Phương pháp xấp xỉ điểm bất điểm của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian hilbert

Khám phá phương pháp xấp xỉ điểm bất điểm của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert. Tìm hiểu ứng dụng và lý thuyết.

• Tác giả: Nguyễn Đức Lạng
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Bường
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Phương Pháp Xấp Xỉ Điểm Bất Động Trong Không Gian Hilbert
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số khái niệm cơ bản
• 1.2. Phương pháp nghiên cứu
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
• 2.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên
• 2.2. Phương pháp lặp Mann - Halpern cải biên
• 2.3. Phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp cho ánh xạ không giãn
• 2.4. Điểm bất động chung cho hai ánh xạ không giãn trên hai tập
• 2.5. Ví dụ tính toán minh họa
• 3. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN
• 3.1. Điểm bất động của một nửa nhóm không giãn
• 3.2. Điểm bất động của hai nửa nhóm không giãn
• 3.3. Ví dụ tính toán minh họa
• KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Xấp Xỉ Điểm Bất Động 55 ký tự

Lý thuyết điểm bất động đã thu hút sự quan tâm lớn của các nhà toán học, cả trong và ngoài nước. Điều này xuất phát từ vai trò quan trọng của lý thuyết này trong toán học, cũng như các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như lý thuyết bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, các mô hình toán học và lý thuyết kinh tế. Nhiều nhà toán học đã mở rộng các kết quả về bài toán điểm bất động của ánh xạ co trong không gian hữu hạn chiều cho các lớp ánh xạ rộng hơn như ánh xạ liên tục Lipschitz, ánh xạ giả co, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach. Nghiên cứu gần đây tập trung vào bài toán tìm điểm bất động của lớp các ánh xạ không giãn đã trở thành một hướng nghiên cứu sôi động trong giải tích phi tuyến. Các phương pháp xấp xỉ điểm bất động kinh điển bao gồm phương pháp lặp Krasnosel’skii, phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, và phương pháp lặp Ishikawa.

1.1. Ứng dụng của Điểm Bất Động Trong Bài Toán Tối Ưu

Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong bài toán tối ưu và bài toán cân bằng. Các phương pháp xấp xỉ điểm bất động có thể được sử dụng để tìm nghiệm của các bài toán này. Ví dụ, trong bất đẳng thức biến phân, việc tìm điểm bất động của một toán tử có thể tương đương với việc giải một bài toán tối ưu. "Nhiều nhà toán học tên tuổi như Brower E., Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Lê Dũng Mưu,... đã mở rộng các kết quả về bài toán điểm bất động".

1.2. Lịch sử phát triển các Phương Pháp Xấp Xỉ

Các phương pháp xấp xỉ điểm bất động đã trải qua một quá trình phát triển lâu dài. Từ các phương pháp cổ điển như phương pháp lặp Mann đến các phương pháp hiện đại hơn như phương pháp Halpern và các phương pháp lai ghép, các nhà nghiên cứu liên tục tìm kiếm các thuật toán hiệu quả hơn để tìm điểm bất động của các ánh xạ không giãn. Các nghiên cứu này tập trung vào cả sự tồn tại của điểm bất động và các thuật toán lặp để xấp xỉ nó.

II. Thách Thức Khi Tìm Điểm Bất Động Trong Hilbert 58 ký tự

Việc tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert đặt ra nhiều thách thức. Mặc dù sự tồn tại của điểm bất động đã được chứng minh, việc xây dựng các thuật toán lặp hiệu quả để xấp xỉ nó không phải là một nhiệm vụ đơn giản. Các thuật toán như phương pháp lặp Mann thường chỉ đảm bảo sự hội tụ yếu, không đủ cho nhiều ứng dụng thực tế. Yêu cầu sự hội tụ mạnh đặt ra những khó khăn lớn hơn. Các phương pháp cải tiến, như các phương pháp lai ghép và các phương pháp sử dụng hình chiếu, được phát triển để vượt qua những hạn chế này.

2.1. Vấn đề Hội Tụ Yếu và Yêu Cầu Hội Tụ Mạnh

Một trong những thách thức chính là đảm bảo sự hội tụ mạnh của các thuật toán lặp. Nhiều thuật toán ban đầu chỉ cho sự hội tụ yếu, điều này không đủ cho nhiều ứng dụng thực tế. Việc chuyển từ hội tụ yếu sang hội tụ mạnh đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp hơn và các điều kiện chặt chẽ hơn đối với các tham số của thuật toán.

2.2. Điều kiện Hạn Chế và Tính Ổn Định của Thuật Toán

Các phương pháp xấp xỉ thường đi kèm với các điều kiện hội tụ và điều kiện ràng buộc trên các tham số của thuật toán. Việc tìm ra các thuật toán ổn định, hiệu quả và ít bị ràng buộc bởi các điều kiện khắt khe là một mục tiêu quan trọng trong nghiên cứu. Việc ước lượng sai số và tốc độ hội tụ cũng là những yếu tố quan trọng cần xem xét.

