Nghiên Cứu Sự Suy Giảm Trong L2 Của Nghiệm Yếu Cho Phương Trình Navier-Stokes

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu sự suy giảm trong L2 của nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes, phân tích tính chất toán học và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Hoàng Thành
• Người hướng dẫn: TS. Đào Quang Khải
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Giải tích
• Đề tài: Suy giảm trong L2 của nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Không gian các hàm cơ bản và hàm suy rộng
• 1.1.1. Một số ký hiệu
• 1.1.2. Không gian hàm cơ bản D(Ω) và không gian hàm suy rộng D′ (Ω)
• 1.1.3. Không gian hàm cơ bản E(Ω) và không gian hàm suy rộng có giá compact E′ (Ω)
• 1.1.4. Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn) và không gian các hàm tăng chậm S′ (Rn)
• 1.2. Tích chập giữa các hàm trong Lp (Rn), 1 ≤ p ≤ ∞
• 1.3. Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản
• 1.4. Phép biến đổi Fourier trong S(Rn) và S′ (Rn)
• 1.5. Không gian Sobolev
• 1.5.1. Không gian Sobolev cấp nguyên không âm
• 1.5.2. Không gian Sobolev cấp thực s
• 1.5.3. Không gian Sobolev thuần nhất
• 1.6. Một số khái niệm cơ bản về phương trình Navier-Stokes
• 1.6.1. Phương trình Navier-Stokes
• 1.6.2. Nghiệm yếu đều của phương trình Navier-Stokes
• 2. CHƯƠNG 2: SỰ SUY GIẢM TRONG L2 THEO THỜI GIAN CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
• 2.1. Những lập luận hình thức
• 2.2. Sự suy giảm của Nghiệm Leray-Hopf
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Phương trình Navier Stokes và nghiệm yếu

Phương trình Navier-Stokes là một trong những phương trình cơ bản nhất trong cơ học chất lỏng, mô tả chuyển động của chất lỏng và chất khí. Phương trình này có dạng: ut = ∆u − u · ∇u − ∇p, với điều kiện ∇ · u = 0. Trong đó, u là vận tốc chất lỏng, p là áp suất, và ∆ là toán tử Laplace. Nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt khi nghiệm không đủ trơn để thỏa mãn phương trình theo nghĩa cổ điển. Nghiệm yếu được định nghĩa thông qua các phiếm hàm suy rộng và không gian hàm Sobolev.

1.1. Khái niệm nghiệm yếu

Nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes là một hàm vector u thuộc không gian Sobolev W1,2, thỏa mãn phương trình dưới dạng tích phân. Điều này cho phép ta nghiên cứu các nghiệm không trơn, thường xuất hiện trong các bài toán thực tế. Nghiệm yếu được xác định thông qua các điều kiện ban đầu và các tính chất bất biến của phương trình.

1.2. Tính bất biến của nghiệm yếu

Nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes có tính bất biến dưới phép tịnh tiến và phép co giãn. Điều này có nghĩa là nếu u(t, x) là một nghiệm yếu, thì u(λ²t, λx) cũng là một nghiệm yếu với mọi λ > 0. Tính chất này giúp đơn giản hóa việc nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian tiến ra vô cùng.

II. Sự suy giảm trong L2 của nghiệm yếu

Sự suy giảm trong L2 của nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes là một vấn đề quan trọng trong phân tích toán học. Nghiệm yếu Leray-Hopf được chứng minh là suy giảm trong không gian L2 khi thời gian tiến ra vô cùng. Điều này có nghĩa là ||u(t)||L2 → 0 khi t → ∞. Kết quả này dựa trên các ước lượng năng lượng và tính chất của toán tử Laplace.

2.1. Ước lượng năng lượng

Để chứng minh sự suy giảm của nghiệm yếu trong L2, ta sử dụng các ước lượng năng lượng. Cụ thể, năng lượng của nghiệm yếu được định nghĩa là E(t) = ½ ||u(t)||L2². Bằng cách sử dụng bất đẳng thức năng lượng, ta có thể chứng minh rằng E(t) giảm dần theo thời gian và tiến tới 0 khi t → ∞.

