I. Tổng Quan Về Hệ Phương Trình Toán Tử Đơn Điệu Banach
Nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật và kinh tế xã hội dẫn đến việc tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử. Bài toán này có thể được mô hình hóa bằng hệ phương trình Ai(x) = fi, với Ai là các toán tử từ không gian Banach E vào không gian Banach F. Các bài toán như khôi phục ảnh, tín hiệu, điều khiển tối ưu, và bài toán kinh tế đều có thể được biểu diễn dưới dạng này. Tuy nhiên, nếu không có thêm điều kiện đặc biệt, các bài toán này thường là bài toán đặt không chỉnh.
1.1. Ứng Dụng Của Hệ Phương Trình Toán Tử Đơn Điệu
Hệ phương trình toán tử đơn điệu xuất hiện rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Các ứng dụng bao gồm bài toán khôi phục ảnh (xem [48]), bài toán khôi phục tín hiệu (xem [35]), bài toán điều khiển tối ưu (xem [49]), một số mô hình của bài toán kinh tế dẫn đến dạng bài toán bù (xem [41]), bài toán tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (xem [66]), bài toán chấp nhận lồi (xem [16]), bài toán cực trị không ràng buộc (xem [22]). Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu và giải quyết các hệ phương trình này.
1.2. Tính Đặt Không Chỉnh Của Bài Toán
Đặc điểm của lớp bài toán này là nếu không có thêm điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Ai, chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì chúng thường là những bài toán đặt không chỉnh (xem [1, 8, 18] và các tài liệu được trích dẫn trong đó). Điều này gây ra nhiều khó khăn trong việc giải số, đặc biệt khi có sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào.
II. Thách Thức Khi Giải Hệ Phương Trình Toán Tử Banach
Việc giải số các bài toán đặt không chỉnh gặp nhiều khó khăn do tính không ổn định. Sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào hoặc trong quá trình tính toán có thể dẫn đến sai lệch lớn về kết quả. Do đó, việc xây dựng các phương pháp giải ổn định là rất quan trọng. Các phương pháp này cần đảm bảo rằng khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ, nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm chính xác của bài toán ban đầu.
2.1. Ảnh Hưởng Của Sai Số Đến Nghiệm
Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng kể về nghiệm, tức là một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói đó là bài toán đặt không chỉnh.
2.2. Sự Cần Thiết Của Phương Pháp Giải Ổn Định
Vì tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp nhiều khó khăn, đặc biệt, khi có sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào hoặc trong quá trình giải số trên máy tính có thể dẫn đến sai lệch rất lớn về kết quả. Vì vậy, một trong những hướng nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh rất quan trọng đó là việc xây dựng các phương pháp giải ổn định lớp bài toán này sao cho khi sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm chính xác của bài toán ban đầu.
2.3. Các Nhà Khoa Học Tiên Phong
Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh phải kể đến các nhà toán học Tikhonov (xem [74, 75, 76]), Lavrentiev (xem [63]), Ivanov (xem [50, 51]). Do tầm quan trọng của lý thuyết và ứng dụng của lớp bài toán này mà nhiều nhà toán học trên thế giới đã đi sâu nghiên cứu các phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Alber (xem [8, 10]), Bakushinskii (xem [13, 14]), Baumeister (xem [18]), Engl (xem [38, 39, 40]) v. Các nhà toán học Việt Nam đã có rất nhiều đóng góp cho việc xây dựng phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh như nhóm nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh (xem [4, 5, 6]), Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy (xem [22, 24, 78]), Đinh Nho Hào (xem [45, 46]), Nguyễn Đông Yên và Phạm Duy Khánh (xem [57, 72]) v.
III. Phương Pháp Hiệu Chỉnh Tikhonov Cho Toán Tử Đơn Điệu
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một công cụ quan trọng để giải các bài toán đặt không chỉnh. Phương pháp này dựa trên việc tìm cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov. Browder đã đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán tử đơn điệu từ không gian Banach E vào E*, sử dụng phương trình hiệu chỉnh Aγ(x) + αM(x) = fδ. Tư tưởng của phương pháp là sử dụng toán tử M có tính chất hemi-liên tục.
3.1. Phiếm Hàm Tikhonov Và Cực Tiểu Hóa
Nội dung của phương pháp là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.3) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov Fαγ,δ(x) := kAγ(x) − f δk2 + αkx∗ − xk2, (0.5) trong đó α = α(γ, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào γ và δ, (Aγ , f δ) là các đại lượng quan sát được xấp xỉ của (A, f ), x∗ là phần tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn.
