CHƯƠNG 1 DÃY SỐ Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số, đó là các định nghĩa, định lý và một số dãy số đặc biệt. Những kiến thức này em xem và trình bay lại trong [1], [2].1 Dinh nghĩa và các định lý cơ ban Định nghĩa 1. Dãy số là một hàm số từ Ñ* (hoặc Ñ) vào một tập hợp số (Ñ,Q,R,C) hay một tập con nào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy số thường được kí hiệu là ứ„, vn, nr, Yn thay vi u(n), v(n), a(n), y(n).
Ban than day số được kí hiệu là {z„}. Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính chất của một hàm số. Day sé {un} dude gọi là dãy số tăng (giảm) nếu với mọi n ta CÓ „x1 > 0z(0a‡i < 0a). Dãy số tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy số {u„} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tai s6 thuc M sao cho với mọi m€ Ñ ta có uạ < M. Dãy số {u„} được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi m= € Ñ ta có uy > mm. Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. Day {u„} được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương ¡ sao cho tai =Uạ, Vn€cÑ, (1.1) 5 Số nguyên dương ¡ nhỏ nhất để dãy {u„} thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Dãy {u„} được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương / sao cho Unt =—Un, Vn EN.2) Số nguyên dương / nhé nhat để dãy {u„} thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Chứng minh rằng dãy số {ø„} tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng 1 ẤN. Giả sử uạ = b,ui = a. Theo giả thiết, dãy số {u„} tuần hoàn chu kỳ 2 nên ta co Un42 = Un, Wn EN.
- Néun = 2k +1 thi up = 0a, = a = 5[a+b+ (a — b)(-1)?**?]. - Nếu n = 2k thi un = ug = b = da +b + (a — b)(-1)7** 4). Vay Un = gia +b+ (a—)(-1)"*], neN. Ngược lại, nếu z„ có dạng [a+ b+(a—)(-1)""4, abe R, neN 2| — Un = thì với moi n € N ta có [a+ b+ (a—b)(-1)"*4] = un.
NLR 1 : Un+2 = sia +b+(a—b)(—1"*!J= Suy ra œ„ là dãy tuần hoàn chu kỳ 2. Chứng minh rằng mọi dãy số {u„} phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ r đều có dạng 1 as Un = 5 (em —Untr) VOi Upper = Un. Ta C6 unsr = —uạ với Vn 6 Ñ và oạ là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2z. Chon wn = 0„, ta có 1 1 1 glen — Un-+r) = 2(tn — Untr) = g (un + Un) = Un- Ngược lại, ta thấy mọi dãy xác định theo (1.3) đều là dãy phản tuần hoàn chu ky r.
That vay Untr = 3 (Untr — Đn+2r) = (ne — Un) = —Un- Ta có điều phải chứng minh. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng. Dãy {u„} được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho Usn = Un, Vn EN.4) Số nguyên dương s nhỏ nhất dé day {u„} thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Day {un} được gọi là một dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho Usn =—Un, Vn EN.5) Số nguyên dương s nhỏ nhất dé day {u„} thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Chứng minh rằng dãy {z„} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng „— } tn tùy ý với ø lẻ, T | mài với n=2™(2k +1), mEN*, KEN. Nhận thấy với mọi ø e Ñ đều có thể viết dudi dang n = 2°(2k + 1), với mọi s €Ñ. Do đó Un = Ugs(2k+1) = U2k+1- Vi vay ud & tùy ý với n le, „ 2-1 v6i n= 2"(2k +1), mE N*, KEN. Ngược lại, dễ thấy {u„} xác định như trên là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
Chứng minh rằng day {u,} phan tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng œ„ tùy ý với n lẻ, tạ =Ệ —uagyi VỚI n= 22"†T!(2k+ |), mœcÑ", keNÑ, 21:1 véin =2?™(2k +1), me N*, keNÑ. Nhận thấy với mọi ø e Ñ đều có thể viết dưới dạng ø = 2°(2k + 1), với mọi s €Ñ. Do đó uạ,¿¡ nếu s=2m, mc€cÑ*, Un = Uys = : ” 2°(2k+1) { —Ugr41 neu s=2m+1, me N*. Vi vay œ„ tùy ý với n lẻ, tạ =Ệ —uagyi VỚI n= 22"†T!(2k+ |), mœcÑ", keNÑ, 21:1 với n = 2'"(2k+ 1), acÑ*, KEN.
