Luận Văn Về Tổng Của Nghịch Đảo Các Số Fibonacci

• Đề tài: Tổng Nghịch Đảo Các Số Fibonacci
• Loại tài liệu: Luận Văn Nghiên Cứu

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 2. CHƯƠNG 2: TỔNG CỦA NGHỊCH ĐẢO CÁC SỐ FIBONACCI
• 3. CHƯƠNG 3: TỔNG ĐAN DẤU NGHỊCH ĐẢO CÁC SỐ FIBONACCI
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Mở đầu

Dãy số Fibonacci {Fn} là một trong những dãy số nổi tiếng và được nghiên cứu rộng rãi. Được định nghĩa bởi F0 = 0, F1 = 1 và công thức truy hồi Fn = Fn−1 + Fn−2, dãy số này có nhiều tính chất thú vị. Luận văn này nhằm mục đích trình bày lại các kết quả nghiên cứu về tổng nghịch đảo các số Fibonacci. Đặc biệt, luận văn sẽ xem xét các kết quả của Ohtsuka và Nakamura (2008) về tổng vô hạn của nghịch đảo các số Fibonacci và mở rộng bởi Wang và Wen (2015) cho trường hợp hữu hạn. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như toán học, khoa học máy tính và hình học.

II. Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày định nghĩa và một số đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 với các giá trị khởi đầu F0 = 0, F1 = 1. Các tính chất của dãy số này rất phong phú, ví dụ, mệnh đề cho thấy rằng Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Các kết quả này sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo để phân tích tổng của nghịch đảo các số Fibonacci. Việc hiểu rõ các tính chất này là rất quan trọng để có thể áp dụng chúng vào các bài toán phức tạp hơn.

2.1 Định nghĩa dãy Fibonacci

Dãy số Fibonacci được định nghĩa bởi hệ thức truy hồi Fn = Fn−1 + Fn−2, n ≥ 2. Các số hạng đầu tiên của dãy là 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Số hạng tổng quát của dãy số này có thể được xác định bằng công thức Binet. Công thức này cho phép tính toán nhanh chóng các số hạng mà không cần phải tính toán từng số hạng một cách tuần tự.

2.2 Một số tính chất của các số Fibonacci

Một số tính chất quan trọng của dãy số Fibonacci bao gồm các mệnh đề liên quan đến các số hạng của dãy. Ví dụ, với số nguyên n ≥ 1, ta có mệnh đề Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1. Các tính chất này không chỉ giúp trong việc chứng minh các kết quả mà còn có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn liên quan đến toán học và hình học.

III. Tổng của nghịch đảo các số Fibonacci

Chương này sẽ trình bày lại các kết quả của Ohtsuka và Nakamura về tổng nghịch đảo các số Fibonacci. Đặc biệt, tổng vô hạn của nghịch đảo các số Fibonacci được xác định bởi các công thức cụ thể. Đối với mọi n ≥ 2, tổng vô hạn có thể được biểu diễn dưới dạng: X 1 / Fk = Fn−2, nếu n chẵn và X 1 / Fk = Fn−2 − 1, nếu n lẻ. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính và hình học.

3.1 Tổng hữu hạn nghịch đảo của các số Fibonacci

Trong phần này, các kết quả của Wang và Wen về tổng hữu hạn nghịch đảo của các số Fibonacci sẽ được trình bày. Đối với mọi n ≥ 2, có thể chứng minh rằng tổng nghịch đảo của các số Fibonacci lớn hơn một giá trị cụ thể. Điều này cho thấy rằng tổng nghịch đảo của các số Fibonacci có thể được kiểm soát và có thể được sử dụng trong các ứng dụng thực tiễn.

3.2 Tổng vô hạn nghịch đảo của các số Fibonacci

Kết quả của Ohtsuka và Nakamura về tổng vô hạn nghịch đảo của các số Fibonacci sẽ được trình bày. Đặc biệt, tổng vô hạn có thể được xác định bằng các công thức cụ thể cho cả trường hợp n chẵn và n lẻ. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như toán học và khoa học máy tính.