Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu
Đề tài khóa luận tốt nghiệp "Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số" được thực hiện bởi sinh viên Hồ Văn Dũng, chuyên ngành Sư phạm Toán (khóa 2014 – 2018), Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam, dưới sự hướng dẫn của ThS. Huỳnh Thị Mai Trâm vào tháng 5 năm 2018.
Phương trình đại số là một nội dung cốt lõi và xuyên suốt trong chương trình toán học bậc trung học. Các bài toán giải phương trình xuất hiện với tần suất cao trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học, cao đẳng. Tuy nhiên, trong thực tiễn học tập cũng như qua quá trình làm gia sư giảng dạy thực tế, tác giả nhận thấy việc tiếp cận và tìm ra hướng giải đúng cho các bài toán phương trình mới, lạ, đặc biệt là các dạng phương trình không mẫu mực, vẫn là một trở ngại lớn đối với đa số học sinh trung học. Người học thường gặp lúng túng trong việc định hình phương pháp giải chung, lựa chọn thuật giải tối ưu hoặc dễ mắc sai sót trong các bước biến đổi và trình bày lời giải.
Xuất phát từ yêu cầu sư phạm về việc hỗ trợ học sinh giải thành thạo và linh hoạt các dạng toán này, đề tài được xác lập với hai mục tiêu nghiên cứu cụ thể:
- Nghiên cứu và hệ thống hóa nội dung lý thuyết nền tảng liên quan đến phương trình đại số.
- Trình bày có hệ thống, chi tiết các phương pháp giải đặc biệt đối với phương trình đại số.
Về đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đại số và các phương pháp giải phương trình.
- Phạm vi nghiên cứu: Tập trung vào các lớp phương trình đại số một ẩn.
Về phương pháp nghiên cứu, tác giả sử dụng ba phương pháp nghiên cứu lý thuyết chuyên ngành:
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giảng dạy và giải toán.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp
Khóa luận xây dựng hệ thống cơ sở lý thuyết toán học toàn diện từ giải tích cổ điển, đại số trừu tượng đến phương pháp số tính toán gần đúng.
Về mặt khái niệm và định nghĩa:
- Phương trình ẩn $x$ được xác định là hàm mệnh đề dạng $f(x) = g(x)$ trên tập số phức $\mathbb{C}^n$ hoặc tập số thực $\mathbb{R}$.
- Điều kiện xác định được phân loại theo cấu trúc đại số: mẫu thức khác 0 đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, và biểu thức dưới dấu căn không âm đối với căn bậc chẵn.
- Nghiệm thực $x_0$ của đa thức $f(x) = a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ ($a_n \neq 0$) được xác định khi $f(x_0) = 0$. Khái niệm nghiệm bội bậc $n$ ($n \ge 2$) được định nghĩa khi $f(x) = (x-x_0)^n g(x)$ với $g(x_0) \neq 0$. Văn bản chứng minh định lý: $x_0$ là nghiệm bội của $f(x)=0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm $f'(x)=0$.
- Khoảng phân ly nghiệm $[a, b]$: Là khoảng chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình. Định lý điều kiện đủ chỉ rõ: nếu $f(x)$ liên tục trên $[a, b]$, đạo hàm $f'(x)$ không đổi dấu và $f(a) \cdot f(b) < 0$, thì $[a, b]$ là khoảng phân ly nghiệm.
Các định lý nền tảng được chứng minh và áp dụng trong văn bản gồm:
- Định lý Francois Viète: Áp dụng cho phương trình bậc hai, bậc ba và tổng quát cho đa thức bậc $n$ trên trường số thực: $$S_k = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$$
- Định lý Michel Rolle: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a, b]$, khả vi trên $(a, b)$ và $f(a) = f(b)$ thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho $f'(c) = 0$.
- Tiêu chuẩn Eisenstein: Tiêu chuẩn xác định tính bất khả quy của đa thức hệ số nguyên trên trường số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ thông qua số nguyên tố $p$.
- Định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất (Định lý về sự tồn tại nghiệm): Được chứng minh chặt chẽ bằng phương pháp chia đôi đoạn thẳng kết hợp Bổ đề về dãy các đoạn thắt ($\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$).
Hệ thống bất đẳng thức hỗ trợ giải phương trình:
- Bất đẳng thức Auguste Louis Cauchy (bất đẳng thức AM-GM) cho $n$ số thực không âm: $\frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \dots a_n}$, chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Bất đẳng thức Victor Iakovlevitch Bouniakovski cho hai bộ số: $\left(\sum a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$, chứng minh thông qua tam thức bậc hai không âm $A x^2 - 2Cx + B \ge 0$.