2.3. Khó khăn trong tính toán hình chiếu lên tập lồi

Các phương pháp sử dụng phép toán tử chiếu lên các tập lồi đóng gặp khó khăn khi các tập lồi này không phải là nửa không gian. Trong trường hợp đó, việc tính toán toán tử chiếu trở nên phức tạp hơn nhiều và cần các kỹ thuật tính toán đặc biệt.

III. Phương Pháp Lặp Mann Halpern Cải Tiến Trong Hilbert 60 ký tự

Để giải quyết vấn đề hội tụ yếu, các nhà nghiên cứu đã phát triển các phương pháp cải tiến dựa trên phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Halpern. Các phương pháp này kết hợp các kỹ thuật khác nhau để đảm bảo sự hội tụ mạnh về điểm bất động. Một trong những phương pháp hiệu quả là phương pháp lặp Mann-Halpern cải tiến, kết hợp ưu điểm của cả hai phương pháp gốc. Ý tưởng chính là sử dụng một thuật toán lặp với các tham số được điều chỉnh cẩn thận để đảm bảo tính ổn định và tốc độ hội tụ.

3.1. Sự Kết Hợp Giữa Mann và Halpern

Phương pháp này kết hợp ưu điểm của cả thuật toán Mann và thuật toán Halpern. Thuật toán Mann cho phép tiếp cận điểm bất động, trong khi thuật toán Halpern đảm bảo sự hội tụ mạnh. Bằng cách kết hợp cả hai, ta có thể đạt được một thuật toán mạnh mẽ hơn.

3.2. Điều Kiện Hội Tụ Của Thuật Toán Cải Tiến

Để đảm bảo sự hội tụ của thuật toán cải tiến, cần phải đáp ứng các điều kiện hội tụ nhất định. Các điều kiện này thường liên quan đến việc lựa chọn các tham số của thuật toán, chẳng hạn như dãy số αn trong thuật toán Halpern. Các điều kiện này cần được thiết lập cẩn thận để đảm bảo tính ổn định và hiệu quả của thuật toán.

3.3. Giảm nhẹ điều kiện hội tụ cho tham số

Các nghiên cứu mới tập trung vào việc cải tiến các phương pháp hiện có bằng cách giảm bớt các điều kiện ràng buộc lên tham số, làm cho thuật toán dễ áp dụng hơn trong thực tế. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng các kỹ thuật mới trong phân tích và thiết kế thuật toán.

IV. Ứng Dụng Thực Tế của Phương Pháp Điểm Bất Động 54 ký tự

Các phương pháp xấp xỉ điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Trong bài toán tối ưu, chúng có thể được sử dụng để tìm nghiệm của các bài toán tối ưu lồi và không lồi. Trong lý thuyết trò chơi, chúng có thể được sử dụng để tìm điểm cân bằng Nash. Trong xử lý ảnh, chúng có thể được sử dụng để khôi phục ảnh bị mờ. Ngoài ra, chúng còn có các ứng dụng trong kinh tế, tài chính và khoa học máy tính.

4.1. Ứng dụng trong Bài Toán Cân Bằng

Các phương pháp xấp xỉ điểm bất động có thể được sử dụng để giải các bài toán cân bằng, trong đó mục tiêu là tìm một trạng thái cân bằng giữa các lực lượng đối lập. Ví dụ, trong kinh tế, chúng có thể được sử dụng để tìm điểm cân bằng thị trường.

4.2. Ứng dụng trong Bất Đẳng Thức Biến Phân

Các phương pháp xấp xỉ điểm bất động cũng có ứng dụng trong giải các bất đẳng thức biến phân. Đây là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, với các ứng dụng trong cơ học, vật lý và kỹ thuật.

4.3. Ứng dụng trong xử lý ảnh và khôi phục tín hiệu

Các thuật toán dựa trên lý thuyết điểm bất động có thể được sử dụng trong các bài toán xử lý ảnh và khôi phục tín hiệu, chẳng hạn như loại bỏ nhiễu và khôi phục ảnh bị mờ. Các thuật toán này thường dựa trên việc tìm điểm bất động của một toán tử phù hợp.

V. Nghiên Cứu Điểm Bất Động Của Nửa Nhóm Không Giãn 57 ký tự

Nghiên cứu mở rộng cho bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn là một hướng phát triển quan trọng. Các kết quả cho ánh xạ không giãn đơn lẻ có thể được mở rộng để áp dụng cho nửa nhóm ánh xạ, mở ra các khả năng mới trong việc giải các bài toán phức tạp hơn. Phương pháp tiếp cận này cho phép xử lý các tình huống mà nhiều ánh xạ tác động đồng thời lên một không gian.

5.1. Tìm Điểm Bất Động Chung của Nửa Nhóm

Mục tiêu là tìm một điểm bất động mà tất cả các ánh xạ trong nửa nhóm đều giữ nguyên. Điều này đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp hơn so với trường hợp một ánh xạ duy nhất.

5.2. Phương Pháp Lặp Cho Nửa Nhóm Không Giãn

Các phương pháp lặp được phát triển để tìm điểm bất động của nửa nhóm không giãn thường dựa trên việc xấp xỉ trung bình của các ánh xạ trong nửa nhóm. Điều này đòi hỏi việc lựa chọn các tham số và điều kiện hội tụ cẩn thận.

