Luận Văn Về Tổng Của Nghịch Đảo Các Số Fibonacci

Dãy số Fibonacci {Fn} là một trong những dãy số nổi tiếng và được nghiên cứu rộng rãi. Được định nghĩa bởi F0 = 0, F1 = 1 và công thức truy hồi Fn = Fn−1 + Fn−2, dãy số này có nhiều tính chất thú vị. Luận văn này nhằm mục đích trình bày lại các kết quả nghiên cứu về tổng nghịch đảo các số Fibonacci. Đặc biệt, luận văn sẽ xem xét các kết quả của Ohtsuka và Nakamura (2008) về tổng vô hạn của nghịch đảo các số Fibonacci và mở rộng bởi Wang và Wen (2015) cho trường hợp hữu hạn. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như toán học, khoa học máy tính và hình học.

Chương này trình bày định nghĩa và một số đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 với các giá trị khởi đầu F0 = 0, F1 = 1. Các tính chất của dãy số này rất phong phú, ví dụ, mệnh đề cho thấy rằng Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Các kết quả này sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo để phân tích tổng của nghịch đảo các số Fibonacci. Việc hiểu rõ các tính chất này là rất quan trọng để có thể áp dụng chúng vào các bài toán phức tạp hơn.

2.1 Định nghĩa dãy Fibonacci

2.2 Một số tính chất của các số Fibonacci

Chương này sẽ trình bày lại các kết quả của Ohtsuka và Nakamura về tổng nghịch đảo các số Fibonacci. Đặc biệt, tổng vô hạn của nghịch đảo các số Fibonacci được xác định bởi các công thức cụ thể. Đối với mọi n ≥ 2, tổng vô hạn có thể được biểu diễn dưới dạng: X 1 / Fk = Fn−2, nếu n chẵn và X 1 / Fk = Fn−2 − 1, nếu n lẻ. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính và hình học.

3.1 Tổng hữu hạn nghịch đảo của các số Fibonacci

3.2 Tổng vô hạn nghịch đảo của các số Fibonacci