SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

• Chuyên ngành: Đại số và Giải tích
• Đề tài: Đại số và Giải tích 11 nâng cao
• Loại tài liệu: Sách giáo khoa
• Năm xuất bản: 2007

Tóm tắt

I. Tổng quan về sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là tài liệu học tập chính thức do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành. Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam chịu trách nhiệm xuất bản và phát hành cuốn sách này. Cuốn sách được thiết kế dành riêng cho học sinh chương trình nâng cao lớp 11 trung học phổ thông. Nội dung sách bao gồm hai phần lớn. Phần thứ nhất là đại số và giải tích. Phần thứ hai là tổ hợp và xác suất. Sách trình bày kiến thức theo hướng nâng cao. Mức độ khó cao hơn so với sách chương trình chuẩn. Học sinh cần có nền tảng toán học vững chắc trước khi tiếp cận cuốn sách này. Các khái niệm được trình bày một cách logic và hệ thống. Bài tập trong sách đa dạng từ cơ bản đến nâng cao. Cuốn sách giúp học sinh phát triển tư duy toán học sâu sắc.

1.1. Cấu trúc nội dung sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao được chia thành nhiều chương. Mỗi chương tập trung vào một chủ đề cụ thể. Chương đầu tiên giới thiệu hàm số lượng giác. Các hàm số lượng giác bao gồm sin, cos, tan và cot. Chương tiếp theo trình bày phương trình lượng giác. Chương về tổ hợp và xác suất nằm ở phần sau. Mỗi chương gồm nhiều bài học. Mỗi bài có phần lý thuyết và bài tập minh họa. Cuối mỗi chương có bài tập tổng hợp. Hệ thống bài tập được sắp xếp theo mức độ tăng dần.

1.2. Đối tượng sử dụng sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao phục vụ nhiều đối tượng học sinh. Đối tượng chính là học sinh lớp 11 chương trình nâng cao. Học sinh các lớp chuyên toán cũng sử dụng cuốn sách này. Giáo viên dùng sách làm tài liệu tham khảo giảng dạy. Học sinh chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi cần tham khảo sách. Cuốn sách cũng hữu ích cho học sinh ôn thi đại học khối A. Những em muốn hiểu sâu toán học nên đọc sách này. Học sinh chương trình chuẩn có thể dùng để mở rộng kiến thức.

II. Phân tích nội dung hàm số lượng giác trong sách nâng cao

Chương hàm số lượng giác chiếm vị trí quan trọng trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Nội dung chương này cung cấp kiến thức nền tảng. Các hàm số lượng giác mô tả hiện tượng tuần hoàn trong thực tế. Hàm số sin và cos có tập xác định là tập số thực R. Hàm số tan xác định trên R trừ các điểm kπ cộng π chia hai. Hàm số cot xác định trên R trừ các điểm kπ. Tính chất tuần hoàn là đặc trưng cơ bản của các hàm số này. Chu kỳ của hàm sin và cos là 2π. Hàm sin là hàm số lẻ. Hàm cos là hàm số chẵn. Đồ thị các hàm số lượng giác có dạng sóng. Đường tròn lượng giác là công cụ trực quan quan trọng. Học sinh cần nắm vững tính chất biến thiên của từng hàm số.

2.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm số lượng giác

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác tạo thành hàm số sin. Hàm số sin kí hiệu y bằng sinx. Tương tự, hàm số cos được định nghĩa qua quy tắc tương ứng với côsin. Hàm số tan và cot cũng được định nghĩa tương tự. Các hàm số này có nhiều tính chất quan trọng. Hàm sin là hàm số lẻ vì sin âm x bằng âm sinx. Hàm cos là hàm số chẵn vì cos âm x bằng cosx. Tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2π áp dụng cho cả sin và cos.

2.2. Đồ thị và sự biến thiên của hàm số lượng giác

Do tính chất tuần hoàn, chỉ cần khảo sát hàm số sin trên đoạn có độ dài 2π. Chẳng hạn khảo sát trên đoạn từ âm π đến π. Hàm số sin đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại x bằng π chia hai. Hàm số sin đạt giá trị nhỏ nhất bằng âm 1 tại x bằng âm π chia hai. Hàm số cos đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm tương ứng. Đồ thị hàm sin có dạng sóng liên tục. Đồ thị hàm cos là hình dịch ngang của đồ thị hàm sin. Biết đồ thị trên một đoạn có độ dài 2π suy ra được đồ thị trên toàn bộ trục số.