5.3. Toán tử đơn điệu và ứng dụng vào điểm bất động

Nghiên cứu về các toán tử đơn điệu có liên quan mật thiết đến lý thuyết điểm bất động. Các toán tử đơn điệu đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các phương pháp lặp hiệu quả để tìm điểm bất động của các ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Lý Thuyết Hilbert 53 ký tự

Lý thuyết điểm bất động tiếp tục phát triển mạnh mẽ, với nhiều ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực khác nhau. Việc xây dựng các phương pháp xấp xỉ hiệu quả hơn cho các lớp ánh xạ rộng hơn, đặc biệt là trong không gian Hilbert, vẫn là một mục tiêu quan trọng. Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc giảm nhẹ các điều kiện hội tụ, cải thiện tốc độ hội tụ và phát triển các thuật toán thích ứng cho các bài toán cụ thể.

6.1. Các Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng

Các hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm việc phát triển các thuật toán lai ghép mới, kết hợp các kỹ thuật khác nhau để tận dụng ưu điểm của từng phương pháp. Ngoài ra, việc nghiên cứu các lớp ánh xạ rộng hơn, chẳng hạn như các ánh xạ đa trị và các ánh xạ không trơn, cũng là một hướng đi hứa hẹn.

6.2. Ứng Dụng Trong Các Bài Toán Thực Tế

Việc áp dụng các kết quả lý thuyết vào giải quyết các bài toán thực tế vẫn là một thách thức lớn. Nghiên cứu trong tương lai cần tập trung vào việc phát triển các thuật toán có thể được sử dụng hiệu quả trong các ứng dụng cụ thể, chẳng hạn như trong xử lý ảnh, tài chính và kỹ thuật.

6.3. Phát triển các thuật toán song song

Với sự phát triển của công nghệ tính toán, việc phát triển các thuật toán song song để giải các bài toán điểm bất động lớn là một hướng đi đầy hứa hẹn. Các thuật toán này có thể tận dụng sức mạnh của các hệ thống tính toán song song để giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả hơn.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng với đề tài "Phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert", chuyên ngành Toán Giải tích (mã số: 62 46 01 02), được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Bường tại Đại học Thái Nguyên vào năm 2015.

• Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu: Lý thuyết điểm bất động trong các không gian metric giữ vị trí quan trọng trong giải tích phi tuyến và có ứng dụng trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, các mô hình toán học và lý thuyết kinh tế. Đối với lớp ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn, các phương pháp lặp kinh điển như Picard không đảm bảo tính hội tụ, trong khi phương pháp lặp Mann (1953) hoặc Ishikawa (1974) nhìn chung chỉ đạt được sự hội tụ yếu trong không gian vô hạn chiều. Để thiết lập sự hội tụ mạnh, các phương pháp lặp Halpern (1967), phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation) của Moudafi (2000) và phương pháp lai ghép (hybrid method) của Nakajo - Takahashi (2003) đã được phát triển. Tuy nhiên, các phương pháp lai ghép truyền thống yêu cầu thực hiện phép chiếu metric lên giao của các tập lồi đóng $C_n \cap Q_n$ phụ thuộc vào tập ràng buộc $C$. Khi $C$ là tập con thực sự của không gian Hilbert $H$, các tập $C_n, Q_n$ không phải là các nửa không gian, khiến việc tính toán hình chiếu gặp trở ngại kỹ thuật lớn. Đồng thời, nhiều phương pháp cải biên đòi hỏi các điều kiện tham số tương đối ngặt nghèo. Do đó, yêu cầu nghiên cứu đặt ra là xây dựng các thuật toán lặp mới thay thế phép chiếu lên tập lồi đóng bằng phép chiếu lên các nửa không gian và giảm nhẹ điều kiện của các tham số lặp.

• Mục tiêu nghiên cứu (đánh số theo văn bản):

  1. Nghiên cứu và đề xuất cải biên của phương pháp xấp xỉ gắn kết, phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
  2. Nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp lặp Mann - Halpern để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trên một tập lồi, đóng, khác rỗng và tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn trên hai tập lồi, đóng có giao khác rỗng trong không gian Hilbert $H$, đồng thời đưa ra các ví dụ số minh họa.
  3. Nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp lặp Mann - Halpern để tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trên một tập lồi, đóng, khác rỗng và tìm điểm bất động chung của hai nửa nhóm không giãn trên hai tập lồi, đóng có giao khác rỗng trong không gian Hilbert $H$, kèm theo các ví dụ số minh họa.

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Lớp ánh xạ không giãn $T: C \to C$ (thỏa mãn $|Tx - Ty| \le |x - y|, \forall x, y \in C$), nửa nhóm ánh xạ không giãn ${T(t): t \ge 0}$ trên tập con lồi đóng khác rỗng $C$ của không gian Hilbert thực $H$, và bài toán bất đẳng thức biến phân liên quan.
  • Phạm vi không gian và toán học: Không gian Hilbert thực $H$ trang bị tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$ và chuẩn cảm sinh $|\cdot| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}$, bao gồm cả trường hợp vô hạn chiều.

