Chương IV ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. Các tính chất thừa nhận: a) Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. b) Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
c) Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. d) Tính chất 4: Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. e) Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
Cách xác định một mặt phẳng: a) Cách 1: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. b) Cách 2: 1 Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng. c) Cách 3: Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng. Hình chóp và hình tứ diện: a) Định nghĩa: Hình chóp là một hình đa diện có đáy là một đa giác, các mặt còn lại là những tam giác có chung một đỉnh.
Hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình tứ diện. b) Các loại hình chóp : Hình chóp đáy là tam giác : Hình chóp đáy là tứ giác : Hình chóp đáy là hình thang Hình chóp đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông 2 B. DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: a) Định nghĩa : Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung của hai mặt phẳng. b) Cách tình giao tuyến của hai mặt phẳng : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng rồi nối lại.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. A AB B Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB , N là điểm thuộc cạnh AC sao cho MN không song song với BC. Gọi P là điểm nằm trong BCD.
Lời giải a) Trong ABC gọi H MN BC H MN MNP Ta có: H BC BCD H MNP BCD 1 3 P MNP Lại có: P BCD P MNP BCD 2 Từ (1) và (2) suy ra HP MNP BCD b) Trong BCD gọi K HP BD K BD ABD Ta có: K MNP ABD 1 K HP MNP Lại có: M MNP M MNP ABD 2 M AB ABD Từ (1) và (2) suy ra MK MNP ABD c) Trong BCD gọi F HK DC Trình bày tương tự như hai câu trên ta được NF MNP ACD DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: Bài toán : Cho mặt phẳng và đường thẳng a cắt . Muốn tìm giao điểm của a và ta làm như sau : + Tìm trong mặt phẳng đường thẳng b sao cho b cắt a tại A. A a + Ta có : A a A b Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là một điểm bất kỳ trên đoạn SD.
4 b) Tìm SA MBC Lời giải a) Trong mp (SBD) gọi I SO BM I SO Ta có : I SO MBC I MB MBC I MBC b) Trong mp (SAC) gọi F CI SA F SA Ta có : F SA MBC F CI MBC DẠNG 3: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp : 5 Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm này thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Lấy điểm M trên đoạn SA, lấy điểm N trên đoạn SB va điểm P trên đoạn SC sao cho MN cắt AB tại E. NP cắt BC tại F và MP cắt AC tại G.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Tìm SO MNP b) Chứng minh 3 điểm E, F, G thẳng hàng. Lời giải a) Trong mp (SAC) gọi I SO MP 6 I SO Ta có : I MP MNP I MNP I SO MNP G MP MNP G MNP b) Ta có : G AC ABCD G ABCD G MNP ABCD 1 E MN MNP E MNP E MNP ABCD 2 E AB ABCD E ABCD F NP MNP F MNP F MNP ABCD 3 F BC ABCD F ABCD Từ (1), (2) và (3) G, E, F thẳng hàng. DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp: Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng bất kì.
Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng còn lại ta đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ví dụ 4: Cho hình chóp S. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’.
Giả sử AB cắt CD tại E và A’B’ cắt C’D’ tại E’. a) Chứng minh : S, E, E’ thẳng hàng. b) Chứng minh A’C’, B’D’, SO đồng qui. Lời giải 7 E ' A ' B ' SAB a) Ta có: E ' SAB SCD E ' C ' D ' SCD E AB SAB Ta có: E SAB SCD E CD SCD Vậy: EE ' SAB SCD Mà S SAB SCD S EE ' hay S, E, E’ thẳng hàng.
b) Trong gọi M A ' C ' B ' D ' Ta có: O AC SAC O SAC SBD O BD SBD Mà S SAC SBD SO SAC SBD Lại có: M A 'C' SAC M SAC SBD M B' D ' SBD Vậy M SO hay A’C’, B’D’, SO đồng quy tại M. DẠNG 5: THIẾT DIỆN Phương pháp: a) Định nghĩa : + Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mp là một đa giác phẳng có các cạnh là các đoạn giao tuyến của với các mặt bên hay mặt đáy của hình chóp. b) Cách xác định thiết diện : 8 + Ta tìm các đoạn giao tuyến của với các mặt bên hay mặt đáy của chóp cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta được hình thiết diện. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi.
Gọi M là một điểm nằm trong SCD. c) Tìm thiết diện hình chóp với (ABM). Lời giải a) Trong SDC gọi I SM DC Trong ABCD gọi N BI AC Ta có: N BI SBM N SAC SBM N AC SAC Mà S SAC SBM Vậy SN SAC SBM b) Trong SBI gọi K BM SN Ta có: K BM K BM SAC K SN SAC Vậy K BM SAC c) Trong SAC gọi E SC AK. Trong SDC gọi F ME SD Ta có: giao điểm của MAB với các cạnh SC, SD lần lượt là E, F từ đó suy ra: MAB SAB AB; MAB SBC BE; MAB SDC EF MAB SAD FE.
Vậy thiết diện là tứ giác ABEF. DẠNG 6: TÌM QUỸ TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG LƯU ĐỘNG d1 VÀ d2 Phương pháp: 9 Cho d1 và d2 là hai đường thẳng di động cắt nhau tại I. Muốn tìm quỹ tích điểm I ta làm như sau: + Chọn hai mặt phẳng và cố định lần lượt chứa d1 và d2. + Suy ra I hay I điểm động trên giao tuyến cố định của và .
Ví du 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là hai điểm cố định trên AB, AC và IJ không song song với BC. Mặt phẳng quay quanh IJ cắt các cạnh CD, BD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM.