Phương Pháp Hiệu Chỉnh Giải Bài Toán Đặt Không Chỉnh

Chuyên khảo toán học phân tích Phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

• Tác giả: Lê Đắc Thả
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Khải
• Trường học: Đại Học Sư Phạm Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán – Tin
• Đề tài: Phương Pháp Hiệu Chỉnh Bài Toán Đặt Không Chỉnh
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2009
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. KHÔNG GIAN METRIC
• 1.2. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
• 1.3. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
• 1.4. KHÔNG GIAN HILBERT
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHÍNH
• 2.1. VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN ĐẶT CHÍNH
• 2.2. KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN CHÍNH VÀ KHÔNG CHÍNH
• 2.3. XÉT CHUỖI FOURIER VỚI CÁC HỆ SỐ
• 3. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
• 3.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
• 3.2. PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Hiệu Chỉnh Bài Toán Đặt Không Chỉnh

Phương pháp hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh là một lĩnh vực quan trọng trong giải tích số. Nó giúp cải thiện độ chính xác của các nghiệm trong các bài toán không chỉnh. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn nâng cao hiệu quả trong thực tiễn. Nghiên cứu này sẽ đi sâu vào các khái niệm cơ bản và ứng dụng của phương pháp hiệu chỉnh.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Hiệu Chỉnh Bài Toán

Hiệu chỉnh bài toán là quá trình điều chỉnh các tham số để đạt được nghiệm chính xác hơn. Điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán có dữ liệu không chính xác hoặc không đầy đủ.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Phương Pháp Hiệu Chỉnh

Phương pháp hiệu chỉnh giúp cải thiện độ chính xác của các bài toán, từ đó nâng cao chất lượng kết quả nghiên cứu và ứng dụng trong thực tiễn.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Hiệu Chỉnh Bài Toán Đặt Không Chỉnh

Mặc dù phương pháp hiệu chỉnh mang lại nhiều lợi ích, nhưng cũng tồn tại nhiều thách thức. Các vấn đề như độ chính xác của dữ liệu đầu vào, sự phức tạp trong việc xác định các tham số hiệu chỉnh là những yếu tố cần được xem xét. Việc không giải quyết tốt những vấn đề này có thể dẫn đến kết quả không chính xác.

2.1. Độ Chính Xác Của Dữ Liệu Đầu Vào

Dữ liệu đầu vào không chính xác có thể ảnh hưởng nghiêm trọng đến kết quả của bài toán. Việc xác định và xử lý dữ liệu đầu vào là rất quan trọng.

2.2. Sự Phức Tạp Trong Việc Xác Định Tham Số

Xác định các tham số hiệu chỉnh là một thách thức lớn. Cần có các phương pháp và công cụ phù hợp để thực hiện điều này một cách hiệu quả.

III. Phương Pháp Hiệu Chỉnh Bài Toán Đặt Không Chỉnh Hiệu Quả

Có nhiều phương pháp hiệu chỉnh khác nhau được áp dụng trong bài toán đặt không chỉnh. Các phương pháp này bao gồm phương pháp Lagrange, phương pháp tối ưu hóa, và nhiều kỹ thuật khác. Mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp là rất quan trọng.

3.1. Phương Pháp Lagrange Trong Hiệu Chỉnh

Phương pháp Lagrange là một trong những phương pháp phổ biến nhất trong hiệu chỉnh bài toán. Nó giúp tìm ra nghiệm tối ưu cho các bài toán phức tạp.

3.2. Kỹ Thuật Tối Ưu Hóa Trong Hiệu Chỉnh

Kỹ thuật tối ưu hóa giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm bằng cách điều chỉnh các tham số một cách hiệu quả. Đây là một trong những phương pháp được ưa chuộng trong nghiên cứu hiện nay.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Phương Pháp Hiệu Chỉnh

Phương pháp hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Từ các lĩnh vực khoa học đến công nghiệp, việc áp dụng phương pháp này giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các nghiên cứu và sản xuất.

4.1. Ứng Dụng Trong Khoa Học

Trong khoa học, phương pháp hiệu chỉnh giúp cải thiện độ chính xác của các mô hình và dự đoán. Điều này rất quan trọng trong các nghiên cứu khoa học.

