Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [24], [31], [36], [46], [48], [49]. Một số định lý điểm bất động Cho ánh xạ T : A → A, trong đó A là không gian Banach. Mỗi nghiệm x của phương trình x = T x được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T. Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng.
Định lý điểm bất động Banach cho các toán tử co với hệ số co k. Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Định lý điểm bất động Schauder cho các toán tử hoàn toàn liên tục trên một tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạn chiều). Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer.
Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phi tuyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compact 12 trên một tập con lồi, khác rỗng, bị chặn của không gian Banach. Cùng với các định lý điểm bất động, lý thuyết bậc Brouwer (Brouwer degree) và lý thuyết chỉ số điểm bất động (fixed point index) cũng là những công cụ quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ liên tục cũng như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân phi tuyến. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp Xét phương trình phi tuyến x = T x.1) Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co.2) với mọi x, y ∈ M và k cố định 0 ≤ k < 1. Giả sử rằng (i) T : M ⊆ X → M là một ánh xạ từ M vào chính nó; (ii) M là tập đóng, khác rỗng trong không gian metric đầy đủ (X, d); (iii) T là một ánh xạ co với hệ số co k.
Khi đó ta có các kết luận sau đây: a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.1) có duy nhất nghiệm x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên M. b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong M , dãy xấp xỉ liên tiếp (xn ) hội tụ tới nghiệm x. 13 c) Đánh giá sai số: Với mọi n = 0, 1, 2,. ta có các đánh giá sai số tiên nghiệm kn d(xn , x) ≤ d(x0 , x1 ), (1.3) 1−k và đánh giá hậu nghiệm k d(xn+1 , x) ≤ d(xn , xn+1 ).4) 1−k d) Tốc độ hội tụ: Với mọi n = 0, 1, 2, .5) Định lý điểm bất động Banach có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết toán học và ứng dụng, đặc biệt trong giải gần đúng các phương trình phi tuyến.
Cụ thể, từ định lý này có thể giải quyết được các vấn đề sau: (A) Sự tồn tại nghiệm; (B) Sự duy nhất nghiệm; (C) Sự ổn định của nghiệm dưới nhiễu nhỏ của phương trình; (D) Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ; (E) Đánh giá sai số tiên nghiệm; (F) Đánh giá sai số hậu nghiệm; (G) Đánh giá tốc độ hội tụ; (H) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ. Định lý điểm bất động Banach có ứng dụng quan trọng trong giải phương trình phi tuyến và trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân thường (Định lý Picard–Lindelöf). Ngoài ra, ứng dụng của định lý trong giải phương trình đại số tuyến tính, giải phương trình tích phân tuyến tính, phương trình toán tử tuyến tính có thể tìm thấy chi tiết trong [49]. Định lý điểm bất động Brouwer Khác với Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer không chỉ ra tính duy nhất của điểm bất động cũng như phương pháp lặp xấp xỉ liên tiếp.
Tuy nhiên các giả thiết của Định lý Brouwer được nới lỏng hơn so với Định lý điểm bất động Banach. Giả sử M là tập con khác rỗng, lồi, compact của RN , trong đó N ≥ 1 và f : M → M là ánh xạ liên tục. Khi đó f có một điểm bất động. Một hạn chế của Định lý Brouwer là chỉ áp dụng được cho các ánh xạ liên tục trên không gian hữu hạn chiều.
Tuy nhiên khi xét sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân ta phải xét trên các không gian hàm, đây là không gian Banach vô hạn chiều, vì thế không thể áp dụng Định lý điểm bất động Brouwer. Đối với các toán tử trên không gian vô hạn chiều thì Định lý điểm bất động Schauder - một phiên bản mở rộng của Định lý điểm bất động Brouwer đặc biệt hiệu quả và được sử dụng phổ biến. Định lý này sẽ được trình bày trong phần 1. Định lý điểm bất động Schauder Trong phần này, chúng tôi trình bày một tổng quát hóa của Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử compact trong không gian Banach vô hạn chiều.
Đó là Định lý điểm bất động Schauder. Toán tử compact được định nghĩa như sau. (xem [49]) Cho X và Y là các không gian Banach và T : D(T ) ⊆ X → Y là một toán tử. T được gọi là toán tử compact nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn (i) T liên tục; 15 (ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối.
Các toán tử compact đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến. Thực tế có nhiều kết quả cho các toán tử liên tục trên RN được chuyển sang các không gian Banach khi thay thế tính liên tục bằng tính compact. Giả sử rằng ta có hàm liên tục K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K, trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ và K = R, C. Xét các toán tử tích phân Zb (T x)(t) = K(t, s, x(s))ds, a Zt (Sx)(t) = K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b].
a Khi đó S, T ánh xạ M vào C([a, b], K) là toán tử compact.6) xác định một toán tử compact trong không gian C[a, b] nếu hàm K(t, s) giới nội trong hình vuông a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b và tất cả các điểm gián đoạn của hàm K(s, t) nằm trên hữu hạn các đường cong s = ϕk (t), k = 1, 2., n, 16 trong đó ϕk (t) là các hàm liên tục. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X , và giả sử T : M −→ M là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động. Một phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder được phát biểu như dưới đây.
Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact của không gian Banach X , và giả sử T : M −→ M là toán tử liên tục. Khi đó T có điểm bất động. Định lý Schauder có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích hàm và giải tích số như trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân với tham số bé, sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân và hệ phương trình vi phân,. Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình vi phân là phương pháp đơn điệu.
Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm, có thể xem thêm trong [24]. 17 Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β, α ≤ β, tương ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution) của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ đơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện α ≤ α1 ≤ α2 ≤. Trong trường hợp u = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải hα, βi, nếu khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên.
Công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụ của chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán. Ở đây, cần phải nói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tính đơn giản với các điều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo [44], song đối với các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phù hợp. Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên đã được nghiên cứu từ năm 1890 bởi Picard. Sau đó, nhiều bài báo nghiên cứu phát triển phương pháp này cho các bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau.
Để minh họa cho phương pháp đơn điệu, ta xét ví dụ trong bài báo của Ma và cộng sự (1997, [31]) nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp bốn dạng u(4) (x) = f (x, u(x), u′′ (x)), 0 < x < 1, (1.1) ′′ ′′ u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, trong đó f : [0, 1] × R2 → R là hàm liên tục. Bài toán này mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai đầu mút được gối-tựa đơn giản. Bằng phương pháp đơn điệu khi biết trước nghiệm 18 dưới và nghiệm trên, với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên, các tác giả đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán. Tác giả đưa ra nguyên lý cực đại đối với toán tử L : F → C[0, 1] được định nghĩa bởi Lu = u(4) , trong đó u ∈ F và F = {u ∈ C 4 [0, 1]| u′′ (0) ≤ 0, u′′ (1) ≤ 0, u(0) ≥ 0, u(1) ≥ 0} như sau.
Tác giả định nghĩa nghiệm dưới, nghiệm trên của bài toán như sau. [31] Hàm α ∈ C 4 [0, 1] được gọi là nghiệm dưới của bài toán (1.