chương I đã trình bay bốn đường lối xây dựng bài toán cơ học và các phương pháp giải hiện nay thường dùng trong các giáo trình, tài liệu trong và ngoài nước. Khác với chương l, chương này trình bảy nguyên ly Gauss, sau đó trình bày phương pháp mới dựa trên nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải các bài toán cơ học dưới dạng tổng quát, chủ yếu là của cơ hệ vật rắn biến dạng. Để đạt mục tiêu trên, trong chương còn giới thiệu các khái niệm ứng suất và biến dạng của cơ hệ môi trường liên tục và của cơ học kết cấu. Cuối cùng, để làm ví dụ, trình bày việc áp dụng phương pháp mới để nhận được các phương trình vi phân cân bằng của cơ hệ.
Nguyên lý cực trị Gauss Năm 1829 nhà toán học người Đức K. Gauss đã đưa ra nguyên lý sau đây đối với cơ hệ chat diém [1,tr. 171]: “Chuyển động thực của hệ chất điểm có liên kết tùy ý chịu tác động bat ki ở mỗi thời điểm xảy ra một cách phù hợp nhất có thể với chuyển động của hệ đó khi hoàn toàn tự do, nghĩa là chuyển động thực xảy ra với lượng cưỡng bức tối thiểu nếu như số đo lượng cưỡng bức lấy bằng tổng các tích khối lượng chất điểm với bình phương độ lệch vị trí chất điểm so với vị trí khi chúng hoàn toàn tự do”. Goi m, là khối lượng chất điểm, 4; là vị trí của nó, Ö, là vị trí sau thời đoạn vô cùng bé do tác động lực ngoài và do vận tốc ở đầu thời đoạn gây ra, Cc, là vị trí có thể ( bị ràng buộc bởi liên kết) thì lượng cưỡng bức được viết như sau: Z=>m(BC) > Min (2.1) Dấu tổng trong (2.1) lấy theo số chất điểm.
15 Sử dụng nguyên lý vận tốc ảo và nguyên lý D “Alembert, xét hệ ở trạng thái cân bằng và cho rằng có lực với độ lớn tỉ lệ với độ dài Z,C, tác dụng theo chiều từ C, đến B,, Gauss đã chứng minh nguyên lý cua minh [1,tr. Để có thê sử dụng nguyên lý Gauss cần biết đại lượng biến phân của nó. 889], Gibbs (nam 1879) va Appell (năm 1899) đi từ các lập luận khác nhau đều nhận được nguyên lý Gauss và chỉ ra rằng đại lượng biến phân của nguyên lý này là gia tốc. Điều này có nghĩa là: ôn =0; ðz¡=0; ðï;z 0 (2.2) ở đây ö là kí hiệu biến phân ( lấy vi phân khi có định thời gian ), r,, #¡ và ?; lần lượt là vectơ toạ độ, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của điểm i.
Chuyén dich của chất điểm của hệ có liên kết đưới tác dụng của luc F; sau thời đoạn dt tính theo công thức sau đây: r na (2.3) Vì õr;=0 và z¡=0 nên chuyền dịch của chất điểm hoàn toàn tự do (có thể hình dung ở đầu thời đoạn dt liên kết được giải phóng nhưng vẫn giữ lực tác dụng) sau thời đoạn dt là : r, sedt+t iar (2.3) cho ta độ lệch vị trí của chất điểm có liên kết so với vị trí của nó khi hoàn toàn tự do. Có thể xem dt là hằng thì lượng cưỡng bức Z theo (2.1) được viết dưới dạng lực như sau (với độ chính xác bằng thừa số đt/ 4) : m fi z-Ym( 4 -z] —> Min (2.5a) ™ mM, Khi tính lượng cưỡng bức theo (2.5) cần xem gia tốc là đại lượng biến phân (biến phân kiểu Gauss theo cách nói của Boltzmann ). Như vậy, phương pháp tìm cực tiểu của các bài toán cơ học được xây đựng theo nguyên lý (2.5) không thể là bất kỳ mà phải là (khi không có ràng buôc nào khác): OZ oF =0 (2.6) sẽ cho ta phương trình cân bằng. Thật vậy, áp dụng (2.5) ta nhận được phương trình cân bằng của hệ ( ở đây lực tác dụng bằng lực quán tính).