- Bất đẳng thức vectơ về độ dài: $|\vec{u}| + |\vec{v}| \ge |\vec{u} + \vec{v}|$.
Cơ sở lý thuyết giải tích số (tìm nghiệm gần đúng):
- Phương pháp lặp đơn: Biến đổi $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \varphi(x)$. Dãy lặp $x_n = \varphi(x_{n-1})$ hội tụ về nghiệm $\alpha$ khi $|\varphi'(x)| \le q < 1$. Đánh giá sai số qua hai công thức: $$|\alpha - x_n| \le \frac{q}{1-q}|x_n - x_{n-1}| \quad \text{hoặc} \quad |\alpha - x_n| \le \frac{|f(x_n)|}{m} \quad (m = \min |f'(x)|)$$
- Phương pháp Isaac Newton (phương pháp tiếp tuyến): Xây dựng dựa trên khai triển Taylor bậc nhất $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Điểm Fourier $x_0$ thỏa mãn điều kiện $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$. Đánh giá sai số thông qua hằng số $M = \max |f''(x)|$ và $m = \min |f'(x)|$: $$|x_n - \alpha| \le \frac{M}{2m}(x_n - x_{n-1})^2$$
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 đóng vai trò hệ thống hóa toàn bộ các công cụ toán học từ đại số đến giải tích phục vụ cho việc giải phương trình. Nội dung chương được chia thành các phần chính:
- Lý thuyết tổng quan về phương trình: Trình bày định nghĩa hàm mệnh đề, điều kiện xác định, nghiệm bội, ý nghĩa hình học của nghiệm (giao điểm của $y=f(x)$ với trục hoành hoặc hoành độ giao điểm của $y_1=g(x)$ và $y_2=h(x)$), khoảng phân ly nghiệm.
- Các định lý nghiệm số: Trình bày và chứng minh chi tiết định lý Viète bậc $n$, định lý Rolle, tiêu chuẩn Eisenstein, định lý tồn tại nghiệm Bolzano-Cauchy.
- Phân loại phương trình đại số và thuật toán giải mẫu mực:
- Phương trình bậc nhất và bậc hai: Biện luận đầy đủ các trường hợp nghiệm theo hệ số và biệt thức $\Delta, \Delta'$.
- Phương trình bậc ba $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$: Đưa về dạng chính tắc $y^3 + py + q = 0$ bằng phép đổi biến $x = y - \frac{a}{3}$. Sử dụng công thức Cardano đặt $y = u + v$, giải hệ tìm $u^3, v^3$ qua phương trình phụ bậc hai $X^2 + qX - \frac{p^3}{27} = 0$, biện luận theo biệt số $\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$ (khi $\Delta > 0$ có 1 nghiệm thực; $\Delta = 0$ có nghiệm kép; $\Delta < 0$ có 3 nghiệm thực thông qua căn bậc ba đơn vị phức).
- Phương trình bậc bốn: Sử dụng phương pháp Ferrari, phân tích thành bình phương tam thức bậc hai phụ thuộc tham số $y$, đưa về giải một phương trình bậc ba (phương trình phân giải) và hai phương trình bậc hai.
- Phương trình bậc cao (bậc $n \ge 5$): Trình bày các định lý về tính không giải được bằng căn thức (tiêu chuẩn nghiệm phức kết hợp định lý Rolle và tiêu chuẩn Eisenstein, minh họa qua phương trình $x^5 - 9x^2 + 3 = 0$).
- Phương trình chứa tham số và 5 dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Hệ thống bất đẳng thức và phương pháp tính số: Trình bày lý thuyết bất đẳng thức Cauchy, Bouniakovski, vectơ và hai thuật toán giải xấp xỉ nghiệm: phương pháp lặp đơn và phương pháp tiếp tuyến Newton.
| Phân loại kiến thức trong Chương 1 | Nội dung và công cụ toán học cụ thể |
|---|---|
| Đại số cổ điển | Định lý Viète tổng quát, công thức nghiệm Cardano (bậc 3), phương pháp Ferrari (bậc 4), tiêu chuẩn Eisenstein. |
| Giải tích cổ điển | Định lý Rolle, định lý Bolzano-Cauchy, bổ đề đoạn thắt, khai triển Taylor, điểm Fourier. |
| Bất đẳng thức đại số | Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM quy nạp), bất đẳng thức Bouniakovski, bất đẳng thức vectơ. |
| Giải tích số (Phương pháp gần đúng) | Phương pháp lặp đơn (hàm co), phương pháp tiếp tuyến Isaac Newton, công thức sai số vi phân. |
Chương 2. Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số
Chương 2 là nội dung trọng tâm của khóa luận, đi sâu vào các phương pháp giải không mẫu mực thông qua các bài toán đại số cụ thể:
-
Phương pháp "điểm không":
- Bản chất: Phân tích đa thức nhiều biến/tham số thành nhân tử bằng cách cho các ẩn hoặc tham số triệt tiêu nhau ($x=0, x=-b, a=b, \dots$) để phát hiện nhân tử chung nhờ tính đối xứng hoặc hoán vị vòng quanh, sau đó xác định hệ số đồng nhất.
