I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu
Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc khám phá môđun vi phân Kahler và các ứng dụng của nó trong toán học cao cấp, đặc biệt là trong hình học vi phân và đại số giao hoán. Môđun vi phân Kahler là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của vành, đặc biệt là tính chính quy. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thùy Hương, và là một phần của chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số.
1.1. Mục tiêu và ý nghĩa
Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu sâu về môđun vi phân Kahler, từ khái niệm cơ bản đến các ứng dụng thực tiễn trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Việc nghiên cứu này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các vành mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong hình học đại số và phân tích toán học.
1.2. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia thành hai chương chính. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về đại số giao hoán, bao gồm các khái niệm về môđun, dãy khớp, và tích tenxơ. Chương 2 tập trung vào môđun vi phân Kahler, bao gồm khái niệm đạo hàm, xây dựng môđun vi phân Kahler, và các ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu tính chính quy của vành.
II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về đại số giao hoán và lý thuyết môđun, là nền tảng cho việc nghiên cứu môđun vi phân Kahler. Các khái niệm như môđun, đồng cấu môđun, và dãy khớp được giới thiệu và phân tích chi tiết. Ngoài ra, phương pháp địa phương hóa cũng được đề cập như một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của vành.
2.1. Khái niệm môđun và đồng cấu
Một R-môđun là một nhóm cộng abel cùng với một ánh xạ từ R × M → M thỏa mãn các điều kiện nhất định. Đồng cấu môđun là ánh xạ bảo toàn cấu trúc môđun, và tập hợp các đồng cấu này tạo thành một R-môđun. Các khái niệm này là nền tảng cho việc xây dựng và nghiên cứu môđun vi phân Kahler.
2.2. Dãy khớp và tích tenxơ
Dãy khớp là một chuỗi các môđun và đồng cấu sao cho ảnh của đồng cấu trước bằng hạt nhân của đồng cấu sau. Tích tenxơ là một công cụ quan trọng trong việc xây dựng các môđun mới từ các môđun đã có, và được sử dụng rộng rãi trong đại số giao hoán và hình học đại số.
III. Môđun vi phân Kahler và ứng dụng
Chương này tập trung vào việc xây dựng và nghiên cứu môđun vi phân Kahler, một công cụ quan trọng trong hình học vi phân và đại số giao hoán. Môđun vi phân Kahler được xây dựng từ các đạo hàm phổ dụng, và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu tính chính quy của vành. Các dãy khớp cơ bản của môđun vi phân Kahler cũng được trình bày và chứng minh chi tiết.
3.1. Khái niệm đạo hàm và môđun vi phân Kahler
Đạo hàm là một ánh xạ từ một vành vào một môđun thỏa mãn các điều kiện nhất định. Môđun vi phân Kahler được xây dựng từ các đạo hàm phổ dụng, và là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của vành. Các tính chất của môđun vi phân Kahler được trình bày và chứng minh chi tiết trong phần này.
3.2. Ứng dụng của môđun vi phân Kahler
Môđun vi phân Kahler có nhiều ứng dụng trong toán học ứng dụng, đặc biệt là trong việc nghiên cứu tính chính quy của vành. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn cho thấy mối liên hệ giữa môđun vi phân Kahler và tính chính quy của vành, mở ra hướng nghiên cứu mới trong hình học đại số và phân tích toán học.