Appell và Boltzmann (năm 1897) còn cho biết nguyên lý Gauss đúng cho hệ liên kết holonom và cả hệ liên kết không holonom [1,tr.5) có dạng của phương pháp bình phương tối thiểu là phương pháp cũng do Gauss đưa ra và được dùng rộng rãi trong toán học hiện đại, trong giải tích cũng như trong lời giải số. Có lẽ vì vậy nguyên lý Gauss thu hut su chú ý của nhiều nhà khoa học, thí đụ, Hertz (năm 1894) dựa trên ý tưởng lượng cưỡng bức đưa ra nguyên lý đường thắng nhất (đường có độ cong nhỏ nhất) hoặc Prigogine (năm 1954) và Gyarmati (năm 1965) đã xây dựng được lượng cưỡng bức của các quá trình không hồi phục trong nhiệt động lực học [2]. Các tài liệu giáo khoa về cơ học thường giới thiệu nguyên lý Gauss đưới dạng (2.5) là dạng dùng được dé tinh toán. Nhưng nguyên lý (2.5) với đại lượng biến phân là gia tốc chỉ là một biểu thị của nguyên lý Gauss (2.1) bởi vì đại lượng biến phân trong cơ học còn có thể là chuyyén vị và vận tốc như trình bảy sau đây.
Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Trong bài viết của mình Gauss nêu nhận xét rằng nguyên lý vận tốc ảo biến vấn đề tĩnh học thành vấn đề toán học thuần tuý, còn nguyên lý D’Alembert dua bai toán động lực học về bài toán tĩnh học và mọi nguyên lý của cơ học hoặc nhiều hoặc ít đều có thể trực tiếp rút ra từ hai nguyên lý trên. Dưới đây trình bày phương pháp dựa trên nguyên lý chuyền vị ảo để nhận được biểu thức (2.1) của nguyên lý Gauss. Xét hệ chất điểm có liên kết tuỳ ý ở một thời điểm bất kì nào đó có nghĩa là phải đưa lực quán tính f; của hệ tại thời điểm đó tác dụng lên hệ. Đối với hệ hoan toan tu do luc quan tinh fo; cua nd bang với ngoại lực (chỉ số “0° ở chân kí tự chỉ rằng kí tự đó thuộc hệ so sánh, trường hợp này là hệ hoàn toàn tự do có cùng khối lượng và cùng chỊu tác dụng lực ngoài giống như hệ có liên kết).
Như vậy, các lực tác dụng lên hệ có liên kết gồm các lực ñ= m¡#; và các lực fo = mị Fø (thay cho ngoại lực). Theo nguyên lý chuyên vị ảo đối với liên kết giữ (liên kết đưới dạng đẳng thức) và không giữ (liên kết dưới dạng bat đăng thức) điều kiện cần và đủ dé hệ ở trạng thái cân bằng la [1,tr.7) cũng được Fourier (năm 1798 ) và Ostrogradsky ( năm 1838) độc lập đưa ra. Có thể nhận xét ngay rằng phần trong ngoặc đơn của (2.7) biểu thị lực tác dụng lên hệ nên phải bằng không để hệ ở trạng thái cân bằng. Trong biểu thức (2.7) cần xem các chuyển vị r¡ độc lập đối với lực tác dụng.
Cho nên từ (2.7) có thể viết: Z=>,- fun > Min (2.8) r¡ là các biến độc lập cần tìm để bảo đảm cho Z cực tiểu. Vì chuyển vị ro của hệ hoàn toàn tự do đã biết nên biểu thức (2.8) tương đương với các 18 biểu thức dưới đây: Z =) (F, — foi) — nụ) > Min (2.8a) i hoặc Z =) maa (4 -%;) > Min (2.8b) m 1 i Dễ dàng nhận thấy (2.8b) là tích của khối lượng m; với bình phương độ lệch vị trí chất điểm và do đó Z.8) là lượng cưỡng bức của nguyên lý Gauss (với độ chính xác bằng thừa số đ/ 2).5), lượng cưỡng bức Z, xác định theo (2.8) biểu thị đầy đủ và rõ ràng tư tưởng của nguyên lý Gauss thể hiện ở chỗ, thứ nhất, nó cho phép so sánh hệ có liên kết với hệ hoàn toàn tự do, thứ hai, đại lượng không biết (đại lượng biến phân) trong (2.8) là chuyền vị giống như trong (2. Cực tiêu của (2.8) cần và phải được tìm từ điều kiện (khi không có các ràng buộc nào khác): OZ or, i =0 (2.9) ap dung vào (2.8) cho ta phương trình cân bằng của cơ hệ. Vi du 1 Vi dụ này lấy từ [3,tr.