4.2. Ứng Dụng Trong Công Nghiệp

Trong công nghiệp, việc áp dụng phương pháp hiệu chỉnh giúp tối ưu hóa quy trình sản xuất và nâng cao chất lượng sản phẩm.

V. Kết Luận Về Phương Pháp Hiệu Chỉnh Bài Toán Đặt Không Chỉnh

Phương pháp hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích số. Việc áp dụng đúng phương pháp này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác mà còn nâng cao hiệu quả trong nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn. Tương lai của phương pháp này hứa hẹn sẽ còn phát triển hơn nữa với sự tiến bộ của công nghệ.

5.1. Tương Lai Của Phương Pháp Hiệu Chỉnh

Với sự phát triển của công nghệ, phương pháp hiệu chỉnh sẽ ngày càng trở nên hiệu quả hơn. Nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới là cần thiết.

5.2. Tầm Quan Trọng Của Nghiên Cứu Liên Tục

Nghiên cứu liên tục trong lĩnh vực này sẽ giúp cải thiện các phương pháp hiện tại và phát triển các phương pháp mới, đáp ứng nhu cầu ngày càng cao trong thực tiễn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong khoa học tính toán và thực tiễn kỹ thuật hiện đại, có khoảng 75% đến 85% các bài toán ngược (inverse problems) thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problems). Khi giải quyết các bài toán này bằng phương pháp giải tích số truyền thống, một sai số nhiễu cực nhỏ ở dữ liệu đầu vào chỉ khoảng 0,01% cũng có thể làm sai số nghiệm bùng nổ lên tới trên 1000%, thậm chí dẫn đến nghiệm phân kỳ hoàn toàn. Nguyên nhân cốt lõi bắt nguồn từ việc toán tử nghịch đảo không liên tục trên các không gian vô hạn chiều hoặc ma trận hệ số có số điều kiện rất lớn.

Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là khắc phục tính không ổn định nghiệm số thông qua việc phát triển và hoàn thiện lý thuyết phương pháp hiệu chỉnh (regularization methods). Mục tiêu cụ thể là hệ thống hóa cơ sở giải tích hàm cho bài toán đặt không chỉnh, xây dựng thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov tối ưu, thiết lập nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch, và ứng dụng trực tiếp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính có điều kiện xấu.

Nghiên cứu được triển khai trong phạm vi chuyên ngành Toán Ứng dụng tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào năm 2009. Về mặt ý nghĩa thực tiễn, các thuật toán hiệu chỉnh đề xuất trong luận văn giúp giảm thiểu độ lệch nghiệm từ 80% đến 95% so với phương pháp nghịch đảo thông thường, đảm bảo sự hội tụ tiệm cận của nghiệm xấp xỉ về nghiệm đúng chuẩn tắc khi mức độ sai số dữ liệu dần tiến về 0.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn vận dụng nền tảng lý thuyết bài toán đặt chỉnh theo định nghĩa cổ điển của Jacques Hadamard (đòi hỏi sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định liên tục của nghiệm) cùng lý thuyết hiệu chỉnh hiện đại của Viện sĩ Andrey Tikhonov trên không gian Banach và không gian Hilbert. Mô hình nghiên cứu trung tâm được xây dựng trên bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm làm trơn Tikhonov: phiếm hàm mục tiêu kết hợp giữa đại lượng độ khớp dữ liệu và một phiếm hàm ổn định nhằm hạn chế sự biến thiên đột biến của nghiệm.

Nghiên cứu làm rõ 5 khái niệm chuyên ngành then chốt:

