PHẦN MỞ ĐẦU Luận án nghiên cứu phương pháp không lưới thích nghi RBF-FD (Radial Basis Function-Finite Difference) giải số bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic trong không gian 2 chiều và 3 chiều. Bài toán được phát biểu như sau: Cho miền mở Ω ⊂ Rd , (với d = 2 hoặc d = 3) và các hàm số f xác định trên Ω, g xác định trên ∂ Ω. Tìm hàm số u : Ω → R thỏa mãn Du = f trong Ω, (1) u=g trên ∂ Ω, trong đó D là toán tử vi phân tuyến tính Elliptic bậc 2. Rời rạc hóa Bài toán (1), ta có hệ phương trình tuyến tính với véc tơ û = [ûξ ]ξ ∈Ξ : ∑ wζ ,ξ ûξ = f (ζ ), ζ ∈ Ξint ; ûξ = g(ξ ), ξ ∈ ∂ Ξ, (2) ξ ∈Ξζ trong đó • Ξ ⊂ Ω là tập các tâm rời rạc; • û là nghiệm xấp xỉ của nghiệm chính xác u của (1) tại các điểm ξ ∈ Ξ; • ∂ Ξ := Ξ ∩ ∂ Ω là tập các tâm rời rạc trên biên; • Ξint := Ξ \ ∂ Ξ là tập các tâm rời rạc nằm trong miền; • Ξζ là một tập hợp (được gọi là tập hợp hỗ trợ tính stencil hay tập hợp giá véc tơ trọng số ứng với ζ ), trong đó bao gồm tâm ζ và một số tâm ξi ∈ Ξ được lựa chọn nằm tại vị trí lân cận của ζ ; • wζ ,ξ ∈ R là các trọng số hay stencil được chọn sao cho ∑ξ ∈Ξζ wζ ,ξ u(ξ ) là một xấp xỉ của Du(ζ ).
Để giải hệ phương trình (2), ta cần phải giải quyết ba vấn đề chính sau: (1) Làm thế nào để sinh ra được tập Ξ? (2) Làm thế nào để chọn được tập hợp Ξζ hỗ trợ tính véc tơ trọng số? (3) Làm thế nào để tính các trọng số wζ ,ξ phù hợp? 2 Phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng (1) được giới thiệu lần đầu tiên năm 1911 bởi Richardson bằng việc sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn (FD-Finite Difference) cổ điển để tính ứng suất của một đập [53]. Ý tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn là thay miền của các biến liên tục bằng tập các điểm lưới rời rạc và xấp xỉ phương trình vi phân đạo hàm riêng bởi lược đồ sai phân. Đối với phương pháp RBF-FD cổ điển, Ξ là tập các nút trên lưới đều, tập hợp Ξζ là khuôn sai phân 5 điểm với tâm ζ và 4 điểm ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 ∈ Ξ và 4 điểm này phân bố đều xung quanh ζ , khi đó các trọng số wζ ,ξ được xác định một cách dễ dàng. Vì tính toán đơn giản và độ chính xác cao, nên phương pháp sai phân hữu hạn có nhiều lợi thế với các bài toán có miền hình học đẹp như miền hình vuông, miền hình chữ nhật,.
Khi khoa học kỹ thuật và công nghệ ngày càng phát triển, thì các bài toán thực tế cần giải quyết ngày càng nhiều và đa dạng, trong đó phần lớn là các bài toán có miền hình học phức tạp và các bài toán có nghiệm dao động mạnh (khi có sự thay đổi nhỏ của đối số thì kéo theo sự thay đổi lớn của hàm số). Vì vậy, phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dựa trên lưới đều gặp nhiều khó khăn, nên đã tạo động lực cho sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM- finite element method). Phương pháp Phần tử hữu hạn (Finite element method - FEM) được phát triển vào những năm 1940 [11, 34], bằng việc chia miền thành các miền con đơn giản hơn, làm cơ sở cho việc rời rạc và giải một bài toán xấp xỉ có tên gọi bài toán dạng yếu. Phương pháp này được phát triển mạnh vào những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và các công trình xây dựng, nó dễ áp dụng hơn phương pháp sai phân cho các bài toán có miền hình học phức tạp.
Một lợi thế khác của FEM là cơ sở toán học vững chắc của nó được chứng minh năm 1973 bởi Strang và Fix [59], Ciarlet và Raviart [10], cùng với các phân tích sai số, ổn định và hội tụ của nghiệm xấp xỉ được phát triển sau này. Năm 1978 RongHua Li et al. đã giới thiệu phương pháp sai phân suy rộng trên lưới không đều [41]. Phương pháp này sử dụng lưới một cách mềm dẻo (lưới tam giác hoặc lưới tứ giác), có sai số nhỏ và chi phí tính toán lớn hơn phương pháp sai phân hữu hạn và nhỏ hơn FEM, trong khi độ chính xác cao hơn phương pháp sai phân hữu hạn và tương đương với FEM.
Bên cạnh sự phát triển của phương pháp FD và FEM còn có phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method -FVM), phương pháp này cũng sử dụng các tùy chọn dựa trên lưới tương tự như FEM và giải bài toán dạng yếu. 3 Sự phát triển của các phương pháp lưới đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng toán học vào thực tiễn. Tuy nhiên, chúng còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có cấu trúc phức tạp như: lưới biến dạng trên phạm vi rộng, số chiều không gian cao, hàm vế phải hoặc hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn). Khó khăn lớn nhất là sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới.
