Đồ án thiết kế và tính toán robot SCARA gắp sản phẩm

Đồ án nghiên cứu truyền động cơ khí tính toán thiết kế scara robot gắp sản phẩm, áp dụng công nghệ tiên tiến, tối ưu giải pháp kỹ thuật cho bài toán kỹ thuật.

• Tác giả: Hoàng Đức Trọng
• Người hướng dẫn: TS. Vũ Quang Huy
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Công Nghệ Kỹ Thuật Cơ Điện Tử
• Đề tài: Thiết Kế Và Tính Toán Robot SCARA Cho Gắp Sản Phẩm Hiệu Quả
• Loại tài liệu: Đồ Án
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Tp. Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Giới thiệu chung về robot
• 1.2. Giới hạn đề tài
• 1.3. Nội dung sẽ trình bày trong các chương tiếp theo
• 2. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
• 2.1. Tổng quan về Robot Scara
• 2.2. Động học robot
• 2.2.1. Lý thuyết về bài toán động học Robot
• 2.2.2. Tính toán động học Robot
• 2.3. Động học vận tốc
• 2.3.1. Cơ sở lý thuyết về động học vận tốc và động lực học robot
• 2.4. Lựa chọn động cơ và cơ cấu truyền động
• 2.4.1. Cơ cấu truyền động đai
• 2.5. Mạch điều khiển
• 2.6. Thị giác máy tính
• 2.7. Không gian làm việc của Robot Scara
• 2.8. Quỹ đạo chuyển động vận tốc của robot
• 3. CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ CƠ KHÍ VÀ MẠCH ĐIỆN
• 3.1. Thiết kế cơ khí
• 3.1.1. Phân tích phương án thiết kế. Thiết kế mô hình
• 3.1.2. Kiểm tra độ uốn của các khâu
• 3.1.3. Lựa chọn động cơ
• 3.2. Thiết kế mạch điện (Đồ án cơ điện tử)
• 4. CHƯƠNG 4: THI CÔNG, THỰC NGHIỆM, TỔNG HỢP VÀ PHÂN TÍCH (ĐỒ ÁN CƠ ĐIỆN TỬ)
• 4.1. Thi công mô hình
• 4.2. Tổng hợp và phân tích kết quả
• 5. CHƯƠNG 5: KẾT QUẢ, NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ
• 5.1. Kết quả thu được
• 5.2. Nhận xét và đánh giá
• 6. CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• 6.1. Những việc đã thực hiện được
• 6.2. Những điểm chưa thực hiện được
• 6.3. Hướng phát triển
• DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
• DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH, BIỂU ĐỒ
• MỤC LỤC BẢNG

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Robot SCARA và Ứng dụng trong Gắp Sản phẩm

Đề tài tập trung vào thiết kế và tính toán robot SCARA nhằm tối ưu hiệu quả gắp sản phẩm. Robot SCARA, hay Selective Compliance Assembly Robot Arm, là loại robot công nghiệp nổi tiếng với cấu trúc hai khớp quay song song và một khớp tịnh tiến. Thiết kế này mang lại sự linh hoạt cao trong không gian làm việc 2D, phù hợp cho các ứng dụng gắp đặt, lắp ráp chính xác. Robot gắp sản phẩm SCARA được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp, đặc biệt trong lĩnh vực điện tử, đóng gói, và chế tạo. Hiệu quả của hệ thống phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm tốc độ gắp sản phẩm, chính xác gắp sản phẩm, và an toàn robot SCARA. Khả năng tích hợp robot vào dây chuyền sản xuất cũng là một yếu tố quan trọng cần xem xét. Nghiên cứu này hướng đến việc tối ưu hóa robot SCARA để đạt hiệu quả gắp sản phẩm cao nhất, đồng thời đảm bảo độ tin cậy và an toàn.

1.1 Phân tích Ưu điểm và Nhược điểm của Robot SCARA

Robot SCARA sở hữu nhiều ưu điểm vượt trội. Tốc độ gắp sản phẩm nhanh, chính xác gắp sản phẩm cao, và hiệu quả gắp sản phẩm tốt nhờ cấu trúc đặc biệt. Việc lập trình robot SCARA tương đối đơn giản, giúp dễ dàng tích hợp vào dây chuyền sản xuất. Tuy nhiên, robot SCARA cũng có những hạn chế. Không gian làm việc bị giới hạn, thường chỉ hoạt động hiệu quả trong mặt phẳng. Giá thành robot SCARA có thể cao so với các loại robot khác. Bảo trì robot SCARA đòi hỏi chuyên môn kỹ thuật. Nghiên cứu cần xem xét kỹ các yếu tố này để đưa ra giải pháp thiết kế tối ưu. Một số ứng dụng robot SCARA điển hình bao gồm gắp nhặt sản phẩm tự động, kiểm tra chất lượng sản phẩm và lắp ráp linh kiện điện tử. Chọn lựa robot SCARA phù hợp với yêu cầu ứng dụng là rất quan trọng để đảm bảo hiệu quả và độ tin cậy.

1.2 Ứng dụng Robot SCARA trong Ngành Công nghiệp

Robot SCARA đóng vai trò quan trọng trong tự động hóa sản xuất. Ứng dụng robot trong công nghiệp ngày càng phổ biến do khả năng tăng năng suất và chất lượng sản phẩm. Robot SCARA được sử dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp đòi hỏi độ chính xác cao, tốc độ nhanh và linh hoạt như điện tử, thực phẩm, dược phẩm. Tự động hóa sản xuất với robot SCARA giúp giảm chi phí nhân công, nâng cao hiệu quả sản xuất và giảm thiểu rủi ro tai nạn lao động. Tích hợp robot và PLC là một giải pháp phổ biến để điều khiển và giám sát hoạt động của robot trong dây chuyền sản xuất. Nghiên cứu này tập trung vào việc xây dựng hệ thống robot SCARA hiệu quả cho gắp sản phẩm, đóng góp vào sự phát triển của tự động hóa trong sản xuất công nghiệp. Việc so sánh robot SCARA với các loại robot khác cũng cần được xem xét để lựa chọn giải pháp phù hợp nhất cho từng ứng dụng cụ thể. Giải pháp tự động hóa sản xuất hiệu quả cần phải đáp ứng được các yêu cầu về tốc độ, độ chính xác, và tính linh hoạt.

