Tài liệu Toán 11 Học kỳ 2 (2020-2021): Giới hạn, Đạo hàm & Véctơ

• Tác giả: Trần Quốc Nghĩa
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Tài liệu học tập toán 11 học kỳ II
• Loại tài liệu: Tài liệu học tập
• Năm xuất bản: 2021

Tóm tắt

I. Tổng quan tài liệu học tập toán lớp 11 học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu học tập toán lớp 11 học kỳ 2 của thầy Trần Quốc Nghĩa là nguồn tài liệu uy tín dành cho học sinh THPT. Tài liệu được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa mới. Nội dung bao gồm ba chủ đề chính. Chủ đề 4 giới thiệu về giới hạn và tính liên tục của hàm số. Chủ đề 5 trình bày đạo hàm và ứng dụng. Chủ đề 6 đề cập đến vectơ trong không gian. Mỗi chủ đề đều có phần lý thuyết tóm tắt súc tích. Bài tập từ cơ bản đến nâng cao được sắp xếp theo từng vấn đề. Bộ đề kiểm tra từ nhiều trường THPT trên cả nước được tổng hợp đầy đủ. Tài liệu giúp học sinh hệ thống kiến thức hiệu quả. Cách trình bày rõ ràng, logic thuận lợi cho việc tự học. Học sinh có thể luyện tập và củng cố kỹ năng giải toán. Đây là công cụ hỗ trợ đắc lực cho kỳ thi học kỳ và thi THPT quốc gia.

1.1. Cấu trúc nội dung tài liệu toán 11 học kỳ 2

Tài liệu toán 11 học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa được chia thành các chương rõ ràng. Chương 4 về giới hạn bao gồm giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và tính liên tục. Chương 5 về đạo hàm trình bày định nghĩa, quy tắc tính và các ứng dụng. Chương 6 về vectơ trong không gian giới thiệu quan hệ vuông góc. Mỗi vấn đề đều có phần bài tập cơ bản nâng cao riêng biệt. Phần bài tập trắc nghiệm giúp ôn luyện sát với định hướng thi mới. Các đề kiểm tra chương được sưu tầm từ nhiều trường THPT uy tín. Cấu trúc này tạo thuận lợi lớn cho quá trình ôn tập hệ thống.

1.2. Đối tượng sử dụng tài liệu học tập hiệu quả

Tài liệu này phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh khác nhau. Học sinh lớp 11 cần củng cố kiến thức học kỳ 2 là đối tượng chính. Học sinh khá giỏi muốn tìm kiếm bài tập nâng cao cũng rất hữu ích. Giáo viên có thể tham khảo để soạn giáo án và ra đề thi. Phụ huynh sử dụng tài liệu để hỗ trợ con em trong học tập. Học sinh chuẩn bị thi THPT quốc gia cần ôn lại kiến thức nền tảng. Tài liệu cung cấp đầy đủ từ lý thuyết đến bài tập thực hành. Cách giải chi tiết giúp người học tự kiểm tra và rút kinh nghiệm.

II. Phân tích nội dung giới hạn và đạo hàm trong tài liệu

Chủ đề giới hạn chiếm vị trí quan trọng trong tài liệu toán 11 học kỳ 2. Phần giới hạn dãy số trình bày các dạng toán cơ bản. Dạng vô định phân số vô cùng trên vô cùng được xử lý bằng kỹ thuật khử. Dạng vô định hiệu vô cùng trừ vô cùng cần biến đổi phù hợp. Cấp số nhân lùi vô hạn có công thức tính tổng riêng. Giới hạn hàm số mở rộng với định nghĩa chính xác hơn. Giới hạn một bên là cơ sở để xét giới hạn tại một điểm. Hàm số liên tục được xác định qua điều kiện giới hạn tồn tại. Chủ đề đạo hàm bắt đầu từ khái niệm số gia của hàm số. Tính đạo hàm bằng định nghĩa là nền tảng quan trọng. Các quy tắc tính đạo hàm giúp rút ngắn thời gian giải toán. Đạo hàm hàm số lượng giác yêu cầu nắm vững bảng đạo hàm cơ bản.