Ngược lại, dễ thấy {ø„} xác định như trên là dãy phản tuần hoàn nhãn tính chu kỳ 2. i) Day phản tuần hoàn chu kỳ ¡ là dãy tuần hoàn chu kỳ 21. ii) Day phan tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3, Định nghĩa 1. Ta nói dãy số {z„} có giới hạn hữu hạn a khi ø dần đến vô cùng nếu với mọi e > 0, tồn tại một số tự nhién No (phụ thuộc vào dãy SỐ #„ VÀ e) sao cho với mọi > Ảo ta có |#a — a| < e.
lim ¢,=a@e>0, INEN: Vn>No, |zn — a| <e. n—++oo Ta nói dãy số {z„} dần đến vô cùng khi ø dần đến vô cùng nếu với mọi số thực dương A⁄ lớn tùy ý, tồn tại một số tự nhién No (phụ thuộc vào dãy SỐ tn va M) sao cho với mọi > Áo ta có |#»| > M. lim #„ = +oo © Ví >0,3No€Ñ:Vn > Ao,|#a| >M. T>+O© Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ.
Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi » dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ. Nếu {z„}, {ø„} là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a,b thì các dãy số {#„-+ 0a}, {#„— 9a}, {#nana} và {=\ cũng hội tụ và có giới han tuong ting a+b, a—b, a. Cho dãy số {z„} có giới hạn hữu hạn !, nếu 3Nọ Ee N: Vn > Ñg ta có a < z„ < b thì <1<b. Cho ba dãy số {z„}, {yz}, {z„} trong đó z„ và z„ cé cting gidi han hitu han a va No Ee N: Vn > No ta 6 tp < Yn < 2.
Khi dd yp cũng có giới han 1a a. Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. Cho hai dãy số thực {aa}, {bn} sao cho a) Vn € Ñ, an < bn; b) Vn € Ñ, [an41;0n+1] C lan, bại: €) b—a„ >0 khi n> ov.
Khi đó tồn tại duy nhất số thực a sao cho Nan, bn] = {a}. Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ. Dãy z„ được gọi là dãy Cauchy nếu Ve >0, 3Nọ €Ñ:Vm,n > No, |#m — #n| <€. Dãy số {z„} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.2 Một vài dãy số đặc biệt Cấp số cộng Định nghĩa 1.
Dãy số {u„} hoặc (w„) (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện tị — 0 — 2 — UL =.--- được gọi là một cấp số cộng. Khi dãy số {un} lap thành một cấp số cộng thì hiéu d = uy — uo dude goi la cong 9 sai của cấp số đã cho. Với d > 0 ta có cấp số cộng tiến và đ < 0 ta có cấp số cộng lùi. Dãy các số tự nhiên lẻ: 1,3,5,.
là một cấp số cộng với cong sai d = 2. Day —3, 1,5,9, 13, 17,21,25 là một cấp số cộng với công sai d = 4. Nếu {u„} là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là tụ = t—1 Ì y1. Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu 1A u, va cong sai d thi s6 hang tổng quát u„ của nó được tính theo công thức sau Un = uy t+ (n— 1)d.
Giả sử {u„} là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương ø, gọi S„ là tổng của ø số hạng đầu tiên của nó (5; = ị +ua+. Khi đó, ta có (ur + Un)n Sn = 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1. Dãy số {u„}(hữu hạn hoặc vô hạn) có {u„} #0, Vn eÑ thỏa mãn điều kiện ue nt u up Un được gọi là một cấp số nhân.
Khi dãy số {ø„} lập thành một cấp số nhân thì thương ạ = a được gọi là công trọ bội của cấp số đã cho. Day số {u„} với u„ = 2" là một cấp số nhân với số hạng đầu với uị = 2 và công bội q = 2. Dãy —2,6, —18, 54, —162 là một cấp số nhân với số hạng đầu ¡ = —2 và công bội q = —3. Nếu {u„} là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là uz = UR—1Uk+1- Tính chất 1.
Nếu một cấp số nhân có số hang dau JA uw, va cong bội z # 0 thì số hạng tổng quát up cla nd dude tính theo công thức sau Un = ugrt. Giả sử {u„} là một cấp số nhân với công bội ạ # 1 thì Š„ được tính theo công thức 5, = ui(l— 4"). Theo định nghĩa ta có: i) Néu {un} 1a một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {u„} với ø„y =a", Vn € N lap thành một cấp số nhân. 1) Nếu {u„} là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a # 1 thì dãy {o„} với 0„ = log„u„, Vn e Ñ lập thành một cấp số cộng.
Nếu |ạ| < 1 thì {u„} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức Chú ý 1. Đối với các dãy số {u„} xác định theo công thức truy hồi trại = đuy +ÐÙ, a,b ER, 11 có thể xem như một cấp số suy rộng (khi a = 1 ta thu được một cấp số cộng, khi b= 0 ta thu được một cấp số nhân). Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.
Dãy số z„ thỏa mãn điều kiện 2Un—1Un4+1 Un = —————— Un—1 + Un+1 được gọi là cấp số điều hòa.