II. Thiết kế Robot SCARA Khía cạnh Cơ khí và Điện tử

Phần này tập trung vào thiết kế cơ khí robot SCARA. Việc lựa chọn vật liệu, kích thước, và cấu trúc cơ khí ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu quả hoạt động của robot. Phân tích động học robot là bước quan trọng để xác định phạm vi chuyển động và khả năng tiếp cận sản phẩm. Thiết kế điện tử robot SCARA bao gồm việc lựa chọn động cơ, bộ điều khiển, và các cảm biến phù hợp. Cánh tay robot cần được thiết kế sao cho đảm bảo độ cứng, độ bền và khả năng chịu tải trọng. Phần mềm thiết kế robot hỗ trợ quá trình thiết kế và mô phỏng hoạt động của robot. Mạch điều khiển robot SCARA đóng vai trò trung tâm, điều khiển chuyển động của các khớp và các bộ phận khác. Việc lựa chọn động cơ cần xem xét các yếu tố như mô-men xoắn, tốc độ và độ chính xác.

2.1 Thiết kế Cơ khí Robot SCARA

Thiết kế cơ khí robot SCARA đòi hỏi sự chính xác cao. Cấu trúc cơ khí ảnh hưởng đến độ cứng, độ bền và khả năng chịu tải trọng của robot. Việc lựa chọn vật liệu phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo độ bền và tuổi thọ của robot. Phân tích ứng suất trên các bộ phận của robot giúp xác định các điểm yếu và cải thiện thiết kế. Kiểm tra độ uốn của các khớp giúp đảm bảo độ chính xác của chuyển động. Mô hình hóa robot SCARA bằng phần mềm CAD giúp trực quan hóa thiết kế và kiểm tra khả năng hoạt động. Thiết kế cấu trúc robot cần tối ưu hóa trọng lượng và kích thước để đảm bảo sự linh hoạt và hiệu quả. Thiết kế khớp nối robot cần đảm bảo độ chính xác và độ bền cao. Phản hồi cảm biến cần được tích hợp để đảm bảo robot hoạt động chính xác và an toàn.

2.2 Thiết kế Điện tử và Điều khiển Robot SCARA

Thiết kế điện tử robot SCARA bao gồm việc lựa chọn các thành phần điện tử như động cơ, bộ điều khiển, và các cảm biến. Lựa chọn động cơ phù hợp với yêu cầu về mô-men xoắn, tốc độ và độ chính xác. Cảm biến robot SCARA cung cấp thông tin về vị trí, vận tốc và gia tốc của các khớp. PLC điều khiển robot xử lý thông tin từ cảm biến và điều khiển chuyển động của robot. Thuật toán điều khiển robot đảm bảo robot hoạt động chính xác và ổn định. Mạch điều khiển động cơ cần được thiết kế để cung cấp năng lượng và tín hiệu điều khiển cho động cơ. Phần mềm lập trình robot SCARA cho phép lập trình các chương trình điều khiển phức tạp. Mô phỏng robot SCARA giúp kiểm tra và tinh chỉnh các thông số điều khiển trước khi triển khai thực tế. An toàn robot SCARA cần được ưu tiên hàng đầu trong quá trình thiết kế và vận hành.

III. Tính toán Robot SCARA Động học Động lực học và Mô phỏng

Phần này trình bày tính toán robot SCARA, bao gồm động học robot, động lực học robot, và mô phỏng robot SCARA. Tính toán động học giúp xác định vị trí và hướng của tay gắp dựa trên các giá trị góc của các khớp. Tính toán động lực học xác định lực và mô-men tác động lên các khớp. Mô phỏng robot SCARA giúp kiểm tra và tối ưu hóa thiết kế trước khi chế tạo thực tế. Phần mềm mô phỏng robot hỗ trợ quá trình này. Phân tích động học vận tốc giúp xác định vận tốc của tay gắp. Tính toán độ động học thuận và nghịch giúp thiết kế và điều khiển robot hiệu quả. Tối ưu hóa robot SCARA đạt hiệu quả cao nhất. Việc sử dụng các thuật toán điều khiển robot tiên tiến rất quan trọng.

3.1 Phân tích Động học và Động lực học Robot SCARA

Phân tích động học robot SCARA là bước quan trọng trong thiết kế và điều khiển robot. Bài toán động học thuận giúp xác định vị trí và hướng của tay gắp dựa trên các giá trị góc của các khớp. Bài toán động học nghịch giải quyết vấn đề ngược lại, tìm các giá trị góc của các khớp dựa trên vị trí và hướng mong muốn của tay gắp. Ma trận Jacobi được sử dụng để tính toán vận tốc của tay gắp. Phân tích động lực học robot SCARA giúp xác định lực và mô-men tác động lên các khớp. Mô hình động lực học sử dụng các phương trình chuyển động để mô tả hành vi của robot. Tối ưu hóa thiết kế robot dựa trên kết quả phân tích động học và động lực học. Phương pháp D-H được sử dụng rộng rãi trong phân tích động học robot. Việc sử dụng phần mềm chuyên dụng giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.

3.2 Mô phỏng và Kiểm tra Hiệu quả Robot SCARA

Mô phỏng robot SCARA là công cụ hữu ích để kiểm tra và tối ưu hóa thiết kế trước khi chế tạo thực tế. Phần mềm mô phỏng cho phép mô phỏng chuyển động của robot trong môi trường 3D. Kiểm tra hiệu quả gắp sản phẩm thông qua mô phỏng giúp đánh giá hiệu suất của robot. Phân tích các thông số hoạt động như thời gian chu kỳ, tốc độ, độ chính xác. Kiểm tra độ an toàn robot SCARA trong quá trình mô phỏng. Tối ưu hóa thuật toán điều khiển dựa trên kết quả mô phỏng. Mô phỏng động lực học giúp kiểm tra khả năng chịu tải trọng của robot. Kết quả mô phỏng giúp xác định các vấn đề tiềm ẩn và cải thiện thiết kế. Tối ưu hóa không gian làm việc robot SCARA giúp nâng cao hiệu quả hoạt động.