2.1. Các dạng toán giới hạn thường gặp trong tài liệu

Tài liệu trình bày nhiều dạng toán giới hạn đa dạng. Dạng thứ nhất là giới hạn dãy số với cấp số nhân lùi vô hạn. Công thức tổng cấp số nhân là công cụ quan trọng cho dạng này. Dạng thứ hai là giới hạn hàm số tại hữu hạn với các dạng vô định. Dạng phân số 0/0 yêu cầu khử nhân tử chung hoặc dùng bảng giới hạn. Dạng vô định ∞/∞ được giải bằng cách chia tử mẫu cho bậc cao nhất. Dạng ∞−∞ cần đưa về dạng phân số rồi rút gọn. Dạng thứ ba là giới hạn tại vô cực sử dụng bậc của đa thức. Mỗi dạng đều có bài tập minh họa và hướng dẫn giải chi tiết.

2.2. Hệ thống kiến thức đạo hàm và vi phân

Phần đạo hàm trong tài liệu được trình bày theo trình tự logic. Đầu tiên là định nghĩa đạo hàm dựa trên giới hạn của thương số gia. Ý nghĩa hình học của đạo hàm liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến. Đạo hàm cấp một có ý nghĩa vật lý biểu thị vận tốc tức thời. Các quy tắc tính đạo hàm bao gồm tổng, hiệu, tích, thương. Đạo hàm hàm số hợp được xử lý bằng quy tắc dây chuyền. Vi phân là phần mở rộng quan trọng của đạo hàm. Đạo hàm cấp cao được định nghĩa qua phép đạo hàm lặp lại. Tài liệu còn giới thiệu công thức đạo hàm cấp n. Các bài toán ứng dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức bất đẳng thức rất phong phú.

III. Phương pháp học tập hiệu quả với tài liệu toán 11

Sử dụng tài liệu đúng cách giúp nâng cao kết quả học tập đáng kể. Bước đầu tiên là đọc kỹ phần lý thuyết tóm tắt. Nắm vững định nghĩa, định lý trước khi làm bài tập. Bước thứ hai là làm bài tập cơ bản theo từng dạng toán. Bài tập trong tài liệu được sắp xếp từ dễ đến khó. Học sinh nên tự giải trước khi xem lời giải mẫu. Bước thứ ba là tổng hợp lại các phương pháp giải thường dùng. Ghi chú những lỗi sai thường gặp để tránh lặp lại. Bước thứ tư là luyện đề kiểm tra chương trong điều kiện thời gian thực. So sánh kết quả với đáp án để đánh giá năng lực. Việc học cần duy trì đều đặn mỗi ngày. Không nên nhồi nhét kiến thức vào thời gian ngắn. Ôn tập thường xuyên giúp kiến thức được ghi nhớ lâu dài.

3.1. Kỹ thuật giải nhanh các dạng toán giới hạn

Giải nhanh toán giới hạn yêu cầu nhận diện đúng dạng toán. Dạng 0/0 cần khử nhân tử chung trước khi thay giới hạn. Sử dụng bảng giới hạn cơ bản như lim sinx/x khi x tiến về 0. Dạng ∞/∞ áp dụng quy tắc chia tử mẫu cho bậc cao nhất. Với đa thức bậc n chia cho đa thức bậc m, kết quả phụ thuộc so sánh n và m. Dạng ∞−∞ biến đổi bằng cách nhân liên hợp hoặc quy đồng mẫu số. Giới hạn hàm số lượng giác sử dụng biến đổi lượng giác cơ bản. Cần thuộc nằm lòng các giới hạn cơ bản để áp dụng nhanh chóng. Luyện tập nhiều giúp hình thành phản xạ nhận diện dạng toán. Mỗi dạng có phương pháp đặc trưng riêng cần nắm vững.