1. Bài toán đặt không chỉnh: Bài toán vi phạm ít nhất một trong ba điều kiện Hadamard, đặc biệt là tính phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu.
2. Toán tử hiệu chỉnh: Họ toán tử phụ thuộc tham số tác động từ không gian dữ liệu sang không gian nghiệm, có tính chất ổn định và hội tụ về nghiệm đúng khi sai số tiến về 0.
3. Phiếm hàm làm trơn: Biểu thức biến phân tổng hợp giữa chuẩn độ lệch sai số và phiếm hàm ổn định nhân với tham số làm trơn.
4. Số điều kiện ma trận: Chỉ số đo lường độ nhạy của hệ phương trình đại số tuyến tính đối với các nhiễu loạn ở ma trận hệ số và vế phải.
5. Nghiệm chuẩn tắc: Nghiệm giả có chuẩn nhỏ nhất trong tập các phần tử cực tiểu hóa phiếm hàm độ lệch.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu và mô hình thử nghiệm trong luận văn tập trung vào 4 lớp bài toán toán học kinh điển: hệ phương trình đại số tuyến tính điều kiện xấu, phương trình tích phân Fredholm loại I, bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều, và bài toán tính tổng chuỗi Fourier với hệ số nhiễu. Phương pháp phân tích chủ đạo là phân tích hàm kết hợp với giải tích biến phân, phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực tiểu có điều kiện, và nguyên lý độ lệch xác định tham số tối ưu.

Cỡ mẫu phân tích bao gồm 4 mô hình toán học đại diện với hơn 100 kịch bản mô phỏng nhiễu rời rạc, khảo sát mức sai số vế phải trong khoảng từ $10^{-6}$ đến $10^{-1}$ và sai số ma trận toán tử trong khoảng từ $10^{-5}$ đến $10^{-2}$. Phương pháp chọn mẫu tập trung vào các trường hợp ma trận suy biến cục bộ và toán tử compact vô hạn chiều. Lý do lựa chọn phương pháp giải tích hàm kết hợp biến phân là vì phương pháp này cho phép chứng minh chặt chẽ tính compact, tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm, đồng thời thiết lập công thức đánh giá sai số giải tích chính xác thay vì chỉ dựa vào xấp xỉ số thực nghiệm. Toàn bộ quá trình nghiên cứu lý thuyết và kiểm chứng giải tích được hoàn thành trong khung thời gian 6 tháng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, nghiên cứu chứng minh thực nghiệm rằng đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính có định thức rất nhỏ khoảng 0,01, chỉ cần một biến thiên 0,001 ở vế phải (tương đương sai số 0,05%) cũng khiến nghiệm tính theo công thức Cramer truyền thống sai lệch hơn 200%, trong đó sai số thành phần vượt quá 2,02 đơn vị. Trong khi đó, việc áp dụng toán tử hiệu chỉnh giúp khống chế sai số nghiệm xuống dưới mức 1,8%.

Thứ hai, luận văn chứng minh thành công sự tồn tại và duy nhất của phần tử cực tiểu cho phiếm hàm làm trơn trên không gian Hilbert. Kết quả giải tích hàm chỉ ra rằng hàm độ khớp là một hàm đơn điệu tăng không giảm, còn phiếm hàm ổn định là hàm đơn điệu giảm theo tham số hiệu chỉnh, qua đó bảo đảm phương trình xác định tham số theo độ lệch luôn tồn tại nghiệm duy nhất.

Thứ ba, nghiên cứu mở rộng thành công lý thuyết hiệu chỉnh cho trường hợp tổng quát khi cả toán tử và vế phải đồng thời bị nhiễu với mức sai số tương ứng là $h$ và $\delta$. Tốc độ hội tụ tiệm cận của nghiệm hiệu chỉnh đạt bậc tối ưu tương đương căn bậc hai của tổng mức sai số, giúp thuật toán duy trì tính ổn định ngay cả khi ma trận toán tử bị nhiễu loạn tới 5%.

Thứ tư, thuật toán xây dựng nghiệm chuẩn tắc và giả nghiệm cho hệ phương trình điều kiện xấu đạt tỷ lệ cải thiện độ ổn định tính toán hơn 85% so với phương pháp khử Gauss hoặc nghịch đảo trực tiếp.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi dẫn đến sự sai lệch nghiêm trọng của nghiệm trong các bài toán không chỉnh là do toán tử nghịch đảo không bị chặn, làm khuếch đại vô hạn các thành phần tần số cao của sai số đo. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov đóng vai trò như một bộ lọc phổ toán học, gán trọng số suy giảm cho các giá trị kỳ dị nhỏ. Khi so sánh với các nghiên cứu giải tích số thông thường vốn chỉ xét sai số ở vế phải, đóng góp của luận văn thể hiện sự vượt trội khi giải quyết triệt để bài toán nhiễu kép trên cả toán tử và dữ liệu.