IV. Kết luận và Hướng Phát triển

Nghiên cứu đã trình bày thiết kế và tính toán robot SCARA cho gắp sản phẩm hiệu quả. Kết quả nghiên cứu cho thấy khả năng ứng dụng rộng rãi của robot SCARA trong tự động hóa sản xuất. Tuy nhiên, nghiên cứu còn một số hạn chế cần khắc phục trong tương lai. Tối ưu hóa robot SCARA cần tiếp tục được nghiên cứu. Cảm biến robot SCARA tiên tiến cần được tích hợp. Thuật toán điều khiển thông minh cần được phát triển. Nghiên cứu hướng đến việc phát triển một hệ thống robot SCARA hoàn chỉnh, tích hợp và tối ưu hiệu quả.

Nội dung chính

Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Trong xu thế tự động hóa sản xuất công nghiệp, việc ứng dụng máy móc và robot hiện đại vào các dây chuyền đóng gói, lắp ráp và phân loại là yêu cầu thiết yếu nhằm tăng năng suất, nâng cao chất lượng sản phẩm và giảm thiểu chi phí nhân công. Đặc biệt, robot công nghiệp có khả năng làm việc liên tục với độ chính xác cao trong các môi trường độc hại hoặc nguy hiểm đối với con người. Tuy nhiên, các doanh nghiệp vừa và nhỏ thường gặp khó khăn trong việc tiếp cận các hệ thống tự động hóa quy mô lớn do chi phí đầu tư cao. Xuất phát từ thực tế đó, đề tài đồ án "Tính toán, thiết kế Scara Robot phân loại linh kiện linh hoạt" (thuộc học phần Đồ án Truyền động cơ khí, ngành Công nghệ Kỹ thuật Cơ điện tử, Khoa Đào tạo Chất lượng cao, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh) được nhóm tác giả Hoàng Đức Trọng, Phạm Tiến Trọng và Liêu Thanh Trường thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Quang Huy (tháng 6 năm 2022).

Nhiệm vụ và mục tiêu nghiên cứu của đồ án được xác định cụ thể theo các nội dung sau:

1. Xây dựng mô hình hình học và thiết kế kết cấu cơ khí cánh tay robot SCARA 3 bậc tự do (mục tiêu định hướng ban đầu là 4 bậc tự do khi tích hợp đầu công tác gắp).
2. Thiết lập bài toán động học thuận, động học nghịch và động học vận tốc (ma trận Jacobi) cho cấu trúc robot SCARA.
3. Phân tích không gian làm việc (workspace) và hoạch định quỹ đạo chuyển động theo quy luật hình thang cho các khâu.
4. Tính toán, lựa chọn cơ cấu truyền động (bộ truyền đai răng, trục vít me - đai ốc bi) và lựa chọn động cơ bước (Stepping motor) phù hợp với yêu cầu làm việc.
5. Nghiên cứu sơ đồ khối hệ thống mạch điều khiển sử dụng vi điều khiển STM32 và mạch lái A4988, cùng cơ sở lý thuyết thị giác máy tính phục vụ nhận diện linh kiện.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Đối tượng nghiên cứu: Cánh tay robot dạng SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm) 3 bậc tự do kết hợp khâu thao tác tịnh tiến, dẫn động bằng động cơ bước và các cơ cấu truyền động cơ khí (đai răng, vít me).
• Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào giai đoạn tính toán lý thuyết động học, mô phỏng không gian hoạt động bằng phần mềm MATLAB, thiết kế mô hình 3D và kiểm tra ứng suất trên phần mềm SolidWorks. Nghiên cứu giới hạn ở mô hình tĩnh cố định tại trạm làm việc, chưa thực hiện chế tạo phần cứng thực nghiệm hay thử nghiệm thực tế với tải trọng động.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết và mô hình tính toán

Nghiên cứu sử dụng các nguyên lý cơ học máy, kỹ thuật robot và lý thuyết truyền động cơ khí để xây dựng mô hình toán học cho robot SCARA:

• Phương pháp Denavit - Hartenberg (D-H): Dùng để thiết lập hệ trục tọa độ cục bộ trên từng khâu, xây dựng ma trận chuyển đổi thuần nhất $^{i-1}A_i$ và xác định phương trình động học thuận xác định vị trí điểm thao tác cuối $(x_R, y_R, z_R)$ theo các biến khớp $(\theta_1, \theta_2, d_3)$:

$$\begin{cases} x_R = l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) + l_1 \cos(\theta_1) \ y_R = l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) + l_1 \sin(\theta_1) \ z_R = d_1 - d_3 \end{cases}$$

• Động học vận tốc và Ma trận Jacobi ($J$): Thiết lập quan hệ vi phân giữa vận tốc góc của các khớp xoay, vận tốc dài của khớp tịnh tiến với vector vận tốc của điểm thao tác cuối:

$$J = \begin{bmatrix} -(l_2 s_{12} + l_1 s_1) & -l_2 s_{12} & 0 \ l_2 c_{12} + l_1 c_1 & l_2 c_{12} & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

• Quy luật vận tốc hình thang: Hoạch định chuyển động cho từng khâu với các giai đoạn tăng tốc, duy trì vận tốc tối đa và giảm tốc đối xứng (thời gian tăng/giảm tốc chiếm 30% chu kỳ).
• Lý thuyết bộ truyền cơ khí: Sử dụng lý thuyết bộ truyền đai ma sát để xác định tỷ số truyền, khoảng cách trục, chiều dài đai, lực căng đai ban đầu và lực vòng có ích; kết hợp lý thuyết bộ truyền trục vít me – đai ốc biến đổi chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến cho trục Z.

Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp phân tích - giải tích: Thiết lập và giải hệ phương trình động học thuận, động học nghịch và phương trình vi phân vận tốc.
• Phương pháp mô phỏng số và hình học: Sử dụng phần mềm MATLAB để biểu diễn hình học không gian làm việc tổng quát và mặt cắt phẳng của cơ cấu chấp hành cuối.
• Phương pháp thiết kế mô hình hóa 3D (CAD/CAE): Sử dụng phần mềm SolidWorks để thiết kế kết cấu từng cụm chi tiết và phân tích biến dạng, kiểm tra ứng suất uốn trên chân đế, khâu 1 và khâu 2.
• Nguồn dữ liệu: Các công thức tiêu chuẩn trong giáo trình Nguyên lý chi tiết máy, Kỹ thuật Robot, bảng thông số kỹ thuật của nhà sản xuất động cơ bước và driver.