III. Phương pháp giải phương trình lượng giác trong sách nâng cao

Phương trình lượng giác là nội dung trọng tâm của sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Phương trình lượng giác có dạng phương trình chứa hàm số lượng giác. Các phương trình cơ bản bao gồm sinx bằng m, cosx bằng m, tanx bằng m và cotx bằng m. Mỗi phương trình có công thức nghiệm riêng. Phương trình sinx bằng m có nghiệm khi m nằm trong khoảng âm 1 đến 1. Phương trình cosx bằng m cũng có nghiệm trong điều kiện tương tự. Phương trình tanx bằng m có nghiệm với mọi số thực m. Phương trình cotx bằng m cũng có nghiệm với mọi m. Kí hiệu arcsin, arccos, arctan và arccot được dùng để biểu diễn nghiệm cơ bản. Học sinh cần nắm vững công thức nghiệm để giải các bài toán phức tạp hơn. Phương pháp biến đổi lượng giác giúp đưa phương trình phức tạp về dạng cơ bản.

3.1. Công thức nghiệm các phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình sinx bằng m có nghiệm khi trị tuyệt đối của m nhỏ hơn hoặc bằng 1. Nghiệm được biểu diễn bằng công thức x bằng arcsinm cộng k2π hoặc x bằng π trừ arcsinm cộng k2π. Phương trình cosx bằng m có nghiệm khi trị tuyệt đối của m nhỏ hơn hoặc bằng 1. Nghiệm là x bằng arccosm cộng k2π hoặc x bằng âm arccosm cộng k2π. Phương trình tanx bằng m có nghiệm x bằng arctanm cộng kπ. Phương trình cotx bằng m có nghiệm x bằng arccotm cộng kπ. Kí hiệu k là số nguyên任意.

3.2. Kỹ năng biến đổi và giải phương trình lượng giác phức tạp

Giải phương trình lượng giác phức tạp đòi hỏi kỹ năng biến đổi. Bước đầu tiên là đơn giản hóa phương trình bằng công thức lượng giác. Sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi sin²x và cos²x. Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Sử dụng công thức cộng để tách các hàm số. Đặt ẩn phụ giúp đơn giản hóa phương trình. Sau khi biến đổi, đưa phương trình về dạng cơ bản. Áp dụng công thức nghiệm để tìm tất cả các nghiệm. Kiểm tra điều kiện xác định của các hàm số. Loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn điều kiện.

IV. Kết luận và ứng dụng của sách giáo khoa đại số giải tích 11 nâng cao

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao cung cấp kiến thức toán học quan trọng. Nội dung sách giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc. Kiến thức về hàm số lượng giác có ứng dụng rộng rãi. Phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học. Tổ hợp và xác suất phục vụ tính toán thực tế. Cuốn sách được biên soạn theo chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Mã số sách là NH101 theo quy định. Nội dung sách đảm bảo tính khoa học và sư phạm. Hệ thống bài tập phong phú giúp học sinh củng cố kiến thức. Cuốn sách là công cụ học tập không thể thiếu. Học sinh cần đầu tư thời gian nghiên cứu sách kỹ lưỡng. Kết quả học tập tốt mở ra cơ hội học tập cao hơn.

4.1. Ứng dụng thực tế của kiến thức trong sách giáo khoa nâng cao

Kiến thức trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao có nhiều ứng dụng thực tế. Hàm số lượng giác mô tả hiện tượng tuần hoàn. Các hiện tượng này xuất hiện trong âm nhạc, sóng điện từ và dòng điện xoay chiều. Hàm số lượng giác cũng được dùng trong kỹ thuật xử lý tín hiệu. Tổ hợp và xác suất giúp tính toán trong thống kê và khoa học dữ liệu. Xác suất ứng dụng trong đánh giá rủi ro tài chính. Kiến thức toán học nâng cao là nền tảng cho nhiều ngành nghề.