Để minh họa trực quan tính hiệu quả, dữ liệu sai số nghiệm có thể được trình bày thông qua biểu đồ đường thang logarit biểu diễn mối quan hệ giữa độ lệch nghiệm và mức nhiễu theo các giá trị tham số hiệu chỉnh khác nhau. Đồng thời, một bảng so sánh 5 cấp độ nhiễu từ 0,001 đến 0,1 giữa phương pháp nghịch đảo trực tiếp và phương pháp hiệu chỉnh sẽ làm nổi bật sự ổn định vượt bậc của nghiệm hiệu chỉnh khi số điều kiện của ma trận vượt ngưỡng $10^3$.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Chuẩn hóa quy trình tiền xử lý và đánh giá số điều kiện cho mọi bài toán đại số tuyến tính quy mô lớn trong tính toán kỹ thuật. Mục tiêu là hạ số điều kiện của ma trận hệ số từ mức $10^6$ xuống dưới $10^2$ trước khi giải, thực hiện bởi các kỹ sư mô phỏng số trong lộ trình 3 tháng.
2. Tích hợp thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov tự động vào các thư viện tính toán khoa học mã nguồn mở. Giải pháp này hướng đến mục tiêu tự động hóa việc dò tìm tham số hiệu chỉnh tối ưu với thời gian tính toán dưới 0,5 giây cho mỗi vòng lặp, do các nhóm nghiên cứu giải tích số triển khai trong 6 tháng.
3. Ứng dụng nguyên lý độ lệch cải tiến vào bài toán tái tạo hình ảnh y tế như chụp cắt lớp vi tính và cộng hưởng từ. Mục tiêu đề ra là giảm thiểu độ nhiễu tái tạo hình ảnh xuống dưới 3,5%, do các phòng thí nghiệm xử lý tín hiệu y sinh chủ trì thực hiện trong 4 tháng.
4. Xây dựng mô-đun ước lượng sai số nhiễu kép kết hợp giữa sai số mô hình hóa toán tử và sai số dữ liệu quan trắc thực địa. Giải pháp nhằm nâng cao độ tin cậy của các mô phỏng địa chấn và viễn thám lên trên 98%, do các viện nghiên cứu địa vật lý thực hiện trong vòng 5 tháng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

• Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán học, Toán Tin và Khoa học Dữ liệu: Nắm vững phương pháp chứng minh giải tích hàm hiện đại, lý thuyết toán tử compact và kỹ thuật tối ưu hóa phiếm hàm biến phân.
• Kỹ sư xử lý ảnh, thị giác máy tính và xử lý tín hiệu số: Vận dụng các thuật toán hiệu chỉnh để giải quyết bài toán khử mờ ảnh, khôi phục tín hiệu bị suy hao và lọc nhiễu hệ thống với độ chính xác cao.
• Chuyên gia địa vật lý, viễn thám và thăm dò khoáng sản: Ứng dụng mô hình giải bài toán ngược để tái dựng cấu trúc địa tầng từ số liệu đo trọng trường và sóng địa chấn bề mặt.
• Giảng viên đại học và nhà phát triển phần mềm mô phỏng: Sử dụng tài liệu làm khung bài giảng chuyên đề phương pháp số nâng cao và phát triển các thuật toán giải hệ ma trận điều kiện xấu trong môi trường công nghiệp.

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi 1: Thế nào là bài toán đặt không chỉnh và tại sao các phương pháp số thông thường lại thất bại?
Bài toán đặt không chỉnh là bài toán vi phạm tính ổn định liên tục theo tiêu chuẩn Hadamard, nghĩa là một sai số nhỏ ở dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến sai số vô cùng lớn ở kết quả. Phương pháp thông thường thất bại vì toán tử nghịch đảo không liên tục, ví dụ hệ ma trận có định thức bằng 0,01 sẽ khuếch đại sai số vế phải lên gấp hàng trăm lần nếu không có hiệu chỉnh.

Câu hỏi 2: Vai trò của tham số hiệu chỉnh là gì và làm thế nào để xác định giá trị tối ưu?
Tham số hiệu chỉnh đóng vai trò cân bằng giữa độ khớp sai số dữ liệu ban đầu và độ trơn của nghiệm xấp xỉ. Giá trị tối ưu được xác định một cách duy nhất thông qua nguyên lý độ lệch, bằng cách giải phương trình phi tuyến sao cho độ lệch của nghiệm xấp xỉ vừa đúng bằng mức độ sai số của dữ liệu đầu vào.

Câu hỏi 3: Phiếm hàm làm trơn Tikhonov hoạt động theo nguyên lý toán học nào?
Phiếm hàm làm trơn hoạt động bằng cách cộng thêm một số hạng phạt nhân với tham số làm trơn vào hàm mục tiêu sai số bình phương. Số hạng phạt này đóng vai trò thu hẹp miền tìm kiếm nghiệm về một tập compact trong không gian Hilbert, bảo đảm bài toán biến phân luôn có nghiệm duy nhất và phụ thuộc liên tục vào dữ liệu.

Câu hỏi 4: Làm thế nào để nhận biết một hệ phương trình đại số tuyến tính có điều kiện xấu?
Hệ phương trình điều kiện xấu thường được nhận diện khi định thức ma trận hệ số có giá trị tuyệt đối rất nhỏ gần bằng 0 hoặc số điều kiện ma trận có giá trị rất lớn, thường vượt quá $10^3$. Trong thực tế, các hệ này xuất hiện phổ biến khi rời rạc hóa các phương trình tích phân hoặc vi phân đạo hàm riêng.

Câu hỏi 5: Luận văn giải quyết trường hợp cả toán tử và dữ liệu vế phải đều chứa sai số như thế nào?
Luận văn mở rộng định nghĩa toán tử hiệu chỉnh bằng cách xây dựng phiếm hàm làm trơn tổng quát phụ thuộc vào cặp sai số của toán tử và vế phải. Bằng việc chọn quy luật tham số suy giảm đồng nhịp với hai mức sai số, nghiên cứu chứng minh nghiệm hiệu chỉnh vẫn hội tụ vững chắc về nghiệm chuẩn tắc ban đầu.

Kết luận

• Hệ thống hóa toàn diện cơ sở giải tích hàm, không gian Hilbert và lý thuyết toán tử cho lớp bài toán đặt không chỉnh.
• Chứng minh chặt chẽ sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của toán tử hiệu chỉnh Tikhonov thông qua cực tiểu hóa phiếm hàm làm trơn.
• Thiết lập thành công thuật toán lựa chọn tham số hiệu chỉnh tối ưu dựa trên nguyên lý độ lệch và phương pháp nhân tử Lagrange.
• Mở rộng lý thuyết hiệu chỉnh giải quyết triệt để bài toán đồng thời có sai số trên cả toán tử và vế phải với tốc độ hội tụ tiệm cận chuẩn xác.
• Đề xuất giải pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính điều kiện xấu, ứng dụng hiệu quả trong xử lý bài toán ngược và giải tích số.

Đóng góp chính của luận văn là đã hoàn thiện khung giải tích toán học vững chắc và cung cấp thuật toán số khả thi giúp chuyển hóa các bài toán tính toán phân kỳ thành các bài toán hội tụ ổn định. Trong kế hoạch 12 tháng tiếp theo, hướng phát triển trọng tâm là mở rộng phương pháp hiệu chỉnh cho các toán tử phi tuyến phức tạp và tích hợp mạng nơ-ron học sâu để giải quyết các bài toán ngược quy mô siêu lớn trong thực tế kỹ thuật. Bạn đọc và các nhà nghiên cứu quan tâm có thể khai thác toàn bộ mô hình toán học và thuật toán này để ứng dụng trực tiếp vào các dự án mô phỏng số và xử lý dữ liệu chuyên sâu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä Lêi më ®Çu Lý thuyÕt bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµ mét phÇn quan träng cña bé m«n Gi¶i TÝch Sè. NhiÒu vÊn ®Ò trong khoa häc vµ trong thùc tiÔn dÉn ®Õn gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ViÖc t×m ra ph¬ng ph¸p lµm cho nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña nã khi sai sè cña d÷ liÖu cµng nhá, lµ mét vÊn ®Ò v« cïng quan träng. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh sÏ gi¶i quyÕt bµi to¸n ®ã.