Bảng tham số Denavit - Hartenberg (D-H) của robot SCARA 3 bậc tự do:

Khớp ($i$)	$\theta_i$ (Góc quay)	$\alpha_i$ (Góc xoắn)	$d_i$ (Độ dịch chuyển)	$a_i$ (Chiều dài khâu)	Biến khớp
1	$\theta_1$	0	$d_1$	$l_1$	$\theta_1$
2	$\theta_2$	0	0	$l_2$	$\theta_2$
3	0	0	$d_3$	0	$d_3$

Thiết kế và triển khai

Hệ thống robot SCARA được thiết kế trên cơ sở kết hợp giữa kết cấu cơ khí định hình và hệ thống điều khiển điện tử bán dẫn.

Thông số kỹ thuật cơ sở của mô hình

• Số bậc tự do: 3 bậc tự do (2 khớp quay phẳng song song, 1 khớp tịnh tiến thẳng đứng).
• Số khâu: 4 khâu (Khâu 0 - Chân đế cố định, Khâu 1 - Cánh tay dẫn động 1, Khâu 2 - Cánh tay dẫn động 2, Khâu 3 - Trục vít me công tác).
• Tổng khối lượng ước tính: 10 kg.
• Chiều cao tổng thể: 600 mm.

Bảng thông số linh kiện và cơ cấu truyền động được lựa chọn:

Vị trí / Cụm kết cấu	Cơ cấu truyền động	Thiết bị / Linh kiện lựa chọn	Thông số kỹ thuật chính
Trục 1 (Khớp quay 1)	Bộ truyền đai răng	Động cơ bước A4809-9215KE	Góc bước: $0{,}72^\circ/\text{bước}$ (500 xung/vòng); Dòng điện: 1,4 A; Encoder tích hợp: 500 xung/vòng (DC 5V)
Trục 2 (Khớp quay 2)	Bộ truyền đai răng	Động cơ bước FH5-1034-P1VS	Momen tải: 1,45 Nm; Bước step: $1{,}2^\circ/\text{bước}$
Trục 3 (Khớp tịnh tiến)	Vít me - đai ốc bi	Động cơ bước FH5-1034-P1VS	Momen tải: 1,45 Nm; chuyển đổi chuyển động quay thành tịnh tiến dọc trục Z
Khâu điều khiển trung tâm	Mạch tích hợp	Vi điều khiển STM32	Đóng vai trò xử lý trung tâm, phát xung điều khiển quỹ đạo
Mạch công suất (Driver)	Module điều khiển	Driver A4988	Mạch lái động cơ bước nhỏ gọn, tích hợp bảo vệ quá nhiệt và ngắt dòng

Hoạch định quỹ đạo chuyển động

Quy luật chuyển động hình thang được tính toán cho từng khâu với giả định thời gian tăng tốc ($t_i$) bằng thời gian giảm tốc ($t_f$) và chiếm $30%$ tổng thời gian chu kỳ chạy hết biên độ ($T$):

Bảng thông số hoạch định quỹ đạo hình thang của các trục chuyển động:

Trục chuyển động	Quãng đường di chuyển ($S$)	Vận tốc cực đại ($\omega_{\max} / V_{\max}$)	Thời gian chu kỳ ($T$)	Thời gian gia tốc ($t_i = t_f$)	Gia tốc ($\alpha$)
Khâu 1	$180^\circ$ ($\pi\text{ rad}$)	$360^\circ/\text{s}$ ($\pi\text{ rad/s}$)	$\frac{5}{7}\text{ s}$	$\frac{3}{14}\text{ s}$	$\frac{14\pi}{3}\text{ rad/s}^2$
Khâu 2	$240^\circ$ ($\frac{2\pi}{3}\text{ rad}$)	$450^\circ/\text{s}$ ($\frac{5\pi}{2}\text{ rad/s}$)	$\frac{8}{21}\text{ s}$	$\frac{4}{35}\text{ s}$	$\frac{175\pi}{8}\text{ rad/s}^2$
Khâu 3	$100\text{ mm}$	Theo phương trình đồng dạng	$\frac{8}{21}\text{ s}$	$\frac{4}{35}\text{ s}$	$\frac{175\pi}{8}\text{ rad/s}^2$

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tổng quan

Chương 1 giới thiệu khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của robot từ các ý tưởng cơ học cổ điển đến robot hiện đại. Phân loại robot theo tiêu chuẩn ISO 8373 thành hai nhóm chính: robot công nghiệp (hoạt động trong lắp ráp, hàn, sơn, đóng gói) và robot dịch vụ (phục vụ nhà hàng, giao hàng, y tế). Đặt trong bối cảnh sản xuất tại Việt Nam, chương này nhấn mạnh nhu cầu tự động hóa tối ưu hóa chi phí cho các doanh nghiệp vừa và nhỏ, từ đó xác lập giới hạn đề tài: tập trung tính toán, mô hình hóa cánh tay robot SCARA cố định gồm 3-4 bậc tự do, phân tích động học và không gian làm việc.