- Bài toán tiêu biểu:
- Giải phương trình tham số chứa tính đối xứng $M(x, a, b) = 0$, phân tích thành dạng tích $9abx = 0$, $-(x-b)(x-c)(b-c) = 0$.
- Giải phương trình đối xứng bậc 4: $2x^2a^2 + 2x^2b^2 + 2a^2b^2 - x^4 - a^4 - b^4 = 0$, phân tích thành $(a+b-x)(x+a-b)(x-a+b)(a+b+x) = 0$, cho 4 nghiệm $x = \pm a \pm b$.
- Phân tích các đa thức bậc cao chứa tham số phức tạp về dạng tích đa thức bậc nhất như bài toán rút gọn về $abx(6x-29) = 0$.
-
Phương pháp sử dụng lượng giác để giải phương trình:
- Quy trình giải: Biến đổi phương trình đại số, chọn hàm lượng giác thích hợp để đổi biến ($x = m\cos\alpha$, $x = m\sin\alpha$, $x = m\tan\alpha$, $x = \frac{m}{\cos\alpha}$, $x = m\cos 2\alpha$), áp dụng các công thức biến đổi lượng giác nhân ba, nhân bốn, công thức Chebyshev biểu diễn $\cos(nx), \sin(nx)$, giải tìm nghiệm lượng giác và chuyển ngược về biến số thực ban đầu.
- Bài toán tiêu biểu:
- Biện luận theo $m$ số nghiệm phương trình $4x^3 - 3x - (m-1) = 0$ trên $[-1, 1]$ bằng phép đặt $x = \cos t$, quy về $\cos 3t = m-1$.
- Giải phương trình chứa căn vô tỉ $\sqrt{4-x^2} + \sqrt{4-x^2} = x$ và $\sqrt{1+\sqrt{1-4x^2}} = x(1 + 2\sqrt{1-4x^2})$ bằng phép đặt $x = 4\cos\alpha$ hoặc $x = \frac{\cos 2\alpha}{2}$.
- Giải phương trình bậc 7: $x^7 - 21x^5 + 126x^3 - 189x + 81 = 0$. Bằng kỹ thuật cân bằng hệ số đồng nhất với công thức $\cos 7\theta = 64\cos^7\theta - 112\cos^5\theta + 56\cos^3\theta - 7\cos\theta$, tác giả thực hiện phép đổi biến $x = 2\sqrt{3}t$ với $t = \cos\theta$, đưa về $\cos 7\theta = \cos\frac{\pi}{6}$, tìm ra chính xác 7 nghiệm thực dạng $x = 2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{42} + \frac{k2\pi}{7}\right)$ ($k=0,1,\dots,6$).
- Giải phương trình vô tỉ kết hợp tính đơn điệu hàm số và công thức nhân năm: đưa về $16x^5 - 20x^3 + 5x = \frac{1}{2}$, đặt $x = \sin t$ quy về $\sin 5t = \sin\frac{\pi}{6}$, xác định đủ 5 nghiệm phân biệt.
-
Phương pháp sử dụng đồ thị để giải và biện luận phương trình:
- Quy trình giải: Biến đổi phương trình về phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $(C): y=g(x)$ và đường thẳng $d: y=h(m)$. Vẽ đồ thị hàm số bằng các phép biến đổi hình học (tịnh tiến song song trục tọa độ, lấy đối xứng qua trục tung đối với hàm số chẵn), biện luận số giao điểm theo tham số.
- Bài toán tiêu biểu: Biện luận phương trình $x^3 - 6x^2 + 9x - 3 - m = 0$ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số bậc ba $y = x^3 - 3x^2 - 4$ sang phải 3 đơn vị để tạo thành đường cong $(x-3)^3 - 3(x-3)^2 - 4 = m-1$; khảo sát hàm trùng phương chẵn để tìm điều kiện có 4 nghiệm phân biệt.
-
Các phương pháp tiếp theo trong chương:
- Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Đánh giá hai vế (miền giá trị, dấu bằng xảy ra).
- Phương pháp lặp đơn và phương pháp Isaac Newton: Ứng dụng giải các phương trình đại số không có công thức nghiệm đóng, tính toán xấp xỉ nghiệm với sai số cho trước.
| Phương pháp đặc biệt trong Chương 2 | Kỹ thuật biến đổi đặc trưng | Phạm vi và dấu hiệu áp dụng |
|---|---|---|
| Phương pháp "điểm không" | Gán giá trị đặc biệt cho biến/tham số để tìm nghiệm riêng, suy ra nhân tử phân tích đa thức. | Các phương trình đại số bậc cao có tính đối xứng hoặc hoán vị giữa ẩn và tham số. |
| Phương pháp lượng giác hóa | Đặt ẩn phụ bằng các hàm $\sin t, \cos t, \tan t$; sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba, nhân $n$. | Phương trình chứa căn dạng $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$ hoặc đa thức có hệ số khớp với công thức Chebyshev $\cos(nt), \sin(nt)$. |
| Phương pháp đồ thị | Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm; tịnh tiến, lấy đối xứng đồ thị; khảo sát tương giao. | Các bài toán chứa tham số $m$ yêu cầu biện luận số nghiệm trên một tập xác định hoặc tìm điều kiện số nghiệm. |
| Phương pháp giải tích số (Newton, Lặp) | Xây dựng dãy lặp hội tụ $x_{n+1} = \varphi(x_n)$ hoặc tiếp tuyến vi phân; kiểm soát sai số qua đạo hàm. | Các phương trình đại số bậc cao không giải được bằng căn thức, cần tìm nghiệm xấp xỉ trong khoảng phân ly. |
Kết quả và đóng góp
Khóa luận đã đạt được các kết quả cụ thể sau:
- Tổng hợp và hệ thống hóa đầy đủ các công cụ lý thuyết đại số và giải tích từ căn bản đến chuyên sâu: chứng minh chi tiết định lý Viète tổng quát, định lý tồn tại nghiệm Bolzano-Cauchy qua bổ đề đoạn thắt, tiêu chuẩn Eisenstein và các công thức nghiệm đại số kinh điển (Cardano, Ferrari).
- Phân tích và xây dựng quy trình giải chi tiết cho các phương pháp đặc biệt: phương pháp "điểm không", phương pháp đổi biến lượng giác bậc cao (nhân 3, nhân 5, nhân 7), phương pháp đồ thị và hai phương pháp số xấp xỉ nghiệm (lặp đơn, tiếp tuyến Newton kèm đánh giá sai số).
- Cung cấp hệ thống bài tập minh họa đa dạng có lời giải chi tiết, chỉ rõ căn cứ toán học của các phép biến đổi (điển hình là kỹ thuật đồng nhất hệ số để tìm nhân tử đặt ẩn phụ lượng giác $x = 2\sqrt{3}t$ cho phương trình bậc 7).
Về mặt đóng góp:
- Đóng góp thiết thực vào việc nâng cao chất lượng dạy học toán thông qua các chuyên đề chuyên sâu, tạo tài liệu tham khảo phục vụ giáo viên và học sinh trung học phổ thông trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học - cao đẳng.
- Khóa luận là tài liệu học tập, nghiên cứu có giá trị tham khảo chuyên môn cho sinh viên ngành Sư phạm Toán trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán đại số phi chuẩn mực.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Hạn chế của khóa luận:
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài mới chỉ giới hạn ở lớp phương trình đại số một ẩn trên trường số thực và số phức; chưa mở rộng sang hệ phương trình đại số nhiều ẩn hoặc các dạng phương trình hàm, phương trình vô tỉ phi đại số.
- Do giới hạn về thời gian và kinh nghiệm nghiên cứu của sinh viên bậc đại học, tác giả tự nhận định công trình không tránh khỏi những thiếu sót nhất định trong việc bao quát toàn bộ các biến thể phương trình đặc biệt.
Hướng nghiên cứu tiếp theo được gợi mở từ phạm vi đề tài:
- Mở rộng nghiên cứu sang hệ phương trình đại số phi tuyến chứa tham số.
- Nghiên cứu sâu hơn về thuật toán số và lập trình tính toán nghiệm xấp xỉ cho các phương trình đại số bậc cao trên máy tính điện tử.
Giá trị tham khảo
Khóa luận là nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho:
- Sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Cử nhân Toán học: Sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các học phần Phương pháp dạy học môn Toán, Đại số sơ cấp, Giải tích số.
