ số A, có thể được dự đoán qua một cách đánh giá đơn giản như sau. Đầu tiên, từ biểu thức xác định A, 3 Ansin r= f(z).18) Nhân hai về của phương trình với sin 4x rồi lấy tích phan từ 0 đến L ta thu được [© f(x) sin “ede = [ (~~ A, sin Tz) sin ede 1L, % n=l = ⁄ TT ma L =3.
sin T +sin T zd# = Ẩm n=1 0 Kết quả trên có được là do Ủng. mm 0 neu m # n, sin —z sin da = 0 L L L/2 nếu m= n. Như vậy, ta có thể dự đoán được =2 | 1a ƒ(z) sin ede.19) Bang lập luận tương tự ta cũng dự đoán được L 2 TH Đạ =—— g(x) sin ——#.20) nna Jo L Trong phần tiếp theo, khi xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền nhiệt bằng phương pháp tách biến ta cũng thấy xuất hiện câu hỏi tương tự như Bài toán 1.3 Phương trình truyền nhiệt 1.1 Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt Xét một vật thể rắn mà nhiệt độ của nó tại điểm (z,,z) vào tại thời điểm £ là một hàm ø(z,,z). Nếu các phần tử của vật thể có nhiệt độ khác nhau, thì bên trong vật thể có sự trao đổi nhiệt lượng từ phần nóng (có nhiệt độ cao hơn) sang phần lạnh hơn (có nhiệt độ thấp hơn).
14 Giả sử vật thể được coi là đẳng hướng, tức là tại một điểm (z,ø,z) xác định thì nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau. Nói cách khác đi, hệ số truyền nhiệt & chỉ phụ thuộc vào (z,, z) không phụ thuộc vào các hướng. Khi đó quy luật truyền nhiệt được cho bởi 2 2 2 +(%,, z)p(%,9, 2% —= k(#,Đ, 2(8 + of + mm) + F(z,0,z, t), (1. Nếu vật thể là đồng chất, tức là +, ø,k là các hằng số và trong vật thể không có nguồn nhiệt Ƒ(z,,z,£) = 0 thì (1.21) có dạng Ou Oru ; Pu ; Oru, =4 (1.22) ot 0z? ` Oy? 0z3” trong đó2qg—„./* a = Tp" Hơn nữa, nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc z,,£ vi dụ xét sự trao đổi nhiệt trong một bản phẳng mỏng thì (1.23) Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào z, chang hạn xét sự truyền nhiệt trong một thanh thẳng, nhỏ thì (1.22) có dang du — sØ°u Trong hai trường hợp này ta cần giả sử là không có sự trao đổi nhiệt giữa bản mỏng hay thanh nhỏ với môi trường xung quanh.
Cũng tương tự như phương trình dao động của dây và của màng, muốn xác định quy luật truyền nhiệt trong vật thể thì ngoài phương trình (1.21) ta cần bổ sung thêm các điều kiện đầu tại t = 0 hoặc các điều kiện biên. Theo phân loại, phương trình nhiệt thuộc loại phương trình parabol. Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền nhiệt trong các điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thể.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt Xét phương trình truyền nhiệt trong thanh đồng chất Ou Ou OL = ea (1.24) 15 thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x,0) = f(z), O0<«<L, (1.25) và các điều kiện biên thuần nhất u(0,t)=0, t>0, (1. Giả sử thêm f là ham liên tục, khả vi từng khúc và triệt tiêu tại điểm dau x = 0 var=L, tức là ƒ(0) = ƒ(L) = 0.
Tương tự đối với việc xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng Phần 1.3, ta tìm nghiệm không tầm thường của bài toán (1.24) dưới dạng tách biến u(x,t) = X(x)T(t), trong đó X là ham chỉ phụ thuộc vào z, T là hàm chi phụ thuộc vào ¿. Thay biểu thức nghiệm lên phương trình (1.24) ta thu được X(z)T'() = a? T(t) X" (a), hay Tit) _ XM) _ ÀH a’T(t) Xứ) trong đó A là một hằng số. Từ đó phương trình (1.24) cũng dẫn đến bài toán tim giá tri riêng va hàm riêng như sau T(t) +a?\T(t) =0, (1. Diéu kién bién (1.