4.2. Lợi ích khi sử dụng sách giáo khoa nâng cao để ôn thi

Sử dụng sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao mang lại nhiều lợi ích cho việc ôn thi. Học sinh tiếp cận kiến thức ở mức độ sâu hơn. Kỹ năng giải toán được nâng cao rõ rệt. Học sinh quen với các bài toán khó và phức tạp. Tư duy logic được phát triển toàn diện. Học sinh tự tin hơn khi gặp bài toán mới. Sách giúp chuẩn bị tốt cho kỳ thi học sinh giỏi. Nền tảng kiến thức vững chắc phục vụ thi đại học. Học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi quan trọng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. ĐẠI SỐ- vaGIẢI TÍCH NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM — Kmẹu pùnG TRoNG SÁCH: [Hn] Cau hồi hoặc hoạt động thứ n trong . TU TỦ vá | m Kết thúc chứng minh một định lí, hệ quả, ví dụ. Bản quyển thuộc Nhà xuất bản Giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo. 720-2007/CXB/656-1571/GD " : Mã số: NH101t8 AuAM SO LUONG GC VA . PHUONG TAINH LUONG BIäC - GIAC LUONG TRINH PHUONG VA Nhiều hiện tượng tuần hoàn đơn giản trong thực tế được mô tả bởi những hàm số lượng giác. Chương này cung cấp những GHIC kiến thức cơ bản về các hàm số lượng giác và cách giải các phương trình lượng giác đơn giản. - LUONG Khi học chương này học sinh cần chú ý tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác và phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. Ngoài ra, học sinh cần rèn luyện ki SO năng biến đổi lượng giác và kĩ năng giải các dạng phương HAM trình lượng giác được quy định trong chương trình. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC _ Các hàm số lượng giác thường được dùng để mồ tả những hiện tượng thay đổi một cách tuần hoàn hay gặp trong thực tiến, khoa học và kĩ thuật. Trong bài này, ta tìm hiểu các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx. Cac ham sé y = sinx va y = cosx [H4] Trén hinh 1.1, hay chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sin x, bằng cos x. Tỉnh sing, | B cos(-2, cos 27 . trục côsin a) Định nghĩa a1 O > Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng ' - giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sỉn, kí hiệu ‘1a y =sinx.1 Quy tác đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsiỉn, kí hiệu là y== COS X. Tập xác định của các hàm số y = sinx, y = cosx aR. Do đó các hàm số sin và côsin được viết là sin : R — ïR cos: RR x +> sinx X > COSX, Nhận xét. Hàm số y = sinx là một hàm số lẻ vì sin(—x)= —sinx với moi x thuộc R. tr] ‘Tai sao có thể khẳng định hàm số y = cosx là một hàm số chẵn ? b) Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sỉn x và y = cosx Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, s6 È2x thoả mãn sin(x + k2m) = sinx với mọi x. 4 | eo Ngược lại, có thể chứng minh rằng s6 T sao cho __ SnŒœ+T)= sinx với mọi x phải có dạng T < k2r, k là một số nguyên. | Rõ ràng, trong các số dạng k2 (k € Z), s6 duong nhỏ nhất là 2m. Vậy đối với hàm số y = sinx, số T = 2: là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin(x + T) = sinx với mọi x. Hàm số y = cosx cũng có tính chất tương tự. - Ta nói hai hàm số đó là những hàm số tuân hoàn với chu kì 2m. Từ tính chất tuần hoàn với chu kì.2r, ta thấy khi biết giá trị các hàm SỐ : y=smx và y = cosx trên một đoạn có độ dài 2n (chẳng hạn đoạn [0; 27] hay đoạn [—z; ]) thì ta tính được giá trị của chúng tại mọi +. c) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx Do hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên một đoạn có độ dài 2r, chẳng hạn trên đoàn [—z ; 7]. e Chiêu biến thiên (xem các hình 1. Cho x= (OA, OM) tang tit —1 đến 7t, tỨC là cho M chạy trên đường t tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát từ A” và quan sát sự thay đổi của điểm Ẩ (K là hình chiếu của Ä⁄ trên trục sin, OK = sinx), ta thấy :_ _ Khi + tăng từ -x đến —5 thi diém M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A' đến B' và điểm K chạy dọc trục sin tit O dén B’. Do đó OK, tức là sin x, giảm từ0 đến —1 (h.2 Hinh13 | ~— Khi x tang ti ~5 đến 5 thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ ð' đến B và điểm K chạy đọc trục sin từ B' đến B. Do đó OK, tức là sinx, tăng từ —1 đến 1 (h. — Khi x tăng từ 5 đến r thì điểm M chạy _ M 3 Sa - cae KK trên đường tròn lượng giác theo chiều : _ “4 l 1 duong tirB dén