- Giáo viên THPT và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi: Khai thác hệ thống bài toán trong Chương 2 để xây dựng chuyên đề giảng dạy về phương pháp lượng giác hóa phương trình đại số và kỹ thuật phân tích nhân tử bằng "điểm không".
- Học sinh THPT chuyên và học sinh ôn thi học sinh giỏi: Rèn luyện tư duy biến đổi đại số, tiếp cận các kỹ thuật tìm nghiệm phương trình bậc cao không mẫu mực.
Câu hỏi thường gặp
1. Bản chất của phương pháp "điểm không" trong khóa luận là gì và áp dụng trong trường hợp nào?
Phương pháp "điểm không" dựa trên việc cho các biến hoặc tham số nhận các giá trị đặc biệt làm cho biểu thức triệt tiêu (bằng 0), từ đó phát hiện ra các thừa số nhân tử chung dựa vào tính đối xứng hoặc hoán vị vòng quanh giữa các biến. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các phương trình đại số bậc cao chứa nhiều tham số có cấu trúc đối xứng.
2. Khóa luận giải phương trình bậc bảy $x^7 - 21x^5 + 126x^3 - 189x + 81 = 0$ bằng kỹ thuật cụ thể nào?
Tác giả so sánh tỷ lệ các hệ số của phương trình với công thức lượng giác $\cos 7\theta = 64\cos^7\theta - 112\cos^5\theta + 56\cos^3\theta - 7\cos\theta$ để tìm hệ số $a = 2\sqrt{3}$. Sau đó, tác giả đặt phép đổi biến $x = 2\sqrt{3}t$ với $t = \cos\theta \in [-1, 1]$, đưa phương trình về dạng $\cos 7\theta = \cos\frac{\pi}{6}$ và tìm được đủ 7 nghiệm thực dạng $x = 2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{42} + \frac{k2\pi}{7}\right)$ với $k \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$.
3. Khái niệm "điểm Fourier" trong phương pháp Isaac Newton được văn bản định nghĩa như thế nào?
Trong khoảng phân ly nghiệm $[a, b]$ của phương trình $f(x) = 0$ mà $f'(x)$ và $f''(x)$ liên tục và không đổi dấu, điểm $x_0 \in [a, b]$ được gọi là điểm Fourier nếu thỏa mãn điều kiện $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$. Điểm này được chọn làm giá trị xấp xỉ đầu tiên để đảm bảo thuật toán lặp tiếp tuyến Newton chắc chắn hội tụ về nghiệm.
4. Dựa vào cơ sở nào tác giả chứng minh phương trình bậc năm $x^5 - 9x^2 + 3 = 0$ không giải được bằng căn thức?
Tác giả sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố $p=3$ để chứng minh đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Q}$. Đồng thời, tác giả khảo sát đạo hàm $f'(x) = 5x^4 - 18x$ có hai nghiệm, kết hợp định lý Rolle và việc đổi dấu giá trị hàm số ($f(-1)=7, f(0)=3, f(2)=1, f(3)=165$) để chỉ ra phương trình có đúng 3 nghiệm thực và 2 nghiệm phức. Theo định lý về phương trình bậc cao, đa thức bậc 5 bất khả quy có đúng 2 nghiệm phức thì không thể giải được bằng căn thức.
5. Trong phương pháp lặp đơn, sai số của nghiệm xấp xỉ được ước lượng qua những công thức nào?
Khóa luận đưa ra hai công thức đánh giá sai số:
- Công thức 1 (qua hai bước lặp liên tiếp): $|\alpha - x_n| \le \frac{q}{1-q}|x_n - x_{n-1}|$ với $0 \le q < 1$ là hệ số co ($|\varphi'(x)| \le q$).
- Công thức 2 (qua giá trị hàm số): $|\alpha - x_n| \le \frac{|f(x_n)|}{m}$ với $m = \min_{x \in [a, b]} |f'(x)| > 0$.
Kết luận
Khóa luận "Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số" của tác giả Hồ Văn Dũng là một công trình nghiên cứu tổng quan có hệ thống, kết hợp chặt chẽ giữa cơ sở lý thuyết toán học hàn lâm và thực tiễn giải toán sơ cấp. Tác giả đã trình bày rõ ràng các kỹ thuật giải phương trình không mẫu mực từ phương pháp đại số, lượng giác hóa, hình học đồ thị đến các thuật toán giải tích số xấp xỉ nghiệm. Đề tài đáp ứng tốt mục tiêu nghiên cứu sư phạm, đóng vai trò là tài liệu tham khảo có giá trị học thuật cho giáo viên, sinh viên và học sinh chuyên toán.