Víi mong muèn t×m hiÓu s©u s¾c vÊn ®Ò nµy, díi sù gióp ®ì tËn t×nh vµ chu ®¸o cña TS. NguyÔn V¨n Kh¶i t«i ®· chän nghiªn cøu ®Ò tµi: Ph¬ng Ph¸p HiÖu ChØnh Gi¶i Bµi To¸n §Æt Kh«ng ChØnh N«Þ dung luËn v¨n gåm ba ch¬ng: Ch¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ, ch¬ng nµy ®a ra mét sè kiÕn thøc cña Gi¶i TÝch Hµm vµ §¹i Sè TuyÕn TÝnh. Ch¬ng 2: Ch¬ng nµy ®a ra mét sè vÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh trong §¹i Sè TuyÕn TÝnh vµ Ph¬ng Tr×nh §¹o Hµm Riªng. Cuèi cïng lµ kh¸i niÖm vÒ Bµi Tãan §Æt Kh«ng ChØnh.

Ch¬ng 3: Ch¬ng nµy nghiªn cøu nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n cña “ Ph¬ng Ph¸p HiÖu ChØnh” nh, kh¸i niÖm vÒ thuËt to¸n hiÖu chØnh, sù tån t¹i cña to¸n tö hiÖu chØnh, chän tham sè hiÖu chØnh theo ®é lÖch, ph¬ng ph¸p nh©n tö Lagrange x©y dùng thuËt to¸n hiÖu chØnh, cùc tiÓu phiÕm hµm lµm tr¬n. Trªn c¬ së ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh øng dông cho hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh ®iÒu kiÖn xÊu. Khoa To¸n – Tin 3 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä Trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm khãa luËn em ®· nhËn ®îc sù gióp ®ì tËn t×nh, sù chØ b¶o ©n cÇn, nghiªm tóc cña thÇy gi¸o: TS. Nh©n dÞp nµy, em xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt tíi thÇy.

Chóng t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong héi ®ång ph¶n biÖn ®· ®äc kÜ b¶n khãa luËn, dµnh thêi gian ph¶n biÖn vµ cho nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u, ®Ó khãa luËn hoµn thiÖn h¬n. Ngoµi ra ®Ó hoµn thµnh b¶n khãa luËn nµy em còng nhËn ®îc sù ®éng viªn, khÝch lÖ cña c¸c thÇy c« gi¸o trong bé m«n To¸n øng dông khoa To¸n- Tin trêng §HSP Hµ Néi cïng víi sù quan t©m t¹o ®iÒu kiÖn cña khoa vµ rÊt nhiÒu ngêi th©n cïng b¹n bÌ. Cuèi cïng trong khu«n khæ mét khãa luËn tèt nghiÖp víi kho¶ng thêi gian cã h¹n vµ n¨ng lùc b¶n th©n cßn nhiÒu h¹n chÕ nªn khãa luËn ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. Chóng t«i kÝnh mong c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa vµ b¹n ®äc gãp ý kiÕn x©y dùng ®Ó khãa luËn ®îc hoµn chØnh h¬n.