Như vậy đối với hàm X(z) ta nhận được bai toán biên đối với phương trình vi phân cấp hai X”(z) (x) ++ AX(z) AX (x) = 0, " X(0) = X(L) =0. Tương tự với giải phương trình truyền sóng, chỉ với những giá trị của À > 0 thỏa mãn Nye n=1/2/3,.29) 16 thì bài toán (1.28) có nghiệm không tầm thường Xp(x) = Ap sin ar n=1,2,3,. Với các giá trị riêng của \, được xác định như (1.29), phương trình thứ nhất trong hệ (1.27) có nghiệm tương ứng là Tr(t) = Bạc 2?” n=1,3,3. Do đó phương trình (1.24) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) có các nghiệm riêng dạng nhe )2‡ ._ TT Un(a,t) = Cre OE) * sin T3 với Œ„ là hằng số tùy ý.
Tương tự như đối với phương trình truyền sóng, ta xây dựng hình thức chuỗi œ le.S) u(z,t) = S— un(2,t) = So Cpe Et sin Gr, n=1,2,3,.30) n=1 n=1 và đi xác định các hệ số C,, sao cho chuỗi đã cho là nghiệm của bài toán truyền nhiệt. Rõ ràng, ham u(x,t) xác định bởi chuỗi (1.30) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) do từng hạng thức của chuỗi thỏa mãn điều kiện đó. Bây giờ ta áp dụng điều kiện ban đầu tại t = 0 cho ham u(z, t), ta được u(x,0) = SoCn sin ao = f(z).31) n=1 Đến đây dẫn đến câu hỏi tương tự như Bài toán 1.1 trong phan xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng. Trong phần tiếp theo ta sẽ xét tới trạng thái ổn định của phương trình truyền nhiệt, từ đó dẫn đến phương trình Laplace khi nhiệt độ của môi trường ổn định.4 Phương trình Laplace 1.1 Giới thiệu về phương trình Laplace Xét phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có nguồn nhiệt Ou _ 2 (Hu + ni at “`8? ` 0g?” 17 Giả sử sau một thời gian nhiệt độ trong môi trường ổn định nghĩa là u(z, y,t) không còn phụ thuộc vào thời gian, ta có Ou —=0.
Ot Khi đó, phương trình nhiệt ổn định có dạng Định nghĩa 1. Trong không gian hai chiều (x,y), phương trình dang ou, Pu 0.32) Ox? § Oy? ~ được gọt là phương trinh Laplace. Ta thường ky hiệu vé trái của phương trinh là Au 2 2 Au: Oru Ou = am) Oy’ (1.33) va toán tu Au được gọi là toán tu Laplace. Ham u(a,y) được gọi là hàm điều hòa tai điểm (xo, yo) nếu tại điểm đó nó có đạo hàm cap hai liên tục va thỏa man phương trinh Laplace.2 Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace trong hình tròn đơn vị Xét đến phương trình Laplace trong hình tron đơn vị, bán kính r = 1, trong trường hợp tổng quát với hình tròn bán kính r bất kỳ ta xét tương tự.