---

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã tổng quan hệ thống các công trình nghiên cứu về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn:

Nhóm phương pháp / Tác giả	Công trình / Năm	Đặc trưng kỹ thuật và kết quả
Krasnosel’skii; Mann W.	1955 [20]; 1953 [22]	Dãy lặp $x_{n+1} = \alpha_n x_n + (1 - \alpha_n)Tx_n$. Chỉ thu được hội tụ yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều khi $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n(1-\alpha_n) = \infty$.
Halpern B.; Wittmann R.	1967 [16]; 1992 [45]	Dãy lặp $x_{n+1} = \alpha_n u + (1-\alpha_n)Tx_n$ đạt hội tụ mạnh với $\alpha_n = n^{-\alpha}$. Wittmann mở rộng cho dãy chính tắc $\alpha_n = 1/(n+1)$ dưới các điều kiện $\sum
Ishikawa S.	1974 [17]	Dãy lặp hai bước kết hợp hai tham số ${\alpha_n}, {\beta_n}$; chỉ đảm bảo tính hội tụ yếu trong trường hợp tổng quát.
Moudafi A.	2000 [26]	Phương pháp xấp xỉ gắn kết với ánh xạ co $f$: $x_n = \frac{1}{1+\lambda_n} T(x_n) + \frac{\lambda_n}{1+\lambda_n} f(x_n)$, hội tụ mạnh về nghiệm bất đẳng thức biến phân $\langle (I - f)x^, x^ - x \rangle \le 0, \forall x \in F(T)$.
Solodov M. - Svaiter B.	2000 [32]	Đề xuất phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học, chiếu lên giao của hai nửa không gian $H_n \cap W_n$ để thiết lập tính hội tụ mạnh.
Nakajo K. - Takahashi W.	2003 [27]	Kết hợp phương pháp Mann với kỹ thuật lai ghép: $x_{n+1} = P_{C_n \cap Q_n}(x_0)$ cho một ánh xạ và nửa nhóm không giãn với số hạng tích phân $\frac{1}{t_n}\int_0^{t_n} T(s)x_n ds$.
Kim T. H. - Xu H. K.	2005 [35]	Đơn giản hóa thuật toán của Nakajo - Takahashi cho nửa nhóm không giãn không chứa tích phân, sử dụng dãy $C_{n+1} = {z \in C_n: |y_n - z| \le |x_n - z|}$.
Alber Ya.	2007 [2]	Đề xuất phương pháp dạng đường dốc lai ghép (hybrid gradient-projection method) tìm điểm bất động.
Saejung S.	2008	Mở rộng thuật toán cho nửa nhóm không giãn với điều kiện $\lim\inf t_n = 0, \lim\sup t_n > 0, \lim(t_{n+1}-t_n) = 0$.
Nguyễn Bường	2010 [10], 2011 [12], [13]	Đề xuất ý tưởng thay thế các tập lồi đóng $C_n, Q_n$ bằng các nửa không gian $H_n, W_n$ trong không gian Hilbert $H$, giúp xác định hình chiếu bằng công thức giải tích hiện.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án giải quyết: Luận án kế thừa và phát triển hướng tiếp cận của Nguyễn Bường: giải quyết trở ngại tính toán của phép chiếu mêtric khi tập $C \neq H$ bằng cách chuyển toàn bộ phép chiếu sang các nửa không gian xác định trong $H$; đồng thời mở rộng bài toán từ một ánh xạ/nửa nhóm đơn lẻ sang bài toán tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ hoặc hai nửa nhóm không giãn xác định trên hai tập lồi đóng khác nhau có giao khác rỗng ($C_1 \cap C_2 \neq \emptyset$), kết hợp làm suy giảm các điều kiện áp đặt lên các dãy tham số lặp.

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

• Khung lý thuyết và khái niệm toán học:

  • Không gian Hilbert thực $H$: Sử dụng các đồng nhất thức chuẩn cơ bản: $$|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2)$$ $$|x-y|^2 = |x|^2 - |y|^2 - 2\langle x-y, y \rangle$$ $$|\lambda x + (1-\lambda)y|^2 = \lambda|x|^2 + (1-\lambda)|y|^2 - \lambda(1-\lambda)|x-y|^2, \quad \forall \lambda \in [0, 1]$$
  • Tính chất Kadec-Klee: Trong không gian Hilbert, nếu $x_n \rightharpoonup x$ (hội tụ yếu) và $|x_n| \to |x|$ thì $x_n \to x$ (hội tụ mạnh).
  • Phép chiếu mêtric $P_C$: Với tập lồi đóng khác rỗng $C \subset H$, ánh xạ $P_C: H \to C$ đặc trưng bởi bất đẳng thức $\langle x - P_C(x), y - P_C(x) \rangle \le 0, \forall y \in C$.
  • Ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn: Ánh xạ $T$ thỏa mãn $|Tx - Ty| \le |x-y|$; họ ${T(t): t \ge 0}$ thỏa mãn tính chất nửa nhóm $T(0)=I$, $T(t_1+t_2)=T(t_1)\circ T(t_2)$ và tính liên tục theo quỹ đạo $t \mapsto T(t)x$. Tập điểm bất động ký hiệu là $F(T)$ hoặc $F = \bigcap_{t > 0} F(T(t))$, luôn là tập lồi và đóng.