2.2. Tính chất của toán tử Laplace

Toán tử Laplace ∆ đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự suy giảm của nghiệm yếu. Toán tử này có tính chất làm giảm năng lượng của nghiệm thông qua quá trình khuếch tán. Các tính chất phổ của toán tử Laplace cũng được sử dụng để chứng minh sự suy giảm của nghiệm trong không gian L2.

III. Ứng dụng và ý nghĩa thực tiễn

Nghiên cứu về sự suy giảm trong L2 của nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Phương trình Navier-Stokes được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như dự báo thời tiết, thiết kế động học, và nghiên cứu dòng chảy chất lỏng. Hiểu được dáng điệu của nghiệm yếu giúp cải thiện các mô hình toán học trong các ứng dụng này.

3.1. Ứng dụng trong dự báo thời tiết

Phương trình Navier-Stokes là cơ sở để mô hình hóa chuyển động của khí quyển. Việc nghiên cứu sự suy giảm của nghiệm yếu giúp cải thiện độ chính xác của các mô hình dự báo thời tiết, đặc biệt trong việc dự đoán các hiện tượng thời tiết cực đoan.

3.2. Ứng dụng trong thiết kế động học

Trong thiết kế động học, phương trình Navier-Stokes được sử dụng để mô phỏng dòng chảy xung quanh các vật thể như máy bay và ô tô. Hiểu được sự suy giảm của nghiệm yếu giúp tối ưu hóa thiết kế, giảm lực cản và cải thiện hiệu suất.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phương trình Navier-Stokes là nền tảng trong cơ học chất lỏng, mô tả chuyển động của chất lỏng và khí trong nhiều ứng dụng thực tiễn như dự báo thời tiết, thiết kế khí động học, và phân tích ô nhiễm môi trường. Theo ước tính, việc hiểu rõ tính chất nghiệm của phương trình này đóng vai trò then chốt trong phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Tuy nhiên, các vấn đề cơ bản như sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu của nghiệm yếu vẫn là câu hỏi mở, đặc biệt là bài toán Cauchy trong không gian ba chiều.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phân tích sự suy giảm theo chuẩn L2 của nghiệm yếu Leray-Hopf cho phương trình Navier-Stokes không nén được trong không gian ba chiều, với dữ liệu ban đầu thuộc không gian L1 và L2, và lực tác động f tiến tới 0 khi thời gian t → ∞. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào bài toán Cauchy trên toàn bộ không gian R³, trong khoảng thời gian tiến ra vô cùng. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc xác định tốc độ suy giảm đại số của nghiệm, góp phần làm sáng tỏ tính chất động học của các nghiệm yếu, đồng thời cung cấp cơ sở toán học cho các ứng dụng thực tế trong khoa học và kỹ thuật.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

• Không gian Sobolev và các không gian hàm suy rộng: Bao gồm không gian Sobolev cấp nguyên và cấp thực, không gian hàm cơ bản D(Ω), không gian hàm suy rộng D′(Ω), và không gian hàm tăng chậm S′(Rn). Các không gian này cung cấp nền tảng để định nghĩa và phân tích nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes.

• Phương trình Navier-Stokes và nghiệm yếu Leray-Hopf: Phương trình mô tả vận tốc u(t,x) và áp suất p(t,x) của chất lỏng nhớt, thuần nhất, không nén được. Nghiệm yếu Leray-Hopf được định nghĩa trong không gian L∞((0,T);L²) ∩ L²((0,T);Ḣ¹), thỏa mãn điều kiện năng lượng và tính không nén.

• Biến đổi Fourier và phân tích phổ: Sử dụng biến đổi Fourier trong không gian S(Rn) và S′(Rn) để phân tích các tính chất tần số của nghiệm, từ đó thiết lập các bất đẳng thức vi phân và đánh giá tốc độ suy giảm của nghiệm trong chuẩn L2.

• Mô hình hiệu chỉnh trễ (ψδ): Áp dụng hàm điều chỉnh trễ ψδ(u) để xây dựng nghiệm xấp xỉ uN, từ đó chứng minh sự hội tụ mạnh trong L2 tới nghiệm Leray-Hopf thực sự.

Phương pháp nghiên cứu

• Nguồn dữ liệu: Dữ liệu nghiên cứu bao gồm các hàm vận tốc ban đầu u0 thuộc L1(R³) ∩ L2(R³) và lực tác động f thuộc L∞((0,∞);W⁻¹,¹(R³)) với điều kiện suy giảm theo thời gian.

• Phương pháp phân tích: Sử dụng phương pháp giải tích phổ kết hợp biến đổi Fourier để phân tích bài toán phi tuyến. Phương pháp này không dựa vào tính chất của toán tử Stokes mà tập trung vào đánh giá biến đổi Fourier của nghiệm và lực tác động.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong năm 2020, với các bước chính gồm xây dựng khung lý thuyết, phát triển các lập luận hình thức, chứng minh các định lý về sự suy giảm nghiệm, và hoàn thiện luận văn.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu mang tính lý thuyết, không sử dụng mẫu thực nghiệm mà dựa trên các hàm nghiệm và lực giả định thỏa mãn điều kiện toán học đã nêu.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Sự suy giảm nghiệm trong chuẩn L2 với tốc độ đại số:
   Định lý chính chứng minh rằng nghiệm Leray-Hopf u(t) của phương trình Navier-Stokes ba chiều với dữ liệu ban đầu u0 ∈ L1(R³) ∩ L2(R³) và lực f = 0 thỏa mãn:
   [ |u(\cdot, t)|_{L^2(\mathbb{R}^3)} \leq C (t+1)^{-\frac{1}{2}} ]
   với hằng số C phụ thuộc vào chuẩn của u0. Tốc độ suy giảm này được cải tiến lên ((t+1)^{-\frac{3}{2}}) nếu nghiệm bị chặn đều trong L1.

2. Mở rộng với lực tác động f khác không:
   Khi f ∈ L∞((0,∞);W⁻¹,¹(R³)) và suy giảm theo thời gian với (|f(\cdot, t)|{L^2} \leq K (t+1)^{-\frac{3}{2}}), nghiệm vẫn duy trì tốc độ suy giảm đại số tương tự:
   [ |u(\cdot, t)|{L^2(\mathbb{R}^3)} \leq C (t+1)^{-\frac{1}{2}} ]

3. Chứng minh bằng phương pháp hiệu chỉnh trễ và hội tụ nghiệm xấp xỉ:
   Nghiệm xấp xỉ uN được xây dựng qua hàm điều chỉnh trễ ψδ(u) hội tụ mạnh trong L2 tới nghiệm Leray-Hopf u, đồng thời giữ được tốc độ suy giảm trong L2.

4. Đánh giá biến đổi Fourier của nghiệm và áp suất:
   Biến đổi Fourier của nghiệm û(ξ,t) được đánh giá bằng bất đẳng thức:
   [ | \hat{u}(\xi, t) | \leq C |\xi|^{-1} ]
   trên các miền tần số phụ thuộc thời gian, là cơ sở để thiết lập các bất đẳng thức vi phân và tốc độ suy giảm.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của sự suy giảm nghiệm trong chuẩn L2 được giải thích qua phân tích phổ và tính chất khuếch tán của phương trình Navier-Stokes. Việc phân tích miền tần số thành các hình cầu phụ thuộc thời gian giúp kiểm soát các thành phần tần số thấp và cao, từ đó thiết lập được bất đẳng thức vi phân cho chuẩn L2 của nghiệm.

So sánh với các nghiên cứu trước, kết quả này mở rộng và làm rõ hơn về tốc độ suy giảm đại số của nghiệm yếu Leray-Hopf, đặc biệt khi có lực tác động suy giảm theo thời gian. Phương pháp hiệu chỉnh trễ và xây dựng nghiệm xấp xỉ là bước tiến quan trọng giúp chứng minh tính chặt chẽ của các kết quả.

Ý nghĩa của kết quả nằm ở việc cung cấp cơ sở toán học vững chắc cho việc dự đoán và mô phỏng các hiện tượng chất lỏng trong thực tế, đồng thời góp phần giải quyết các vấn đề mở trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các phương pháp số dựa trên tốc độ suy giảm đại số:
   Áp dụng kết quả suy giảm nghiệm để thiết kế thuật toán số ổn định và hiệu quả cho mô phỏng phương trình Navier-Stokes trong các ứng dụng kỹ thuật, nhằm giảm thiểu sai số tích lũy theo thời gian.

2. Mở rộng nghiên cứu sang các không gian chiều cao hơn và các điều kiện biên phức tạp:
   Khuyến nghị nghiên cứu tiếp tục phân tích sự suy giảm nghiệm trong không gian n chiều với n > 3 và các điều kiện biên thực tế hơn, nhằm tăng tính ứng dụng của lý thuyết.