Những khó khăn này được Griebel và Schweitzer chỉ ra trong [32], đó là "hơn 70% chi phí trên toàn bộ tính toán là dành cho việc sinh lưới". Đây là một trong những lý do thúc đẩy các nhà khoa học tìm kiếm những phương pháp mới nhằm khắc phục những hạn chế này của các phương pháp lưới. Để khắc phục một số nhược điểm của phương pháp lưới, các nhà khoa học đã đưa ra phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp không lưới được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1977 bởi Gingold và Monaghan [30], với phương pháp SPH (Smoothed Particle Dynamics).
Vào những năm 1990, một số phương pháp không lưới mới đã xuất hiện dựa trên phương pháp Galerkin như: Phương pháp DEM (Diffuse Element Method) [47], phương pháp RKPM (Reproducing Kernel Particle Method) [45], phương pháp RBF (Radial Basis Function)[38, 39],. Một trong các cách tiếp cận không lưới sử dụng hàm cơ sở bán kính RBF là phương pháp không lưới RBF-FD [14, 60, 63]. Phương pháp này sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính RBF với cách tiếp cận địa phương, dựa trên sự rời rạc hóa giống như phương pháp sai phân hữu hạn, để tính xấp xỉ nghiệm tại một số điểm rời rạc trong miền xác định. Cụ thể, phương pháp RBF-FD được xây dựng theo lược đồ sau: Cho hàm cơ sở bán kính Φ : Rd → R, là hàm xác định dương, xác định bởi Φ(x) = ϕ(||x||2 ), với x ∈ Rd và ϕ : [0, +∞) → R là một hàm cho trước [5, 62].
Ta sử dụng hàm Φ để xây dựng nội suy hàm cơ sở bán kính RBF. Nội suy hàm cơ sở bán kính RBF được sử dụng để xấp xỉ toán tử vi phân, từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Khi sử dụng phương pháp RBF-FD giải bài toán trong không gian d chiều, với d lớn tùy ý, thay vì phải làm việc với hàm d biến, ta chỉ cần làm việc với hàm một biến. Một lợi thế của kỹ thuật rời rạc không lưới là chỉ cần dựa trên tập điểm độc lập phân bố bất kỳ, không cần tạo ra cấu trúc lưới.
Do đó, không còn cần chi phí dành cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới. Lợi thế của phương pháp không lưới RBF-FD được giới thiệu trong các công bố [24, Section 20. 4 Phương pháp RBF-FD được công bố đầu tiên bởi Tolstykh và Shirobokov, năm 2003 [60] dựa trên cấu trúc của phương pháp sai phân hữu hạn. Năm 2006, Wright và Fornberg đề xuất phương pháp RBF-FD, sử dụng nội suy Hermite [63].
Năm 2011, Oleg Davydov và Đặng Thị Oanh công bố phương pháp RBF-FD dựa trên nội suy đa điểm, thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới, thuật toán làm mịn thích nghi [14] và thuật toán ước lượng tham số hình dạng tối ưu cho nội suy hàm RBF [15]. Những năm gần đây, kỹ thuật làm mịn thích nghi và kỹ thuật chọn tâm cho phương pháp RBF-FD nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học [6, 7, 35, 42, 49, 57, 58]. Các kết quả đã đạt được theo hướng nghiên cứu này là: • Đề xuất một số thuật toán sinh bộ tâm rời rạc thích nghi Ξ hay còn gọi là thuật toán làm mịn thích nghi [6, 7, 14, 35, 42, 49, 57, 58]. • Đề xuất một số thuật toán chọn tập hợp Ξζ hỗ trợ tính stencil hay còn gọi là thuật toán chọn tâm hỗ trợ nội suy để tính stencil [14, 40, 56, 49].
• Phát triển một số cách tính véc tơ trọng số dựa trên ý tưởng của phương pháp FD và FEM [14, 60, 63] và đề xuất thuật toán ước lượng tham số hình dạng tối ưu [15]. Các kết quả nghiên cứu theo phương pháp RBF-FD chủ yếu đang dừng lại trên các bài toán mẫu trong không gian 2 chiều, chưa có chứng minh chặt chẽ về mặt lý thuyết đối với tính xấp xỉ, ổn định và hội tụ của nghiệm xấp xỉ. Đây là công việc khó giải quyết trong tương lai gần. Hơn nữa, với lợi thế của phương pháp RBF-FD cũng cần phát triển trong không gian 3 chiều.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu kỹ thuật sinh tâm thích nghi và chọn bộ tâm nội suy hỗ trợ tính véc tơ trọng số RBF phù hợp với bộ tâm thích nghi Ξ trong không gian 2 chiều cho các bài toán có miền hình học phức tạp, nghiệm có kỳ dị, hoặc hàm có độ dao động lớn dựa trên ý tưởng của Đặng Thị Oanh, Oleg Davydov và Hoàng Xuân Phú trong [49] và đồng thời phát triển kỹ thuật chọn tâm trong không gian 3 chiều. Cụ thể luận án đã thực hiện được các nội dung sau: 5 1. Đề xuất thuật toán chọn bộ tâm Ξζ hỗ trợ tính véc tơ trọng số cho phương pháp RBF-FD, sao cho phù hợp với bộ tâm thích nghi Ξ trong không gian 2 chiều. Đối với phương pháp RBF-FD, để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình đạo hàm riêng (1), ta cần tính được các véc tơ trọng số wζ ,ξ ∈ R trong công thức vi phân số (2).
Các véc tơ trọng số này được tìm dựa vào nội suy RBF trên bộ tâm rời rạc Ξζ := {ζ , ξ1 , ξ2 ,. , ξk } nằm xung quanh vị trí tâm ζ (hay còn gọi là phương pháp RBF-FD địa phương).