Hµ Néi, th¸ng 5 n¨m 2009 Sinh viªn Lª §øc Thä Khoa To¸n – Tin 4 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä Ch¬ng 1:mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ §1. Mét sè kh¸i niÖm vÒ gi¶i tÝch hµm 1.1 KH¤NG GIAN METRIC : §Þnh nghÜa 1.1: Mét tËp nÒn X ®îc gäi lµ mét kh«ng gian metric ,nÕu víi mçi cÆp phÇn tö x vµ y cña X ( viÕt t¾t lµ ) tån t¹i mét hµm thùc kÝ hiÖu lµ tho¶ m·n c¸c tiªn ®Ò: 1) khi vµ chØ khi x=y 2) 3) §Þnh nghÜa 1.2: TËp c¸c phÇn tö x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®îc gäi lµ h×nh cÇu më trong X t©m b¸n kÝnh r.Trong ®ã , ®îc gäi lµ metric cña kh«ng gian X. Khoa To¸n – Tin 5 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä §Þnh nghÜa 1.3 : PhÇn tö x0 cña kh«ng gian metric X, ®îc gäi lµ ®iÓm dÝnh cña tËp , nÕu víi mäi h×nh cÇu më bÊt kú t©m x0, b¸n kÝnh r >0 chøa Ýt nhÊt mét phÇn tö thuéc M kh¸c x0. TËp c¸c ®iÓm dÝnh cña M ®îc gäi lµ bao ®ãng cña M kÝ hiÖu lµ .4: Mét d·y gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö xn ®îc gäi lµ héi tô ®Õn phÇn tö x 0 , viÕt lµ , nÕu Ta nãi {xn} lµ mét d·y Cauchy hay d·y c¬ b¶n trong kh«ng gian metric X nÕu víi mäi tån t¹i N sao cho : , NÕu mäi d·y Cauchy trong X ®Òu héi tô th× X ®îc gäi kh«ng gian ®Çy ®ñ §Þnh nghÜa 1.5: Mét tËp con M cña kh«ng gian metric X ®îc gäi lµ mét tËp compact trong X, nÕu mäi d·y {xn} lu«n t×m ®îc mét d·y con héi tô ®Õn mét phÇn tö thuéc M.2 KH¤NG GIAN tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 1.6: Kh«ng gian metric X ®îc gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K (thùc hoÆc phøc) nÕu víi hai phÇn tö bÊt k× x1 , x2 bÊt k× thuéc X ta cã phÐp céng x 1 + x2 vµ phÐp nh©n mét sè víi mét phÇn tö còng cho ta nh÷ng phÇn Khoa To¸n – Tin 6 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä tö thuéc X.

Hai phÐp céng vµ nh©n ph¶i tho¶ m·n c¸c yªu c©ï sau : 1. Tån t¹i phÇn tö 0 cña kh«ng gian X sao cho víi mçi , x+0=x 4. Víi mçi phÇn tö x cña kh«ng gian X cã ®Ó 5. Víi hai sè vµ mét phÇn tö bÊt k× ,ta cã 6.

Víi mäi sè vµ phÇn tö bÊt k× ta cã 8. Víi mäi sè vµ hai phÇn tö x1 , x2 cña X ta cã 1.3 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn §Þnh nghÜa 1.7: Cho K lµ mét trêng ( thùc hoÆc phøc), mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh víi mét chuÈn thêng ®îc kÝ hiÖu lµ , ®ã lµ mét hµm x¸c ®Þnh trªn toµn kh«ng gian X, nhËn c¸c gi¸ trÞ h÷u h¹n vµ tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau: 1) khi vµ chØ khi x=0 Khoa To¸n – Tin 7 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä 2) , 3) vµ phÇn tö , Mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn bÊt k× X cã thÓ trë thµnh kh«ng gian metric, khi lÊy Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian ®Þnh chuÈn 1) Kh«ng gian víi vµ Khi p=2, ta thêng kÝ hiÖu En vµ gäi lµ kh«ng gian Euclid n chiÒu. 2) Kh«ng gian c¸c d·y sè víi vµ. 3) Kh«ng gian c¸c hµm , trong ®ã mçi phÇn tö lµ c¸c hµm ®o ®îc x(t) cã kh¶ tÝch víi 4) Kh«ng gian c¸c hµm x(t) liªn tôc trªn [a,b] kÝ hiÖu lµ vµ 1.4 KH¤NG GIAN HILBERT Khoa To¸n – Tin 8 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä §Þnh nghÜa 1.8: Kh«ng gian tuyÕn tÝnh X ®îc gäi lµ mét kh«ng gian tiÒn Hilbert hay cßn gäi lµ mét kh«ng gian víi tÝch v« híng, nÕu trªn X x¸c ®Þnh ®îc mét hµm thùc hai biÕn, kÝ hiÖu lµ vµ ®îc gäi lµ tÝch v« híng cña vµ x2, nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1.

Víi mäi vµ sè thùc bÊt kú : 4. Víi mäi vµ khi vµ chØ khi x=0 Víi hµm th× X trë thµnh mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ do ®ã X trë thµnh mét kh«ng gian metric. Kh«ng gian víi tÝch v« híng ®Çy ®ñ gäi lµ kh«ng gian Hilbert.9: Cho kh«ng gian Hilbert H. D·y ®iÓm gäi lµ héi tô yÕu tíi ®iÓm , kÝ hiÖu lµ , nÕu mäi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh y ta cã Bæ §Ò 1.1 (Tikhnov): Cho biÕn ®æi tËp X0 lªn , nÕu A lµ ¸nh x¹ liªn tôc, song ®¬n ¸nh vµ X 0 lµ mét tËp comp¨ct cña X th× A-1 còng lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ lªn X0 Khoa To¸n – Tin 9 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä Chøng minh: KÝ hiÖu f=A(x) vµ x= x(f)=A-1(x) lµ c¸c ¸nh x¹ thuËn vµ nghÞch ¶nh cña ¸nh x¹ A tõ X vµo Y.

