Tính Chất Số Học Của Dãy Số Nguyên Và Ứng Dụng

Dãy số vô hạn là một hàm số xác định trên tập số tự nhiên N*. Dãy số hữu hạn là một hàm số xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, m ∈ N*. Dãy số có thể được xác định bằng công thức số hạng tổng quát, công thức truy hồi hoặc bằng cách miêu tả. Ví dụ, dãy số un = 2n + 1 là dãy số tự nhiên lẻ. Dãy Fibonacci là một ví dụ điển hình của dãy số được xác định bằng công thức truy hồi. Dãy số tuần hoàn là dãy số mà các phần tử lặp lại sau một chu kỳ nhất định.

Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi, gọi là công sai. Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi, gọi là công bội. Dãy Fibonacci là dãy số được xác định bằng công thức truy hồi: u1 = 1, u2 = 1, un = un-1 + un-2. Các dãy số này có nhiều tính chất đặc biệt và được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh vực khác.

Cho hàm số y = f(x). Giả sử giá trị f(x) tại các điểm x0, x0 + h, x0 + 2h,... (h là một hằng số) tương ứng là y0, y1, y2,... Khi đó, hiệu ∆yi = yi - yi-1 là sai phân cấp 1 của hàm f với mọi i = 1, 2,... ∆2yi = ∆yi - ∆yi-1 = (yi - yi-1) - (yi-1 - yi-2) = yi - 2yi-1 + yi-2 là sai phân cấp 2 của hàm f với mọi i = 1, 2,... Sai phân mọi cấp đều có tính chất tuyến tính, tức là ∆k(f ± g) = ∆k(f) ± ∆k(g).

Một biểu thức có dạng an yn+i + an-1 yn-1+i + an-2 yn-2+i + ... + a1 y1+i + a0 yi = 0 gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp n, trong đó a0, a1, a2,..., an là các hằng số. Để giải được phương trình trên cần cho trước n giá trị ban đầu y0, y1,..., yn rồi bằng phương pháp truy toán, ta tính các giá trị của yn, yn+1,... Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân có dạng yi = c1 λ1i + c2 λ2i + ... + cn λni, trong đó c1, c2, c3,..., cn là các hằng số tùy ý còn λ1, λ2,..., λn là n nghiệm phân biệt của phương trình an λn + an-1 λn-1 + ... + a1 λ + a0 = 0. Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, số An = 33n+3 − 26n − 27 chia hết cho 169. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n = 0, A0 = 33 − 26.0 − 27 = 0 chia hết cho 169. Giả sử mệnh đề đúng với n = k nghĩa là Ak chia hết cho 169. Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Ta có Ak+1 = 33(k+1)+3 − 26 (k + 1) − 27 = 33k+6 − 26k − 26 − 27 = 27(33k+3 − 26k − 27) + 27.26k + 27.27 − 26k − 26 − 27 = 27Ak + 26(27-1)k + 27.27 - 26 - 27 = Ak + 26. Bài toán được chứng minh.

Cho dãy số (un) xác định bởi   u0 = 1, u1 = −1   un+2 = 7un+1 − 6un ;  n∈N a) Chứng minh rằng un không chia hết cho 10 với mọi n ∈ N. a) Ta có u0 và u1 là những số lẻ. Giả sử un và un+1 lẻ. Khi đó vì un+2 = 7un+1 − 6un nên un+2 cũng là số lẻ. Theo nguyên lý quy nạp, suy ra un là số lẻ với mọi n ∈ N. Do đó un không chia hết cho 10 với mọi n ∈ N.

Để chứng minh một số là số chính phương, ta có thể sử dụng các phương pháp như phân tích thành tích các số chính phương, sử dụng tính chất của số chính phương (ví dụ: số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1), hoặc sử dụng phương pháp phản chứng. Trong dãy số, việc chứng minh một số hạng là số chính phương có thể liên quan đến việc tìm ra công thức tổng quát của dãy số và áp dụng các tính chất của số chính phương.

Một ví dụ điển hình là dãy số các số chính phương: 1, 4, 9, 16, 25,... Dãy số này được xác định bởi công thức un = n^2. Một ví dụ khác là dãy số các số Fibonacci bình phương: 1, 1, 4, 9, 25,... Dãy số này được tạo thành từ các số Fibonacci mà bình phương của chúng là số chính phương.

Định lý Fermat nhỏ phát biểu rằng nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì ap-1 ≡ 1 (mod p). Định lý này có thể được sử dụng để chứng minh tính chia hết của các số hạng trong dãy số. Ví dụ, nếu ta có một dãy số un và ta muốn chứng minh rằng un chia hết cho p với mọi n, ta có thể sử dụng Định lý Fermat nhỏ để chứng minh rằng un ≡ 0 (mod p).

Định lý Wilson phát biểu rằng nếu p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p. Định lý này có thể được sử dụng để chứng minh tính chất của các số nguyên tố liên quan đến dãy số. Ví dụ, nếu ta có một dãy số un và ta muốn chứng minh rằng un là số nguyên tố với mọi n, ta có thể sử dụng Định lý Wilson để chứng minh rằng (un − 1)! + 1 chia hết cho un.

Luận văn đã hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về dãy số, phương pháp sai phân và các định lý số học. Đã trình bày các tính chất số học của dãy số nguyên như tính chia hết, đồng dư, tuần hoàn, tính chất số nguyên, phân tích dãy số thành nhân tử và tính chính phương. Đã nghiên cứu ứng dụng thực hành giải toán về dãy số nguyên, một số dạng toán cơ bản và nâng cao. Đã xây dựng hệ thống bài tập về số chính phương và tính chia hết, đồng dư trong dãy số.

Nghiên cứu có thể được mở rộng để nghiên cứu các dãy số đặc biệt khác như dãy Lucas, dãy Pell. Có thể nghiên cứu ứng dụng của dãy số trong các lĩnh vực khác như khoa học máy tính (mật mã học, tối ưu hóa), kinh tế (mô hình hóa), tài chính (phân tích dữ liệu). Phát triển các phương pháp giải toán mới về dãy số, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính chia hết, đồng dư và số chính phương.