3. Khảo sát ảnh hưởng của các loại lực tác động khác nhau:
   Đề xuất nghiên cứu tác động của các lực không suy giảm hoặc có tính chất ngẫu nhiên lên tốc độ suy giảm của nghiệm, phục vụ cho các mô hình chất lỏng trong môi trường biến động.

4. Tăng cường hợp tác liên ngành giữa toán học và kỹ thuật:
   Khuyến khích các nhà toán học và kỹ sư hợp tác để ứng dụng các kết quả lý thuyết vào thiết kế hệ thống điều khiển dòng chảy, dự báo thời tiết và mô phỏng môi trường.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán học ứng dụng và Cơ học chất lỏng:
   Giúp hiểu sâu về lý thuyết nghiệm yếu và các kỹ thuật phân tích phổ trong phương trình Navier-Stokes.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng và phân tích toán học:
   Cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp chứng minh mới để phát triển các nghiên cứu tiếp theo.

3. Kỹ sư và chuyên gia mô phỏng trong ngành hàng không, thủy lợi, và môi trường:
   Áp dụng kết quả suy giảm nghiệm để cải thiện mô hình và thuật toán mô phỏng dòng chảy chất lỏng.

4. Các nhà phát triển phần mềm mô phỏng CFD (Computational Fluid Dynamics):
   Tận dụng các kết quả về tốc độ suy giảm để tối ưu hóa thuật toán và đảm bảo tính ổn định của các mô hình số.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao cần nghiên cứu sự suy giảm của nghiệm phương trình Navier-Stokes?
   Sự suy giảm cho biết cách nghiệm tiến tới trạng thái ổn định hoặc biến mất theo thời gian, rất quan trọng trong dự báo và mô phỏng các hiện tượng chất lỏng thực tế.

2. Nghiệm Leray-Hopf là gì và tại sao được sử dụng?
   Nghiệm Leray-Hopf là nghiệm yếu thỏa mãn điều kiện năng lượng, được xây dựng để giải quyết bài toán tồn tại nghiệm trong các không gian hàm phù hợp, đặc biệt khi nghiệm trơn chưa được chứng minh.

3. Phương pháp hiệu chỉnh trễ ψδ(u) có vai trò gì trong nghiên cứu?
   Phương pháp này giúp xây dựng các nghiệm xấp xỉ có tính chất tốt hơn, từ đó chứng minh sự hội tụ mạnh tới nghiệm thực sự và duy trì các tính chất suy giảm.

4. Tốc độ suy giảm đại số có ý nghĩa gì trong ứng dụng thực tế?
   Nó cho biết mức độ nhanh chóng mà các dao động hoặc biến đổi trong dòng chảy giảm dần, giúp thiết kế các hệ thống điều khiển và dự báo chính xác hơn.

5. Có thể áp dụng kết quả này cho các phương trình chất lỏng khác không?
   Phương pháp và kết quả có thể mở rộng sang các phương trình bảo toàn parabolic khác và các bài toán tương tự trong cơ học chất lỏng và vật lý toán học.

Kết luận

• Nghiên cứu đã chứng minh sự suy giảm trong chuẩn L2 của nghiệm yếu Leray-Hopf cho phương trình Navier-Stokes ba chiều với tốc độ đại số ((t+1)^{-1/2}), mở rộng cho trường hợp có lực tác động suy giảm theo thời gian.

• Phương pháp hiệu chỉnh trễ và phân tích biến đổi Fourier là công cụ chính giúp thiết lập các kết quả chặt chẽ và có tính tổng quát cao.

• Kết quả góp phần làm sáng tỏ các vấn đề mở về tính chất nghiệm của phương trình Navier-Stokes, đồng thời có ý nghĩa thực tiễn trong mô phỏng và dự báo các hiện tượng chất lỏng.

• Nghiên cứu đề xuất các hướng phát triển tiếp theo như mở rộng không gian chiều, khảo sát các loại lực khác nhau và ứng dụng trong kỹ thuật.

• Khuyến khích các nhà nghiên cứu và chuyên gia kỹ thuật áp dụng kết quả để nâng cao hiệu quả mô phỏng và thiết kế hệ thống liên quan đến dòng chảy chất lỏng.