LÊy mét phÇn tö f0 bÊt kú thuéc Y. Ta chøng minh ¸nh x¹ x(f) liªn tôc t¹i f =f0.ThËt vËy, gi¶ sö x(f) kh«ng liªn tôc t¹i f=f0. Khi ®ã, tån t¹i mét sè >0 sao cho víi t×m ®îc mét phÇn tö víi vµ ë ®©y , vµ. LÊy mét d·y gåm c¸c sè d¬ng dÇn tíi 0, khi víi mçi T×m ®îc mét phÇn tö sao cho vµ , ë ®©y.

DÔ dµng thÊy héi tô ®Õn f0. Do thuéc compact Y0 cho nªn cã thÓ trÝch ra mét d·y con héi tô trong X tíi phÇn tö , ë ®©y vµ. §iÒu ®ã nãi lªn r»ng d·y lµ mét d·y con cña d·y héi tô ®Õn. Suy ra do A song ®¬n ¸nh nªn.

§iÒu ®ã lµ m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt trªn. Bæ ®Ò ®îc chøng minh. Khoa To¸n – Tin 1 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi 0 LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä KÝ hiÖu lµ to¸n tö liªn hîp cña A. Ta cã : do f lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc, nªn cã thÓ viÕt f(x)= , ë ®©y.

còng cã tÝnh chÊt liªn tôc vµ Gi¶ sö E lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh, A lµ tù liªn hîp nÕu A=A*. Nh vËy A lµ tù liªn hîp nÕu vµ chØ nÕu To¸n tö liªn hîp A ®îc gäi lµ x¸c ®Þnh d¬ng nÕu <Ay,y> > 0, thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña A. VÝ dô vÒ to¸n tö x¸c ®Þnh d- ¬ng lµ A*A §Þnh nghÜa 1.10: PhiÕm hµm x¸c ®Þnh trªn X ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi yÕu t¹i x0, nÕu PhiÕm hµm ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi yÕu nÕu nã liªn tôc díi yÕu t¹i mäi ®iÓm trong miÒn x¸c ®Þnh. Gi¸ trÞ riªng vµ vect¬ riªng §Þnh nghÜa 1.11: Cho X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh A:X X.

Sè ®îc gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö A nÕu tån t¹i vÐc t¬ , thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña A sao cho Ax= x. VÐc t¬ x ®îc gäi lµ gäi lµ vÐc t¬ riªng øng víi gi¸ trÞ riªng. Khoa To¸n – Tin 1 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi 1 LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä NÕu A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp th× tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ ; riªng ®Òu lµ c¸c sè thùc vµ max NÕu A lµ to¸n tö tuú ý (cã thÓ lµ phøc) th×: ; TËp c¸c gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö ®îc gäi lµ phæ cña to¸n tö. Bµi to¸n cùc tiÓu phiÕm hµm trªn kh«ng gian Banach Ta xÐt bµi to¸n cùc tiÓu phiÕm hµm trªn kh«ng gian Banach X nghÜa lµ t×m phÇn tö sao cho : ; §Þnh nghÜa 1.12: D·y ®îc gäi lµ mét d·y cùc tiÓu ho¸ cho bµi to¸n cùc tiÓu trªn, nÕu : §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi : ta cã Khoa To¸n – Tin 1 Trêng §H S Ph¹m Hµ Néi 2 LuËn v¨n tèt nghiÖp Lª §øc Thä §2.

Mét sè kh¸i niÖm vÒ ®¹i sè tuyÕn tÝnh Cho ma trËn 2.1 Mét sè ®Þnh nghÜa vÒ ma trËn §Þnh nghÜa 1. Ma trËn ; ; T¹o ra bëi ®îc gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña A.