Viết phương trình chuyên động của khối lượng m chạy trên đường cong y= bx? trong mặt phẳng (xy), không có lực ma sát, dưới tác dụng của trường gia tốc g (Hình I.1 Các lực tác dụng lên khối lượng m bao gồm: lực quán tính theo chiều y, lực trọng trường theo chiều âm của y, lực quán tính theo x. Chọn hệ so sánh là hệ có 19 cùng khối lượng m nằm trong trường gia tốc g nhưng hoàn toàn tự do. Lượng cưỡng bức được viết theo (2.8) như sau: Z =(mÿ+mg)y+(mĐx -—> Min (a) Thế y=øx? vào (a) ta có Z =(n+mg)bx°+(m3x -> Min (b) Xem chuyên vị x 1a bién độc lập và từ điều kiện = =0 nhận được: X 2bxÿ + 2bgx + š =0 (c) Thay ÿ = 2øxïr+25+” vào (c) nhận được phương trình chuyển động của khối lượng m (4b?x? +1)#+4b?xš? + 2bgx =0 (d) Phương trình (đ) là kết quả cần tìm. Như nhận xét của Gauss nêu trên, có thể nói biéu thức (2.7) đã biến van dé tĩnh học (cân bằng lực) thành vấn đề toán học thuần tuý.
Thật vậy, nếu ta dùng gia tốc là đại lượng biến phân thì tương tự như (2.10) với điều kiện gia tốc ?¡là đại lượng độc lập đối với lực tác dụng.10) có thể viết Z=}È, -f,)?i¡ > Min (2.11) cần xem gia tốc z;¡ là đại lượng biến phân đề bảo đảm cho Z cực tiểu. Vì gia tốc Zo¡ của hệ hoàn toàn tự đo đã biết nên biểu thức (2.11) tương đương với các biểu thức dưới đây: Z=}È, (ƒ-f„)(r Fo) = > Min (2.1 Ib) trùng với (2. Các gia tốc # phải thỏa mãn các liên kết nếu có và điều kiện cực tiểu của (2.11) là biểu thức (2. Làm lại ví dụ 1 (Hình 1) theo nguyên lí (2.5) hoặc biểu thức (2.11) Khối lượng m vừa chuyển động theo x, vừa chuyển động theo y, nhưng do có liên kết y= bx? nên chỉ có một bậc tự do, thí dụ là x.
Các lực tác đụng lên m bao gồm: Lực quán tính theo chiều y, lực trọng trường theo chiều âm của y, lực quán tính theo x. Lượng cưỡng bức Z viét theo (2.5) là: Z= mS +3) +m? > Min (a) Lấy đạo hàm ràng buộc y=bx2 theo thời gian hai lần ta có : 3= 2bx# + 2bx? (b) Thay ÿ trong (a) bằng (b), nhận được Z= (g + 2bx¥ + 2b%?)? +¥2 > Min (c) Xem gia tốc š là biến độc lập và từ điều kiện 2Z/Øï=0 ta có phương trình chuyền động của khối lượng m như sau : (4b?x? +1)#+4b”xš” + 2bgx =0 (d) Phương trình (đ) là kết quả cần tìm. Tương tự, cũng có thể dùng vận tốc ¿ là đại lượng biến phân, khi đó lượng cưỡng bức Z. được viết : Z =),(ƒ-f,) => Min (2.12) với điều kiện vận tốc ” là biến độc lập và thoả mãn các liên kết nếu có.
Trong trường hợp này điều kiện cực tiểu của nguyên lý(2.