Đọc kỹ luận văn để nắm vững các phương pháp phân tích, áp dụng kết quả vào nghiên cứu hoặc dự án mô phỏng, đồng thời phát triển các đề tài nghiên cứu mở rộng dựa trên nền tảng này.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Kiến thúc chuẩn bị Chương 2: Sự suy giảm trong L2 của nghiệm yéu cho phương trình Nauier-Stokes Kiến thức chuẩn bị Các mục 1.3 chương này chúng tôi tham khảo tài liệu [1], còn các mục 1.5 chúng tôi tham khảo các tài liệu [3| và [5].1 Không gian các hàm cơ bản và hàm suy rộng 1.1 Một số ký hiệu Cho © là mét tap m6 trong R” ta định nghĩa như sau: C*(Q) = {u: OQ > C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C¥(Q) = {u € C*(Q)| supp wu 1A tap compact}, C* (Q) = NFLAC*(Q), CF (Q) = NACH), trong đó suppu = {x € Qlu(x) # 0}. Ky hiéu: £?(Q) = {u: Q > Clu do được, Jo |u(z)|Pd+ < œ} với 1< p< œ và 1®(9) = {w: Q + Cless sup |u(x)| < eo} reQ trong đó ess sup |u(z)| = inf{k > Ol {x e€ 0l|u(z)| > K}| = Of. Ký hiệu 7ƒ (9) = {u: 9 — Clu € I(K) với mọi tập compact K C Q} trong dé l<p<o. D™, trong dé a = (œI,as,.,d„) € Ñ" và Ø9 Oj 3 — q D; = mJ=l2,.,#„) € ]JR" thì ký hiệu |z| = v2? + z2 +.2 không gian hàm cơ bản (9) và không gian hàm suy rộng 719) Định nghĩa 1.

Không gian D(Q) la khong gian Cp°(Q) cùng với sự hội tụ trong 7(9) được định nghĩa như sau: một dãy {g¡}?S¡ trong C?°() được gọi là hội tụ đến œ@€Œ£°(9) khi và chỉ khi có một tập compact K € 9 thỏa mãn supp y; C K,i e N và lim sup |D°y; — D%y| = 0,Va ¢ N”. Khi đó ta viết y = D_ lim yj. ?‡—>® xcQ 1-00 Một số tính chất. Khái niệm hội tụ này xác định một tôpô tương thích với cấu trúc tuyến tính trên (O) nghĩa là nếu D_ lim yg; = vy, D- lim Yj =v, lim aj = a I-00 I-00 1-00 trong đó {a;}?°¡ CIR,ae R thì D_ lim (vi + Vi) = 94+ ¥,D_ lim ayy; = ay.

170 1700 Đạo hàm * là một Anh xa tuyén tinh lién tuc trén D(Q) nghia là: Dp € D(Q), Vy € D(Q), D*(re +1) = rD" (yp) + yD" (w), Vr,v € C va ý, € D(Q), D_ lim D*y; = 0 néu D_ lim y; = 0. Không gian ?(©) là không gian đủ tức là mọi dãy Cauchy trong D(Q) déu hoi tụ. Một phiếm hàm ƒ : D(0) — € gọi là tuyến tính liên tục trên D(Q) néu: 5 () ƒ tuyến tính nghĩa là ƒ(a¿ + Ø8) = œƒ(w) + 8ƒ(0),Va, 8 e C và ¿, D(9), (ii) 7 liên tục trên ?(©) nghĩa là lim ƒ(w¡) = ƒ(),V {2¡}ƒ2¡ © D(Q) va D_ lim yi = 1-00 1-00 # Định nghĩa 1. Không gian các hàm suy rộng 7⁄(©) là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên (9).

Hàm suy rong f € D’/(Q) tac động lên ¿ € ? ta ký hiệu 1a (f,y). D’(Q) là một không gian vector với phép cộng và nhân như sau: () Cho ƒ,øc 7⁄9) thì ƒ + ø được định nghĩa như sau: +ø. Với mỗi hàm ƒ € Uj (Q) được coi như một ham suy rộng như sau: IC (ie) = | ƒ6)ez)dz, ve € P0). Đạo hàm suy rộng cấp œ của hàm suy rộng ƒ trong © là một phiếm hàm trên © được xác định như sau D°f:p— (-1)° (f, D°v) ,.g € DQ) trong dé |a| =a, +a2+.