• Các bổ đề giải tích phi tuyến then chốt:

  • Bổ đề Browder (1967 [49]): Tính nửa đóng của toán tử $I - T$ (nếu $x_n \rightharpoonup x$ và $(I-T)x_n \to y$ thì $(I-T)x = y$).
  • Bổ đề Yamada (2001 [48]): Đánh giá co cho toán tử kết hợp giữa ánh xạ đơn điệu mạnh $\eta$ và Lipschitz liên tục $L$: $|T^\lambda x - T^\lambda y| \le (1 - \lambda\tau)|x-y|$ với $\tau = 1 - \sqrt{1 - \mu(2\eta - \mu L^2)} \in (0, 1)$.
  • Bổ đề Suzuki (2005 [46]) và Bổ đề dãy số Xu (2002 [46]): Đánh giá sự hội tụ của dãy số thực không âm $a_{n+1} \le (1 - b_n)a_n + b_n c_n$ khi $\sum b_n = \infty$ và $\lim\sup c_n \le 0$.

• Phương pháp nghiên cứu: Luận án sử dụng phương pháp giải tích hàm thuần túy kết hợp lý thuyết toán tử phi tuyến và lý thuyết tối ưu:

  1. Thiết lập các sơ đồ lặp ẩn và hiện dựa trên ánh xạ co $f$, phép chiếu mêtric $P_C$, và các dãy tham số điều khiển.
  2. Xây dựng các nửa không gian $H_n, W_n$ hoặc $H_{n+1}$ bao hàm tập nghiệm điểm bất động $F(T)$ hoặc $F(T_1) \cap F(T_2)$.
  3. Chứng minh tính bị chặn, tính Cauchy của dãy lặp, áp dụng bổ đề nửa đóng và tính chất Kadec-Klee để chứng minh định lý hội tụ mạnh.

---

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm và công cụ giải tích nền tảng phục vụ cho các chứng minh trong luận án:

• Trình bày định nghĩa không gian Hilbert, hội tụ mạnh, hội tụ yếu, các dạng tập hợp (lồi, đóng, đóng yếu, compact, compact tương đối yếu), tính chất Kadec-Klee và bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm $u^* \in C$ sao cho $\langle A(u^), v - u^ \rangle \ge 0, \forall v \in C$.
• Trình bày định lý tồn tại điểm bất động Browder (1965 [1]) cho tập lồi đóng bị chặn và cấu trúc lồi đóng của tập điểm bất động $F(T)$.
• Phân tích chi tiết các phương pháp lặp xấp xỉ điểm bất động kinh điển: Mann (1.1), Halpern (1.2), Ishikawa (1.3), xấp xỉ gắn kết Moudafi (1.4)-(1.5), và dạng đường dốc lai ghép Alber (1.6).
• Trình bày định nghĩa nửa nhóm không giãn ${T(t): t \ge 0}$, định lý tồn tại điểm bất động chung De Marr (1963 [24]), cùng các thuật toán xấp xỉ nửa nhóm của Nakajo - Takahashi (1.8), Kim - Xu, Saejung, và các lược đồ chiếu lên nửa không gian của Nguyễn Bường (1.9), (1.10)-(1.14).
• Cung cấp hệ thống 5 bổ đề bổ trợ trực tiếp cho các đánh giá kỹ thuật ở Chương 2 và Chương 3.

---

Chương 2: Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Chương 2 trình bày các đóng góp mới về thuật toán xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn, gồm 5 nội dung chính:

1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên

Tác giả đề xuất thuật toán lặp ẩn $x_t = T^t x_t$ với $T^t := T_1^t T_0^t$ hoặc $T^t := T_0^t T_1^t$, trong đó: $$T_0^t = (1 - \lambda_t \mu)I + \lambda_t \mu f, \quad T_1^t = (1 - \beta_t)I + \beta_t T$$ với $f$ là ánh xạ co có hệ số $\tilde{\alpha} \in [0, 1)$, $\mu \in (0, 2(1-\tilde{\alpha})/(1+\tilde{\alpha})^2)$, $\lambda_t \in (0, 1)$, $\beta_t \in (\alpha, \beta) \subset (0, 1)$ và $\lambda_t \to 0$ khi $t \to 0$.