3.2. Phương Trình Hiệu Chỉnh Browder
Để khắc phục vấn đề này, năm 1966 Browder (xem [28]) đã đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với A là toán tử phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E vào E ∗ , đó là việc sử dụng phương trình hiệu chỉnh Aγ(x) + αM (x) = f δ , (0.6) khi Aγ là toán tử đơn điệu hoặc Aγ ≡ A. Tư tưởng của phương pháp là sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục và thỏa mãn hM (x) − M (y), x − yi ≥ (d(kxk) − d(kyk))(kxk − kyk), ở đây d(t) là một hàm không âm, không giảm, d(t) → +∞ khi t → +∞ và d(0) = 0.
IV. Tham Số Hiệu Chỉnh Và Tốc Độ Hội Tụ Trong Banach
Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu chỉnh là rất quan trọng. Nguyễn Bường đã nghiên cứu việc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng. Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác, cần có thêm các điều kiện bổ sung như điều kiện nguồn.
4.1. Nguyên Lý Độ Lệch Cổ Điển Và Suy Rộng
Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu chỉnh (0.7) khi Aγ ≡ A đã được nghiên cứu trong [70], ở đó α(δ) được chọn bởi nguyên lý độ lệch cổ điển, tức là α(δ) được chọn từ hệ thức kA(xδα ) − f δk = Kδ p , K > 1, 0 < p ≤ 1, (0.8) ở đây xδα là nghiệm của phương trình (0. Năm 2004, Nguyễn Bường (xem [20]) đã nghiên cứu việc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng trên cơ sở giải phương trình ρ(α) = α−q δ p , 0 < p ≤ q, ρ(α) = αkxδα k, (0.9) cho phương trình toán tử (0.3) khi xét phương trình hiệu chỉnh (0.7) trong trường hợp Aγ ≡ A.
4.2. Điều Kiện Nguồn Và Đánh Giá Tốc Độ Hội Tụ
Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác x0 của bài toán (0.3), nghĩa là đánh giá giá trị kxδα − x0 k, người ta thường cần một số điều kiện bổ sung như: điều kiện nguồn (xem [39]), tức là tồn tại ω ∈ H sao cho x0 − x∗ = [A'0 (x0 )]∗ ω, (0.10). Điều kiện về tính Lipschitz địa phương của đạo hàm cấp một hay tính bị chặn địa phương của đạo hàm cấp hai còn được thay thế bởi điều kiện nón tiếp tuyến (xem [44, 54, 55]).
V. Hiệu Chỉnh Lặp Và Xấp Xỉ Hữu Hạn Chiều Banach
Một số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải phương trình toán tử là sự kết hợp giữa kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các phương pháp số truyền thống. Luận án này nghiên cứu, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử.
5.1. Phương Pháp Hiệu Chỉnh Lặp Bậc Không
Chẳng hạn, phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không là sự kết hợp giữa phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev với phương pháp lặp hiện trong không gian Hilbert thực H: xm+1 = xm − βm [A(xm ) − f + αm xm ], ở đây, αm > 0 là dãy tham số hiệu chỉnh, βm > 0 là dãy tham số lặp. Sự hội tụ của phương pháp được thiết lập trên cơ sở toán tử A thỏa mãn thêm một số điều kiện bổ sung và cách lựa chọn các dãy tham số {αm } và {βm } thích hợp.
5.2. Xấp Xỉ Hữu Hạn Chiều Cho Phương Trình Hiệu Chỉnh
Luận án của chúng tôi nghiên cứu, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.2), một mở rộng của bài toán (0.3).
VI. Phương Pháp Hiệu Chỉnh Song Song Giải Hệ Toán Tử
Một hướng tiếp cận khác là các phương pháp hiệu chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực H với các toán tử ngược đơn điệu mạnh. Các phương pháp này nhằm xây dựng các thuật toán mà ở đó các bài toán thành phần có thể xử lý một cách đồng thời và độc lập. Luận án này đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Hilbert, mà tại mỗi bước của phương pháp ta có thể xử lý song song.
6.1. Ưu Điểm Của Phương Pháp Song Song
Các phương pháp này nhằm xây dựng các thuật toán mà ở đó các bài toán thành phần có thể xử lý một cách đồng thời và độc lập, tức là song song từ thuật toán. Trên thực tế khi xử lý các phương pháp tuần tự trên máy tính song song, người ta có thể tăng hiệu quả bằng việc song song trên từng bước tính toán. Cụ thể, tại mỗi bước của phương pháp, ta sẽ xử lý song song các ma trận xấp xỉ hữu hạn chiều rời rạc của bài toán ban đầu.
6.2. Điều Kiện Liên Tục Lipschitz Và Hội Tụ
Luận án của chúng tôi đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Hilbert, mà tại mỗi bước của phương pháp ta có thể xử lý song song. Đồng thời điều kiện liên tục Lipschitz chỉ cần đặt lên một toán tử của hệ khi nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra ví dụ so sánh hiệu quả đạt được so với phương pháp đề xuất trước đó (xem Phương pháp (3.17)).