3.2. Chiến lược ôn tập đạo hàm cho kỳ thi học kỳ

Ôn tập đạo hàm cần theo chiến lược cụ thể và khoa học. Giai đoạn một tập trung vào thuộc bảng đạo hàm cơ bản. Bảng đạo hàm hàm số lượng giác cần ghi nhớ chính xác. Giai đoạn hai luyện các quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương. Đạo hàm hàm số hợp yêu cầu kỹ năng áp dụng quy tắc dây chuyền. Giai đoạn ba làm bài tập ứng dụng đạo hàm tìm tiếp tuyến. Bài toán xét dấu đạo hàm để tìm cực trị hàm số rất quan trọng. Giai đoạn bốn luyện đề thi hoàn chỉnh có giới hạn thời gian. Kiểm tra lại lời giải và rút kinh nghiệm từ lỗi sai. Ôn tập xen kẽ lý thuyết và thực hành đạt hiệu quả cao nhất.

IV. Kết luận và ứng dụng tài liệu toán lớp 11 Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu học tập toán lớp 11 học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa là nguồn tham khảo chất lượng. Nội dung bao phủ đầy đủ chương trình học kỳ 2 theo chuẩn Bộ Giáo dục. Hệ thống bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao phục vụ nhiều đối tượng. Các đề kiểm tra từ nhiều trường THPT giúp làm quen nhiều dạng đề. Kiến thức về giới hạn là nền tảng cho chương trình giải tích nâng cao. Đạo hàm có ứng dụng rộng rãi trong khoa học tự nhiên và kinh tế. Vectơ trong không gian phục vụ cho hình học không gian. Sử dụng tài liệu đúng phương pháp giúp đạt kết quả cao trong học tập. Học sinh nên kết hợp với sách giáo khoa để có cái nhìn toàn diện. Việc luyện tập chăm chỉ và đều đặn là yếu tố quyết định thành công. Tài liệu này xứng đáng là người bạn đồng hành đáng tin cậy.

4.1. Ứng dụng kiến thức giới hạn và đạo hàm thực tế

Kiến thức giới hạn và đạo hàm có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống. Giới hạn dùng để mô tả xu hướng thay đổi của đại lượng theo thời gian. Trong kinh tế, giới hạn giúp tính chi phí cận biên và doanh thu cận biên. Đạo hàm được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong bài toán tối ưu. Kỹ sư sử dụng đạo hàm để tính vận tốc và gia tốc của vật thể. Trong sinh học, đạo hàm mô tả tốc độ tăng trưởng quần thể. Hàm số liên tục đảm bảo tính ổn định trong các mô hình toán học. Bài toán tìm tiếp tuyến có ứng dụng trong thiết kế đường cong. Kiến thức nền tảng này là bước đệm cho chương trình đại học. Nắm vững ứng dụng giúp học sinh thấy ý nghĩa thực tế của toán học.