Định lý 2.1: Chứng minh dãy ${x_t}$ hội tụ mạnh khi $t \to 0$ về phần tử $p^* \in F(T)$, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: $$\langle (I - f)(p^), p^ - p \rangle \le 0, \quad \forall p \in F(T)$$

Đồng thời, đề xuất hai thuật toán lặp hiện (2.8) và (2.9):

• Thuật toán (2.8): $y_k = (1 - \lambda_k \mu)x_k + \lambda_k \mu f(x_k); \quad x_{k+1} = (1 - \gamma_k)x_k + \gamma_k T(y_k)$
• Thuật toán (2.9): $y_k = (1 - \beta_k)x_k + \beta_k T(x_k); \quad x_{k+1} = (1 - \lambda_k \mu)y_k + \lambda_k \mu f(y_k)$

Định lý 2.2: Chứng minh dãy ${x_k}$ xác định bởi (2.8) và (2.9) hội tụ mạnh về $p^*$ dưới các điều kiện $\lim \lambda_k = 0$, $\sum \lambda_k = \infty$, và $|\beta_{k+1} - \beta_k| \to 0$.

2. Phương pháp lặp Mann - Halpern cải biên

Tác giả đề xuất thuật toán lặp (2.13) thay thế hoàn toàn phép chiếu lên tập $C$ bằng phép chiếu lên giao hai nửa không gian $H_n \cap W_n$: $$\begin{cases} x_0 \in H, \ z_n = \alpha_n P_C(x_n) + (1 - \alpha_n) P_C T P_C(x_n), \ y_n = \beta_n x_0 + (1 - \beta_n) P_C T(z_n), \ H_n = {z \in H : |y_n - z|^2 \le |x_n - z|^2 + \beta_n(|x_0|^2 + 2\langle x_n - x_0, z \rangle)}, \ W_n = {z \in H : \langle x_n - z, x_0 - x_n \rangle \ge 0}, \ x_{n+1} = P_{H_n \cap W_n}(x_0), \quad n \ge 0 \end{cases}$$

Định lý 2.3: Giả thiết $\alpha_n \to 1$ và $\beta_n \to 0$, chứng minh các dãy ${x_n}, {y_n}, {z_n}$ cùng hội tụ mạnh về hình chiếu metric $u_0 = P_{F(T)}(x_0)$.

• Hệ quả 2.1: Thu được khi chọn $\alpha_n \equiv 1$.
• Hệ quả 2.2: Thu được khi chọn $\beta_n \equiv 0$, suy biến về dạng nửa không gian $H_n = {z \in H: |y_n - z| \le |x_n - z|}$.

3. Phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp

Tác giả đưa ra thuật toán thu hẹp nửa không gian $H_{n+1}$ (2.21): $$\begin{cases} x_0 \in H = H_0, \ y_n = x_n - \mu_n(I - T P_C)x_n, \ H_{n+1} = {z \in H_n : |y_n - z| \le |x_n - z|}, \ x_{n+1} = P_{H_{n+1}}(x_0), \quad n \ge 0 \end{cases}$$

Định lý 2.4: Chứng minh nếu dãy tham số ${\mu_n} \subset (a, 1]$ với $a \in (0, 1]$, các dãy ${x_n}$ và ${y_n}$ cùng hội tụ mạnh về $u_0 = P_{F(T)}(x_0)$.

4. Điểm bất động chung cho hai ánh xạ không giãn trên hai tập

Xét bài toán tìm $p \in F := F(T_1) \cap F(T_2)$ với $T_1: C_1 \to C_1$ và $T_2: C_2 \to C_2$ trên hai tập lồi đóng $C_1, C_2 \subset H$. Thuật toán lặp (2.25) được xác định bởi: $$\begin{cases} x_0 \in H, \ z_n = x_n - \mu_n(x_n - T_1 P_{C_1}(x_n)), \ y_n = \beta_n x_0 + (1 - \beta_n) T_2 P_{C_2}(z_n), \ H_n = {z \in H : |y_n - z|^2 \le |x_n - z|^2 + \beta_n(|x_0|^2 + 2\langle x_n - x_0, z \rangle)}, \ W_n = {z \in H : \langle x_n - z, x_0 - x_n \rangle \ge 0}, \ x_{n+1} = P_{H_n \cap W_n}(x_0), \quad n \ge 0 \end{cases}$$

Định lý 2.5: Với $\mu_n \in (a, b) \subset (0, 1)$ và $\beta_n \to 0$, các dãy ${x_n}, {z_n}, {y_n}$ cùng hội tụ mạnh về $u_0 = P_F(x_0)$.

• Thuật toán giải quyết trường hợp riêng của bài toán tập chấp nhận được lồi (convex feasibility problem) khi $T_1 = T_2 = I$ [8] và bài toán hai ánh xạ trên cùng một tập lồi [19].
• Hệ quả 2.3 và 2.4: Thiết lập tính hội tụ cho trường hợp $\beta_n \equiv 0$ và bài toán tìm điểm thuộc giao $C_1 \cap C_2$.

5. Ví dụ tính toán minh họa

Mục 2.5 trình bày các ví dụ số tính toán cụ thể để minh họa tốc độ hội tụ và tính khả thi của các thuật toán đề xuất trong Chương 2.

