I. Một số kiến thức bổ trợ
Chương này cung cấp các kiến thức nền tảng cần thiết cho việc nghiên cứu bài toán cân bằng. Các khái niệm như sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert, phép chiếu lên tập lồi đóng, và tính liên tục của hàm lồi được trình bày rõ ràng. Những kiến thức này không chỉ giúp người đọc hiểu rõ hơn về các phương pháp hiệu chỉnh mà còn tạo cơ sở cho việc áp dụng chúng vào các bài toán thực tế. Đặc biệt, sự hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu và bất đẳng thức biến phân, giúp xác định tính ổn định của nghiệm trong các bài toán đặt không chỉnh. Việc nắm vững các định lý tách tập lồi cũng là điều cần thiết để áp dụng vào các phương pháp giải bài toán cân bằng.
1.1 Sự hội tụ yếu trên không gian Hilbert
Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert là một khái niệm quan trọng trong phân tích toán học. Nó cho phép xác định tính chất của các dãy số trong không gian Hilbert mà không cần yêu cầu sự hội tụ mạnh. Điều này rất hữu ích trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân, nơi mà các nghiệm có thể không tồn tại hoặc không duy nhất. Việc hiểu rõ về sự hội tụ yếu giúp các nhà nghiên cứu có thể áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh một cách hiệu quả hơn, đặc biệt là trong các bài toán đặt không chỉnh. Các định lý liên quan đến sự hội tụ yếu cũng được trình bày, giúp người đọc có cái nhìn tổng quan về ứng dụng của nó trong lý thuyết toán học.
II. Sự tồn tại nghiệm và một số cách tiếp cận giải bài toán cân bằng
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng (BTCB) và các phương pháp tiếp cận để giải quyết nó. BTCB là một bài toán quan trọng trong lý thuyết trò chơi và tối ưu, với nhiều ứng dụng thực tiễn. Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng, BTCB có thể được mô tả dưới dạng các bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân. Việc xác định sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề cốt lõi trong nghiên cứu này. Các phương pháp như phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được giới thiệu như là những công cụ hữu ích để giải quyết BTCB. Những kết quả đạt được từ các phương pháp này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng vào các bài toán thực tế trong kinh tế và kỹ thuật.
2.1 Bài toán cân bằng BTCB và các trường hợp riêng
Bài toán cân bằng (BTCB) được định nghĩa là tìm một điểm x trong tập K sao cho hàm f(x, y) ≥ 0 với mọi y trong K. BTCB có nhiều trường hợp riêng, mỗi trường hợp lại có những đặc điểm và phương pháp giải khác nhau. Việc phân loại các trường hợp này giúp các nhà nghiên cứu có thể áp dụng các phương pháp giải phù hợp. Các ví dụ cụ thể về BTCB trong lý thuyết trò chơi và tối ưu được đưa ra, minh họa cho tính ứng dụng của bài toán này trong thực tế. Sự tồn tại nghiệm của BTCB cũng được thảo luận, nhấn mạnh tầm quan trọng của các điều kiện cần thiết để đảm bảo nghiệm tồn tại.
III. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng trong không gian Euclide
Chương này trình bày chi tiết về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, một trong những phương pháp quan trọng trong việc giải bài toán cân bằng. Phương pháp này được áp dụng để xử lý các bài toán đặt không chỉnh, giúp đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Nội dung chính của chương bao gồm việc xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử trong không gian Hilbert. Các kết quả đạt được từ phương pháp này cho thấy rằng, dãy nghiệm thu được từ bài toán hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm của bài toán gốc khi tham số hiệu chỉnh dần tiến tới một giá trị nhất định. Điều này chứng tỏ tính hiệu quả của phương pháp Tikhonov trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
3.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Bài toán đặt không chỉnh thường gặp trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được sử dụng để xử lý các bài toán này bằng cách thêm vào một toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số. Điều này giúp đảm bảo rằng bài toán hiệu chỉnh có nghiệm duy nhất, từ đó dãy nghiệm thu được sẽ hội tụ về nghiệm của bài toán gốc. Các điều kiện cần thiết để áp dụng phương pháp này cũng được thảo luận, cùng với các ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của nó trong thực tế.
IV. Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề xấp xỉ cho bài toán cân bằng trong không gian Hilbert
Chương này nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề trong không gian Hilbert. Các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết bài toán cân bằng mà còn mở rộng ứng dụng của chúng vào các bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Việc áp dụng các phương pháp này cho thấy rằng, bất kỳ dãy nghiệm nào của bài toán hiệu chỉnh cũng hội tụ về nghiệm của bài toán gốc. Điều này chứng tỏ tính ổn định và hiệu quả của các phương pháp này trong việc giải quyết các bài toán thực tế phức tạp.
4.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ được áp dụng để giải quyết các bài toán cân bằng giả đơn điệu trong không gian Hilbert. Phương pháp này cho phép xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán gốc, từ đó đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Các kết quả đạt được từ phương pháp này cho thấy rằng, dãy nghiệm thu được từ bài toán hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm của bài toán gốc, điều này rất quan trọng trong việc xử lý các bài toán thực tế có tính không chắc chắn cao.