Bảng phân công nhiệm vụ thực hiện đồ án:

STT	Thành viên thực hiện	Nội dung nhiệm vụ đảm nhiệm	Tỷ lệ hoàn thành
1	Hoàng Đức Trọng	Xây dựng Chương 1, tổng hợp báo cáo Word và Slide thuyết trình	$100%$
2	Liêu Thanh Trường	Xây dựng Chương 2, tổng hợp cơ sở lý thuyết Word và Slide thuyết trình	$100%$
3	Phạm Tiến Trọng	Xây dựng Chương 3, thiết kế mô hình 3D SolidWorks và chạy mô phỏng	$100%$

Chương 2: Cơ sở lí thuyết

Chương 2 trình bày toàn bộ nền tảng toán học và cơ sở kỹ thuật phục vụ việc thiết kế robot SCARA:

• Tổng quan đặc tính kết cấu của robot SCARA với các trục quay song song thẳng đứng, triệt tiêu tác động của trọng lực lên hai khớp quay đầu.
• Thiết lập phương trình động học thuận và nghịch theo bảng tham số D-H, rút ra tọa độ vị trí đầu công tác theo góc quay $\theta_1, \theta_2$ và khoảng cách trượt $d_3$.
• Thiết lập biểu thức vận tốc dài, vận tốc góc và ma trận Jacobi $3 \times 3$ biểu diễn động học vận tốc.
• Phân tích ưu nhược điểm của động cơ bước so với động cơ DC Servo; trình bày lý thuyết tính toán thông số hình học, lực căng, hiệu suất và tỉ số truyền của bộ truyền đai răng cũng như cơ cấu vít me - đai ốc.
• Trình bày tổng quan về mạch điều khiển sử dụng vi điều khiển STM32 kết hợp mạch công suất A4988; lý thuyết thị giác máy tính và ứng dụng nhận dạng vật thể.
• Tính toán không gian hoạt động bằng phương pháp hình học và giải phương trình quỹ đạo vận tốc hình thang cho 3 khâu chuyển động.

Chương 3: Thiết kế cơ khí và mạch điện

Chương 3 tập trung vào công tác hiện thực hóa mô hình thiết kế trên máy tính:

• Phân tích kết cấu 4 khâu chính: chân đế cố định đặt thẳng đứng, khâu dẫn động 1 quay quanh trục $Z_0$, khâu động 2 quay trong mặt phẳng ngang, và khâu 3 là trục vít me - đai ốc bi chuyển động tịnh tiến thẳng đứng.
• Xây dựng bản vẽ 3D chi tiết các cụm cánh tay và cụm đầu công tác trên phần mềm SolidWorks.
• Kiểm tra ứng suất uốn và phân bố tải trọng trên chân đế, khâu 1 và khâu 2 nhằm đảm bảo độ cứng vững của kết cấu.
• Lựa chọn chủng loại động cơ bước cụ thể: mã A4809-9215KE cho trục 1 và mã FH5-1034-P1VS cho trục 2 và trục 3.
• Định hình sơ đồ nguyên lý mạch điện điều khiển cơ điện tử.

Chương 4: Thi công, thực nghiệm, tổng hợp và phân tích

Chương 4 là phần định hướng thực hiện cho giai đoạn tiếp theo của đồ án cơ điện tử, bao gồm các kế hoạch về thi công lắp ráp mô hình vật lý, bố trí thực nghiệm đo đạc sai số chuyển động, tổng hợp dữ liệu vận hành và phân tích sự sai lệch giữa mô hình tính toán lý thuyết với mô hình thực tế.

Chương 5: Kết quả, nhận xét và đánh giá

Chương 5 tổng kết các kết quả kỹ thuật đạt được trong phạm vi đồ án truyền động cơ khí:

• Hoàn thành bản thiết kế mô hình 3D khái quát của robot SCARA đáp ứng cấu trúc động học đề ra.
• Hoàn thành việc tính toán sơ bộ bài toán động học vị trí, ma trận Jacobi vận tốc và hoạch định thời gian chuyển động cho các khớp.
• Đưa ra các nhận xét và đánh giá chuyên môn về tính khả thi của kết cấu cơ khí đã thiết kế.

Chương 6: Kết luận và hướng phát triển

Chương 6 tổng kết toàn bộ quá trình thực hiện đồ án:

• Nội dung đã hoàn thành: Áp dụng hệ thống kiến thức từ các môn học Nguyên lý chi tiết máy và Kỹ thuật Robot; giải quyết trọn vẹn bài toán động học thuận/nghịch; hoàn thiện thiết kế cơ khí 3D.
• Nội dung chưa hoàn thành: Chưa tính toán kiểm nghiệm độ bền chi tiết chuyên sâu; chưa mô phỏng động lực học hoàn chỉnh trên MATLAB; chưa gia công chế tạo mô hình phần cứng thực tế; chưa tối ưu hóa việc chọn công suất động cơ.
• Hướng phát triển: Chế tạo mô hình thực tế để hiệu chỉnh sai số; nâng cao tốc độ gắp; tích hợp thuật toán thị giác máy tính để phân loại sản phẩm trong môi trường có nhiều vật gây nhiễu; tối ưu chi phí chế tạo.

Kết quả và đóng góp

Kết quả chính đạt được

• Về mặt lý thuyết và động học: Thiết lập thành công hệ phương trình động học thuận và nghịch theo chuẩn Denavit - Hartenberg cho robot SCARA 3 bậc tự do; xác định chính xác ma trận Jacobi mô tả động học vận tốc; hoàn thành việc tính toán các thông số thời gian chu kỳ ($T$), thời gian tăng giảm tốc ($t_i, t_f$) và gia tốc ($\alpha$) theo quy luật vận tốc hình thang cho cả 3 trục chuyển động.
• Về mặt thiết kế cơ khí (CAD): Thiết kế hoàn chỉnh mô hình 3D tổng thể và các cụm thành phần (chân đế, cánh tay 1, cánh tay 2, cụm đầu công tác trục vít me) trên phần mềm SolidWorks với kích thước quy chuẩn: chiều cao 600 mm, khối lượng 10 kg.
• Về mặt lựa chọn phần cứng: Xác định cấu hình dẫn động sử dụng bộ truyền đai răng và trục vít me - đai ốc bi; lựa chọn thông số cụ thể cho hai dòng động cơ bước (A4809-9215KE và FH5-1034-P1VS) cùng giải pháp điều khiển sử dụng vi điều khiển STM32 và mạch công suất A4988.

Giải pháp và kiến nghị của tác giả

• Đề xuất áp dụng cơ cấu truyền động đai răng cho các khớp quay ngang nhằm giảm trọng lượng đặt lên các khớp động, giúp hệ thống vận hành êm và dễ bảo dưỡng.
• Kiến nghị sử dụng động cơ bước có tích hợp sẵn hộp giảm tốc và encoder hồi tiếp vị trí để kiểm soát góc quay chính xác mà không làm tăng độ phức tạp của thuật toán điều khiển như hệ thống DC Servo.