4.2. Lộ trình ôn thi THPT quốc gia với tài liệu hiệu quả

Tài liệu Trần Quốc Nghĩa là công cụ hữu ích cho lộ trình ôn thi THPT. Giai đoạn một kéo dài hai tháng tập trung xây dựng nền tảng kiến thức. Đọc kỹ lý thuyết và làm bài tập cơ bản trong tài liệu. Giai đoạn hai trong một tháng luyện các dạng toán nâng cao. Tập trung vào các bài toán giới hạn và đạo hàm thường xuất hiện trong đề thi. Giai đoạn ba là một tháng cuối luyện đề thi thử hoàn chỉnh. Kết hợp với đề thi từ các trường THPT trong tài liệu. Phân tích cấu trúc đề thi để xác định trọng tâm ôn tập. Quản lý thời gian làm bài hợp lý đạt hiệu quả tối đa. Kết quả thi THPT phản ánh nỗ lực và phương pháp học tập đúng đắn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 HỌC KÌ II – NH: 2020-2021 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020-2021 Chủ đề 4. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . Khử dạng vô định / . Khử dạng vô định  -  . Cấp số nhân lùi vô hạn . 11 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1. 12 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 1 . GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . Định nghĩa giới hạn . Giới hạn một bên . Khử dạng vô định / . Khử dạng vô định . Khử dạng vô định  - , 0. Sử dụng đồ thị để tìm giá trị của giới hạn . 37 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2 . 40 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 2 . HÀM SỐ LIÊN TỤC . Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn . Chứng minh phương trình có nghiệm . Xét dấu biểu thức . 67 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 3 . 69 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 3 . 73 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 4 . 75 CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 . 83 ĐỀ SỐ 1 – THPT Nguyễn Trãi, Thanh Hóa . 83 ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Thái Hiếu, Vĩnh Long . 84 ĐỀ SỐ 3 – THPT Nguễn Trung Trực, Bình Định . 86 ĐỀ SỐ 4 – THPT Như Xuân, Thanh Hóa . Trần Quốc Nghĩa i HỌC KÌ II – NH: 2020-2021 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 ĐỀ SỐ 5 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình . 91 ĐỀ SỐ 6 – THPT An Hải, Hải Phòng . 92 ĐỀ SỐ 7 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương . 93 ĐỀ SỐ 8 – Nguồn Internet . 95 ĐỀ SỐ 9 – THPT Thị xã Quảng Trị . 96 ĐỀ SỐ 10 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương (18-19) . ĐẠO HÀM Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM . Tìm số gia của hàm số . Tính đạo hàm bằng định nghĩa . Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm . Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến . Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1 . CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số . Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác . Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm . Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO . Tìm vi phân của hàm số . Tính gần đúng giá trị của hàm số . Tính đạo hàm cấp cao của hàm số . Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai . Tìm công thức đạo hàm cấp n . Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm . SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA Cnk 133 Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN . MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ TIẾP TUYẾN . 139 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 . 147 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5 . ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM . QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . Trần Quốc Nghĩa TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 HỌC KÌ II – NH: 2020-2021 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . ĐẠO HÀM CẤP CAO . 172 CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 5 . 178 ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội . 178 ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình . 80 ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế . 182 ĐỀ SỐ 4 - THPT Nho Quan A, Ninh Bình . 184 ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định . 185 ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước . 186 ĐỀ SỐ 7 – THPT Nam Hà, Đồng Nai . 188 ĐỀ SỐ 8 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương . 190 ĐỀ SỐ 9 – THPT Triệu Quang Phục, Hưng Yên . 193 ĐỀ SỐ 10 – THPT Cây Dương, Kiên Giang . VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC Vấn đề 1. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN . Tính toán véctơ . Chứng minh đẳng thức véctơ . Quan hệ đồng phẳng . Cùng phương và song song . 206 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 1 . 