---

Chương 3: Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của nửa nhóm không giãn

Chương 3 mở rộng các kết quả giải tích sang họ liên tục các ánh xạ không giãn ${T(t): t \ge 0}$:

• Mục 3.1 (Điểm bất động của một nửa nhóm không giãn): Xây dựng thuật toán lặp kết hợp giữa phương pháp Mann - Halpern và phương pháp dạng đường dốc lai ghép cho nửa nhóm không giãn ${T(t): t \ge 0}$ trên tập lồi đóng $C$, chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về điểm bất động chung thuộc $F = \bigcap_{t > 0} F(T(t))$.
• Mục 3.2 (Điểm bất động của hai nửa nhóm không giãn): Đề xuất thuật toán lặp xác định điểm bất động chung của hai nửa nhóm không giãn ${T_1(t): t \ge 0}$ và ${T_2(t): t \ge 0}$ định nghĩa trên hai tập lồi đóng $C_1, C_2 \subset H$ có giao khác rỗng, thiết lập định lý hội tụ mạnh về phần tử chiếu trên $F(T_1) \cap F(T_2)$.
• Mục 3.3 (Ví dụ tính toán minh họa): Cung cấp các thử nghiệm số kiểm chứng sự hội tụ của các dãy lặp cho nửa nhóm không giãn.

---

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế và báo cáo tại các hội nghị, hội thảo chuyên ngành (Hội thảo Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán 2014, Hội thảo Quốc gia CNTT-TT lần thứ XV và XVII, Hội thảo Hình học & Giải tích Hồng Đức 2012). Các đóng góp mới tự nêu của luận án bao gồm:

1. Về mặt lý luận và cấu trúc thuật toán:

   • Cải biên thành công phương pháp xấp xỉ gắn kết Moudafi (ở cả dạng ẩn và hiện) bằng cách tích hợp kỹ thuật lặp Krasnosel’skii - Mann với ánh xạ co $f$, chứng minh sự hội tụ mạnh về nghiệm của bất đẳng thức biến phân mà không đòi hỏi các điều kiện tham số quá ngặt nghèo.
   • Phát triển phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp (shrinking hybrid gradient-projection), chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh với dãy tham số $\mu_n \in (a, 1]$ với $a > 0$.
   • Ứng dụng thành công kỹ thuật thay thế tập lồi đóng $C_n, Q_n$ bằng các nửa không gian $H_n, W_n$ trong phương pháp lai ghép kết hợp Mann - Halpern. Điều này cho phép biểu diễn tường minh phép chiếu mêtric $P_{H_n \cap W_n}(x_0)$ bằng công thức giải tích trực tiếp, khắc phục triệt để khó khăn tính toán khi tập ràng buộc $C$ là tập con thực sự của không gian Hilbert $H$.
   • Mở rộng bài toán tìm điểm bất động từ một ánh xạ/nửa nhóm đơn lẻ lên bài toán tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn và hai nửa nhóm không giãn trên hai tập lồi đóng khác nhau ($C_1, C_2$) có giao khác rỗng.

2. Kiến nghị và giải pháp đề xuất:

   • Áp dụng kỹ thuật chiếu trên nửa không gian để giải các bài toán quy hoạch toán học, bài toán chấp nhận được lồi (convex feasibility problem) và bài toán cân bằng phi tuyến.
   • Sử dụng các sơ đồ lặp đề xuất để tính toán nghiệm xấp xỉ cho các phương trình tiến hóa và hệ động lực phi tuyến được mô hình hóa dưới dạng nửa nhóm không giãn.

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và nội dung văn bản luận án:

• Hạn chế:
  • Toàn bộ kết quả lý thuyết và thuật toán được thiết lập trong khuôn khổ không gian Hilbert thực $H$ (nơi chuẩn gắn liền với tích vô hướng và có tính chất Kadec-Klee tự nhiên). Các đánh giá hình học của phép chiếu mêtric dựa trên tích vô hướng chưa áp dụng trực tiếp được cho các không gian Banach tổng quát không có tích vô hướng (như không gian Banach lồi đều hoặc trơn đều).
  • Đối tượng nghiên cứu tập trung vào lớp ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn, chưa mở rộng cho các lớp ánh xạ tổng quát hơn như ánh xạ giả co (pseudo-contractive), ánh xạ không giãn suy rộng, hoặc ánh xạ Lipschitz liên tục với hằng số $L > 1$.
• Hướng nghiên cứu tiếp:
  • Mở rộng các sơ đồ lặp lai ghép dạng nửa không gian sang không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều sử dụng phép chiếu suy rộng (generalized projection).
  • Nghiên cứu bài toán tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn các ánh xạ không giãn hoặc bài toán điểm bất động kết hợp với bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán cân bằng.