Đóng góp tự nêu của đề tài

• Đồ án đã hệ thống hóa quy trình tính toán, thiết kế một cánh tay robot SCARA từ bài toán động học giải tích đến thiết kế kết cấu cơ khí 3D và định hình hệ thống điều khiển, tạo cơ sở tiền đề cho việc phát triển đồ án chuyên ngành Cơ điện tử và khóa luận tốt nghiệp sau này.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế được ghi nhận

• Chưa tiến hành chế tạo và lắp ráp mô hình phần cứng thực nghiệm, do đó chưa có số liệu đo đạc thực tế về sai số vị trí, độ lặp lại và tải trọng nâng thực tế.
• Khâu tính toán sức bền và kiểm tra độ uốn của các khâu mới dừng lại ở mức độ khảo sát mô phỏng sơ bộ trên phần mềm, chưa tối ưu hóa trọng lượng và độ cứng vững động lực học.
• Việc lựa chọn công suất động cơ bước chưa được tối ưu hóa thông qua bài toán phân tích động lực học có tải hoàn chỉnh.
• Thuật toán thị giác máy tính và chương trình điều khiển trên vi điều khiển STM32 mới dừng lại ở bước khảo sát lý thuyết, chưa được nạp và chạy thực tế trên phần cứng.

Hướng phát triển tiếp theo

• Gia công cơ khí, lắp ráp mô hình thực tế nhằm đánh giá và khắc phục sự sai lệch giữa tính toán lý thuyết và vận hành thực tế.
• Lập trình nhúng hoàn chỉnh trên STM32, tối ưu hóa thuật toán điều khiển nhằm tăng tốc độ gắp và di chuyển của đầu công tác.
• Tích hợp module camera và phát triển thuật toán thị giác máy tính nhằm nhận diện, phân loại chính xác các linh kiện mục tiêu trong điều kiện môi trường có nhiều vật cản hoặc vật gây nhiễu.
• Tối ưu hóa kết cấu cơ khí và chi phí linh kiện nhằm phục vụ khả năng ứng dụng thực tế trong các dây chuyền phân loại quy mô nhỏ.

Giá trị tham khảo

Tài liệu đồ án mang lại giá trị tham khảo chuyên môn cho sinh viên và người học trong các trường hợp sau:

• Đối tượng tham khảo: Sinh viên thuộc các khối ngành Công nghệ Kỹ thuật Cơ điện tử, Kỹ thuật Cơ khí, Kỹ thuật Robot và Điều khiển - Tự động hóa đang thực hiện đồ án môn học (Đồ án Truyền động cơ khí, Đồ án Thiết kế hệ thống cơ điện tử) hoặc khóa luận tốt nghiệp về tay máy công nghiệp.
• Nội dung có giá trị tham khảo cao:
  • Quy trình thiết lập bảng tham số D-H, ma trận chuyển đổi và giải bài toán động học thuận/nghịch cho robot cấu hình SCARA 3 bậc tự do.
  • Các bước tính toán và thiết lập ma trận Jacobi cho bài toán động học vận tốc.
  • Phương pháp tính toán thông số động học theo quy luật vận tốc hình thang.
  • Phương pháp mô hình hóa 3D các cụm khớp quay và khớp tịnh tiến của robot SCARA trên phần mềm SolidWorks.

Câu hỏi thường gặp

1. Robot SCARA trong đồ án này được thiết kế với cấu trúc động học gồm bao nhiêu bậc tự do? Robot được thiết kế với cấu trúc 3 bậc tự do chính gồm 2 khớp quay phẳng song song (trục quay thẳng đứng) và 1 khớp tịnh tiến dọc trục thẳng đứng (sử dụng cơ cấu vít me - đai ốc bi), tạo thành chuỗi động học gồm 4 khâu (1 khâu chân đế cố định và 3 khâu động).

2. Nhóm tác giả sử dụng phương pháp toán học nào để giải quyết bài toán động học vị trí và vận tốc cho robot? Nhóm sử dụng phương pháp Denavit - Hartenberg (D-H) để gắn hệ trục tọa độ, lập bảng tham số D-H và giải bài toán động học thuận/nghịch vị trí; đồng thời sử dụng đạo hàm riêng của phương trình vị trí để thiết lập ma trận Jacobi ($J$) $3 \times 3$ phục vụ tính toán động học vận tốc.

3. Các loại động cơ và cơ cấu truyền động nào được lựa chọn để thiết kế cho các khớp của robot?

• Khớp 1: Động cơ bước mã A4809-9215KE kết hợp bộ truyền đai răng.
• Khớp 2: Động cơ bước mã FH5-1034-P1VS kết hợp bộ truyền đai răng.
• Khớp 3: Động cơ bước mã FH5-1034-P1VS kết hợp bộ truyền vít me - đai ốc bi biến đổi chuyển động quay thành tịnh tiến dọc trục Z.

4. Vì sao nhóm nghiên cứu ưu tiên lựa chọn động cơ bước (Stepping Motor) thay vì động cơ DC Servo? Theo phân tích của nhóm tác giả, động cơ bước có ưu điểm điều khiển vị trí chính xác không cần mạch vòng hồi tiếp phức tạp, không bị hiện tượng vọt lố, có momen giữ tại chỗ lớn và chi phí hợp lý, phù hợp với mục tiêu thiết kế mô hình robot SCARA nhỏ gọn, tối ưu chi phí cho các ứng dụng phân loại linh kiện linh hoạt.

5. Giới hạn lớn nhất của đồ án này trong giai đoạn báo cáo hiện tại là gì? Giới hạn lớn nhất là đề tài mới hoàn thành ở mức độ tính toán lý thuyết động học, mô phỏng không gian hoạt động trên MATLAB và thiết kế mô hình 3D trên SolidWorks; đồ án chưa tiến hành gia công chế tạo mô hình phần cứng thực tế và chưa kiểm nghiệm thực nghiệm thuật toán nhận dạng thị giác máy tính.