Với mỗi a € N” thi D°f € D/(Q) và D* là một ánh xạ tuyến tính trên 7(Q) nghĩa là () D*ƒ e⁄(). Ham Heaviside 1 néut>0 0 néut <0 có đạo hàm suy rộng 9 = 6. Ham #(z) = (2z)~!In ||z|| nếu + e R?/{O} với n > 3 thi E) =~„—— lin? € RP/(0), (n — 2)Cn trong đó O = (0,0,.,0), Ớ„ là diện tích mặt cầu đơn vi trong JR“ và |lz|| = 7 +02 +. Khi dé AE =6 trong D'(R”), A = Di + D3+.

Ta noi day {f;}%, hoi tu dén f trong D’(Q) nếu Jim (fi, 9) = (f.9) We € DO), Một số tính chất. Tôpô xác định bởi định nghĩa hội tụ trên là tương thích với cấu trúc tuyến tính trong D’(Q) nghĩa là () Nếu Ð' lim ƒ; = ƒ va D lim g = g thi 1-00 100 Di lim (fi+g9i) = ƒ +. 1-00 1 — lim f; = f va lim a; = a trong dé {a;} C R thi D_ lim a; fj = af. ii) D_ | \ "và ] đó R thì ?' I1 1 : 1-00 100 170 2.

Đạo hàm suy rộng 2* là một ánh xạ tuyến tinh lién tuc trén D/(Q) nghia 1A (i) D°(Af + 8g) = AD°f + BD°g,Vd, B e C;ƒ. (ii) Nếu Ð' lim ƒ;= ƒ thì Ð' lim D*ƒ;= D*ƒ 100 100 3. Day {fi}%, C D’(Q) goi la day Cauchy trong D/(Q) nếu với moi y € D(Q) day {(fi, 9) }%, la mot day Cauchy trong C. 4, D’(Q) la mot khong gian đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong D/(Q) déu héi tụ.

Không gian hàm cơ bản £(O) và không gian hàm suy rộng cé gid compact €'(Q) Định nghĩa 1. Không gian £(9) bao gồm các hàm vy € C™%(Q), day {yi}%y Œ®%(©) được gọi là hội tụ đến ¿ € C%(Q) trong €(2) néu lim sup |D#Fq@g(z) — D®¿(z)| =0,Va eÑ",E €9. 1790 2eK khi đó ta ký hiệu là €_ lim y; = y. Iwo Một số tính chất.

Định nghĩa hội tụ trên trong £(O) xác định một cấu trúc tôpô tương thích với cấu trúc tuyến tính của nó nghĩa là () Nếu £_ lim ự¿ = ¿ và £_ lim ý; = 0 thì I-00 I-00 E_ lim (yi + vi) = ety. I-00 (ii) Néu € lim 9; =¢ va {ri}, CC, lim 7; =r thi i000 i700 €_ lim ripi = ry. Dãy {¿¡}5¡ C £(9) gọi dãy Cauchy trong £(9) nếu lim sup |D°y;(«) — D°y;(x)| =0,va Ee N", Kk EQ. 170 eK £(9) là một không gian đủ tức là mọi dãy Cauchy trong €(Q) déu héi tu.

Một hàm suy rộng ƒ # 0 tại z e Q nghĩa là mọi lân cận mở V của z đều tồn tại một hàm y € Cp°(V) sao cho (f,y) # 0. Từ đó ta có thể định nghĩa giá của một ham suy rộng như sau. Gid cua ham suy rong f được định nghĩa như sau supp f = {a € Q|f £0 tai z}. Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu là £“(9).

Dinh lý sau thiết lập một song ánh giữa các hàm suy rộng có giá compact £!(Ó) và không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên £(). Cho ham suy rộng có giá compact ƒ € D'(Q). Khi đó ta có thể thác triển duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên £(Q). Ngược lại mỗi phiếm hàm tuyến tính trên €(Q) đều có hạn chế lên £(Q) uà một hàm suy rộng có gia compact.