---

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Toán Giải tích và Giải tích phi tuyến:

• Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng: Cung cấp phương pháp luận chặt chẽ trong việc xử lý kỹ thuật chứng minh hội tụ mạnh, kỹ thuật xấp xỉ gắn kết, phương pháp lai ghép và cách vận dụng các bổ đề giải tích phi tuyến (Bổ đề Browder, Yamada, Suzuki, Xu).
• Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu lý thuyết tối ưu, bất đẳng thức biến phân: Luận án cung cấp các công thức tính toán hiện cho phép chiếu lên giao các nửa không gian ($H_n \cap W_n$), phục vụ phát triển các thuật toán tối ưu hóa lồi và giải bài toán chấp nhận được lồi trên nhiều tập ràng buộc.
• Phần có giá trị tham khảo cao:
  • Mục 2.2 và 2.4 của Chương 2: Cấu trúc thuật toán Mann - Halpern cải biên và sơ đồ xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ trên hai tập lồi đóng khác nhau.
  • Mục 1.3 của Chương 1: Hệ thống các bổ đề giải tích bổ trợ được tổng hợp chuẩn xác, thuận tiện cho việc tra cứu chứng minh.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao các phương pháp lặp cổ điển như Mann và Ishikawa không đáp ứng trọn vẹn yêu cầu xấp xỉ điểm bất động trong không gian Hilbert vô hạn chiều?
Trả lời: Trong không gian Hilbert vô hạn chiều, phương pháp lặp Mann (1953) và Ishikawa (1974) nhìn chung chỉ đảm bảo dãy lặp hội tụ yếu về điểm bất động của ánh xạ không giãn. Trong nhiều bài toán thực tế và giải tích số, hội tụ yếu không bảo toàn chuẩn và không đủ để xác định nghiệm chính xác, đòi hỏi phải phát triển các phương pháp lặp đảm bảo tính hội tụ mạnh.

2. Ưu điểm kỹ thuật cốt lõi của việc thay thế các tập lồi đóng $C_n, Q_n$ bằng các nửa không gian $H_n, W_n$ là gì?
Trả lời: Trong phương pháp lai ghép của Solodov - Svaiter và Nakajo - Takahashi, các tập $C_n, Q_n$ phụ thuộc vào tập $C$. Khi $C$ là tập con thực sự của $H$, $C_n$ và $Q_n$ không phải là các nửa không gian, khiến việc tìm hình chiếu $P_{C_n \cap Q_n}(x_0)$ phải giải một bài toán quy hoạch lồi phức tạp tại mỗi bước lặp. Việc định nghĩa lại $H_n, W_n$ thành các nửa không gian trong toàn không gian $H$ giúp phép chiếu $P_{H_n \cap W_n}(x_0)$ được tính trực tiếp bằng công thức giải tích hiện, giảm đáng kể khối lượng tính toán.

3. Nghiệm giới hạn $p^*$ của phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên trong Định lý 2.1 và Định lý 2.2 thỏa mãn điều kiện toán học nào?
Trả lời: Dãy lặp hội tụ mạnh về phần tử $p^* \in F(T)$, trong đó $p^$ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân $\langle (I - f)(p^), p^* - p \rangle \le 0, \forall p \in F(T)$, tương đương với việc $p^$ là điểm bất động của ánh xạ hợp thành $P_{F(T)} \circ f$, tức $p^ = P_{F(T)} f(p^*)$.

4. Luận án giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn trên hai tập lồi đóng khác nhau như thế nào?
Trả lời: Tại Mục 2.4, tác giả xét $T_1: C_1 \to C_1$ và $T_2: C_2 \to C_2$ với $C_1, C_2 \subset H$. Bằng cách mở rộng ánh xạ thành $\tilde{T}1 = T_1 P{C_1}$ và $\tilde{T}2 = T_2 P{C_2}$ trên toàn không gian $H$, tác giả thiết lập thuật toán (2.25) kết hợp bước lặp trung gian $z_n$ trên $C_1$ và $y_n$ trên $C_2$, sau đó chiếu lên giao của hai nửa không gian $H_n \cap W_n$, chứng minh dãy hội tụ mạnh về $u_0 = P_{F(T_1) \cap F(T_2)}(x_0)$.

5. Điều kiện áp đặt lên các dãy tham số ${\alpha_n}, {\beta_n}, {\mu_n}$ trong các định lý hội tụ của luận án có đặc điểm gì?
Trả lời: Các điều kiện tham số được nới lỏng đáng kể so với các công trình trước: dãy ${\alpha_n}$ chỉ cần thỏa mãn $\alpha_n \to 1$, dãy ${\beta_n}$ chỉ cần thỏa mãn $\beta_n \to 0$ (hoặc suy biến về hằng số trong các hệ quả), và dãy ${\mu_n}$ chỉ yêu cầu nằm trong khoảng mở $(a, b) \subset (0, 1)$ hoặc $(a, 1]$ với $a > 0$, không đòi hỏi các điều kiện tổng chuỗi phức tạp.

---

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Đức Lạng đã giải quyết hoàn chỉnh bài toán xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert thông qua các sơ đồ lặp cải biên gắn kết, đường dốc lai ghép thu hẹp và phương pháp Mann - Halpern. Đóng góp cốt lõi của công trình là kỹ thuật chiếu mêtric lên các nửa không gian và việc mở rộng thành công thuật toán cho bài toán tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ/nửa nhóm trên hai tập lồi đóng riêng biệt. Các kết quả lý thuyết được chứng minh chặt chẽ thông qua hệ thống bổ đề phi tuyến kinh điển, đóng góp thiết thực cho sự phát triển của chuyên ngành Toán Giải tích.