Kết luận

Đồ án "Tính toán, thiết kế Scara Robot phân loại linh kiện linh hoạt" đã hoàn thành việc xây dựng cơ sở toán học động học và thiết kế mô hình cơ khí 3D cho cánh tay robot SCARA 3 bậc tự do theo đúng mục tiêu môn học. Nghiên cứu đã xác định đầy đủ bảng tham số D-H, ma trận Jacobi, quy luật vận tốc hình thang cùng phương án lựa chọn cơ cấu truyền động đai răng, vít me và động cơ bước phù hợp. Mặc dù còn hạn chế do chưa chế tạo mô hình thực nghiệm và chưa tích hợp hệ thống thị giác máy tính thực tế, các kết quả tính toán và bản vẽ 3D đạt được tạo nền tảng kỹ thuật vững chắc để nhóm tác giả tiếp tục phát triển hoàn thiện trong các đồ án cơ điện tử và luận văn tốt nghiệp tiếp theo.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1. Giới thiệu chung về robot.  Sơ lược về lịch sử hình thành. Những công trình vĩ đại của con người đều bắt đầu từ những ý tưởng mộng mơ có thể nói là viễn tưởng, trong đó có giấc mơ về robot, một thứ mô phỏng đặc tính và hành động giống con người và có thể giúp con người làm việc.

Từ giấc mơ đó mà kể từ vài thế kỉ trước robot bắt đầu được phát minh ra và ngày càng cải thiện. Năm 1738, con vịt biết di chuyển, bơi, tiêu hóa, năm 1774 robot chấm viết bằng lông ngỗng … nhưng thuật ngữ “robot” được sử dụng lần tiên vào nhóm 1921 bởi nhà viết kịch người Czechoslovakian_Karel Capek để chỉ một máy với hình dạng người trong vở kịch của ông. Tuy nhiên mãi đến năm 1945 thì thời đại robot mới thực sự bắt đầu với sự suất hiện của tay máy đầu tiên với bộ nhớ chương trình được chế tạo bởi George Devol, thiết bị này có thể di chuyển lặp đi lặp lại từ điểm này đến điểm khác. Ngày nay robot được ứng dụng rộng rãi trong nhiều nghành nghề từ đơn giản đến phức tạp.

Kỹ thuật robot là ngành khoa học đa ngành dựa trên sự phát triển và ứng dụng nâng cao cảu nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ (mối quan hệ “cộng sinh”).1: Mối liên hệ giữa kỹ thuật robot và các ngành khoa học khác.  Phân loại robot: robot ngày nay dựa vào chức năng được thiết kế và nhu cầu thị trường mà được chia làm hai loại chính là: robot công nghiệp và robot dịch vụ. 1 o Robot công nghiệp: theo tiêu chuẩn ISO 8373 thì robot là một tay máy có thể hoạt động đa mục đích có thể điều khiển hoàn toàn tự động dựa trên việc lập trình và phải có ít nhất là ba trục. Được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như lắp ráp, đóng gói, quản lí kho….2 Ứng dụng của Robot công nghiệp trong sản xuất Ô tô Hình 1.3 Ứng dụng của Robot cộng nghiệp trong đóng gói o Robot dịch vụ: được định nghĩa là các robot có kahr năng vận hành tự động hoặc bán tự động để thực việc công việc hữu ích cho máy móc cũng như làm cho cuốc sống con người tiện nghi, phong phú hơn, không bao gồm 2 hoạt động vận hành sản xuất.

Nếu Robot công nghiệp cũng được xem là Robot dịch vụ nếu không phục vụ cho hoạt động sản xuất.4 Ứng dụng của Robot dịch vụ trong phục vụ nhà hàng Hình 1.5 Ứng dụng của Robot dịch vụ trong giao hàng 1. Với sự phát triển không ngừng của khoa học Robot hiện nay thì ở Việt Nam nói riêng và thế giới nói chung, tất cả đang hướng theo xu thế là hướng tới tự động hóa quá trình sản xuất một cách nhiều nhất có thể để tiết kiệm chi phí và nâng cao sản lượng với các ưu điểm như khả năng làm việc ổn định không ngừng nghỉ, làm việc trong môi trường độc hại, có độ nguy hiểm cao…. Tuy nhiên mức độ lớn nhỏ của công ty là khác nhau nên nhu cầu về thiết bị tự động là khác nhau vì vậy quy mô và chi phí 3 của dây chuyền tự động là rất quan trọng. Vì lí do đó chúng em hướng tới nghiên cứu cánh tay robot Scara hướng tới tối ưu chi phí và quy mô cho các dây chuyền tự động.3 Giới hạn đề tài.

Đề tài của chúng em hướng đến muc tiêu là mô phỏng một Scara Robot sử dụng trong dây truyền phân loại sản phẩm, có khả năng phối hợp nhịp nhàng, chuyển động trong một khu vực cố định, khéo léo giống như tay người vậy nên cánh tay sẽ phải cố định, không thể di chuyển xung quanh. Nhưng bù lại là khả năng linh hoạt, sự cơ động đến từ cánh tay. Nó sẽ giúp chúng ta hoàn thành công việc một cách nhanh chóng mà không cần sự can thiệp của con người. Vì kinh nghiệm và điều kiện thực tế hạn chế nên nhóm hướng đến mục tiêu thực hiện một số nôi dung sau:  Xây dựng mô hình cánh tay robot 4 bậc tự do.

 Tính toán các bài toán động học và mô phỏng không gian làm việc.  Lâp trình điều khiển robot hoạt động theo mục đích đề ra.4 Nội dung sẽ trình bày trong các chương tiếp theo. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÍ THUYẾT.  Tổng quan về Robot Scara.

 Động học robot.  Động học vận tốc.  Lựa chọn động cơ và cơ cấu truyền động.  Mạch điều khiển  Thị giác máy tính  Không gian làm việc của Robot Scara Chương 3: Thiết kế cơ khí và mạch điện  Thiết kế cơ khí  Thiết kế mạch điện Chương 4: Thi công, thực nghiệm, tổng hợp và phân tích.

 Thi công mô hình.  Thực nghiệm 4  Tổng hợp và phân tích kết quả. Chương 5: Kết quả, nhận xét và đánh giá.  Kết quả thu được.