Cho day {fi}%2, € €’(Q) va f € €'(Q). Day {fi}, dude goi hdi tụ tới ƒ trong £”(@) nếu có một tập compaet # C 9 thỏa mãn supp f; C K,Vi ¢ N và D' lim ƒ; = ƒ khi đó ta viết £ lim ƒ; = ƒ. 100 1-00 Một số tính chất. Khái niệm hội tụ trong £/(O) được định nghĩa trên tương thích với cấu trúc tuyến tính nghĩa là () Nếu £' lim ƒ; = ƒ và £' lim g; =g thi 1-00 1-00 E" lim(fi +g) =f +9.

I-00 () Nếu £' lim ÿ = ƒ và {A;}#2¡ CC, lim A; =) thi 100 1-00 E! lim \ fi = Af. Day {fi}, C EQ) goi lA day Cauchy trong €’(Q) néu c6 mot tap compact K CO thỏa mãn supp f; C K,Vvi € N va {f;}%, 1a day Cauchy trong D’(Q). Không gian £(©) là một không gian đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong £f(©) đều hội tụ. Nếu £' lim ƒ; = ƒ thì Ð' im ƒ = ƒ.

Do đó phép nhúng £“(9) => (9) là liên 1-00 100 tuc.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(R") va khéng gian cac ham tăng cham S’(R”) Định nghĩa 1. Không gian S(R") được định nghĩa như sau S(R") ={ve c™(R")| sup |#œ®Ð#¿(z)| < 00,Va, 8 e Ñ"}. „clRn Day {¿¡}ƒS¡ C S(R") được gọi là hội tụ đến ¿ € S(R") trong S(R") nếu lim sup |z*D°(y; — y)| = 0,Va, 8 € N”. i-oo 2ER” Khi đó ta viết S_ lim y; = ¢.

1-00 Một số tính chất. Hoi tu trong S(R") được định nghĩa xác định một tôpô tương thích với cấu trúc tuyến tính trên S(IR") nghĩa là (i) Néu S_ lim 9; = y va S_ lim y = thì 100 100 S— lim (yit+ ¡) = @ + Ú. 100 (ii) Néu S_ lim y; = y va {\;}%, CC, lim \; =A thi 1-00 100 Š_ lim À;ÿ¿ = Ay. Néu S_ jim pi = yp thì €£_ jim yi = ý.

Do đó ta có phép nhúng lién tuc S(R”) => £(R"). Nếu D_ jim yi = y thi S_ jim yi = y. Do đó ta có phép nhúng liên tục D(R”) => S(R"). Cho hàm —_— Zz e-FP- nêu |#|<1 p(x) = 0 nếu |z| > 1, đặt p;¡(+) = Mh thi p; € C3°(R") va S_ lim p; = 0 nhưng không tồn tại giới z|2 )t 1-00 han D_ lim p;.

?,j->oo Khi đó không gian S(R”) là một không gian đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong S(R") đều hội tu. Hàm suy rộng ƒ € Ð/(R") được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên rm và số dương c thỏa mãn I (f. In + la|<m Không gian các hàm ®⁄(R*) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng tăng chậm. Một số tính chất.

Không gian các hàm tang cham S’(R") 14 mot khong gian vector nghĩa là nó đóng với các phép toán tuyến tính. Cho ví dụ sau: 11 Ví dụ 1. (+ ¡)N < +00, với W > 0 nào đó thì nó tương ứng với hàm tang cham. Do do f € L?(R”) với 1< p< œ tương ứng với một hàm tăng chậm.

Định lý sau cho ta đặc trưng của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(R*) Định lý 1. Cho một hàm suy rộng tăng chậm ƒ € 6'(R"). Khi đó ƒ có thể thác triển duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(R"). Ngược lại mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(J") đều có thu hẹp trên D(R") là một hàm suụ rộng tăng chậm.

Một số tính chất. Khái niệm hội tụ trên trong S(§*) xác định một cấu trúc tôpô tương thích với cấu trúc tuyến tính, nghĩa là () Nếu ®%“ lim fj = ƒ và Š” lim g; = ø thì 100 100 S! lim (fi+ 9) =f +9. 100 (ii) Néu Slim ƒ; = ƒ và {A;}ƒS¡ CC với lim \; = A thi 1-00 1-00 S! lim \ifi =f. re la|<m Không gian S’(R”) 14 mot khong gian du, nghĩa là mọi day Cauchy trong S’(R”) đều hội tụ.