Xét hình tròn đơn vị trong mặt phẳng D ={(2,y) € R?: 2? +2 < 1}, biên của hình tròn D là đường tròn đơn vị C = {(z,) € R? : z? + y2 = 1}. Trong hệ tọa độ cực (7,0) với 0 <z < 1 và 0<rz < 2z, ta có D={(r,0):0<r<1} và C=(,6):r= 1}. Bài toán tìm nghiệm của phương trình Laplace trên D với điều kiện biên u = f trên Œ được gọi là bài toán Dirichlet Au =0_ trên D, (1. 18 Trong tọa độ cực (r,0), toán tử Laplace (1.33) có dang _ ou Lou | 1 u Au Or? or Orr? 067" Từ đó phương trình Laplace (1.32) có dạng Ou 1du 1 Ou? Ta tìm nghiệm phương trình dưới dạng tách biến u(r,@) = F(r)G(6), trong đó F(r) là ham chỉ phụ thuộc vào r, G(@) là hàm chỉ phụ thuộc vào 0, thay công thức nghiệm vào phương trình trên thu được r?Ƒ"{r)+rF() — G140) F(r) GA)” Về trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào z, về phải của phương trình chi phụ thuộc 6 nên rˆF"{r) +rEF"(r) _—_ G70) =, A là hằng số thực.
tụ) GO) Khi đó, ta có G"(0) + AG(0) =0, (135) r?F"{r)+rF'{r)—AF(@)_ =0. Ta thấy nếu cho Ø một gia số 2z thì ham 0(z,Ø) phải lấy giá trị của nó u(r,9 + 2n) = u(r, 9). Do vậy, từ u(r, @) = F(r)G(6) ta có G(0 + 3z) = G(/). Ta phân biệt ba trường hợp sau của À 1.
Nếu A < 0 phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát G(6) = AeY~! + Be’, A, B là hằng số tùy ý. Nếu \ =0 thì G(@) = Ao. Nếu \ >0, phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát G() = Acos À0 + Bsin VO. Như vậy G() tuần hoàn với chu kì 2z nếu VÀ=n=A=n?,n=1,2,3,.37) Khi đó, ta có G,(0) = A, cosn0 + By, sìn n0.38) Thay giá trị \ = n? vào phương trình thứ hai trong hệ (1.39) Với n =0, ứng với giá trị \ =0 thi (1.39) có dạng rF" + F’=0, và phương trình nay có nghiệm tổng quát Fo(r)=Co+Dolnr, Cpo,Do là các hằng số tùy ý.
Với \ = n?, trong đó n # 0 thi ta xét rˆF"(r) +rF{r) — n?F = 0.39) Đây là phương trình vi phân cấp hai dạng Euler thừa nhận nghiệm riêng dạng F(r) =r", với / là hằng số, thay nghiệm riêng này lên phương trình (1.39) ta được rule — rk? + rr} — nr! =0 6 = +n, tức là =mn. Như vậy phương trình (1.39) có hai nghiệm riêng là r” và r~” nên nghiệm tổng quát nó có dang Tứ) = Cụr”" + Dạr—”, (1.40) với Œ„, D„ là các hằng số tùy ý. Vậy phương trình Laplace thừa nhận các nghiệm riêng A(Œs+ Dg)lnr, nếu n=0, U(r, 9) = (Co + Po) (1. 20 Tuy nhiên các hàm u,(r,) là các hàm tuần hoàn trong hình tròn, nên liên tục tại r = 0.41) hệ số Do của nr và C, của r~” phải triệt tiêu.
Tóm lại, các nghiệm riêng có dạng (1. VỚI ag = AoC, an = AnCn, bn = BrCn. Tương tự như trong cách xây dựng phương trình truyền sóng và truyền nhiệt ta xây dựng một cách hình thức chuỗi le.43) n=0 n=1 Va đi xác định các hệ số ap, va b„ sao cho chuỗi (1.43) thực sự là nghiệm của bài toán (1. Ta tam giả thiết rằng các hệ số an, b„ được chon sao cho chuỗi (1.43) hội tụ và tổng của nó là một hàm điều hòa liên tục trong hình tròn 0 < z < 1.
Ta tìm nghiệm của bài toán (1.34) dưới dạng IS) ioe} u(r, 0) = » tra(r,Ø) = dạ + » rTM (dn cos n9 + bạ sin n8). n=0 n=1 Thay vào điều kiện biên ta được CO u{1,Ø) = ao + » cos 0Ø + bạ sin nØ) = ƒ(8).44) n=1 Sử dung công thức Euler e# = cosz + isinz, ta có thể viết (1.