 Nhận xét và đánh giá. Chương 6: Kết luận và hướng phát triển.  Kết luận  Hướng phát triền 5 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÍ THUYẾT Trong chương này sẽ trình bày các nội dung lí thuyết về đặc điểm của Robot scara, tính toán cơ khí, bài toán động học,. liên quan đến việc tính toán và thiết kế theo mục tiêu ban đầu cảu đề tài.

Xác định không gian làm việc từ đó xây dựng thuật toán cho robot.1 TỔNG QUAN VỀ ROBOT SCARA. - Đây là loại robot thường được biết đến là loại có hai khớp xoay và một khớp tịnh tiến (nếu tính thêm tay gắp là có bốn bậc tự do) và tất cả các khớp đều song song với nhau. Thường thì tay gắp hoặc cơ cấu chấp hành cuối thường di chuyển vuông góc mặt đất. Vì vậy hai khớp đầu tiên không bi tác động của trong lực và tải trọng.

Có thể dễ dàng tích hợp với các bộ điều khiển và các bô phân ngoại vi để tạo thành các máy trạm robot tích hợp cao, được dùng phổ biến trong nghành cộng nghiệp như: điện/ điện tử, điện tử tiêu dùng….1: Robot Scara của YASKAWA - Một số đặc trưng như: + Tốc độ, độ tuyến tính, độ thẳng đứng và độ lặp lại cao. + Đơn giản và dễ vận hành với các phương pháp điều khiển linh hoạt + Tích hợp dễ dàng với các hệ thống thị giác máy để gia công / kiểm tra sản phẩm và cải thiện chất lượng. 6 - Nhược điểm: + Không gian làm việc phụ thuộc vào khích thước robot. + Chưa có khả năng đáp ứng các trường hợp khẩn cấp.

+ Giá thành còn cao, nhân viên bảo trì, sửa chữa còn hạn chế.2 ĐỘNG HỌC ROBOT 2.1 Lý thuyết về bài toán động học Robot. - Robot là một thiết bị máy móc có thể thực hiện công việc trong không gian dưới dưới sự điều khiển của máy tính thông qua việc kích hoạt chuyển động của các khớp. Các cảm biến khớp đo góc quay với khớp quay và khoảng cách trượt của khớp tịnh tiến (bài toán động học thuận, nghịch theo phương pháp D-H) từ đó cho phép bộ điều khiển tính toán giá trị diều khiển một cách chính xác để điều khiển các cơ cấu chấp hành. Thực hiện việc di chuyển một vật hoặc tự di chuyển chính bản thân nó để thực hiện công việc yêu cầu.

Mỗi khâu của robot được gắn với một hệ trục tham chiếu nhằm bám theo vi trí và hướng của khâu và mô hình hóa toàn bộ hệ thống robot. - Lý thuyết về phương pháp Denavit - Hartenberg (D-H): là phương pháp được sử dụng chung cho robot cho phép thiết lập phương trình động học của khâu thao tác tương đối đơn giản nhưng lại rất hiệu quả. Ngoài ra chúng ta còn có thể sử dụng kết quả của nó cho các bài toán khác như bài toán Jacobi, phân tích lực, độ cứng, .2: Mô hình hóa khâu và khớp theo D-H 7 + Một số quy ước về quy tắc D-H:  Các khâu đánh số từ 0 tới n với n là số khâu của robnot. Bệ robot sẽ được đánh số 0.

 Mỗi hệ trục gắn ở mỗi khâu phải luôn tuân theo quy tắc bàn tay phải hay quy tắt tam diện thuận.  Hệ trục toạ độ gắn trên khâu của Robot được gắn tại khớp xa hơn so với bệ của mỗi khâu.  Gốc của hệ trục toạ độ đặt tại giao điểm của đường vuông góc chung của các trục khớp với nhau. Nếu các trục khớp song song với nhau thì vị trí của gốc của hệ trục toạ độ được lựa chọn sao cho khoảng cách giữa các khâu bằng 0 hoặc nhỏ nhất nếu có một khoảng dịch chuyển giữa các khâu.

Nếu các trục khớp giao nhau thì gốc toạ độ sẽ đặt tại điểm giao nhau của các trục.  Trục z trùng với trục khớp. Nếu khớp tịnh tiến thì hướng trục z sẽ là hướng di chuyển đi ra xa. Nếu là khớp trụ, hướng trục z xác định là hướng dương theo hướng quay trục z hoặc theo hướng lựa chọn sao cho góc xoắn nhỏ nhất.

Nếu các trục giao nhau không có đường vuông góc chung thì trục x sẽ là tích vector của hai vector zn-1 và zn. Trong nhiều trường hợp trục x sẽ có hướng như trục x của khâu trước.  Sau khi đã đặt được hệ trục toạ độ vào các khâu ta lập được bảng D – H như sau: Bảng 2.1 Bảng D – H: θ d a α Biến 1 θ1 d1 a1 α1 x1 2 θ2 d2 a2 α2 x2 … θ3 d3 a3 α3 x3 n θ4 d4 a4 α4 x4 8 + Cách xác định thông số của bảng D – H:  θi : góc quay từ trục x i−1tới x i xung quanh trục z i−1.  a i: khoảng cách giữa giao điểm trục z i−1 và x i với gốc toạ độ hệ trục thứ i dọc theo trục x i.

 α i: góc quay của trục z i−1 tới z i xung quanh trục x i.  d i : khoảng cách từ gốc toạ độ thứ i-1 tới giao điểm của trục z n−1 và x i dọc theo trục z i−1. + Sau khi đã gắn được hệ trục và tìm được các thông số của bảng D – H ta có thể tính toán vị trí và hướng của cơ cấu chấp hành cuối qua việc giải bài toán động học thuận với các giá trị biến khớp đã cho trước. + Ta xác định được ma trận vị trí và hướng tại từng khâu theo phương trình tổng quát như sau: [ ] cos ( θi ) −sin ( θi )∗cos ( α i ) sin ( θi )∗sin ( α i ) l i∗cos ( θi ) sin ( θi ) cos ( θi )∗cos ( α i ) −sin ( α i)∗cos ( θi ) l i∗sin ( θi ) i-1 Ai = (2.