207 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC . Chứng minh vuông góc . Góc giữa hai đường thẳng . 212 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 2 . 217 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG . Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước . Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm . 233 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 3 . 235 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . Trần Quốc Nghĩa iii HỌC KÌ II – NH: 2020-2021 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 Vấn đề 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC . Góc giữa hai mặt phẳng . Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . Thiết diện chứa đường thẳng a và vuông góc với (α) . Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp . 250 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . 260 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . 267 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ðỀ 3 . 269 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ðỀ 3 . 275 PHỤ LỤC A – KIẾN THỨC CƠ BẢN . 285 B – CÔNG THỨC CƠ BẢN . 286 C – MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP . Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 11 Chng 4: GI I HN. LIN TC Chủđề 4 GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY DÃY SỐ SỐ A - GIỚ GIỚI HẠ HẠN HỮ HỮU HẠ HẠN  Giới hạn hữu hạn • lim un = 0 ⇔ un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào ñó trở ñi. n →+∞ • Dãy số ( un ) có giới hạn là L nếu: lim vn = L ⇔ lim ( vn − L ) = 0 n →+∞ n →+∞  Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = 0, lim un = L .  Giới hạn ñặc biệt 1 1 1 1) lim = 0 2) lim =0 3) lim 3 = 0 n n n 4) un = 0 ⇒ lim un = 0 5) lim C = C , ∀C ∈ ℝ 6) lim q n = 0 nếu q < 1 ) 1 7) lim = 0, k ∈ ℕ * 8) lim q n = +∞ nếu q > 1 9) lim n k = +∞, k ∈ ℕ * nk  ðịnh lí về giới hạn • Nếu hai dãy số ( un ) và ( vn ) cùng có giới hạn thì ta có: 1) lim(un ± vn ) = lim un ± lim vn 2) lim ( un .vn ) = lim un .lim vn u lim un 3) lim n = (nếu lim vn ≠ 0 ) 4) lim ( k .lim un , (k ∈ ℝ) vn lim vn 5) lim un = lim un 6) lim 2k un = 2k lim un (nếu un ≥ 0 ) (căn bậc chẵn) 7) lim 2k +1 un = 2 k +1 lim un (căn bậc lẻ) 8) Nếu un ≤ vn và lim vn = 0 thì lim un = 0 . - ðịnh lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) , ( wn ) và L ∈ ℝ . Nếu un ≤ vn ≤ wn , ∀n ∈ ℕ * và lim un = lim wn = L thì ( vn ) có giới hạn và lim vn = L . u • Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim n = 0 . vn 1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. 2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. , là một số vô tỉ.  n  Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn • Một cấp số nhân có công bộ i q với | q |< 1 ñược gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Trần Quốc Nghĩa 1 Chng 4: GI I HN. LIN TC TI LIU H C T P TON 11 B - GIỚ GIỚI HẠ HẠN VÔ CỰ CỰC  ðịnh nghĩa • lim un = +∞ nếu với mỗ i số dương tùy ý cho trước, mọ i số hạng của dãy số, kể từ một số n →+∞ hạng nào ñó trở ñi, ñều lớn hơn số dương ñó. • lim un = −∞ nếu với mỗ i số âm tùy ý cho trước, mọ i số hạng của dãy số, kể từ một số hạng n →+∞ nào ñó trở ñi, ñều nhỏ hơn số âm ñó. • lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ n →+∞ n→+∞  Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = ±∞ . 1  ðịnh lí − Neáu lim un = +∞ thì lim =0 un 1 − Nếu lim un = 0, ( un ≠ 0, ∀n ∈ ℕ ) ⇔ lim =∞ un  Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1: Qui tắc 2: Qui tắc 3: Nếu lim un = ±∞ Nếu lim un = ±∞ Nếu lim un = L ≠ 0 , và lim vn = ±∞ , và lim vn = L ≠ 0 , lim vn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một số hạng nào thì lim ( un .vn ) là: thì lim ( un .vn ) là: ñó trở ñi thì: Dấu của un lim un lim v n lim ( un .v n ) lim un lim ( un .v n ) L Dấu của vn lim L vn +∞ +∞ +∞ +∞ + +∞ + + +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ − −∞ + − −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ + −∞ − + −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ − +∞ − − +∞ Dạng1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dãy ( un ) có giới hạn 0 nếu mỗ i số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọ i số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào ñó trở ñi, ñều có giá trị tuyệt ñối nhỏ hơn số dương ñó. Khi ñó ta viết: lim ( un ) = 0 hoặc lim un = 0 hoặc un → 0 . lim un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : n > n0 ⇒ un < ε • Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp ñể chứng minh, ñánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, … B. BÀI TẬP MẪU n Ví dụ 1. Chứng minh u = ( −1) dãy có giới hạn là 0 . Mà lim = 0 nên suy ra lim ( −1) = 0 .