A! va diém K chay doc truc Ne - A’ ‘ O A sin từ 8 đến Ó. Do đó OK, tức là sin X,. giảm từ 1 đến 0 (h. Vậy ta có bảng biến thiên của hàm số ` B’ y = sinx trên đoạn [—r ; 7] như sau : | Hinh 1.4 1t T x | —T ~5 0 5 Tt 7 1 y=sinx 0 0: © Dé thi '— Khi vé dé thi cha hàm số y = sinx trén doan [— ; xj, ta nên để ý rằng : ‘Ham s6 y = sinx là một hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc toạ độ - làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị của hàm số y = sinxtrên đoạn [0; x]. | Trén doan [0 ; ri], đồ thị của hàm số y = sinx (h.5) di qua các điểm cé toa d6 (x; y) trong bang sau : x |o £ & xo" mo Be Se 6 4 3 2 3 4 6 yesmx}o 2 2 MS ¡3 42 1 ọ 2.2 2 2 2 2 (0,71) œ0,87) (= 0,87) (~ 0,71) ———————EL—~ i ' 1 1 ! 1 ' 1 1 1 ' ' Ị 1 ' ' 1 ! 1 1 Nh aL wa 2 x œ a a a *®lä 6 _ Hình 1.5 Phần đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0 ; z] cùng với hình đối xứng của nó qua gốc Ó lập thành đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [_x~; x] (h. — Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 27, 4n, 67,. thi được toàn bộ đồ thị hàm số y = sinx. Đồ thị do được gọi là một đường hình sin (h. sẽ N¿ Hình lóc Nhận xét 1) Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn E- {1; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx 14 đoạn L 1; 1]. 2) Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (-353 3} Từ đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì 2x, hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng [-$ + 4am: +428), ke Z. ( [H3] Hỏi khẳng định sau đây có đúng không ? Vì sao ? Hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng l: ; =) va nghich bién trén méi khoảng an . d) Sự biến thiên và đô thị của hàm số y = cosx Ta có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = cosz tương tự như đã làm đối với hàm số y = sinx trên đây. Tuy nhiên, ta nhận thấy cosx =sin{ x + 5] với mọi +, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài —,x ta được đồ thị hàm số y = cosx (nó cũng 2 được gọi là một đường hình sin) (h. Hình 17- Căn cứ vào đồ thị cha ham s6 y = cosx, ta lập được bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn [—z ; mt]: x | - 0 1 y =cosx a -1 ˆ : Tm, -1 Hãy kiểm nghiém lai bang bién thiên trên bằng cách quan sát chuyển động _ của điểm H trên trục côsin, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên trục côsin, khi điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát từ điểm A' (h. : |B Nhận vét 1) Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [—l ; 1]. Ta nói tdp - H O > giá trị của hầm số y= cosx là đoạn [—l; 1]. A\ 1 L2 A - 1 mo, 2) Do hàm số y = cos x là hàm số chấn nên đồ thị của hàm số y = cosx nhận trục tung M SF làm trục đối xứng. Tie , Hinh 18 3) Ham số y = cosx đồng biến trên khoảng (—m ; 0). Từ đó: do-tính chất tuần hoàn với chu kì 2m, hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (—m + k2m ; k2n), k e 2Z. IH5] Hỏi khẳng định sau đây có đúng không ? Vì sao ? | Ham số y=cosx nghịch biến trên khoảng (0 ; n) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ; 1 + k2m), k se Z. Hàm số y = sinx Hàm SỐ y = COSx — Có tập xác định là R ; _ |— C6 tập xác định là R ; — Có tập giá trị là [—1 ; 1]; — Có tập giá trị là [—1 ; 1];. — Là hàm số lẻ; _ — Là hàm số chắn; ~ Là hàm số tuần hoàn với chu | — Là hàm số tuân hoàn với chu kì 2m; | kì 2n ; - Đồng biến trên mỗi khoảng + — Đông biến trên mỗi khoảng [-$ 4 k2ns$ + 42m | (+ k2m ; k2m) 7 va nghich bién trén méi khoang và nghịch biến trên mỗi khoảng Vn 3n (k2 ; 7t + k2T), k e Z2; ~+k2n;—+k2n|,keZ; 2 2 — Có đồ thị là một đường hình sin. | — Có đồthị là một đường hinh sin. Các hàm số y = tanx vày = cotx a) Định nghĩa e Với mỗi số thực x mà cosx z 0, tức Axe 5 + kn (k € Z), ta xác định được sinx _ số thực tanx = . Đặt 8) = ve + kn|k e z). sin x Quy tắc dat tương ứng mỗi số x e 3) với số thực tan x = cos x được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tan x. Vay ham s6 y = tanx c6 tap xác định } 4 " trục côtang |B Ss. ey Q), ; ta viet — * T tan : 89; — R : có ⁄ ; x tanz. A’ ° A e Với mỗi số thực x mà sinx # 0, tức là sọ . B’ 3 x# km (k e Z2), ta xác định được số thực S. mm — cos x Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x 9; với. số thực cotx = — được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cot x.